第6章 图形的相似【单元提升卷】（苏科版）（解析版）

第6章图形的相似【单元提升卷】（苏科版）（满分120分，完卷时间100分钟）注意事项：1．本试卷分选择题、填空题、解答题三部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。单选题（每题3分，共30分）1．如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m．BC＝12.4m．则建筑物CD的高是（）A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m【答案】B【分析】先证明△ABE∽△ACD，则利用相似三角形的性质得，然后利用比例性质求出CD即可．【详解】解：∵EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴，即，∴CD=10.5（米）．故选B．【点睛】考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．2．在平面直角坐标系中，点E（﹣4，2），点F（﹣1，﹣1），以点O为位似中心，按比例1：2把△EFO缩小，则点E的对应点E的坐标为（

）A．（2，﹣1）或（﹣2，1） B．（8，﹣4）或（﹣8，4） C．（2，﹣1） D．（8，﹣4）【答案】A【分析】利用位似比为1：2，可求得点E的对应点E′的坐标为（2，-1）或（-2，1），注意分两种情况计算．【详解】∵E（-4，2），位似比为1：2，∴点E的对应点E′的坐标为（2，-1）或（-2，1）．故选A．【点睛】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比．注意位似的两种位置关系．3．在同一时刻，身高1.6m的小强，在太阳光线下影长是1.2m，旗杆的影长是15m，则旗杆高为（

）A．22m B．20m C．18m D．16m【答案】B【详解】试题分析：利用在同一时刻身高与影长成比例计算：设旗杆高为x，根据题意可得：根据在同一时刻身高与影长成比例可得：.故选B．考点：相似三角形的应用．4．如图，AC与BD相交于点E，AD∥BC．若AE=2，CE=3，AD=3，则BC的长度是（

）A．2 B．3 C．4．5 D．6【答案】C【详解】试题分析：因为AD∥BC，所以△ADE∽△CBE,所以,因为AE=2，CE=3，AD=3，所以，所以BC=4．5，故选C．考点：相似三角形的判定与性质．5．如图，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上(与B，C不重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC＝FG；②S△FAB∶S四边形CBFG＝1∶2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ·AC，其中正确结论的个数是()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【详解】试题解析：∵四边形ADEF为正方形，∴∠FAD=90°，AD=AF=EF，∴∠CAD+∠FAG=90°，∵FG⊥CA，∴∠GAF+∠AFG=90°，∴∠CAD=∠AFG，在△FGA和△ACD中，，∴△FGA≌△ACD（AAS），∴AC=FG，①正确；∵BC=AC，∴FG=BC，∵∠ACB=90°，FG⊥CA，∴FG∥BC，∴四边形CBFG是矩形，∴∠CBF=90°，S△FAB=FB•FG=S四边形CBFG，②正确；∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°，∴∠ABC=∠ABF=45°，③正确；∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°，∴△ACD∽△FEQ，∴AC：AD=FE：FQ，∴AD•FE=AD2=FQ•AC，④正确；故选D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．6．在中，点、分别为边、的中点，则与的面积之比为A． B． C． D．【答案】C【分析】由点D、E分别为边AB、AC的中点，可得出DE为△ABC的中位线，则DE∥BC，进而得出△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质即可求出△ADE与△ABC的面积之比．【详解】如图所示，∵点D、E分别为边AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=BC，∴△ADE∽△ABC，∴.故选C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理，利用三角形的中位线定理找出DE∥BC是解题的关键．7．如图，已知在正方形网格中的两个格点三角形是位似形，它们的位似中心是()A．点A B．点B C．点C D．点D【答案】A【详解】如图，位似中心为点A.故选A.8．四边形ABCD相似四边形A'B'C'D'，且AB:A'B'=1:2,已知BC=8，则B'C'的长是(

)A．4 B．16

C．24 D．64【答案】B【分析】根据相似三角形对应边长比等于相似比即可解答.【详解】已知四边形ABCD相似四边形A'B'C'D'，且AB:A'B'=1:2,已知BC=8，则B'C'的长=16.即答案选B.【点睛】熟悉掌握相似三角形对应边长比等于相似比这一性质是解答本题的关键.9．如图是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD．且测得AB＝1.4米，BP＝2.1米，PD＝12米．那么该古城墙CD的高度是()．A．6米；B．8米；C．10米；D．12米．【答案】B【详解】解：∵∠APB=∠CPD，∠ABP=∠CDP，∴△ABP∽△CDP，∴AB：CD=BP：PD，即1.4：CD=2.1：12，解得：CD=8米．故选B．【点睛】本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中反射原理，注意到相似三角形，解决本题关键．10．如图，DE∥BC，AD：DB=1：2，则△ADE和△ABC的相似比为（）A．1：2 B．1：3 C．2：1 D．2：3【答案】B【详解】试题解析：∵AD：BD=1：2，∴AD：AB=1：3，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，则△ADE和△ABC的相似比为：AD：AB=1：3，故选B．考点：相似三角形的判定与性质.填空题（每题3分，共24分）11．若△ABC∽△A′B′C′，AB=4，BC=5，AC=6，△A′B′C′的最大边长为15，那么它们的相似比是______，△A′B′C′的周长是______．【答案】

2：5

37.5【分析】根据相似三角形的性质及已知求得相似比，再由相似三角形周长的比等于相似比，即可求得△A′B′C′的周长．【详解】解：∵△ABC∽△A′B′C′∴相似比是6：15=2：5∵△ABC的周长是15∴△A′B′C′的周长是37.5．故答案为2：5；37.5．【点睛】本题考查了相似三角形周长的比等于相似比的性质．12．如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设B′的坐标是（3，﹣1），则点B的坐标是________．【答案】（﹣3，）．【详解】试题分析：作BD⊥x轴于D，B′D′⊥x轴于D′，根据相似三角形的性质求出CD，BD的长，得到点B的坐标．解：作BD⊥x轴于D，B′D′⊥x轴于D′，∵点C的坐标是（﹣1，0），B′的坐标是（3，﹣1），∴CD′=4，B′D′=1，由题意得，△ABC∽A′B′C，相似比为1：2，∴==，∴CD=2，BD=，∴点B的坐标是（﹣3，）．故答案为（﹣3，）．考点：位似变换；坐标与图形性质．13．已知实数a,b,c满足a+b+c=10,且，则的值是________【答案】【分析】根据已知条件把所求的式子进行整理,即可求出答案;【详解】解∵a+b+c=10，∴a=10−(b+c),b=10−(a+c),c=10−(a+b)，∴==10()-3∵，∴=10×-3=故答案为.【点睛】本题考查了比例的基本性质，解决本题要熟练掌握比例的基本性质，注意整体代入思想的应用.14．在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，△DOE的面积是2，△DOA的面积_____．【答案】4【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵E为CD中点，∴DE=CD=AB，∵AB∥CD，∴△AOB∽△EOD，∴，∵△AOD和△DOE等高，∴=，∵△DOE的面积是2，∴△DOA的面积是4，故答案为4．15．如图，小强和小华共同站在路灯下，小强的身高EF＝1.8m，小华的身高MN＝1.5m，他们的影子恰巧等于自己的身高，即BF＝1.8m，CN＝1.5m，且两人相距4.7m，则路灯AD的高度是___．【答案】4m【分析】设路灯的高度为x(m)，根据题意可得△BEF∽△BAD，再利用相似三角形的对应边正比例整理得DF=x﹣1.8，同理可得DN=x﹣1.5，因为两人相距4.7m，可得到关于x的一元一次方程，然后求解方程即可．【详解】设路灯的高度为x(m)，∵EF∥AD，∴△BEF∽△BAD，∴，即，解得：DF=x﹣1.8，∵MN∥AD，∴△CMN∽△CAD，∴，即，解得：DN=x﹣1.5，∵两人相距4.7m，∴FD+ND=4.7，∴x﹣1.8+x﹣1.5=4.7，解得：x=4m，答：路灯AD的高度是4m．16．如图，在△ABC中，AB=7，AC=6，∠A=45°，点D、E分别在边AB、BC上，将△BDE沿着DE所在直线翻折，点B落在点P处，PD、PE分别交边AC于点M、N，如果AD=2，PD⊥AB，垂足为点D，那么MN的长是_____．【答案】【详解】∵∠A=45°，∠ADM=90°，∴∠AMD=45°=∠A，∴DM=AD=2，∵AB=7，∴BD=7-AD=5，∵△BDE沿着DE所在直线翻折得到△PDE，∴PD=BD=5，∠PDE=∠BDE，∴PM=PD-DM=3，∵∠PDE+∠BDE=∠BDP=90°，∴∠BDE=45°=∠A，∴DE//AC，∴△BDE∽△BAC，∴BD：BA=DE：AC，即5：7=DE：6，∴DE=，∵DE//AC，∴△PMN∽△PDE，∴MN：DE=PM：PD，即：MN：=3：5，∴MN=，故答案为.【点睛】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质等，能根据已知证明出DE//AC是解题的关键.17．已知，则____________【答案】-4【详解】分析：可以设=a，进而可以得出x、y、z的值，代入所要求的代数式中即可得出答案．详解：设=a，则可以得出：x=2a，y=3a，z=5a，代入中得，原式=．故答案为-4．点睛：本题考查了分式的化简求值问题，解决此类问题要求不拘泥于形式，能够根据不同的条件来得出不同的求解方法．在平时要多加练习，熟能生巧，解题会很方便．18．如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作EF∥BC交AD于点F，那么＝________．【答案】【分析】根据重心的性质得到AG=2DG，BG=2GE，根据平行线分线段成比例定理计算即可．【详解】解：∵△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，∴点G是△ABC的重心，∴AG=2DG，BG=2GE，∵EF∥BC，∴＝=．故答案为．【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质、平行线分线段成比例定理的应用，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．三、解答题（共66分）19．如图，△ABC中，DE//BC，EF//AB．求证：△ADE∽△EFC．【答案】证明见解析【分析】根据平行线的性质得到∠ADE=∠B，∠EFC=∠B，∠AED=∠C，等量代换得到∠ADE=∠EFC，于是得到结论．【详解】∵ED∥BC，EF∥AB，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∠EFC=∠B，∴∠ADE=∠EFC，∠AED=∠C，∴△ADE∽△EFC．【点睛】本题考查的是平行线的性质及相似三角形的判定定理．20．如图，一人拿着一支刻有厘米分划的小尺，他站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分划恰好遮住电线杆，已知臂长约60厘米．求电线杆的高．【答案】电线杆的高为6米．【分析】由题意可作出示意图，由题意可知△ADE∽△AFG，DE=12厘米=0.12米，AB=60厘米=0.6米，AC=30米，，可得出FG的长度，即电线杆的高度．【详解】由题意可作出下图：由题意得：DE=12厘米=0.12米，AB=60厘米=0.6米，AC=30米．∵DE∥FG，∴△ADE∽△AFG，∴，∴FG==6米，∴电线杆的高为6米，答：电线杆的高为6米．【点睛】本题考查了相似三角形在实际问题中的运用．21．已知：如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=24，点P、D分别在边BC、AC上，AP2=AD•AB，求∠APD的正弦值．【答案】.【详解】试题分析：由AP2=AD•AB，AB=AC，可证得△ADP∽△APC，由相似三角形的性质得到∠APD=∠ACB=∠ABC，作AE⊥BC于E，根据等腰三角形的性质可求得AE，由三角函数的定义可得结论，试题解析：∵AP2=AD•AB，AB=AC，∴AP2=AD•AC，即，∵∠PAD=∠CAP，∴△ADP∽△APC，∴∠APD=∠ACB=∠ABC，作AE⊥BC于E，∵AB=AC，∴BE=CE=×24=12，∴AE=∴sin∠APD=sin∠ABC=.考点：相似三角形的判定与性质．22．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于点O，EF经过点O且和两底平行，交AB于E，交CD于F，求证：OE=OF．【答案】详见解析.【分析】由梯形ABCD中，AD∥BC，EF经过点O且和两底平行，易得△AOD∽△COB，△AEO∽△ABC，△DOF∽△DBC，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论．【详解】∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴OA：OC=OA：OB，∴OA：AC=OD：BD．∵EF∥BC，∴△AEO∽△ABC，△DOF∽△DBC，∴OE：BC=OA：AC，OF：BC=OD：BD，∴OE：BC=OF：BC，∴OE=OF．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．注意证得△AOD∽△COB，△AEO∽△ABC，△DOF∽△DBC是关键．23．如图，已知E是平行四边形ABCD中DA边的延长线上一点，且AE=AD，连接EC分别交AB，BE于点F、G．（1）求证：BF=AF；（2）若BD=12cm，求DG的长．【答案】（1）详见解析；（2）DG=8.【分析】（1）欲证BF=AF，只需证△AEF≌△BCF即可．（2）由BC∥DE，得到△BCG∽△DEG，根据相似三角形对应边成比例即可得到结论．【详解】（1）∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠E=∠BCF．∵AE=AD，∴AE=BC．∵∠AFE=∠BFC，∴△AEF≌△BCF，∴BF=AF．（2）∵BC∥DE，∴△BCG∽△DEG，∴BC：DE=BG：DG．∵DE=2BC，∴DG=2BG，∴DG=BD．∵BD=12，∴DG=8．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质以及三角形全等．掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．24．如图5，点P在平行四边形ABCD的CD边上，连结BP并延长与AD的延长线交于点Q．（1）求证：△DQP∽△CBP；（2）当△DQP≌△CBP，且AB=8时，求DP的长．【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AQ∥BC,∴△DQP∽△CBP；（2）∵△DQP≌△CBP，∴DP=CP=CD,∵AB="CD=8,"∴DP=4.【详解】试题分析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AP∥BC,∴△DQP∽△CBP；（2）∵△DQP≌△CBP，∴DP=CP=CD,∵AB="CD=8,"∴DP=4.考点：相似三角形点评：本题属于对相似三角形的基本性质和判定定理的熟练把握，考生要学会掌握好这些基本判定方式25．如图，G是边长为4的正方形ABCD的边BC上的一点，矩形DEFG的边EF过A，GD=5．（1）指出图中所有的相似三角形；（2）求FG的长．【答案】（1）△AFH，△DCG，△DEA，△GBH均是相似三角形；（2）FG=．【分析】（1）根据都是直角，其余两个角加起来为90°，根据对顶角、余角等关系，可以看出△AFH，△DCG，△DEA，△GBH均是相似三角形．（2）根据，可以求出FG，由ED=FG，只要求出＝即可，因为△DEA∽△DCG，可以求出．【详解】解:（1）△AFH，△DCG，△DEA，△GBH均是相似三角形；（2）由∠E=∠C=90°，∠EDA与∠CDG均为∠ADG的余角，得△DEA∽△DCG∴＝，ED=FG，∴，由已知GD=5，AD=CD=4，∴，即FG=．【点睛】在做题过程中，要找全相似三角形，要综合考虑，不要丢掉一种情况；要掌握相似三角形判定和应用．26．在锐角△ABC中，正方形EFGH的两个顶点E、F在BC上，另两个顶点G、H分别在AC、AB上，BC=15cm，BC边上的高是10cm，求正方形的面积．【答案】

【分析】过A作AD⊥BC，交BC于点D，交HG于点M，则可证明△AHG∽△ABC，进而求出HG的长，即可解决问题．【详解】作AD⊥BC，交BC于点D，交HG于点M，∵四边形EFGH是正方形，∴EH=MD=HG，设正方形的边长HG=x，则AM=10﹣x，且AM⊥GH．∵HG∥BC，∴△AHG∽△ABC，∴=，即=，解得：x=6，∴S正方形HEFG=36（cm2）．【点睛】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点的应用问题，作辅助线，构造三角形相似是解题的关键．27．如图，正方形ABCD的边长为10，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，AH⊥EF于点H，AH=10，连接BD，分别交AE、AH、AF于点P、G、Q．（1）求△CEF的周长；（2）若E是BC的中点，求证：CF=2DF；（3）连接QE，求证：AQ=EQ．【答案】（1）△ECF的周长为20；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）利用题中条件证明EB＝EH，FD＝FH，即可解决问题；（2）通过计算求出CF、DF即可解决问题；（3）利用题中条件证明△APB∽△QPE，可得∠AEQ＝∠ABP＝45°即可解决问题.【详解】解：（1）在Rt△ABE和Rt△AHE中，∵∠ABE=∠AHE=90°，AB=AH=10，AE=AE，∴△ABE≌△AHE，∴BE=HE，同理，DF=FH，∴△ECF的周长=CE+CF+EF=CE+BE+CF+FD=CB+CD=20．（2）∵E是BC中点，∴BE=EC=EH=5，设DF=FH=x，则CF=10﹣x，在Rt△ECF中，∵∠C=90°，∴EF2=EC2+CF2，∴52+（10﹣x）2=（5+x）2，解得x=，即DF=，则CF=10﹣=，∴CF=2DF；（3）在△BPE和△APQ中，∠EBP=∠QAP=45°，∠BPE=∠APQ，∴△BPE∽△APQ，∴=