高考数学二轮复习 第二篇 第8练 正弦定理、余弦定理及应用精准提分练习 文-人教版高三数学试题

第8练正弦定理、余弦定理及应用[明晰考情]1.命题角度：考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，常与三角恒等变换相结合.2.题目难度：单独考查正弦、余弦定理时，难度中档偏下；和三角恒等变换交汇考查时，中档难度.考点一正弦定理、余弦定理方法技巧(1)分析已知的边角关系，合理设计边角互化.(2)结合三角函数公式，三角形内角和定理，大边对大角等求出三角形的基本量.1.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝eq\r(5)，c＝2，cosA＝eq\f(2,3)，则b等于()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.2D.3答案D解析由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，即5＝b2＋22－2×b×2×eq\f(2,3)，解得b＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＝－\f(1,3)舍去))，故选D.2.(2018·全国Ⅱ)在△ABC中，coseq\f(C,2)＝eq\f(\r(5),5)，BC＝1，AC＝5，则AB等于()A.4eq\r(2) B.eq\r(30)C.eq\r(29) D.2eq\r(5)答案A解析∵coseq\f(C,2)＝eq\f(\r(5),5)，∴cosC＝2cos2eq\f(C,2)－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)))2－1＝－eq\f(3,5).在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝52＋12－2×5×1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝32，∴AB＝eq\r(32)＝4eq\r(2).故选A.3.(2017·全国Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB＝acosC＋ccosA，则B＝________.答案eq\f(π,3)解析方法一由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理，得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA.∴2sinBcosB＝sin(A＋C).又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.∴2sinBcosB＝sin(π－B)＝sinB.又sinB≠0，∴cosB＝eq\f(1,2).又∵B∈(0，π)，∴B＝eq\f(π,3).方法二在△ABC中，由余弦定理，得acosC＋ccosA＝a·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＋c·eq\f(c2＋b2－a2,2bc)＝b，∴条件等式变为2bcosB＝b，∴cosB＝eq\f(1,2).又0＜B＜π，∴B＝eq\f(π,3).4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝3b2＋3c2－2eq\r(3)bcsinA，则C＝________.答案eq\f(π,6)解析由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，所以b2＋c2－2bccosA＝3b2＋3c2－2eq\r(3)bcsinA，eq\r(3)sinA－cosA＝eq\f(b2＋c2,bc)，b，c>0，2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A－\f(π,6)))＝eq\f(b2＋c2,bc)＝eq\f(c,b)＋eq\f(b,c)≥2，当且仅当b＝c时，等号成立，因此b＝c，A－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，所以A＝eq\f(2π,3)，所以C＝eq\f(π－\f(2π,3),2)＝eq\f(π,6).考点二与三角形的面积有关的问题要点重组三角形的面积公式(1)S＝eq\f(1,2)aha＝eq\f(1,2)bhb＝eq\f(1,2)chc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高).(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)casinB.(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆的半径).5.(2018·全国Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为eq\f(a2＋b2－c2,4)，则C等于()A.eq\f(π,2) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,6)答案C解析∵S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(a2＋b2－c2,4)＝eq\f(2abcosC,4)＝eq\f(1,2)abcosC，∴sinC＝cosC，即tanC＝1.又∵C∈(0，π)，∴C＝eq\f(π,4).6.钝角三角形ABC的面积是eq\f(1,2)，AB＝1，BC＝eq\r(2)，则AC等于()A.5 B.eq\r(5)C.2 D.1答案B解析∵S＝eq\f(1,2)AB·BCsinB＝eq\f(1,2)×1×eq\r(2)sinB＝eq\f(1,2)，∴sinB＝eq\f(\r(2),2)，∴B＝eq\f(π,4)或eq\f(3π,4).当B＝eq\f(3π,4)时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝1＋2＋2＝5，∴AC＝eq\r(5)，此时△ABC为钝角三角形，符合题意；当B＝eq\f(π,4)时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝1＋2－2＝1，∴AC＝1，此时AB2＋AC2＝BC2，△ABC为直角三角形，不符合题意.故AC＝eq\r(5).7.(2018·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________.答案eq\f(2\r(3),3)解析∵bsinC＋csinB＝4asinBsinC，∴由正弦定理得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC.又sinBsinC＞0，∴sinA＝eq\f(1,2).由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(8,2bc)＝eq\f(4,bc)＞0，∴cosA＝eq\f(\r(3),2)，bc＝eq\f(4,cosA)＝eq\f(8\r(3),3)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×eq\f(8\r(3),3)×eq\f(1,2)＝eq\f(2\r(3),3).8.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3eq\r(15)，b－c＝2，cosA＝－eq\f(1,4)，则a的值为________.答案8解析∵cosA＝－eq\f(1,4)，eq\f(π,2)＜A＜π，∴sinA＝eq\f(\r(15),4)，S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)bc×eq\f(\r(15),4)＝3eq\r(15)，∴bc＝24，又b－c＝2，∴b2－2bc＋c2＝4，∴b2＋c2＝52.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝52－2×24×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＝64，∴a＝8.考点三解三角形中的最值(范围)问题方法技巧由余弦定理中含两边和的平方(如a2＋b2－2abcosC＝c2)且a2＋b2≥2ab，因此在解三角形中，若涉及已知条件中含边长之间的关系，且与面积有关的最值问题，一般利用S＝eq\f(1,2)absinC型面积公式及基本不等式求解，有时也用到三角函数的有界性.9.在△ABC中，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝|eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，则△ABC的面积的最大值为()A.eq\r(21) B.eq\f(3\r(21),4)C.eq\f(\r(21),2) D.3eq\r(21)答案B解析设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝|eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，即bccosA＝3，a＝3，∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)≥1－eq\f(9,2bc)＝1－eq\f(3cosA,2)，∴cosA≥eq\f(2,5)，∴0＜sinA≤eq\f(\r(21),5)，∴0＜tanA≤eq\f(\r(21),2).∴△ABC的面积S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(3,2)tanA≤eq\f(3,2)×eq\f(\r(21),2)＝eq\f(3\r(21),4)，故△ABC面积的最大值为eq\f(3\r(21),4).10.已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C所对的边，其面积满足S△ABC＝eq\f(1,4)a2，则eq\f(c,b)的最大值为()A.eq\r(2)－1 B.eq\r(2)C.eq\r(2)＋1 D.eq\r(2)＋2答案C解析根据题意，有S△ABC＝eq\f(1,4)a2＝eq\f(1,2)bcsinA，即a2＝2bcsinA.应用余弦定理，可得b2＋c2－2bccosA＝a2＝2bcsinA，令t＝eq\f(c,b)，于是t2＋1－2tcosA＝2tsinA.于是2tsinA＋2tcosA＝t2＋1，所以2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4)))＝t＋eq\f(1,t)，从而t＋eq\f(1,t)≤2eq\r(2)，解得t的最大值为eq\r(2)＋1.11.已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，满足cosAsinBsinC＋cosBsinAsinC＝2cosCsinAsinB，则C的最大值为______.答案eq\f(π,3)解析由正弦定理，得bccosA＋accosB＝2abcosC，由余弦定理，得bc·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＋ac·eq\f(c2＋a2－b2,2ac)＝2ab·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，∴a2＋b2＝2c2，∴cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(a2＋b2－\f(1,2)a2＋b2,2ab)＝eq\f(a2＋b2,4ab)≥eq\f(2ab,4ab)＝eq\f(1,2)，当且仅当a＝b时，取等号.∵0<C<π，∴0<C≤eq\f(π,3)，∴C的最大值为eq\f(π,3).12.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB－bcosA＝eq\f(1,2)c，当tan(A－B)取最大值时，角B的值为________.答案eq\f(π,6)解析由acosB－bcosA＝eq\f(1,2)c及正弦定理，得sinAcosB－sinBcosA＝eq\f(1,2)sinC＝eq\f(1,2)sin(A＋B)＝eq\f(1,2)(sinAcosB＋cosAsinB)，整理得sinAcosB＝3cosAsinB，即tanA＝3tanB，易得tanA>0，tanB>0.所以tan(A－B)＝eq\f(tanA－tanB,1＋tanAtanB)＝eq\f(2tanB,1＋3tan2B)＝eq\f(2,\f(1,tanB)＋3tanB)≤eq\f(2,2\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，当且仅当eq\f(1,tanB)＝3tanB，即tanB＝eq\f(\r(3),3)时，tan(A－B)取得最大值，所以B＝eq\f(π,6).1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a＞b＞c，a2＜b2＋c2，则角A的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))答案C解析因为a2＜b2＋c2，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＞0，所以A为锐角.又因为a＞b＞c，所以A为最大角，所以角A的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2))).2.在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若S＋a2＝(b＋c)2，则cosA等于()A.eq\f(4,5) B.－eq\f(4,5)C.eq\f(15,17) D.－eq\f(15,17)答案D解析由S＋a2＝(b＋c)2，得a2＝b2＋c2－2bc·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)sinA－1)).由余弦定理，可得eq\f(1,4)sinA－1＝cosA，结合sin2A＋cos2A＝1，可得cosA＝－eq\f(15,17).3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记S为△ABC的面积，若A＝60°，b＝1，S＝eq\f(3\r(3),4)，则c＝________，cosB＝________.答案3eq\f(5\r(7),14)解析因为A＝60°，b＝1，S＝eq\f(3\r(3),4)＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×1×c×eq\f(\r(3),2)，解得c＝3.由余弦定理，可得a＝eq\r(b2＋c2－2bccosA)＝eq\r(1＋9－2×1×3×\f(1,2))＝eq\r(7)，所以cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(7＋9－1,2×\r(7)×3)＝eq\f(5\r(7),14).解题秘籍(1)解三角形时要依据三角形的形状及边角大小正确处理多解问题.(2)对已知关系式进行转化时，一定要等价变形，尤其注意式子两边不可随意同除以同一个式子.1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，B＝45°，则角A等于()A.60° B.120°C.90° D.60°或120°答案D解析由正弦定理可知eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，即eq\f(\r(3),sinA)＝eq\f(\r(2),sin45°)＝2，所以sinA＝eq\f(\r(3),2)，因为a>b，所以A>45°，所以A＝60°或A＝120°.故选D.2.在△ABC中，若eq\f(sinC,sinA)＝3，b2－a2＝eq\f(5,2)ac，则cosB的值为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,5)D.eq\f(1,4)答案D解析由题意知，c＝3a，b2－a2＝eq\f(5,2)ac＝c2－2accosB，所以cosB＝eq\f(c2－\f(5,2)ac,2ac)＝eq\f(9a2－\f(5,2)×a×3a,2a×3a)＝eq\f(1,4).3.已知在△ABC中，(a＋b＋c)(sinA＋sinB－sinC)＝asinB，其中A，B，C为△ABC的内角，a，b，c分别为A，B，C的对边，则C等于()A.eq\f(π,3) B.eq\f(2π,3)C.eq\f(3π,4) D.eq\f(5π,6)答案B解析因为(a＋b＋c)(sinA＋sinB－sinC)＝asinB，所以由正弦定理，可得(a＋b＋c)(a＋b－c)＝ab，整理得c2＝a2＋b2＋ab，所以cosC＝－eq\f(1,2)，因为C∈(0，π)，所以C＝eq\f(2π,3).故选B.4.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝1，2b－eq\r(3)c＝2acosC，sinC＝eq\f(\r(3),2)，则△ABC的面积为()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(3),2)或eq\f(\r(3),4) D.eq\r(3)或eq\f(\r(3),2)答案C解析因为2b－eq\r(3)c＝2acosC，所以由正弦定理可得2sinB－eq\r(3)sinC＝2sinAcosC，所以2sin(A＋C)－eq\r(3)sinC＝2sinAcosC.所以2cosAsinC＝eq\r(3)sinC，又sinC≠0，所以cosA＝eq\f(\r(3),2)，因为A∈(0°，180°)，所以A＝30°，因为sinC＝eq\f(\r(3),2)，所以C＝60°或120°.当C＝60°时，A＝30°，所以B＝90°，又a＝1，所以△ABC的面积为eq\f(1,2)×1×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2)；当C＝120°时，A＝30°，所以B＝30°，又a＝1，所以△ABC的面积为eq\f(1,2)×1×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4)，故选C.5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tanB＝eq\f(2－\r(3),a2＋c2－b2)，eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)，则tanB等于()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\r(3)－1C.2 D.2－eq\r(3)答案D解析由余弦定理，得a2＋c2－b2＝2accosB，再由eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)，得accosB＝eq\f(1,2)，所以tanB＝eq\f(2－\r(3),a2＋c2－b2)＝eq\f(2－\r(3),2×\f(1,2))＝2－eq\r(3).故选D.6.(2017·山东)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，则下列等式成立的是()A.a＝2b B.b＝2aC.A＝2B D.B＝2A答案A解析∵等式右边＝sinAcosC＋(sinAcosC＋cosAsinC)＝sinAcosC＋sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinB，等式左边＝sinB＋2sinBcosC，∴sinB＋2sinBcosC＝sinAcosC＋sinB.由cosC＞0，得sinA＝2sinB.根据正弦定理，得a＝2b.7.如图所示，一学生在河岸紧靠河边笔直行走，在A处时，经观察，在河对岸有一参照物C与学生前进方向成30°角，学生前进200m后，测得该参照物与前进方向成75°角，则河的宽度为()A.50(eq\r(3)＋1)m B.100(eq\r(3)＋1)mC.50eq\r(2)m D.100eq\r(2)m答案A解析在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，AB＝200，由正弦定理得BC＝eq\f(200×sin30°,sin45°)＝100eq\r(2)(m)，所以河的宽度为BCsin75°＝100eq\r(2)×eq\f(\r(2)＋\r(6),4)＝50(eq\r(3)＋1)(m).8.如图所示，某电力公司为保护一墙角处的电塔，计划利用墙OA，OB，再修建一长度为AB的围栏，围栏的造价与AB的长度成正比.现已知墙角∠AOB＝120°，当△AOB的面积为eq\r(3)时，就可起到保护作用.则当围栏的造价最低时，∠ABO等于()A.30° B.45°C.60° D.90°答案A解析只要AB的长度最小，围栏的造价就最低.设OA＝a，OB＝b，则由余弦定理得AB2＝a2＋b2－2abcos120°＝a2＋b2＋ab≥2ab＋ab＝3ab(当且仅当a＝b时取等号)，又S△AOB＝eq\f(1,2)absin120°＝eq\r(3)，所以ab＝4.故AB2≥12，即AB的最小值为2eq\r(3).由a＝b及3ab＝12，得a＝b＝2.所以∠ABO＝∠BAO，故∠ABO＝30°，故选A.9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c＝1，B＝45°，cosA＝eq\f(3,5)，则b＝________.答案eq\f(5,7)解析因为cosA＝eq\f(3,5)，所以sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2)＝eq\f(4,5)，所以sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(4,5)cos45°＋eq\f(3,5)sin45°＝eq\f(7\r(2),10).由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得b＝eq\f(c·sinB,sinC)＝eq\f(1,\f(7\r(2),10))×sin45°＝eq\f(5,7).10.已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC