第02讲 立方根（知识解读+真题演练+课后巩固）（解析版）-2024学年八年级数学上册（苏科版）

第第页第02讲立方根 1.了解立方根的含义；2.会表示、计算一个数的立方根，求含参数的立方根.3.掌握立方根的有关运算及实际应用知识点1：立方根的定义1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数.开立方和立方互为逆运算.2.立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同.两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.知识点2：立方根的性质注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.知识点3：立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，.【题型1：立方根的概念及性质】【典例1】（2023春•番禺区期末）立方根为8的数是（）A．512 B．64 C．2 D．±2【答案】A【解答】解：83＝512，故的立方根是8的数是512．故选：A．【变式1-1】（2023春•岳麓区校级月考）立方根等于它本身的有（）A．﹣1，0，1 B．0 C．0，﹣1 D．1【答案】A【解答】解：立方根等于它本身的有﹣1，0，1．故选：A．【变式1-2】（2022秋•万州区期末）4的算术平方根与的积是（）A．12 B．﹣12 C．6 D．﹣6【答案】D【解答】解：∵4的算术平方根是2，＝﹣3，∴2×（﹣3）＝﹣6．故选：D．【变式1-3】（2022秋•苏州期末）若a3＝1，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．0【答案】B【解答】解：∵a3＝1，∴a＝1．故选：B．【题型2：立方根的性质】【典例2】（2023春•凯里市校级期中）若实数x，y，满足+（y﹣4）2＝0，则xy的立方根是（）A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4【答案】D【解答】解：∵+（y﹣4）2＝0，∴x+16＝0，y﹣4＝0，解得x＝﹣16，y＝4，∴xy＝﹣64，∴xy的立方根是＝﹣4，故选：D．【变式2-1】（2023春•海珠区校级期中）若x、y为实数，且满足，则xy的立方根为﹣3．【答案】﹣3．【解答】解：∵，∴x+3＝0，9﹣y＝0，∴x＝﹣3，y＝9，∴xy＝﹣3×9＝﹣27，∴，故答案为：﹣3．【变式2-2】（2022秋•卧龙区校级期末）已知实数a、b满足|a+13|+（b+14）2＝0，则a+b的立方根是﹣3．【答案】﹣3．【解答】解：∵|a+13|+（b+14）2＝0，|a+13|≥0，（b+14）2≥0，∴a+13＝0，b+14＝0，解得a＝﹣13，b＝﹣14，∴a+b＝﹣27，∴a+b的立方根为＝﹣3，故答案为：﹣3．【变式2-3】（2022秋•渭滨区校级月考）如果一个有理数的平方根和立方根相同，那么这个数是（）A．±1 B．0 C．1 D．0和1【答案】B【解答】解：0的平方根和立方根相同．故选：B．【题型3：开立方运算中小数点移动规律】【典例3】（2022秋•射洪市期末）如果≈1.333，≈2.872，那么约等于（）A．28.72 B．287.2 C．13.33 D．133.3【答案】A【解答】解：∵≈2.872，∴约等于28.72．故选：A．【变式3-1】（2023春•东至县期末）若＝0.7160，＝1.542，＝﹣0.1542．【答案】﹣0.1542．【解答】解：∵0.003670＝3.670×10﹣3，∴＝﹣1.542×10﹣1＝﹣0.1542，故答案为：﹣0.1542．【变式3-2】（2023春•西城区校级月考）已知：，则（）A．﹣46800 B．﹣4680 C．﹣46.8 D．﹣4.68【答案】A【解答】解：，则，括号里应为﹣46800，故选：A．【变式3-3】（2023春•青云谱区校级期中）已知，，，，则﹣10.38．【答案】﹣10.38．【解答】解：∵，∴﹣10.38．故答案为：﹣10.38．【题型4：利用开立方解方程】【典例4】（2022秋•南京期末）求下列各式中x的值：（2x﹣1）3﹣27＝0．【答案】x＝2．【解答】解：（2x﹣1）3﹣27＝0，（2x﹣1）3＝27，2x﹣1＝3，2x＝4，x＝2．【变式4-1】（2022秋•宿迁期末）解方程：（x﹣3）3﹣27＝0；【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）（x﹣3）3﹣27＝0（x﹣3）3＝27x﹣3＝3∴x＝6；【变式4-2】（2022春•林州市月考）求下列各式中的x：（x﹣3）3+27＝0．【答案】（2）x＝0．【解答】解：（x﹣3）3+27＝0，x﹣3＝﹣3，x＝0．【变式4-3】（2022春•曲阜市期中）求式中的x的值：（x+1）3＝﹣9．【答案】（2）x＝﹣4．【解答】解：（x+1）3＝﹣9．（x+1）3＝﹣27，x+1＝﹣3，x＝﹣4．【变式4-4】（2023春•大石桥市月考）求符合下列各条件中的x的值．（1）9x2＝4；（2）（x+3）3＝64；（3）（x﹣3）2﹣1＝24；（4）（x+2）3＝﹣25．【答案】（1）；（2）x＝1；（3）x＝8或﹣2；（4）x＝﹣7．【解答】解：（1）9x2＝4；（2）（x+3）3＝64，x+3＝4x＝1；（3）（x﹣3）2﹣1＝24（x﹣3）2＝25x﹣3＝±5x＝8或﹣2；（4），（x+2）3＝﹣125x+2＝﹣5x＝﹣7．【题型5：平方根与立方根的综合】【典例5】（2023春•寻乌县期末）正数x的两个平方根分别为3﹣a和2a+7．（1）求a的值；（2）求44﹣x这个数的立方根．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵正数x的两个平方根是3﹣a和2a+7，∴3﹣a+（2a+7）＝0，解得：a＝﹣10（2）∵a＝﹣10，∴3﹣a＝13，2a+7＝﹣13．∴这个正数的两个平方根是±13，∴这个正数是169．44﹣x＝44﹣169＝﹣125，﹣125的立方根是﹣5．【变式5-1】（2023春•定南县期中）正数x的两个平方根分别为2﹣a和2a+1．（1）求a的值；（2）求17﹣x这个数的立方根．【答案】（1）a＝﹣3；（2）﹣2．【解答】解：（1）∵正数x的两个平方根是2﹣a和2a+1，∴2﹣a+（2a+1）＝0，解得：a＝﹣3；（2）∵a＝﹣3，∴2﹣a＝5，2a+1＝﹣5．∵这个正数的两个平方根是±5，∴这个正数是25，∴17﹣x＝17﹣25＝﹣8，∴﹣8的立方根是﹣2．【变式5-2】（2023春•敦化市期末）已知m+3的平方根是±1，3m+2n﹣6的立方根是4．（1）求m、n的值．（2）求m+n的算术平方根．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵m+3的平方根是±1，∴m+3＝12，∴m＝﹣2，∵3m+2n﹣6的立方根是4，∴3m+2n﹣6＝43，∴3×（﹣2）+2n﹣6＝64，∴n＝38，∴m，n的值分别是﹣2，38．（2）m+n＝﹣2+38＝36，∴m+n的算术平方根是＝6．【变式5-3】（2023春•泸州期末）已知一个正数的两个平方根分别是2a+1和a﹣4，又b﹣4的立方根为﹣2．（1）求a，b的值；（2）求5a﹣b的算术平方根．【答案】（1）a＝1，b＝﹣4；（2）3．【解答】解：（1）∵一个正数的两个平方根分别是2a+1和a﹣4，b﹣4的立方根为﹣2，∴2a+1+a﹣4＝0，b﹣4＝﹣8，解得：a＝1，b＝﹣4；（2）∵a＝1，b＝﹣4，∴5a﹣b＝5×1+4＝9，∵32＝9，∴5a﹣b的算术平方根为3．【题型6：立方根的应用】【典例6】（2023春•普兰店区期中）已知一个正方体的体积是1000cm3，现在要在它的8个角上分别截去8个大小相同的小正方体，使截去后余下的体积是488cm3，问截得的每个小正方体的棱长是多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：设截得的每个小正方体的棱长xcm，依题意得1000﹣8x3＝488，∴8x3＝512，∴x＝4，答：截得的每个小正方体的棱长是4cm．【变式6-1】（2022秋•南岗区期末）如图所示的圆柱形容器的容积为81升，它的底面直径是高的2倍．（π取3）（1）这个圆柱形容器的底面直径为多少分米？（2）若这个圆柱形容器的两个底面与侧面都是用铁皮制作的，则制作这个圆柱形容器需要铁皮多少平方分米？（不计损耗）【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设这个圆柱形容器的高为x分米，则它的底面直径是2x分米，依题意得πx2×x＝81，解得x＝3，∴2x＝6，答：这个圆柱形容器的底面直径为6分米；（2）2π×32+2π×3×3＝108（平方分米）．答：制作这个圆柱形容器需要铁皮108平方分米．【变式6-2】（2022春•戚墅堰区校级期末）请根据如图所示的对话内容回答下列问题．（1）求该魔方的棱长；（2）求该长方体纸盒的长．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设魔方的棱长为xcm，可得：x3＝216，解得：x＝6．答：该魔方的棱长6cm．（2）设该长方体纸盒的长为ycm，6y2＝600，y2＝100，y＝10．答：该长方体纸盒的长为10cm．【变式6-3】（2022春•徐闻县期中）一个正方体的体积是16cm3，另一正方体的体积是这个正方体体积的4倍，求另一个正方体的表面积．【答案】见试题解答内容【解答】解：另一个正方体的体积＝4×16＝64cm3，则边长＝＝4cm，故另一个正方体的表面积＝6×（4×4）＝96cm2．1．（2023•大连）下列计算正确的是（）A．（）0＝ B．＝9 C．＝4 D．（﹣）＝3﹣【答案】D【解答】解：A．（）0＝1，故该选项不正确，不符合题意；B.＝3，该该选项不正确，不符合题意；C.＝2，该该选项不正确，不符合题意；D.×（﹣）＝3﹣，该选项正确，符合题意．故选：D．2．（2023•威海）面积为9的正方形，其边长等于（）A．9的平方根 B．9的算术平方根 C．9的立方根 D．的算术平方根【答案】B【解答】解：∵正方形的面积为9，∴其边长＝．故选：B．3．（2023•浙江）﹣8的立方根是（）A．﹣2 B．2 C．±2 D．不存在【答案】A【解答】解：﹣8的立方根是＝＝﹣2，故选：A．4．（2023•郴州）计算＝3．【答案】3．【解答】解：＝3．故答案为：3．5．（2023•邵阳）的立方根是2．【答案】2．【解答】解：＝8，＝2．故答案为：2．1．（2022秋•法库县期末）立方根等于本身的数是（）A．﹣1 B．0 C．±1 D．±1或0【答案】D【解答】解：∵立方根是它本身有3个，分别是±1，0．故选：D．2．（2023春•同江市期末）下列计算正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：＝﹣2，因此选项A正确；＝|﹣3|＝3，因此选项B不正确；＝2，因此选项C不正确；无意义，因此选项D不正确；故选：A．3．（2023春•鹿邑县期末）若a2＝16，＝﹣2，则a+b＝（）A．﹣4 B．﹣12 C．﹣4或﹣12 D．±4或±12【答案】C【解答】解：∵a2＝16，＝﹣2，∴a＝±4，b＝﹣8．∴当a＝4，b＝﹣8时，a+b＝﹣4；当a＝﹣4，b＝﹣8时，a+b＝﹣12．故选：C．4．（2023春•蜀山区校级期中）﹣64的立方根是（）A．﹣4 B．±4 C．﹣8 D．±8【答案】A【解答】解：∵（﹣4）3＝﹣64，∴﹣64的立方根是﹣4．故选：A．5．（2022秋•市北区校级期末）下列说法：①如果一个实数的立方根等于它本身，这个数只有0或1；②a2的算术平方根是a；③﹣8的立方根是±2；④的算术平方根是4；其中，不正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解答】解：①如果一个实数的立方根等于它本身，这个数只有0或1或﹣1，故本选项错误；②当a≥0时，a2的算术平方根是a，故本选项错误；③﹣8的立方根是﹣2，故本选项错误；④因为，所以的算术平方根是2，故本选项错误．所以不正确的有4个．故选：D．6．（2023春•江油市期末）一个正方体的体积扩大为原来的8倍，则它的棱长为原来的（）A．2倍 B．4倍 C．3倍 D．8倍【答案】A【解答】解：设原正方体的棱长为a，则体积为a3，∴将体积扩大为原来的8倍，为8a3，∴扩大后的正方体的棱长为，∴它的棱长为原来的2倍，故选：A．7．（2023•汇川区三模）某同学在用计算器估算6的算术平方根时，需要用到以下哪个键（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：根据计算器的相关知识，可知答案为A．故选：A．8．（2023春•望奎县期末）如果＝﹣，那么a，b的关系是（）A．a＝b B．a＝±b C．a＝﹣b D．无法确定【答案】C【解答】解：∵＝﹣，∴a＝﹣b，故选：C．9．（2022春•宝清县期中）若，则的值为（）A．5 B．15 C．25 D．