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4.3.2空间两点间的距离公式

空间两点间的距离公式P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之间的距离|P1P2|=①

.P(x,y,z)与坐标原点O之间的距离|OP|=②

.

空间中的几个特殊距离P(x,y,z)到坐标平面xOy的距离为|z|.P(x,y,z)到坐标平面yOz的距离为|x|.P(x,y,z)到坐标平面xOz的距离为|y|.P(x,y,z)到x轴的距离为

.P(x,y,z)到y轴的距离为

.P(x,y,z)到z轴的距离为

.

判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”.A(1,3,-2),B(-2,3,2),则A,B两点间的距离为25.

(

✕)|AB|=

=5.P(x,y,z)满足

=2,则点P在以点(3,2,-1)为球心,

为半径长的球面上.

(

✕)∵P满足到定点(3,2,-1)的距离为2,∴点P在以点(3,2,-1)为球心,2为半径长的球面上.A(1,3,-2)到x轴的距离为

.

(√)4.方程(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2≤r2(a,b,c为常数,r>0)表示以(a,b,c)为球心,r为半径长的

球.

(

√

)

空间两点间的距离公式的应用

利用空间两点间的距离公式可以表示出空间线段的长度,进而解决最值问题或者

与线段长度相关的几何问题.

已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,D1D=3,点M是B1C1的中点,点N是AB的中

点.建立如图所示的空间直角坐标系.(1)写出点D,N,M的坐标;(2)求线段MD,MN的长度;(3)设点P是线段DN上的动点,求线段MP长度的最小值.

思路点拨(1)由已知条件,利用长方体的结构特征,能写出点D,N,M的坐标.(2)直接利用空间两点间的距离公式求解.(3)在xDy平面上,依题意可设点P的坐标为(2y,y,0),其中y∈[0,1],再根据空间两点

间的距离公式,将|MP|整理为关于y的代数式,由此可求线段MP长度的最小值.解析

(1)由题图易知D(0,0,0),N(2,1,0),M(1,2,3).(2)由空间两点间的距离公式,可得|MD|=

=

,|MN|=

=

.(3)在xOy平面上,依题意可设点P的坐标为(2y,y,0),其中y∈[0,1].则|MP|=

=

=

.∴当y=

时,线段MP的长度取得最小值,最小值为

,即

.故线段MP长度的最小值为

.

如图所示

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