人教A版选择性必修时用空间向量研究夹角问题课件-4

第2课时用空间向量研究夹角问题学习目标1.掌握应用向量法求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的大小,提升逻辑推理、数学运算的核心素养.2.体会向量方法在研究立体几何问题中的作用,培养直观想象的核心素养.知识梳理·自主探究师生互动·合作探究知识梳理·自主探究知识探究方向向量1.两条异面直线所成的角一般地,两条异面直线所成的角,可以转化为两条异面直线的

的夹角来求得.也就是说,若异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别是u,v,则cosθ=

=

=

.|cos<u,v>|思考1:θ的取值范围是什么?B2.直线与平面所成的角方向向量法向量思考2:直线在平面内或与平面平行时,θ的大小是多少?直线和平面垂直时,θ的大小是多少?θ的取值范围是什么?C解析:直线l与平面α所成的角是60°.故选C.3.平面与平面的夹角如图,平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中

的二面角称为平面α与平面β的夹角.不大于90°夹角补角思考3:平面α与平面β的夹角θ与这两个平面形成的二面角有什么关系?答案:相等或互补.做一做3:已知两平面的一个法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面的夹角的大小为

.

答案:45°师生互动·合作探究探究点一异面直线所成的角方法总结利用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选好基底或建立空间直角坐标系;(2)求出两直线的一个方向向量u,v;[针对训练](2021·浙江金华高二期末)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=3,PN=2ND,底面ABCD为直角梯形,∠ADC=90°,AD∥BC,BC=2AD=2DC=3.求异面直线PA与CN所成角的余弦值.探究点二直线和平面所成的角[例2]如图,已知PA⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形,PA=AD=2,M,N分别为AB,PC的中点.(1)求证:MN⊥平面PCD;[例2]如图,已知PA⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形,PA=AD=2,M,N分别为AB,PC的中点.(2)求PD与平面PMC所成角的正弦值.方法总结(2)设直线PA的方向向量为a,直线PA在平面α内的投影向量为b,则直线PA与平面α所成的角θ满足cosθ=|cos<a,b>|.(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.探究点三两平面的夹角方法总结利用向量方法求两个平面的夹角的大小时,多采用法向量的方法,即求出两个平面的法向量,然后通过法向量的夹角得到两个平面的夹角的大小,这种方法思路简单,但运算量大,所以求解时需特别注意仔细运算.[针对训练](2022·北京高三模拟)如图,四边形ABCD和三角形ADE所在平面互相垂直,AB∥CD,AB⊥BC,∠DAB=60°,AB=AD=4,AE⊥DE,AE=DE,平面ABE与平面CDE交于EF.(1)求证:CD∥EF;(1)证明:因为AB∥CD,AB⊂平面ABE,CD⊄平面ABE,所以CD∥平面ABE,因为平面ABE∩平面CDE=EF,CD⊂平面CDE,所以CD∥EF.[针对训练](2022·北京高三模拟)如图,四边形ABCD和三角形ADE所在平面互相垂直,AB∥CD,AB⊥BC,∠DAB=60°,AB=AD=4,AE⊥DE,AE=DE,平面ABE与平面CDE交于EF.(2)若EF=CD,求二面角A-BC-F的余弦值.(2)解:取AD的中点N,连接BN,EN.在等腰△ADE中,EN⊥AD.因为平面ADE⊥平面ABCD,交线为AD,又EN⊥AD,所以EN⊥平面ABCD,又BN⊂平面ABCD,所以EN⊥BN.由题意易得AN⊥BN.如图,建立空间直角坐标系Nxyz,学海拾贝用向量法处理立体几何中的探索性、存在性问题探索性、存在性问题是条件不完备、结论不确定的问题,利用向量的方法将这类问题由立体几何问题转化为代数的方程(不等式)的解的问题,考查了化归转化的数学思想,也使学生体验了逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养的发展过程.(1)求证:A1B⊥AC1;方法总结用向量的坐标运算解决几何问题,使几何问题代数化,以数助形,体现了数形结合的思想.同时本题还运用了方程的思想,通过列方程、解方程使问题得以解决.这足以说明“向量的坐标运算”是“几何”与“代数”间的一座新的桥梁.这类问题的基本形式是判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立,解决这类问题的基本策略是假设题中的数学结论成立,在这个前提下进行逻辑推理,若由此导出矛盾,则否定假设,否则,给出肯定证明.[应用探究](2022·江苏南通高二期中)《九章算术》是我国古代的数学专著,是《算经十书》中最重要的一部,它对几何学的研究比西方要早一千多年.在《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.如图,在堑堵ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AA1=AB=AC=1,M,N分别是CC1,BC的中点,点P在线段A1B1上.(1)若P为A1B1的中点,求证:PN∥平面AA1C1C;[应用探究](2022·江苏南通高二期中)《九章算术》是我国古代的数学专著,是《算经十书》中最重要的一部,它对几何学的研究比西方要早一千多年.在《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.如图,在堑堵ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AA1=AB=AC=1,M,N分别是CC1,BC的中点,点P在线段A1B1上.(2)是否存在点P,使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°?若存在,试确定点P的位置;若不存在,请说明理由.当堂检测DB3.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥CC1,AC⊥BC,AC=BC=2,∠C1CB=60°,CC1=3,点D,E分别在棱AA1和棱CC1上,且AD=1,CE=2,则平面BB1E与平面B1ED的夹角的余弦值为

.4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知DA=DC=4,DD1=3,则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为

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备用例题解析:以D为原点,分别以DA,DC,DP所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图,设AE=m(0≤m≤2),则D(0,0,0),P(0,0,1),A(1,0,0),B(1,2,0),E(1,m,0),C(0,2,0),可取平面ABCD的一个法向量n1=(0,0,1),(1)求异面直线BE与GH所成角的余弦值;(2)求直线DF与平面BCD所成角的正弦值.[例3]如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.(1)求证:O1O⊥底面ABCD;(1)证明:因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形,所以CC1⊥AC,DD1⊥BD,又CC1∥DD1∥OO1,所以OO1⊥AC,OO1⊥BD.因为AC∩BD=O,AC