16.2 第1课时 二次根式的乘除 教学设计

人教版八下16.2.1二次根式的乘除（第1课时）教学设计教学内容解析教学流程图地位与作用二次根式的运算是二次根式的重要内容，运算是代数对象研究的重要内容．二次根式的乘法运算是二次根式运算的基础，在二次根式加减的基础上可以研究二次根式的除法和乘方．同时，二次根式的乘法运算拓展了“式”的运算，将有理式的运算拓展到了无理式的运算．是后续二次根式加减运算和化简的基础，也是高中是研究幂函数的基础．概念解析二次根式乘法法则和乘法运算是“数与式”领域的基本内容，二次根式的乘法法则源于数和整式、分式的乘法法则，并且保持了兼容性，即满足简洁的交换律和结合律．二次根式乘法法则是在研究了二次根式性质1，2的基础上进行的，首先需要定义二次根式的乘法，然后再研究乘法的运算律．二次根式的乘法法则是通过一般到特殊归纳出来的，无须对其合理性进行证明．思想方法二次根式的乘法法则的学习，体现了从特殊到一般的思想方法，同时由于乘法法则得出源于二次根式的性质和整式、分式的乘法，所以也充分体现数学的逻辑思维.知识类型二次根式乘法法则是关于原理和规则的知识.由知识类型决定，对于原理和规则知识的学习，要分析清楚知识的来龙去脉，进而培养学生的数学抽象和逻辑推理素养．教学重点二次根式的乘法法则及其双向运用．教学目标解析教学目标理解二次根式的乘法法则，会用法则进行二次根式乘法运算.目标解析达成目标1的标志是会进行二次根式的乘法运算.达成目标2的标志是会对根式是整式的进行化简，并会判断最简二次根式.教学问题诊断分析具备的基础学生已经学习了二次根式的概念和性质，通过整式运算的学习，知道了研究一个数学对象的运算法则的一般方法．具备了学习二次根式乘法的必要基础．与本课目标的差距分析学生由整式、分式的乘法，可以接受二次根式相乘时两个被开方式相乘的事实，但如何处理乘法中的两个“根号相乘”是本节课学生面临的问题，需要通过具体的实例，让学生真正理解二次根式的乘法法则，也是本节课中与学生认知水平差异较大的部分．存在的问题对二次根式的乘法法则中的符号理解有一定的障碍，当且时，逆向利用“同号得正”的原理是可以运算的，但对是不成的.应对策略通过实际运算结合算术平方根的意义进行对比运算，引导学生发现当且时，可以用来运算和化简，要落实“最简”的意识，需要学习二次根式加减运算时，才会理解化成最简的必要性.教学难点会把二次根式的化成最简二次根式．教学支持条件分析本节课重点是运算法则的探求，因此需要构建师生互动的教学环境，可以借助希沃授课助手等交互平台，在教学过程中，充分利用平台组织学生进行讨论，暴露学生的思维细节，教师针对学生思维中的问题，组织讲评，使学生真正理解二次根式的乘法法则．在教学中可以用带CAS的运算工具，辅助运算，检查学生的运算结果，提高课堂教学的效率．教学过程设计课前检测1.

若，则化简后为（）A.；C.；D.2.

化简的结果是（）A．10B．2C．4D．203.

计算：（1）；（2）设计意图：本组课前检测前两题主要检查学生对于二次根式性质掌握的情况，第3题是检查学生对于二次根式知识迁移的情况．如果学生能够完成第3题，说明学生能够从整式和分式的乘法中，获得正确的二次根式乘法法则，教师就可以侧重在二次根式乘法的原理分析以及最简二次根式的学习上．复习引入1．复习引入，探究新知问题1：一个长方形的长为，宽为，请求出长方形的面积.师生互动设计：学生画图思考，求长方形的面积.追问1：像，这样表示一个数的算术平方根的数字是实数吗？如何进行二次根式的加、减、乘、除运算？运算的过程中要遵循怎样的运算法则？设计意图：通过实例二次根式的运算在解决实际中的应用，引发学生思考二次根式的运算．合作探究反向探究2．合作探究，形成知识问题2：像×这样，是两个二次根式的积，怎样计算？让我们从特殊情况开始．填空：＝______，＝______；

______．＝______，

＝______；

______．＝______，＝______；

______．登陆优教平台，点击“【探究动画】二次根式乘法公式”操作、演示、探究追问2：从上述运算的结果中，你有什么发现？你觉得自己发现的结果能推广到一般吗？如果能，请写出你的结论．师生互动设计：学生独立完成计算、获得运算法则的猜想，交流结论．教师与学生一起讨论．设计意图：通过具体数值运算，归纳抽象出二次根式乘法的运算法则．一般地，二次根式的乘法法则是·＝．追问3：二次根式的乘法法则中的字母的取值范围是什么？师生互动设计：完善二次根式的乘法法则：·＝

(a≥0，b≥0)设计意图：通过条件a≥0，b≥0，培养学生思维的严谨性．追问4：你能试着说说上述公式成立的理由吗？师生互动设计：教师引导学生思考，因为(·)2＝()2·()2＝ab，所以·是ab的平方根．又因为a≥0，b≥0，≥0，≥0，所以·是ab的算术平方根，即·＝

(a≥0，b≥0)．设计意图：从被开方数是完全平方数的二次根式相乘出发，观察、发现二次根式的乘法法则．对于学有余力的学生，要让他们理解法则的合理性．3．初步应用，巩固知识【例题1】计算：(1)；(2)；(3)；(4)．解：(1)；(2)；(3)；(4)．设计意图：运算二次根式的乘法法则进行运算，经历被开方数从正整数，正分数和字母的变化，了解二次根式的乘法法则适用的范围.让学生运用法则进行简单的二次根式的乘法运算，以检验法则的掌握情况.反向探究4．反向探究，发现规律问题3：可以写成两个根式相乘的形式吗？可以写成哪几种形式？师生活动：一般地，二次根式的乘法法则是·＝

(a≥0，b≥0)．设计意图：对二次根式的乘法法则逆向探究，乘法法则反过来就是积的算术平方根的性质，性质是为运算服务的，积的算术平方根的性质将积的算术平方根分解成几个因数或因式的算术平方根的积.5．应用法则、巩固提升【例题2】化简：(1)；(2)；(3)．解：(1)；(2)；(3)追问5：请同学们思考一下，例题2第（1）小题每一步的依据什么运算法则？师生互动设计：第一步是依据二次根式乘法法则，第二步依据二次根式性质2设计意图：被开方数含有的形式，根据＝a(a≥0)将a移到根号外．教学中，教师要引导学生说出每一步的依据，避免在运算中出现错误．师生互动设计：把学生对两种不同结果的，；和对不同的运算结果；，进行展示，让学生评价哪一种运算结果更加合理．通过讨论学生认为化为相对合理，化为更加合理.教师总结：在二次根式化简时，一般先将被开方数进行因数分解或因式分解，然后将能开得尽的因数或因式开出来，实现最简的标准：根号下不含可开方因式．设计意图：通过学生比较讨论得到最简二次根式的标准是：根式号下不含可开方因式.巩固与提高6．巩固训练，熟练掌握(1)计算：；；．(2)化简：；；；．设计意图：可以让学生体会乘法法则的不同应用；巩固训练要求学生在独立计算后，进行自我评价、互评，把运算法则转化为运算技能．7．综合应用，深化理解【例题3】计算：(1)；(2)；(3)．解：(1)；(2)；(3)．8．拓展提高，分层要求(1)计算：；

．(2)思考：己知是不大于100的整数，求整数x的值．(3)判断下列过程是否正确，不正确的请予以改正：＝＝＝．设计意图：例3是在例1、例2的基础上进一步深