高考数学二轮复习 课时跟踪检测（十一）文-人教版高三数学试题

课时跟踪检测（十一）一、选择题1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．12 B．18C．24 D．30解析：选C由三视图知，该几何体是一个长方体的一半再截去一个三棱锥后得到的，如图所示，该几何体的体积V＝eq\f(1,2)×4×3×5－eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×4×3×(5－2)＝24，故选C.2．(2017·西安模拟)湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为12cm，深2cm的空穴，则该球的表面积是()A．100πcm2 B．200πcm2C.eq\f(400π,3)cm2 D．400πcm2解析：选D设球的半径为r，如图所示阴影部分以上为浸入水中部分，由勾股定理可知，r2＝(r－2)2＋62，解得r＝10.所以球的表面积为4πr2＝4π×100＝400πcm2.3．(2018届高三·湖南五市十校联考)圆锥的母线长为L，过顶点的最大截面的面积为eq\f(1,2)L2，则圆锥底面半径与母线长的比eq\f(r,L)的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))解析：选D设圆锥的高为h，过顶点的截面的顶角为θ，则过顶点的截面的面积S＝eq\f(1,2)L2sinθ，而0<sinθ≤1，所以当sinθ＝1，即截面为等腰直角三角形时取最大值，故圆锥的轴截面的顶角必须大于或等于90°，得L>r≥Lcos45°＝eq\f(\r(2),2)L，所以eq\f(\r(2),2)≤eq\f(r,L)<1.4．(2017·太原模拟)如图，已知在多面体ABC­DEFG中，AB，AC，AD两两互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，则该多面体的体积为()A．2 B．4C．6 D．8解析：选B过点C作CM∥AB，过点B作BM∥AC，且BM∩CM＝M，取DG的中点N，连接FM，FN，CN，CF，如图所示．易知ABMC­DEFN是长方体，且三棱锥F­BCM与三棱锥C­FGN的体积相等，故几何体的体积等于长方体的体积4.故选B.5．《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺3eq\f(1,3)寸，容纳米2000斛(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，则圆柱底面圆周长约为()A．1丈3尺 B．5丈4尺C．9丈2尺 D．48丈6尺解析：选B设圆柱底面圆半径为r尺，高为h尺，依题意，圆柱体积V＝πr2h≈3×r2×13eq\f(1,3)＝2000×1.62，所以r2≈81，即r≈9，所以圆柱底面圆周长为2πr≈54,54尺＝5丈4尺，即圆柱底面圆周长约为5丈4尺，故选B.6．(2017·沈阳质检)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A­BCD中，AB⊥平面BCD，且BD⊥CD，AB＝BD＝CD，点P在棱AC上运动，设CP的长度为x，若△PBD的面积为f(x)，则f(x)的图象大致是()解析：选A如图，作PQ⊥BC于Q，作QR⊥BD于R，连接PR，则由鳖臑的定义知PQ∥AB，QR∥CD，PQ⊥QR.设AB＝BD＝CD＝1，CP＝x(0≤x≤1)，则eq\f(CP,AC)＝eq\f(x,\r(3))＝eq\f(PQ,1)，即PQ＝eq\f(x,\r(3))，又eq\f(QR,1)＝eq\f(BQ,BC)＝eq\f(AP,AC)＝eq\f(\r(3)－x,\r(3))，所以QR＝eq\f(\r(3)－x,\r(3))，所以PR＝eq\r(PQ2＋QR2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,\r(3))))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)－x,\r(3))))2)＝eq\f(\r(3),3)eq\r(2x2－2\r(3)x＋3)，又由题知PR⊥BD，所以f(x)＝eq\f(\r(3),6)eq\r(2x2－2\r(3)x＋3)＝eq\f(\r(6),6)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(3),2)))2＋\f(3,4))，结合选项知选A.二、填空题7．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是顶角的余弦值为0.5的等腰三角形．在容器内放一个半径为r的铁球，并注水，使水面与球正好相切，然后将球取出，则这时容器中水的深度为________．解析：如图所示，作出轴截面，因轴截面是顶角的余弦值为0.5的等腰三角形，所以顶角为60°，所以该轴截面为正三角形．根据切线性质知当球在容器内时，水的深度为3r，水面所在圆的半径为eq\r(3)r，则容器内水的体积V＝eq\f(1,3)π·(eq\r(3)r)23r－eq\f(4,3)πr3＝eq\f(5,3)πr3.将球取出后，设容器中水的深度为h，则水面圆的半径为eq\f(\r(3),3)h，从而容器内水的体积V′＝eq\f(1,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)h))2·h＝eq\f(1,9)πh3，由V＝V′，得h＝eq\r(3,15)r，所以这时容器中水的深度为eq\r(3,15)r.答案：eq\r(3,15)r8．已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为eq\f(\r(3),2)R，AB＝AC＝BC＝2eq\r(3)，则球O的表面积为________．解析：设△ABC外接圆的圆心为O1，半径为r，因为AB＝AC＝BC＝2eq\r(3)，所以△ABC为正三角形，其外接圆的半径r＝eq\f(2\r(3),2sin60°)＝2，因为OO1⊥平面ABC，所以OA2＝OOeq\o\al(2,1)＋r2，即R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)R))2＋22，解得R2＝16，所以球O的表面积为4πR2＝64π.答案：64π9．(2017·云南调研)已知四棱锥P­ABCD的所有顶点都在体积为eq\f(500π,81)的球面上，底面ABCD是边长为eq\r(2)的正方形，则四棱锥P­ABCD体积的最大值为________．解析：依题意，设球的半径为R，则有eq\f(4π,3)R3＝eq\f(500π,81)，R＝eq\f(5,3)，正方形ABCD的外接圆半径r＝1，球心到平面ABCD的距离h＝eq\r(R2－r2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))2－12)＝eq\f(4,3)，因此点P到平面ABCD的距离的最大值为h＋R＝eq\f(4,3)＋eq\f(5,3)＝3，因此四棱锥P­ABCD体积的最大值为eq\f(1,3)×(eq\r(2))2×3＝2.答案：2三、解答题10．(2017·洛阳统考)如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AB∥CD，AB⊥BC，DC＝BC＝eq\f(1,2)AB＝1，点M在线段EC上．(1)证明：平面BDM⊥平面ADEF；(2)若AE∥平面MDB，求三棱锥E­BDM的体积．解：(1)证明：∵DC＝BC＝1，AB∥CD，AB⊥BC，∴BC⊥CD，BD＝eq\r(2).在梯形ABCD中，AD＝eq\r(2)，AB＝2，∴AD2＋BD2＝AB2，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD.又平面ADEF⊥平面ABCD，ED⊥AD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，ED⊂平面ADEF，∴ED⊥平面ABCD.∵BD⊂平面ABCD，∴BD⊥ED.又AD∩ED＝D，∴BD⊥平面ADEF.又BD⊂平面BDM，∴平面BDM⊥平面ADEF.(2)如图，连接AC交BD于点O，连接MO，∵平面EAC∩平面MBD＝MO，AE∥平面MDB，AE⊂平面EAC，∴AE∥OM.又AB∥CD，∴eq\f(EM,MC)＝eq\f(AO,OC)＝eq\f(AB,CD)＝2，则S△EDM＝eq\f(2,3)S△EDC＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×1×eq\r(2)＝eq\f(\r(2),3).∵ED⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴DE⊥BC.由(1)知，BC⊥CD，又ED∩DC＝D，∴BC⊥平面EDC.∴VE­BDM＝VB­EDM＝eq\f(1,3)S△EDM·BC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),3)×1＝eq\f(\r(2),9).11．(2017·石家庄质检)如图，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AD∥BC，CD⊥BC，AD＝2，AB＝BC＝3，PA＝4，M为AD的中点，N为PC上一点，且PC＝3PN.(1)求证：MN∥平面PAB；(2)求点M到平面PAN的距离．解：(1)证明：在平面PBC内作NH∥BC交PB于点H，连接AH，在△PBC中，NH∥BC，且NH＝eq\f(1,3)BC＝1，AM＝eq\f(1,2)AD＝1.又AD∥BC，∴NH∥AM且NH＝AM，∴四边形AMNH为平行四边形，∴MN∥AH，又AH⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，∴MN∥平面PAB.(2)连接AC，MC，PM，平面PAN即为平面PAC，设点M到平面PAC的距离为h.由题意可得CD＝2eq\r(2)，AC＝2eq\r(3)，∴S△PAC＝eq\f(1,2)PA·AC＝4eq\r(3)，S△AMC＝eq\f(1,2)AM·CD＝eq\r(2)，由VM­PAC＝VP­AMC，得eq\f(1,3)S△PAC·h＝eq\f(1,3)S△AMC·PA，即4eq\r(3)h＝eq\r(2)×4，∴h＝eq\f(\r(6),3)，∴点M到平面PAN的距离为eq\f(\r(6),3).12．(2018届高三·湖北七市(州)联考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形的直棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童．在如图所示的堑堵ABM­DCP与刍童ABCD­A1B1C1D1的组合体中，AB＝AD，A1B1＝A1D1.(1)证明：直线BD⊥平面MAC；(2)若AB＝1，A1D1＝2，MA＝eq\r(3)，三棱锥A­A1B1D1的体积V′＝eq\f(2\r(3),3)，求该组合体的体积．解：(1)证明：由题可知ABM­DCP是底面为直角三角形的直棱柱，∴AD⊥平面MAB，∴AD⊥MA，又MA⊥AB，AD∩AB＝A，∴MA⊥平面ABCD，∴MA⊥BD，又AB＝AD，∴四边形ABCD为正方形，∴B