数学竞赛与高中数学学习的关系

数学竞赛与高中数学学习的关系

曲师大06级教育硕士曹继汶2009.11--

・㈠.我国目前流行的几种数学竞赛

•㈡.参加数学竞赛学习与高考有冲突吗？

•对我们的学习有什么帮助？

•㈢数学竞赛学习与数学学习的关系

•㈣竞赛数学学习的技巧、方法、参考书介绍

•㈤如何在数学竞赛中获得更好的成绩

・的寄予数学竞赛爱好者

•㈠.我国目前流行的几种竞赛

数学竞赛(mathematicalcompetition)以解答数学问题为比赛内

容的一种业余的学术活动，是一种高水平的智力竞赛.因其与体

育竞赛有同样的精神和许多相似之处，所以也称为“数学奥林匹

克”.历史上，最早的数学竞赛是意大利的两位数学家塔尔塔利

亚(Tartaglia,N.)和菲奥尔(Fior,A.M.)之间于1535年进

行的：两人各给对方出30道解三次方程的问题，解得最多最快

者为优胜者.现代数学竞赛主要在学生(尤其是中学生)之间进

行.最早举办中学生数学竞赛的国家是匈牙利，自1894年开始，

到今已有百余年的历史.现在，中学生数学竞赛已盛行于很多国

家，根据参加对象的不同，可分“小学数学竞赛”、“初中数学竞

赛”、“高中数学竞赛”及“大学数学竞赛”等类型.例如，中国

举办的“小学数学奥林匹克”是由小学生参加的数学竞赛；美国

举办的“普特南数学竞赛”是由大学生参加的数学竞赛.根据举

办单位和参加范围的不同，又有学校内部的数学竞赛、地区(如

省、市)数学竞赛、国家数学竞赛以及最高级别的国际数学奥林

匹克(IMO)等级别.数学竞赛的主要目的是发现和培养数学人

才.同时它对于提高学生的数学学习兴趣、推动数学课外活动的

开展，对于提高数学教学质量，促进数学教学改革，都有着重要

的意义.因此，数学竞赛教育和奥林匹克数学的研究，已经成为

现代数学教育的一个重要组成部分，受到数学教育界的普遍重

视.下面主要向同学们介绍一下三种数学竞赛1.希望杯数学邀请

赛2.全国高中数学联赛3.国际数学奥林匹克竞赛，这三种竞赛中

那种适合你呢？

1.希望杯数学邀请赛

希望杯介绍

全国数学希望杯是1990年首次在全国范围内举办

举办单位：

由中国科技协会普及部，中国优选法统筹法与经济数学研究会，

《数理天地》杂志社，中青在线，华罗庚实验室共同策划举办的。

举办目的：

为了鼓励和引导中小学生学好数学课程中最主要的内容，适当地

拓宽知识面；启发他们注意数学与其它课程的联系和数学在实际

中的应用；激励他们去钻研和探究；培养他们科学的思维能力、

创新能力和实践能力；树立他们为振兴中华而努力成才的自信。

报名资格：小学四，五，六年级学生和初，高中一二年级的学生

举办时间：每年举办一次，为一届

每次举行两次考试，三月中旬第一试(考试时间1.5个小时)

四月中旬第二试(考试时间为2个小时)

全国统一时间开始和结束。

希望杯命题办法：

(1)分年级命题一按小学四，五年级，初中一，二年级，高中

一，二年级六个层次分别命题。

(2)试题内容不超出现行数学教学大纲，不超出教学进度，贴

近现行的数学课本，源于课本，高于课本。

(3)题目活而不难，巧而不偏；既不大众化又富于思考性和启

发性。

(4)数学思维是很重要的科学思维，试题力求体现科学思维之

美，寓科学与趣味之中，将知识，能力的考察和思维能力的培养

结合起来。

命题组：由中国科学院数学研究人员，著名大学的数学教授和重

点学校的优秀数学教师组成命题委员会进行命题。广泛地向数学

教育工作者征集试题，并设命题奖。

评奖：

(1).从国情出发的指导思想——充分考虑到地区之间、学校之间

在生源、师资、设施、信息的掌握等方面的差异，对边远地区或

条件较差的学校在二、三等奖的评定上，不与文化教育发达地区

拉平，保证这些地区和学校有相应的获奖比例。我们相信，任何

一个学生群体中，总有相对优秀的。这样做，既能使数学成绩优

异的学生崭露头角，又能使一般学生看到自己在潜在能力，树立

自信，从而激发学习的兴趣和进取精神。

(2).合理的比例卜学参赛人数的四分之一为优胜，进入第二

试；进入第二试的选手将有不少于五分之一的人获得一、二、三

等奖，分别被授予金、银、铜奖牌；中学参赛人数的五分之一为

优胜，进入第二试；进入第二试的选手将有不少于八分之一的人

获得一、二、三等奖，分别被授予金、银、铜奖牌。

⑶.对教师和组织者的奖励——对组织工作做得出色的地区或学

校颁发“，希望杯，全国数学邀请赛组织工作奖”，对具体工作负责

人及一、二等奖获奖学生的指导教师授予“数学教育优秀园丁”称

号及证书，对三等奖获得者的指导教师授予“数学竞赛优秀辅导

员”称号及证书。竞赛结果于每年6月中旬公布，并在《数理天

地》杂志、“希望杯”全国数学邀请赛组委会网站、中国青年报.

中青在线、《数理天地》网站及“唏望杯，数学竞赛系列丛书”中

刊登，同时下发奖牌和证书。

通过邀请赛活动，引导中学生学好中学数学课程中最主要的

内容并适当地拓宽知识面，鼓励他们探索数学在其它学科和社会

活动中的应用，激发同学们钻研和应用数学的兴趣和热情，培养

同学们科学的思维能力，同时也为中学数学教师提供新的信息和

资料，以促进我国数学教育水平的提高。

今年的时间：2010年3月14日（星期日）上午8：30至10：

00。

第二试：试题内容同第一试，能力上比第一试要求高。初、高

中满分均为120分。

（2）参加第二试的学生中将有不少于六分之一（即不少于参

赛总人数的三十分之一）的参赛者按成绩分获一、二、三等奖，

分别授予金、银、铜奖牌及获奖证书。

（3）参赛学生可参加“希望杯”全国数学邀请赛组委会组织的

“科普夏令营”（国内外），获奖学生优先安排

2.全国高中数学联赛

从1981年中国数学会普及工作委员会举办全国高中数学联

赛以来，在“普及的基础上不断提高”的方针指导下，全国数学

竞赛活动方兴未艾，每年一次的数学竞赛吸引了上百万学生

参加。1985年我国步入国际数学奥林匹克殿堂，加强了数学

课外教育的国际交流，20年来我国已跻身于IMO强国之列。

数学竞赛活动对于开发学生智力、开拓视野、促进教学改革、

提高教学水平、发现和培养数学人才都有着积极的作用。这

项活动也激励着广大青少年学习数学的兴趣，吸引他们去进

行积极的探索，不断培养和提高他们的创造性思维能力。数

学竞赛的教育功能显示出这项活动已成为中学数学教育的一

个重要组成部分。

为了使全国数学竞赛活动持久、健康、逐步深入地开展，

中国数学会普及工作委员会于1994年制定了《高中数学竞赛

大纲》，这份大纲的制定对高中数学竞赛活动的开展起到了

很好的指导性作用，我国高中数学竞赛活动日趋规范化和正

规化。

近年来，新的教学大纲的实施在一定程度上改变了我国

中学数学课程的体系、内容和要求。同时，随着国内外数学

竞赛活动的发展，对竞赛活动所涉及的知识、思想

和方法等方面也有了一些新的要求，原来的《高中数学竞赛

大纲》已经不能适应新形势的发展和要求。经过广泛征求意

见和多次讨论，对《高中数学竞赛大纲》进行了修订。

决赛内容：决赛由全国高中数学竞赛组委会统一命题。决赛分联

赛和加试两次进行，联赛命题以高中数学教学大纲为准,加试赛

命题以高中数学竞赛大纲为准。联赛试卷包括8道填空题（每题

7分），3道解答题（分别为14分，15分，15分），全卷满分100

分；加试包括4道解答题，涉及平面几何、代数、数论、组合四

个方面（每题50分），全卷200分。

3.参赛对象：在校高中生在预赛的基础上按省竞赛委员会分配

的名额选拔预赛优胜者参加决赛；。例如2009年山东省高中数学

暑期夏令营获奖学生可直接参加决赛

.参赛与报名：各市严格按照预赛5%的参赛人数以1:2:4的

比例，设立一、二、三等3个奖级；济宁市每年预赛名额100名，

今年济宁一中有两名同学获得二等奖，枣庄八中、滕州一中分别

有二名同学获得一等奖、一等奖共49名同学、全国1000名

现在.我国的高中数学竞赛分三级：每年10月中旬的全国联赛;

次年一月的CMO（冬令营）；次年三月开始的国家集训队的训练

与选拔

国际数学奥林匹克竞赛

在中学里进行数学竞赛有着悠久的历史，一般认为始于1894

年由匈牙利数学界为纪念数理学家厄特沃什-罗兰而组织的

数学竞赛。而把数学竞赛与体育竞赛相提并论，与科学的发

源地一古希腊联系在一起的是前苏联，她把数学竞赛称为数学

奥林匹克。20世纪上半叶，不同国家相继组织了各级各类的

数学竞赛，先在学校，继之在地区，后来在全国进行，逐步

形成了金字塔式的竞赛系统。从各国的竞赛进一步发展，自

然为形成最高一层的国际竞赛创造了必要的条件。1956年罗

马尼亚数学家罗曼教授提出了倡议，并于1959年7月在罗马

尼亚举行了第一次国际奥林匹克数学（InternationalMathe

maticalOlympiad简称IMO）,当时只有保加利亚、捷克斯

洛伐克、匈牙利、波兰、罗马尼亚和苏联参加。以后每年举

行（中间只在1980年断过一次），参加的国家和地区逐渐增

多，目前参加这项赛事的代表队有80余支。我国第一次参加

国际数学奥林匹克是在1985年。

经过40多年的发展，国际数学奥林匹克的运转逐步制度

化、规范化，有了一整套约定俗成的常规，并为历届东道主

所遵循。

1、目的

激发青年人的数学才能；引起青年对数学的兴趣；发现

科技人才的后备军；促进各国数学教育的交流与发展。

2、时间

每年举办一届，时间定于7月.

3、主办

由参赛国轮流主办，经费由东道国提供。

4、对象

参赛选手为中学生，每支代表队有学生6人，另派2名

数学家为领队。

5、试题

试题由各参赛国提供，然后由东道国精选后提交给主试

委员会表决，产生6道试题。东道国不提供试题。试题确定

之后，写成英、法、德、俄文等工作语言，由领队译成本国

文字。

6、考试

考试分两天进行，每天连续进行4.5小时，考3道题目。

同一代表队的6名选手被分配到6个不同的考场，独立答题。

答卷由本国领队评判，然后与组织者指定的协调员协商，如

有分歧，再请主试委员会仲裁。每道题7分，满分为42分。

7、奖励

竞赛设一等奖（金牌）、二等奖（银牌）、三等奖（铜

牌），比例大致为1:2:3;约有一半的选手获奖。各届获

奖的标准与当届考试的成绩有关。

IMO不是队与队之间的比赛，所以没有团体奖，但各代

表队都非常重视团体总分所处的名次，从近年来的情况看，

实力较强的是中、俄、美、德、罗等国家。

8、主试委员会

主试委员会由各国的领队及主办国指定的主席组成。这

个主席通常是该国的数学权威。主试委员会的职责有7条：

1）、选定试题；

2）、确定评分标准；

3）、用工作语言准确表达试题，并翻译、核准译成各参

加国文字的试题；

4）、比赛期间，确定如何回答学生用书面提出的关于试

题的疑问；

5）、解决个别领队与协调员之间在评分上的不同意见；

6）、决定奖牌的个数与分数线。

赛事举行地点及时间

第49届（2008年）总分第1名

山东师大附中韦东奕（高一），满分金牌（全球仅三个）

上海中学牟晓生，满分金牌

华中师大一附中陈卓（女）金牌

人大附中张瑞祥金牌

华东师大二附中张成金牌

嘉兴一中吴天琦银牌

第50届（2009年，德国）总分第1名

领队：朱华伟（广州大学）

副领队：冷岗松（上海大学）

队员：

韦东奕山东师大附中（高二）满分金牌（全球仅两个）

赵彦霖吉林东北师大附中金牌

黄骄阳成都七中金牌

郑凡上海中学金牌

郑志伟浙江乐清公立学校金牌

林博北京人大附中金牌

・㈡.参加数学竞赛学习与高考有冲突吗？对我们的学习

有什么帮助？

在座同学有可能思考这样的问题，参加数学竞赛学习与高考

有冲突吗？对我们的学习有影响吗？

我们知道高中数学竞赛有一试和二试，一试的考试所涵盖的内容

和难度指数跟高考差不多，略高于高考，因此，在一试中如果有

不错的成绩，高考也就没大问题了；二试命题的基本原则是向国

际数学奥林匹克靠拢，总的精神比高中数学大纲的要求有提高，

在知识方面略有扩展。

对于竞赛后的前景，也是很多家长和学生还不太了解的，其

实，数学竞赛是发现人才的一个有效手段，很多在重要数学竞赛

中成绩优异的学生，都是名牌大学争抢的对象,早早的就被录取,

他们中的很多人在后来的事业中都卓有建树。今天参加数学兴趣

小组的同学经过大约109周的学习，我想会取得较好的成绩的，

同学们一定要去掉畏难思想为微山一中增光的

㈢数学竞赛学习与数学学习的关系

高中的数学联赛一等奖是可以保送上大学的，自然受到了很多人

的关心，南开大学李成章教授曾说，数学联赛每年全国一千多一

等奖，不可能都去学数学；正因为这样，通过数学竞赛培养出的

能力才能播撒到各行各业。数学竞赛的知识被分为代数、几

何、数论、组合四个方面。按照常理，每一个题目都应该有相应

的数学背景。以前一直认为出竞赛题的都是做基础数学的，后来

才发现很多题目的数学背景是应用、甚至计算数学的。下面我通

过09高中数学联赛试题，来说明数学竞赛学习与数学学习的

关系｛展示试题，讲解1.题6题

)

一、填空屋：本大题共8小题每小题;分.共56分.把答案填在横线上.

♦分

1.若函数〃工)=-7=4=7,且/同(工)=〃/[/…/(间卜则/(则⑴=__________.

V1+X2-----V------♦

n

3

2.已知直线L:工+!/-9=()和圆“：2r2+2y-8x-8//-1=0.点.4在直线L匕

B、。为圆V上两点，在△AOC中，LDAC=15。，.4。过圜心M则点一横坐标范

困为.

r

1/>0

3.在坐标平面上有两个区域M和N.M为：V工N是防，变化的区域,它由

V<2-J-

不等式，wK0，+】所确定"的取值范围是()</<1.设V和,V的公共面枳是函

»/(«).则/⑴.

J.使不等式一二+―二+•,•+；,」1<a—2007：对--切JE整数”都成立的最

n+I“+Z2”+I3

小正整数，，的位为.

5,桶圆X+方=1（“>b>0）上任苞两点nOPLOQ.则乘枳|"|•|OQ|的

嫌小小为二_____.

6.若方程lg"r=2依"+1）仅书•一个实根.那么k的取值范围是.

7.•个山若干行数字组成的数后从第二行起每•行中的数字均等于其肩上的两个

数之和.最后一行仅有一个数.笫一行是前100个正整数按从小到大排成的行.则

最后一行的数是（可以用指数表示）.

8.某乍站每犬8:00-9:（M）,9:00-10:00都恰有一辆客车到站,但到站的时刻是

随机的.且两者到站的忖间是相互独立的.其规律为

8:1()8:308:50

到站时刻

9:109:309:50

1I1

概率

623

一旅客8:20到车站.则它候车时间的数学期望为（精确到分）.

二、解答踵本大题共3小题.共N分解答应写出文字说明、证明过程或演算步

咻

得分

------------------------1.｛本小题满分14分）设直线/:y=kx-¥in（箕中k.m为整数）与

评卷人----------一八222

--------------椭圆面+看=1交于不同两点4a与双曲线9-卷=1交于

不同两%C.D问是否存在直线L使得向量而+赤=0,若存在,

指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由.

2.体小题满分15分）已知小南+0）是实数.方程/­0有

两个实根出。，数列｛〃｝满足向=从,=p2_g心=

卬*1-qa„_2（n=3,4,...）.

⑴求数列｛0｝的通项公式（用表示）；

向若〃=l，g=：,求｛厮｝的前〃项和.

3（本小题满分15分）求函数

?/=\[*+27+\/13—J+xfi

的最大和圾小值.

得分

一、如图，N分别为锐角三角形＜/B)的外接圆「1：

评卷人

孤成7、.行的中点.过点。作PC//A/N交圆「于P点./为A4RC的内心.连接P/并延

长交圆「于T.

(I)求证：MP-MT=NP-NT;

(II)在孤(不含点C)上任取一点Q(Q#A.T,B).记△4QC,AQCB的内心分别

为几瓜求证：Q.kbT四点共圆.

二、求证不等式:

，昌卡1

<Z^k2T\~hln9>n=l,2

Jh=l/

三、设上」是给定的两个正整数,求证：有无穷多个正整数m2比

使得。与，互素.

得分

四、在非负数构成3x9数表

评卷入

出1

1町2X13工14115116工17N1A以9

p=工21上22工23工2472s?26工27①2a139

］卬1上32工34孙工36工37^3H物,

中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1,叫7=I2H=139=0,

727口37,叫8,办《.・门9,Z29均大于1.如果P的前三列构成的数表

’八1112713

S=121722配23

、工31132工3、

'叼*\

满足下面的性质(。)：对于数表P中的任意一列：以(卜=1,2,....9)均存在某

.\x^k/

个iG{1.2,3}使得

(3)**<U,=inin{xa.

求证:

(1)踊小值s=niin{z”.上⑵知},*=1,2.：，一定取白数表S的不同列.

(II)存在数表P中唯一的一列r”...A-丰1.2.3使得3x：；数表

V34-/

卜II112门卜'

S=I工21工22工2卜

\工31工WJ^：U-/

‘矶'

仍然具有性质(0).即对于数表P中的任意-列上2k也=1.2.....9)均存在某

个i€{1.2,3}使得

工法<Ui=nmi{T,i,x,2.J-,e}-

—、试题考查的知识点

1、函数结构式的变化规律。属于函数迭代与简单的变化规律的

知识。入手比较容易。放在第一题很恰当。

2、直线和圆的位置关系。考察数形结合思想。易使同学们走入

串套。如果结合图形。该题属于容易题。

3、平面区域问题是现在高考的热点。结合图形，也比较容易。

属于基础题。

4、考察的是函数的单调性和最值，比较常见。

5、属于对坐标性的考察。利用基本不等式解答。

6、是一道带有参数的讨论二次方程根的范围。

7、考察数字的变化规律，与第四届北方数学竞赛的第三题完全

相同。

8、数学期望是改革后的新题，比较基础。

9、直线和圆锥曲线之间的关系问题。属于基础题，比较容易。

10、考察数列的特征方程，很常见。

11、二次根式的函数最值，

二、试题背景

2009年试题考查的主要只是基础题：

1、函数的迭代，2、点和直线的距离关系3、平面区域和线性位

置关系4、函数最值5、极坐标和不等式6、函数方程7、数字变

化规律

8、数学期望9、直线对圆锥曲线的截距10、递推数列11、基本

不等式。

三、答题的思维要求

2009年试题思维要求比2007较低，首先试题类型常见，入手很

容易。计算要求不高。计算类型与平时接近。符合大多数选手的

能力要求。

四、赛后影响

正当全国讨论奥数问题之际，山东省命题的宗旨明确具体，符合

大众参赛的意图，让参与者都有盼头。

五、数学联赛的展望

今年试题可以说让大多数人都满意，.一试的第二大题直接移

用了2008年广东的高考试题。二试的第一题几何题是08年国家

集训队第5次考试的第一题，走向20081MO,pl04、第二题是《中

学数学教学参考》2009年1、2合刊上安振平和另外一个老师的

两道试题的复合。我想这样命题显然对竞赛指明了方向，。有利

于让同学们重新研究高考试题，对同学们的升学大有帮助。同学

们通过以上对2009年高中数学联赛的试题分析，可以看出参加

数学课外活动小组，能更好的理解教材，视野更开阔对高考是很

有利的，对同学们将来升入大学进入数学系学习将有更多更好的

联系，下面从四方面分述之：

代数：高中所说的代数其实和数学界的代数有很大的差别。

高中的代数其实更多的是分析学，包括不等式与最值、数列、复

数和函数方程。不等式当然是很重要的，因为“极限的本质是不

等式”，而极限的概念可以说是分析学的基础了。如不等式的学

习，笼统的说，不等式大体分为对称的和非对称的。有轮换对称

性的很多是计算范数的产物，也有可能是一些积分不等式简化或

可以被推广为积分不等式。我们熟悉的Cauchy不等式、均值不

等式、排序不等式、Minkovsky不等式、Holder不等式、Young

不等式..........当学习度量空间的相关性质的时候就知道这

些东西是多么有用了，度量和收敛能不能算出来就是看范数了！

非对称的也许就是极限理论了，只是变成了条件不等式罢了。至

于数列，本身就比较杂一些，最近学数学模型时发现Fabonacci

数列在实际生活中有很多例子，有些很多实际问题就是在讨论F

abonacci数学的一些性质。记得有人总结了很多Fabonacci数

列的初等性质，现在看来也是一项很久价值的工作。再有就是极

限理论了。很多序列是求不出部分和的，所以讨论定性性质也是

很有价值的。至于复数，本身他和几何有一定的联系，还有就是

那个i到底是什么意思，再有就是用其他方面的知识了。函数方

程本身就是一个研究方向，不过高中的时候也就只能研究一些初

等的性质了。

几何：主要是说平面几何了。陈省身先生曾经说过，综合的

几何是“裸体人”，坐标的几何是“原始人”，流形的几何是“现

代人”。当然，我们当时只是裸体人了，而根本看不到现代人的

身影，反倒是越原始的工具越好用。但自我感觉我这个裸体人还

是当的相当不错的，偶尔进化到原始人也是很不情愿的。身为裸

体人的本质是便是依靠技巧制胜，但当时所用的方法现在好像已

经都不适合了。难怪人家都所平面几何是被淘汰的内容，只应该

被写在历史教科书里。就全当练习思维和能力了。但也许有时候

有一些流形上的“现代人”也会被简化一下，让我们用“裸体人”

的手段去解决。最近学习微分几何，有一些结论就是我们说熟悉

的初等几何体的性质直接倒着推导回去就0K了。

数论：主要是初等数论。我们学的确实够初等的，连二次互

反率都没有。所以就完全依靠技巧上了。不过整数是可以构成环

(Ring)的，而多项式也构成环，这样对学习高等代数、抽象代

数也许会有一些帮助，但和真正的前沿的数论还是有差别的。

组合：上高中时就感觉组合没有什么成形的理论，完全

是技巧。即使大学的组合论感觉理论性也不是特别强。但很多算

法在研究程序、算法、数据结构的时候还是很有用的，怪不得布

鲁迪的《组合数学》被算做计算机的教材。学一些东西，像母函

数、图论等，都是很有用的，。

.竞赛数学学习的技巧、方法、参考书介绍

下面谈一下有关竞赛数学学习的技巧、方法、参考书介绍

一、要注重基础。

竞赛数学的学习是在课本熟练基础上进行的，课本不熟无重

谈起，有些同学难题目能做出一些，书上的题目

认为很容易，不值得一做。这是舍本求末的做法。书上的题目

是为了巩固书上的定义和定理，加深基础知识而设置的，如果

这些题目没有去好好练习，知识点当然不可能消化，从而也就

不可能学好。

二、知识的深化。1.理解知识点。

高中数学中涉及到的知识点有：定义，定理，公式。

1）定义需要了解些什么？

a）首先，我们要从定义的文字上把握，这个定义的基本含义是什

么。

b）其次，了解定义涉及到哪些知识（已经学过的），比如，我们

谈到“区域”，那么这个定义和区间是有密切联系的，也和集合

具有密切关系，当然还和其他方面相关。我们可以在对比中学习。

既要分析相关的概念的相同点或关连的地方，也要注意到不同点

或差异的地方。

C）定义需要注意的事项，或定义涉及到的要素。如定义集合，那

么需要注意集合中的元素具有确定性，象高个子的同学，由于多

高才算是这个集合中很难说清，因而不具备确定性。

d）定义涉及到哪些性质？对这些性质的充分了解，往往可以帮助

我们更好地把握定义的真正内涵。

2）定理。a）,b）,c）与定义注意的地方相同。

d）定理涉及的条件。这点很重要。很多同学没有注意到定理存在

的条件，结果在解题中拿着定理到处用，结果往往得出错误的结

论。

e）定理要想把握好，一定要做一定的相关题目。这样才可以真正

把握其内涵。如果要深入地了解定理，往往还要做一定的涉及到

多个定理或公式的题目。需要在实践中领会。如果学了定理，却

不能做题目，那么学的知识是死的，这样的知识是没有多少作用

的。

3）公式。

有的公式很简单，象导数公式，只要你对导数的定义理解清楚了，

那么利用导数公式简直就是和套用乘法公式差不多。

但是有些公式就比较复杂，比如多元微积分中的高斯公式。这些

公式与其说是公式，还不过说是定理，对于这样的公式，在学习

的时候，我们可以参照上面介绍的定理的学习方法进行学习。

2.消化和巩固知识点。

在这方面，除了做好以上1.中谈到的地方外，最好的办法莫过

于做习题了。有些同学认为学好了课本就可以高枕无忧，

这也是不对的。一般我们认为，参阅一下相关的书籍是绝对有好

处的。这方面包括教程可以参阅，也包括可以适当多做一些课外

习题加强一下自己的知识底蕴。

4.多思考。不要只求个马马虎虎能了解，而应该对知识点做

仔细深入的思考，这样学习东西就能学好学透。

5.多交流。和同学或老师多交流一下学习方面的知识，往往

可以使自己的知识由不甚了解到理解透彻。

三、解题。（解题=公式+技巧）

无论是学习初等数学还是高等数学，都离不开解题。但是事实上,

很多同学感觉到做了很多题，效果并不佳，为什么呢？

我们认为，

1、解题不能为解题而解题。

有些同学解了一道题目后，以后要是遇到了同样的题目，也许基

本还是能做出来的，但是这道题目要是适当改造一下，又不知道

怎么做了。这种情况，就属于学而不思的为解题而解题的情形。

要想解题起到的效果好，不光是解决了一道题目，而应该将所有

类似的题目的解题办法都总结出来。这样，举一反三，就不怕出

题目的人变换招式了。我们希望，同学们在解题的时候，一定要

多想想，每做一道题目，都考虑一下，这道题目可以归结为什么

类型的题目？这样，做一道题目，就相当于解了一类或几类的题

目了。

2、开拓视野。

有些同学学得好，往往给出各种怪题目来，都往往可以解出来。

为什么？就是他们积累了很多解题的技巧。就好像武打小说中谈

到的，有人独创了一种新的武功，以为天下无人能敌，但是某某

武林高手，什么样的场面没有见过，于是先以神功封住所有的门

户，暗暗观察他的武功套路，终于摸清对方的武功路数，于是一

击成功。拿到数学解题方面来说，就是吾同学熟悉了各种解题技

巧，于是遍试种种办法，终于发现了破解之法。

怎么才能学到解题技巧呢？一是自己总结。在解题中，多思考，

多与以往学习的知识比较对照，往往可以自成一家，获得其他书

上很难见到的解题技巧。二是通过书本或者网络资源，获得解题

技巧。

四、要克服粗心，应从平常做起

数学失分常常因为粗心，要克服粗心，应从平常做起，无论你是

做家庭作业，还是自学时做题，都要像对待考试一样，养成做完

就去检查的习惯，一旦考试，则要静下心来不厌其烦地去检查。

对于流行的“题海战术”，，同类题不要重复地做，那是浪费时间，

一旦遇到不会做的题，不要轻易放弃，而要养成越做不出越要去

做的习惯，因为你一旦攻克一道题，也许就掌握了一个领域的知

识，难题攻克多了，自然掌握的东西也就多了。但适度的做题还

是必要的，因为只有熟练才能生巧。重点是"勤思考""找原因"。

每当自己做完不熟悉的题型时，都会回头进行二次或是更多的思

考，这样会有很多新的发现，如：更简便的作答方式、出题的用

意等；如果是做错了，自己则会认真分析原因，找出问题所在，

避免以后犯同样的错误。

在谈一下解题的原则：追求本质，自然为上，把题目当朋友。

综合数学能力的培养

1.过程训练：写过程以自然的反应思维为上，关键处要注明，

详简看情况而定。要把写过程当作整理思维的方法，尝试用最朴

素最有启发性的语言来叙述。写过程之前先要逐步推敲每一步思

维，直到自己觉得每一步都非如此不可。同一题的过程可写多遍,

如此训练，对思维大有好处。

2.计算训练：计算能力和心态有很大关系，需要心平气和，把

握节奏。不要把计算当做一件很枯燥的工作，要观察发现计算结

果的对称性。有时题目的内在规律就隐藏在其中。计算就向跑步,

虽不象打球那样有趣，但欣赏周围的风景，感觉到自己的呼吸，

也会觉得欣喜。

3.心态训练：心态本说有就有说无就无，考场上的心态大体是

长时间人生状态的反映，所以平时就要快乐起来。心中有了问题

就要认真思考进行回答，但不可以把自己囚禁在那一种状态之

中。人对世界的理解是归纳的过程，其中常有错误，许多问题本

来是不存在的，甚至许多概念也都是归纳中的错误。当人沉浸在

一种状态之中的时候，往往会戴上有色眼镜，看不到世界的丰富

多彩，但只要一走出来立刻会发现曾经的想法是多么荒唐。要多

接触各方面的思想，特别是文学和哲学著作，完善自己的人格，

要做题，先作人。做题的最好状态是自由联想，自然而然，在考

场上要把最灵活的思维调出来。在遇到难题没有思路时，下面的

方法也许有用：列出已有的所有想法并回顾每种想法，如果有一

点新思维的火花就马上抓住，进行下去。

围绕学习的内容推荐几本参考书

几何

平面几何

①基本欧氏几何知识结构

基本的辅助线，点，圆，相似形的应用

推荐：《奥数教程-初三》各地中考题及模拟题

②对几何结构的把握，对称性，各种近代欧氏几何框架，几何变

换。

推荐：《近代欧氏几何学》，建议使用软件几何画板并参与与之

相关的网上讨论。缺少一本习题集，可使用《几何变换》及叶中

豪的习题。《数学竞赛中的平面几何问题》（一本俄罗斯的书，

此书组合几何部分也很好）中几何变换及反演射影几何。

解析几何

①基本知识：已知与未知的互化，元的设置，设计计算路线。

②每一步计算的几何意义，计算中的对称性，代数结构。

以下基本观点：

几何中关系到达一定的复杂度后，代数的使用是自然而且必须

的。不应一味地强调使用解析法盲目运算（解析法能解决问题，

但不能很好地揭示问题