专题3.1 因式分解-因式分解概念及提取公因式（知识讲解）-2020-2021学年七年级数学下册基础知识专项讲练（湘教版）

专题3.1因式分解-因式分解概念及提取公因式（知识讲解）【学习目标】了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系；2．能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式.【要点梳理】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.特别说明：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.要点二、公因式多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.特别说明：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.要点三、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．特别说明：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即.（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.【典型例题】类型一、因式分解的概念1、（2012·浙江杭州市·七年级期中）下列各式的变形中，是否是因式分解，为什么？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【答案】（1）不是因式分解，理由见解析；（2）不是因式分解，理由见解析；（3）不是因式分解，理由见解析；（4）是因式分解，理由见解析；（5）不是因式分解，理由见解析．【分析】（1）根据等式右边不符合因式分解的定义即可得；（2）根据等式右边不符合因式分解的定义即可得；（3）根据等式左边不符合因式分解的定义即可得；（4）根据因式分解的定义即可得；（5）根据等式右边不符合因式分解的定义即可得．【详解】因式分解的定义：将一个多项式化为几个整式的积的形式，称为因式分解（1）不是因式分解，因为是和的形式；（2）不是因式分解，因为是和的形式；（3）不是因式分解，因为是单项式；（4）是因式分解，因为多项式分解成两个整式与的积的形式，符合因式分解的定义；（5）不是因式分解，因为中的不是整式．【点拨】本题考查了因式分解的定义，熟记定义是解题关键．举一反三：【变式】（2018·全国七年级课时练习）判断下列各式从等号左边到右边的变形，哪些是整式乘法，哪些是因式分解．(1)a2－9b2＝(a＋3b)(a－3b)；(2)3y(x＋2y)＝3xy＋6y2；(3)(3a－1)2＝9a2－6a＋1；(4)4y2＋12y＋9＝(2y＋3)2；(5)x2＋x＝x2(1+)；(6)x2－y2＋4y－4＝(x－y)(x＋y)＋4(y－1)．【答案】(2)(3)是整式乘法，(1)(4)是因式分解．【解析】【分析】根据因式分解和整式乘法的定义即可解答.【详解】(1)(4)的变形是把多项式化为整式乘积的形式，是因式分解；(2)(3)是整式乘法；(5)虽然是把多项式化为积的形式，但(1＋)不是整式，不是因式分解；(6)运用乘法公式，结果不是整式乘积的形式，故既不是整式乘法，也不是因式分解．(2)(3)是整式乘法，(1)(4)是因式分解．【点拨】本题主要考察因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．类型二、提公因式法分解因式 2、（2020·广西钦州市高新区实验学校八年级月考）把下列各式因式分解：（1）（2）【答案】（1）；（2）；【分析】（1）提取公因式，即可得到答案；（2）先把原式化为：，再提取公因式，即可得到答案；解：（1）（2）举一反三：【变式】（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）【答案】【分析】提取公因式法分解因式，寻找相同的公因式即可．原式【点拨】本题主要考查了提公因式法分解因式，熟练掌握寻找公因式的方法