高等数学复旦大学出版第三版课后答案习题全2

习题五

1.求下列各曲线所围图形的面积：

（1）），=!?与/+丁=8（两部分都要计算）;

解:如图。|=。2

2

解方程组p-2X得交点42,2）

/,2_o

⑴

4

•■O]+02=2兀+3~,

(4A4

。3+。4=8兀一(2兀+])=6兀一

(2)y=：与直线产x及x=2；

2z[、-]-23

/卜一jdx=谟2一巾]=5-ln2.

⑵

(3)y=e\y=e-"与直线x=l；

1v-t

解:D=f(e-e)dx=e+~-2.

Joe

(4)y=\nx,y轴与直线y=ln〃，y=[nh.(b>a>0)；

解：D=feydy=b—a.

'\na

(4)

(5)抛物线产/和y=-x'+2；

f_2

解：解方程组/1Y+2得交点(1，1)，(-1.1)

D=/(-x2+2-A：2)dx=4J*(-A2+1)dx=j.

(6)y=sinx,y=cosx及直线x=%兀；

z*5jt5ru

解：D=24(sinx-cosx)dx=2[-cosx—sinx]?=4近.

。ZE4

(6)

(7)抛物线>=-』+4*-3及其在(0,-3)和(3,0)处的切线;

解：y'=-2x+4."(0)=4,y，(3)=-2.

•抛物线在点(0,-3)处切线方程是y=4x-3

在(3,0)处的切线是y=-2x+6

两切线交点是弓，3).故所求面积为

⑺

3

D=+4x-3)]dr+5[(-2尤+6)-(_犬+4x-3)Jdx

2

3

=j2x2d.¥+(x2-6x+9)dr

2

9

一了

(8)摆线x=4(3sinf),y=a(l-cos/)的一拱(00W2九)与二轴;

解：当/=0时，x=0,当/=2兀时，x=2na.

所以

f2it2m:,

S=J。处=J。"1-cosr)d«(z-sinr)

cosr)\2djr

(9)极坐标曲线p=〃sin3°；

2

_

解:D=3D1=3y3sin?3夕d°

Jo

3Q2p-1-cos6§,

—•32即

Jo

n

1.久下

夕一至sin6夕

o

兀/

(10)p=2acas(p；

解：D=2D\=212^-4n2cos2^d^

Jo

,7(工l+cos2。，

=4Q-22d(p

Jo

c=2。cos9

=41.1°+：sin2夕2■

2。

—4。"z，？—兀。*

(10)

2.求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积：

(1)r=a(1+cos。)及r=2acos0;

解：由图11知，两曲线围成图形的公共部分为半径为a的圆，故。=得2.

(11)

y

(2)7•二&cos。及/二小sin20.H=VJsin20

解：如图⑵解方程组标票监。

,jJ3

得cos0=0或tanO=T-,(Jr=yJ2cos0

即峙或喏

(12)

£)=(^■•小sin20d0+『提(也cos8)~d。

6

n

n:一

'亚deri.A(S

=-4cos20+5+[sin4，

0-

6

_7£

=6,

o

3.已知曲线/0)=尤-i与g*)=〃/围成的图形面积等于］,求常数

解：如图13,解方程组秒:?：匚2得交点坐标为(0,0),(1-«,a(l-a))

-'<£>=f1(x-x2-ax)dx

J0

巷

j)3

1Q

依题意得f(l-«)3=f

得a=-2.

(13)

4.设有一截锥体，其高为凡上、下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为2“，2〃和2A,2B,

求这截锥体的体积。

解：如图16建立直角坐标系,则图中点E,。的坐标分别为：E(a,h),D(A,0),

h

于是得到EO所在的直线方程为：产六(xT)

(16)

对于任意的＞w[0,h],过点(0,y)且垂直于y轴的平面截该立体为一椭圆，且该椭圆

的半轴为：打=4-%)，，同理可得该椭圆的另一半轴为：尤2=8气勺.

故该椭圆面积为

=^nh[bA+aB+2(ab+AB)]

5.计算底面是半径为R的圆，而垂直于底面一固定直径的所有截面都是等边三角形的立体

体积.见图17.

解：以底面上的固定直径所在直线为x轴，过该直径的中点且垂直于x轴的直线为y

轴，建立平面直角坐标系，则底面圆周的方程为：x2+y2=R2.

过区间JR,R]上任意一点x,且垂直于x轴的平面截立体的截面为一等边三角形，若

设与x对应的圆周上的点为(x,y),则该等边三角形的边长为2y,故其面积等于

4(X)=^(2»=V^2=^(R2r2)(一群於汽)

从而该立体的体积为

V=/A(x)dx=「V3(/?2-x2)dx

J-RJ-R

孥3.

6.求下列旋转体的体积：

(1)由y=Y与y'd围成的平面图形绕x轴旋转;

■2

解：求两曲线交点宣丫3得(0,0),(1,1)

)-X

V=nf'(x3-x4)dx

J0

(2)由y=x3,x=2,y=0所围图形分别绕x轴及y轴旋转;

128

解:~Tn

(2)星形线炉/3+),2/3=1/3绕》轴旋转;

解:见图15,该曲线的参数方程是：

3

fx=tzcosr八"

]ly=asLint0</<2K,

由曲线关于1轴及y轴的对称性，所求体积可表示为

2

Vx=2nJ^ydx

=2nJ(asin3r)2d(acos3r)

2

=6兀/2sin7rcos2/dr

o

上3

一105兀"

(15)

7.求下列曲线段的弧长:

a)y2=2x，0<JC<2；

解：见图18,2yyf=2.y'=%

/.l+y,2=l+p-.从而

(18)

1=2fyi+y'-dx=2

=2J刊1+)，吃=2八/1+)，dy

=)N1+yZ+ln(y+Y[+)，)J。=2小+ln(2+小)

b)y=lnx,y[3<x<\!s；

解:

3

n2'

c)

(Ir.——.

解:-yj]+)/2(jx=Yl+cosxdx

=4^/2siny2=4.

o

8.设星形线的参数方程为x=acos),y=asin3r,。>0求

d)星形线所围面积；

e)绕x轴旋转所得旋转体的体积；

0星形线的全长.

角牟：(1)£>=4ydx=4j^sin3rd(«cos3/)

2

1?2仔.42.

二12〃2Sin/COStQt

J0

12〃212(sin4/-sin6r)dr=^na2.

Jo

a323

(2)VA=2TT=2冗J(sinf)d(acosf)

2

31-72

二6兀〃-2sinrcostdt

Jo

323

二1057m

2

(3)x/=-3〃cosrsinr

y/=3Qsinrcosr

,2,2222

xt+yt=9asin/cos/,利用曲线的对称性,

________n

=12aJ2,^^•sin22rdz=6afsin2fdf=[3a(-cos2/)]2=6a.

9.求对数螺线r=e”相应9=0到。="的一段弧长.

解：/二

J0

av7

10.求半径为R,高为人的球冠的表面积.

解：0=2冗fxyj[+x,2dy

,R-h

任

=2兀“Rcos0yj(Rcos0y2+(Rsind),2d3

JR-h

arcsin---

R

=2TI2R2cosGd®

JR-h

arcsin---

R

兀

=2兀R2[sin。].R—h

arcsin-------

R

=2nRh.

11.求曲线段)，=X3(04X«1)绕x轴旋转一周所得旋转曲面的面积.

国翠：D=2TCJ*yyj1+y,2dx

=2TCfx3yl1+9x4dx

Jo

1

o4-2i

=^-3(1+9X)|O

=叙io/io-1).

12.把长为10m,宽为6m,高为5m的储水池内盛满的水全部抽出，需做多少功？

解：如图19,区间［x,x+dx］上的一个薄层水，有微体积dV=10-6・dx

pO5r

-xy

/〃〃/777777/

x+dx

5

(19)

设水的比重为1,,则将这薄水层吸出池面所作的微功为

dvv=x-60gdx=60gxdx.

于是将水全部抽出所作功为

户“1

w=I60gxdx

Jo

5

60&2

0

=750g(KJ).

13.有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10m和6m,高为20m,较长的底边与水面相

齐，计算闸门的一侧所受的水压力.

解：如图20,建立坐标系，直线4B的方程为

>，=-10+5,

压力元素为

dF=x-2ydx=2x

所求压力为

F=J2x(-吉+5)dx(20)

孑5为_2占3]=1467(吨)=14388(KN)

14.半径为R的球沉入水中，球的顶部与水面相切,球的密度与水相同，现将球从水中取

离水面，问做功多少？

解：如图21,以切点为原点建立坐标系，则圆的方程为

(x—R尸+/=/?2将球从水中取出需作的功相应于将［o,2R］区间上的

许多薄片都上提2R的高度时需作功的和的极限。取深度x为积分

变量，典型小薄片厚度为dr,将它由4上升到8时，在水中的行

程为无；在水上的行程为2A一院因为球的比重与水相同，所以此

薄片所受的浮力与其自身的重力之和x为零,因而该片在水中由A

上升到水面时，提升力为零，并不作功，由水面再上提到8时，

需作的功即功元素为

dw=428tk的[gy}[xx<gK+/J*.X-R22x

(21)

=戏2R-X2Rx-j^dx

所求的功为

w=f兀鲂R—X2Rx-j^dx

*o

3

=兀可()Rix-RX2)4xx

2R

=同(27?2%2+；/)

4

=-兀&9).

15.设有一半径为K,中心角为夕的圆弧形细棒，其线密度为常数p,在圆心处有一质量

为，”的质点，试求细棒对该质点的引力。

解：如图22,建立坐标系，圆弧形细棒上一小段ds对质点N的引力的近似值即为引力元素

R2R2R

dF=dFcos0=KmPcos0d0.

R

则

工=K^cos6d6=2日皿cos8de="sin9

RJ。RR2

dF.=dFsin6=^^sin6d。

>R

则久=「y吆sin6d9=0.

R

故所求引力的大小为也吆sin”,方向自N点指向圆弧的中点。

R2

16.求下列函数在［―a,a］上的平均值：

⑴/(x)=力2_/；

解：7=Pyja2-x2dr=—［>Ja2-x2dx-——arcsin—+—xy/a2-x2

2aJ-。aJoa\_2a2

⑵f(x)=x2.

17.求正弦交流电i=/°si〃所经过半波整流后得到电流

兀

/sina)t,0<t<—

0co

的平均值和有效值。

cof土：.,CDr一n.col。13210

ar十一/uar=------------coscot=--

7L啰-0

J?⑴山

')山=^|7,«)山=色jwz2(r)dr+i2(t)dt

，兀m_(t)

:五

=—「3/"sin2mtdt-

20.设某工厂生产某种产品的固定成本为零，生产x(百台)的边际成本为C'(x)(万元/

百台)，边际收入为R'(x)=7—2%(万元/百台).

(1)求生产量为多少时总利润最大？

(2)在总利润最大的基础上再生产100台，总利润减少多少？

解：(1)当C'(x)=R'(x)时总利润最大.

即2=7—2%,x=5/2(百台)

Q)U(x)=R'(x)-C,(x)=5-2x.

在总利润最大的基础上再多生产100台时，利润的增量为

△L(x)=f；(5-2x)dx=5x-x2P=-l.

•42

即此时总利润减少1万元.

21.某企业投资800万元，年利率5%,按连续复利计算，求投资后20年中企业均匀收入

率为200万元/年的收入总现值及该投资的投资回收期.

解：投资20年中总收入的现值为

y=f20800e-5%,dr=—(l-e-5%20)

-J。5%

=400(1-0)=2528.4(万元)

纯收入现值为

/?=y-800=2528.4-800=1728.4(万元)

收回投资，即为总收入的现值等于投资，故有

—(l-e-5%r)=800

5%

,1,200

T=---In--------------=201n-=4.46(年).

5%200-800x5%4

22.某父母打算连续存钱为孩子攒学费，设建行连续复利为5%(每年)，若打算10年后

攒够5万元，问每年应以均匀流方式存入多少钱？

解：设每年以均匀流方式存入x万元，则

5=1%皿。。5山

Jo

即5=20x(e05-l)

x=---------=0.385386万元=3853.86元.

4(e°-5-l)

习题六

1.写出下列级数的一般项:

,111

(1)1H-1---1---F…；

357

JxXXyJXX2

Q)——+——+-------++・・・

22-42462・468

a3a5a7a9

(3)----------1------------------------F

3579

解：⑴

⑵u.

(W!

2/1+1

⑶s=J产五7T

2.求下列级数的和:

⑴£---------------

〃=1(x+〃-l)(x+〃)(x+〃+l)

(2)>“n+2-2」n+1+«)；

«=1

111

⑶丁宇+亨+…;

”(x+〃一l)(x+〃)(x+〃+1)

当___1________1___)

2((工+〃一1)(冗+〃)(%+〃)(%+〃+1)J

从而s“=U^__________11____________1

2(x(x+l)(x+l)(x+2)(x+l)(x+2)(x+2)(x+3)

111

+…d---------------------------------------------

(x+〃-l)(x+〃)(x+〃)(x+〃+l)J

21x(x+l)(x+〃)(x+〃+l)J

1

因此limS“=-1—，故级数的和为一—

…2X(J+1)2x(x+l)

(2)因为U“+++

从而s”=(8-&)-(后-/)+(〃-6)-(6-四)

+(逐_4)一(VJ-6)+…+(1〃+2五)

J”+2-Jn+1+1-\p2,

1+1-V2

J〃+2+J/+l

所以limS,=1—JL即级数的和为1—J5.

“T8

(3)因为S"="+(•+•••+，■

5

从而limS“=,，即级数的和为

〃.s44

3.判定下列级数的敛散性：

00

⑴，(Jn+l-G)；

M=1

1111

(2)-----1---------1----------1-----1----------------------1—;

1-66111116(5〃-4)(5〃+1)

22223,、“_12"

⑶--y+y—•"+(-1)三+…;

1111

(4)---FH---产+…4---r=+…；

5^5V5

+

解：⑴Sn=(V2-VD(V3-V2)+---+(Vn+T-V«)

=Vn+T-l

从而limS“=+8,故级数发散.

00

11111111

⑵S.

5661111165n-45n+1

]_1一£

5

从而limS〃=,，故原级数收敛，其和为！.

…〃55

2

⑶此级数为4=的等比级数，且Iglvl,故级数收敛.

（4）...U“=3,而limU“=lwO,故级数发散.

y/528

4.利用柯西审敛原理判别下列级数的敛散性：

00/\"+1

18cosnx

⑵E

⑴居h

〃=【2"

1-------

⑶

：)\3n4-13〃+23n+37

解：（1）当P为偶数时,

|u“+i+U“+2+…+〃,+/

(-1F2(_l)"+3(_])"+4(_1)-/-

H------------------1------------------h,••H-------------------

n+1〃+2〃+3〃+p

11J1

n+1〃+2〃+3〃+p

1

J--p-一-O-.-O____L_

n+l(〃+2n+3j[〃+p-2n+p-\〃+p

1

<----

n+l

当尸为奇数时,

|u“+i+U“+2+…+U“+J

(-1)，，+21(-l)n+31(-1)，，+4

n+\n+2n+3n+p

n+\n+2n+3n+p

1(11A(11)

n+\(〃+2n+3J\n+p-ln+py

1

<----

n+l

因而，对于任何自然数P,都有

|U-…+4,小—,

%>0,取N=［：|+l,则当”>N时，对任何自然数尸恒有|U“M+U,“2+…+4,+/<£成

立，由柯西审敛原理知，级数一收敛.

«=iri

(2)对于任意自然数P,都有

|U“+1+U“+2+…+U,+J

_COS(〃+1)XC0S(〃+2)Xcos(/i+p)x

------------------------------1-----------------------------F•••H----------------------------

2〃+i2"+22”+P

,111

<------d--------+…-I--------

<---

2"

于是，V£>0(0<£<1),3N=log2—,当n>N时，对任意的自然数P都有

|U“M+U“+2+…+U“+J<£成立，由柯西审敛原理知，该级数收敛.

⑶取P=〃，则

|巩+1+U.+2+…+U,+J

(111)111

(3(〃+1)+13(〃+1)+23(n+l)+3j3-2n+l3-2n+23-2n+3

11

>------------------1------1--------------

3(n+l)+l3-2n+l

>-------

6(n+l)

1

>一

12

从而取£()=在，则对任意的"CM都存在尸="所得|u"+]+U“+2H--------由柯

西审敛原理知，原级数发散.

5.用比较审敛法判别下列级数的敛散性.

111

(1)-------1---------1------1------------------------h

4-65-7(〃+3)(〃+5)

1+21+31+”

(2)1+----------1-----------1------1-----------

1+221+321+n2

00_1

TC(4)S

sm懑；

E(2+/

rt=iJ〃=1

0C1

吟中（“血

11

解：（1）丁u--------------<7

n(〃+3)(〃+5)〃-

001oo

而收敛，由比较审敛法知£u〃收敛.

«=1犷«=1

1+〃、1+〃

⑵”rrEF

n

“1

而发散，由比较审敛法知，原级数发散.

，0〃

sin——

lim....-二

〃T8

而收敛，故£sin二也收敛.

〃=13W=13

6151

而收敛，故Z收敛.

J2+/3

〃=17〃=1

〃2

118]8]

⑸当心1时，｛/,,=」：<《，而z下收敛，故z一7也收敛.

1+〃[1+

cin=[an=。

当”=1时，limt/=lim-=1^0,级数发散.

"T8〃->0022

当Ovavl时，limU〃=lim---=1。0,级数发散.

“T8〃->8]+

综上所述，当。>1时，原级数收敛，当0<aWl时，原级数发散.

（6）由lim^—^=1112知11111一」=1112<1而£一发散，由比较审敛法知।发

2。xI-1念〃念修一”

n

散.

6.用比值判别法判别下列级数的敛散性：

co26n!

⑴Z前;(2)y—

n=l)占3"+1

332333"

(3)------1-------7-------T+…--------F,•,;

1-22-223"n-2"

2”•加

(4)S

”=1n"

〃2

解：⑴S亏，

“TOOU"TOO3"+l

由比值审敛法知，级数收敛.

c、「U“M(〃+1)!3"+1

(2)lim—=lrim--；-------

"T0°U“〃T°°3"+1n\

3"+1

=lim(l).——

-w+3+1

=4-oo

所以原级数发散.

n-2"

(3)limlim

n->ooU.n->oo(»+l)-2n+,3"

3n

lim

M->oO2(〃+1)

=»>1

2

所以原级数发散.

2n+l-(«+!)!nn

(4)lima川lim

“TOOU“00(〃+1严2”•加

n

=lim2

n—>oo71+1

12<i

2lim

n-xn1e

1+

n

故原级数收敛.

7.用根值判别法判别下列级数的敛散性:

夕1

⑴⑵E

/:=1

⑶

(4)E一其中a”一a("-8),%,b,“均为正数.

解：⑴lim=lim—^―=°〉1,

n-xcV”T83〃+13

故原级数发散.

(2)lim^/t/7=lim-------=0<1,

“TOOV〃T81r1(〃+1)

故原级数收敛.

1

-<

⑶lim或k=hm9-

"TOOY"TOO

故原级数收敛.

当6<a时，-<1,原级数收敛；当6>a时，~>\,原级数发散；当氏a时，~=\,无法判

aaa

定其敛散性.

8.判定下列级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？

11131

(1)1—'r+~r—尸+…；(2)^2(-1)°'—------；

0GV?占In(〃+1)

11111111

(3)----H----------r+…；

53532533534

2

OC0,「CC1

(4)^(-1)"1--；⑸(aeR)；

«=1几,//=1几

⑹zl1+J+;+…+竹

M=1nJn

]8111

解：(l)U“=(_l)"T—1,级数Zu“是交错级数，且满足<=>一=,lim—，=0,

yjnn=\<n+1I*1n

5513

由莱布尼茨判别法级数收敛，又Z|u1=Z」r是尸<1的尸级数，所以Z|u“|发散，故原

n=l〃=1n)2n=l

级数条件收敛.

]81

⑵U“=(—1)"T7(-1)"-'—!一为交错级数,

ln(〃+l)„-iln(〃+l)ln(〃+l)ln(〃+2)

lim―1—=0,由莱布尼茨判别法知原级数收敛，但由于|U“|=-1—>-I-

-81n(”+1)ln(n+l)n+1

所以，£|U"|发散，所以原级数条件收敛•

M=1

11

民，显然ff为-8I

⑶u“=(-1产5--而zt是收敛的等比级数，

W

n=]"=1°°3n=l3

故£|u“|收敛，所以原级数绝对收敛.

n=l

u?2n+l

(4)因为lim—=lim----=4-oo.

00

UHH+l

故可得得则|u,卜o,

原级数发散.

01

(5)当。>1时，由级数收敛得原级数绝对收敛.

〃=1""

“I111

当0<aWl时，交错级数—满足条件：—>-------；lim—=0,由莱布尼

念〃〃(n+1)-°〃

但这时£(一1丫1々=£斗发散，所以原级数条件收敛.

茨判别法知级数收敛

M=1〃/:=1〃

当aWO时，limU.wO,所以原级数发散.

”->8

11011

(6)由于1H---1---F…-I——〉一

I23nJnn

“1

而£—发散，由此较审敛法知级数

a〃

vf11h(一1)"妗崎

〉/1fH11-…H------发散•

n=\\23nJn

记U=|14---1F•,•H|,贝！I

I23nJn

1

(〃+1>

If1+i2+i3+...+MiJpM(n+——1)(n+u1)

1'_1

+2

«(n+l)<«(n+l)(n+l)J

>0

即U"〉U"M

又limU“=lim-|1+-+-++3

〃T8〃->8〃I23nJ

1

1t1；

由lim-\C—dx=lim—=0

T+OOfJoX1T+30]

知limU“=0,由莱布尼茨判别法，原级数之。+[+!+…收敛，而且是条

“T8八—

件收敛.

9.解：

1(|r'[i+11]

-------4--1

(n+1)!〃+22(〃+2)(〃+3)

------(一)〃[1H---------1-------Z-(—)"*+…]

5+1)!2〃+12(〃+If2

1

(n+1)!

2(〃+1)

加(2”+1)(5)

从而R同<n!(2w+l)

8

10.若lim〃2(/“存在，证明：级数收敛.

"TOO

n=l

证：：lim/q存在，A3M>0,使

M—>00

,M

即/⑷WM,lt/nl^—

n~

6Ms

而Z-T收敛，故〃绝对收敛.

/i=l〃M=1

sIJ

11.证明，若收敛，则绝对收敛.

n=ln=1n

21

^rr/+-

证：：%_____n1^2,11

n2产+57

而由Zs：收敛，•收敛，知

/»=1rt=l〃

(111\*〃

Z收敛，故Z—M攵敛,

n=l\22Jn=\"

EU

因而X—绝对收敛.

〃口几

001

12.(1)解：:——7相当于尸级数中P=x

2n

”=1

co1co1

当P>1时一一收敛，尸<1时，一一发散.

2np2np

w=ln=l

001001

从而当x>l时，----收敛，xWl时，-----7发散，

2n2n

n=ln=l

001

从而-----的收敛域为(1,+8)

2n

〃=i

从而—(-1)，，+1—的收敛域为(0,1)u(1,+00).

2n'

"=1

(2)解：当x>1时，----收敛，则—(―l)〃+i—收敛

2n2n

n=\n=l

OD1

当x40时，一(一1)川一发散，(U“—0)

2nx

n=i

001

当0〈尤<1时，一(―1)"+1—收敛.(莱布尼兹型级数)

2nx

n=\

13.求下列某级数的收敛半径及收敛域：

⑵*1J

(1)x+2x2+3x3+•••+nxn+・・•；

/l=lI〃/

oo丫2〃-1

⑶ZJ

£2〃-1“=in-2〃

解：(1)因为°=lim&包=lim3=l,所以收敛半径R='=l收敛区间为(-1,1),而当