多元函数的概念教案-山西大同大学

第八章多元函数§8.1多元函数的概念自变量只有一个的函数称为一元函数，有二个独立的自变量的函数称为二元函数，有三个独立的自变量的函数称为三元函数，…，自变量有SKIPIF1<0一个的函数就称为SKIPIF1<0元函数，二元及二元以上的函数统称为多元函数。以前所学的函数都是一元函数，但是在实际问题中，所涉及的函数的自变量的个数往往不只是一个，有的是两个，甚至更多。例如，一个圆锥体的体积SKIPIF1<0，它有两个独立的变量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0。为此，就需要进一步讨论自变量为两个，或者更多情形下的多元函数。本节以二个独立的变量为基础，首先给出二元函数的概念。1．二元函数的概念定义设有两个独立的变量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在一定范围SKIPIF1<0内取值，任取一组数值时，第三个变量SKIPIF1<0就以某一确定的法则有唯一确定的值与其对应，那末变量SKIPIF1<0称为变量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的二元函数。记作SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0与SKIPIF1<0称为自变量，函数SKIPIF1<0称为因变量，自变量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0取值范围称为函数的定义域，一般记为SKIPIF1<0。二元函数在点SKIPIF1<0所取得的函数值记作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0类似地，可定义二元函数、四元函数、…、SKIPIF1<0元函数等多元函数。2．二元函数的定义域与一元函数相同，决定二元函数的要素仍然是定义域和对应法则。那么，二元函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围。对于一元函数的定义域一般来说是一个或几个区间，二元函数的定义域可以是整个SKIPIF1<0坐标平面，可以是一条曲线，还可以是由平面上一条或几段光滑曲线所围成的连通的部分平面。整个SKIPIF1<0坐标平面或由曲线所围成的部分平面称为区域，围成区域的曲线称为区域的边界，边界上的点称为边界点，包括边界在内的区域称为闭区域，不包括边界在内的区域称为开区域。开区域内的点称为内点。如果一个区域SKIPIF1<0(开域或闭域)中任意两点之间的距离都不超过某一常数SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0为有界区域，即一个区域可以被包含在一个以原点为圆心，适当长为半径的圆内；否则称SKIPIF1<0为无界区域。如同区间可用不等式表示一样，区域也可以用不等式或不等式组来表示。区域SKIPIF1<0通常表示为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0两种形式，前者称为SKIPIF1<0型区域，后者称为SKIPIF1<0型区域。最简单的区域有矩形域SKIPIF1<0和圆形域SKIPIF1<0，如图8—1所示。例1求SKIPIF1<0的定义域解该函数的定义域为SKIPIF1<0图8—1例2求下列函数的定义域SKIPIF1<0，并画出SKIPIF1<0的图形。（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0解（1）要使得SKIPIF1<0有意义，则需SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0故函数的定义域SKIPIF1<0，此区域是一个矩形域。（2）要使得SKIPIF1<0有意义，则需SKIPIF1<0即SKIPIF1<0故函数的定义域SKIPIF1<0，此区域是一个圆环。3．二元函数的几何解释SKIPIF1<0是二元函数SKIPIF1<0定义域SKIPIF1<0内的任意一点，则相应的函数值是SKIPIF1<0，有序数组SKIPIF1<0确定了空间一点SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内变动时，对应的点SKIPIF1<0就在空间变动，即对应P点的轨迹就是函数SKIPIF1<0的几何图形，它通常是一张曲面，其定义域SKIPIF1<0就是此曲面在SKIPIF1<0平面上的投影。因此，二元函数在空间直角坐标中一般表示的是曲面。§8.2二元函数的极限及其连续性一、二元函数的极限与一元函数的极限类似，对于二元函数SKIPIF1<0同样可以讨论当自变量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0趋向于有限数值SKIPIF1<0与SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0的变化趋势，即二元函数的极限。SKIPIF1<0、SKIPIF1<0趋于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0可看作成点SKIPIF1<0趋向点SKIPIF1<0，记作SKIPIF1<0或SKIPIF1<0。若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0就可表示SKIPIF1<0。在平面SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0趋于SKIPIF1<0的方式可以时多种多样的，因此二元函数的情况要比一元函数复杂得多。如果定义于SKIPIF1<0的某一去心邻域的一个二元函数SKIPIF1<0与一个确定的常数SKIPIF1<0，当点SKIPIF1<0以任意方式趋向点SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0总是趋向于一个确定的常数SKIPIF1<0，那么就称SKIPIF1<0是二元函数SKIPIF1<0当SKIPIF1<0→SKIPIF1<0时的极限。为了区别于一元函数的极限，则把二元函数的极限叫做二重极限定义1设函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的某一邻域内有定义（点SKIPIF1<0除外），若点SKIPIF1<0无限地趋于点SKIPIF1<0时，恒有SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是任意小的正数），则称SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时的二重极限，记为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0。用SKIPIF1<0—SKIPIF1<0语言严格给出定义1的二重极限的定义如下定义2对任意给定的正数SKIPIF1<0，无论怎样小，总存在一正数SKIPIF1<0，当满足SKIPIF1<0的一切SKIPIF1<0恒有SKIPIF1<0成立，则常数SKIPIF1<0称为函数SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时的二重极限。例1函数SKIPIF1<0当SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0轴趋于SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0轴趋于SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0沿着SKIPIF1<0直线趋于SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，随着SKIPIF1<0的取值不同，SKIPIF1<0的值不同，所以SKIPIF1<0不存在。注一元函数SKIPIF1<0的极限，点SKIPIF1<0只沿SKIPIF1<0轴趋于0，但二元函数的极限要求点SKIPIF1<0沿以任意方式趋向点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0轴或沿SKIPIF1<0轴或沿平行与坐标轴的直线或沿某一条曲线趋于SKIPIF1<0时的极限都存在，也不能确定它的极限不存在。二、二重极限的运算法则正像一元函数的极限一样，二重极限也有类似的运算法则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0例2求极限SKIPIF1<0解SKIPIF1<0三、二元函数的连续性像一元函数一样，可以利用二重极限来给出二元函数连续的概念1．二元函数连续的概念定义1如果当点SKIPIF1<0趋向点SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0的二重极限等于SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的函数值SKIPIF1<0，则称函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处连续。如果SKIPIF1<0在区域SKIPIF1<0的每一点都连续，那末称它在区域SKIPIF1<0连续。二元连续函数的和，差，积，商(分母不为零）和复合函数仍是连续函数。一切多元初等函数在其定义区域内是连续的（多元初等函数是指由常数及其具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算得到的可用一个式子表示的多元函数）。如果二元函数连续，又SKIPIF1<0在其定义域SKIPIF1<0内时，当在定义域SKIPIF1<0内求函数在SKIPIF1<0的极限，可把用直接代入计算二元函数在点SKIPIF1<0的函数值，即为其极限。例3求极限SKIPIF1<0解SKIPIF1<02．多元函数连续性的性质性质（有界性及最大值与最小值定理）1在有界的闭区域SKIPIF1<0上的多元连续函数，必定在SKIPIF1<0上有界，且取得最大值与最小值。性质（介值定理）2在有界的闭区域SKIPIF1<0上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。性质（一致连续性定理）3在有界的闭区域SKIPIF1<0上的多元连续函数，必定在SKIPIF1<0上一致连续性。3．二元函数间断性定义2如果函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0不满足连续的定义，那末我们就称SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一个间断点。二元函数间断点的产生与一元函数的情形类似，但是二元函数间断的情况要比一元函数复杂，它除了有间断点，还有间断线。例4求函数SKIPIF1<0的间断线解SKIPIF1<0与SKIPIF1<0都是函数SKIPIF1<0的间断线。§8.3偏导数在一元函数中，导数就是函数的变化率。对于二元函数同样要研究它的“变化率”。然而，由于自变量多了一个，情况就要复杂的多。在SKIPIF1<0平面内，当变点由SKIPIF1<0沿不同方向变化时，函数SKIPIF1<0的变化快慢一般说来时不同的，因此就需要研究SKIPIF1<0在SKIPIF1<0点处沿不同方向的变化率。一、偏导数的概念若点SKIPIF1<0只沿着平行于SKIPIF1<0轴和平行于SKIPIF1<0轴两个特殊方位变动时，函数SKIPIF1<0有变化率。则其变化率叫做偏导数。1．函数在点的偏导数定义1设有二元函数SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是其定义域SKIPIF1<0内一点，把SKIPIF1<0固定在SKIPIF1<0，而让SKIPIF1<0在SKIPIF1<0有增量SKIPIF1<0，相应地函数SKIPIF1<0有增量(称为对SKIPIF1<0的偏增量)SKIPIF1<0如果SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之比当SKIPIF1<0时的极限存在，则此极限值称为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处对SKIPIF1<0的偏导数，记作SKIPIF1<0或SKIPIF1<0注函数SKIPIF1<0)在SKIPIF1<0处对SKIPIF1<0的偏导数，是把SKIPIF1<0固定在SKIPIF1<0，实际上就是把SKIPIF1<0看成常数后，二元函数的偏导数就转化为一元函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的导数。同样，把SKIPIF1<0固定在SKIPIF1<0，让SKIPIF1<0有增量SKIPIF1<0，如果极限存在，则此极限称为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处对SKIPIF1<0的偏导数，记作SKIPIF1<0或SKIPIF1<02．函数的偏导函数当函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的两个偏导数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0都存在时，则称SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处可导。如果函数SKIPIF1<0在域SKIPIF1<0的每一点均可导，那末称函数SKIPIF1<0在域SKIPIF1<0可导。此时，对应于域SKIPIF1<0的每一点SKIPIF1<0，必有一个对SKIPIF1<0(对SKIPIF1<0)的偏导数，因而在域SKIPIF1<0确定了一个新的二元函数，称为SKIPIF1<0对SKIPIF1<0(对SKIPIF1<0)的偏导函数。简称偏导数。定义2如果函数SKIPIF1<0在区域SKIPIF1<0内每一点SKIPIF1<0处对SKIPIF1<0的偏导数都存在，且是SKIPIF1<0的函数，则称它为函数SKIPIF1<0对自变量SKIPIF1<0的偏导函数，简称为偏导数，记作SKIPIF1<0或SKIPIF1<0类似地，可以定义函数SKIPIF1<0对自变量SKIPIF1<0的偏导函数，记作SKIPIF1<0或SKIPIF1<03．偏导数的求法求SKIPIF1<0时，只要把其它自变量看成常数而对SKIPIF1<0求导数即可；求SKIPIF1<0时，只要把其它自变量看成常数，对SKIPIF1<0求导数即可。这是因在求偏导数时只有一个变量在变，其它变量固定的原因，故可按一元函数的求导方法求之。例1求SKIPIF1<0的偏导数解把SKIPIF1<0看作常量对SKIPIF1<0求导数，得SKIPIF1<0把SKIPIF1<0看作常量对SKIPIF1<0求导数，得SKIPIF1<0例2求SKIPIF1<0的偏导数。解根据二元函数的偏导数的求法来做。把SKIPIF1<0和SKIPIF1<0看成常量对SKIPIF1<0求导，得SKIPIF1<0把SKIPIF1<0和SKIPIF1<0看成常量对SKIPIF1<0求导，得SKIPIF1<0.把SKIPIF1<0和SKIPIF1<0看成常量对SKIPIF1<0求导，得SKIPIF1<0例3求函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的两个偏导数解∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0例4设SKIPIF1<0，求证SKIPIF1<0证明∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0例5设SKIPIF1<0，求证SKIPIF1<0证明∵SKIPIF1<0同理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0例6函数SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0解SKIPIF1<0同理SKIPIF1<0注（1）偏导数符号SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是一个整体的记号，不能认为是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0、SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的商。（2）函数在点的偏导数实在是偏导函数在点的函数值（3）对二元函数SKIPIF1<0)在SKIPIF1<0处的偏导数存在，但不能保证函数在该点的极限存在，如例6。（4）二元函数偏导数的定义和求法可以推广到三元和三元以上函数。（5）函数在某点处两个偏导数都存在，但函数不一定可微连续。如SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的两个偏导数都存在，但函数点SKIPIF1<0处不连续。4．导数的几何意义设SKIPIF1<0为曲面SKIPIF1<0上的一点，过SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0，截此曲面得一条曲线，此曲线在平面SKIPIF1<0上的方程为SKIPIF1<0，则导数SKIPIF1<0，即二元函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处对SKIPIF1<0的偏导数SKIPIF1<0的几何意义就是这曲线在点SKIPIF1<0处的切线对SKIPIF1<0轴的斜率；同样地，偏导数SKIPIF1<0的几何意义就是这曲线在点SKIPIF1<0处的切线对SKIPIF1<0轴的斜率。二、高阶偏导数设函数SKIPIF1<0在区域SKIPIF1<0内具有偏导数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么在SKIPIF1<0内SKIPIF1<0、SKIPIF1<0都是SKIPIF1<0的函数，若这两个偏导函数的偏导函数也存在，则称它们的偏导数是函数SKIPIF1<0二阶偏导数。即如果二元函数SKIPIF1<0的偏导数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0仍然可导，那么这两个偏导函数的偏导数称为SKIPIF1<0的二阶偏导数。二元函数的二阶偏导数有四个SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.其中第二、三两个偏导数称为混合偏导数。类似地，可定义三阶、四阶、…、以及SKIPIF1<0阶偏导数，二阶及二阶以上的偏导数就称为高阶偏导数，而把SKIPIF1<0与SKIPIF1<0称为一阶偏导数。定理如果函数SKIPIF1<0的两个混合偏导数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在区域SKIPIF1<0内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。注（1）该定理说明，二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关。（2）SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的区别在于：前者是先对SKIPIF1<0求偏导，然后将所得的偏导函数再对SKIPIF1<0求偏导；后者是先对SKIPIF1<0求偏导再对SKIPIF1<0求偏导例7求函数SKIPIF1<0的二阶偏导数.解SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0§8.4全微分我们已经学习了一元函数的微分的概念了，现在用类似的思想方法来学习多元函数的全增量，从而把微分的概念推广到多元函数。1．全微分的概念这里我们以二元函数为例。定义如果二元函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的全增量SKIPIF1<0可以表示为SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0、SKIPIF1<0与SKIPIF1<0、SKIPIF1<0无关的常数，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的高阶无穷小，即SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的全微分，记为SKIPIF1<0。即SKIPIF1<0此时称函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处可微。若函数SKIPIF1<0在区域SKIPIF1<0内每一点都可微，则称函数SKIPIF1<0在区域SKIPIF1<0内可微。定理1（可微的必要条件）如果函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处可微，则函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处偏导数SKIPIF1<0、SKIPIF1<0存在，且SKIPIF1<0证明因为函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处可微，则函数的全增量为SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0、SKIPIF1<0与SKIPIF1<0、SKIPIF1<0无关，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）当SKIPIF1<0时，函数对SKIPIF1<0的偏增量为SKIPIF1<0此时SKIPIF1<0，于是有SKIPIF1<0故SKIPIF1<0同理SKIPIF1<0由定理1可知，函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处可微时，则SKIPIF1<0规定SKIPIF1<0，分别称为自变量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的微分，则函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的全微分为SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0的全微分为SKIPIF1<0SKIPIF1<02．可微一定连续若函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处可微，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）则SKIPIF1<0故函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处连续。定理2如果函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处可微，则函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处连续。例1SKIPIF1<0SKIPIF1<0均存在，但SKIPIF1<0在SKIPIF1<0点不可微，且SKIPIF1<0不存在，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0点不连续。例2SKIPIF1<0，这是上半圆锥，显然在SKIPIF1<0点连续，SKIPIF1<0但SKIPIF1<0故SKIPIF1<0不存在。由SKIPIF1<0的对称性，SKIPIF1<0不存在。从而，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0点不可微（否则，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均存在）。3．可微与可导的关系一元函数在某点导数存在是微分存在的充分必要条件，但对于多元函数则不同。当函数的各偏导数都存在时，虽然能形式地写成SKIPIF1<0，但它与SKIPIF1<0之差并不一定是较SKIPIF1<0高阶的无穷小，因为它不一定是函数的全微分。即各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件。定理1也说明了函数可微，则函数在某点处两个偏导数都存在；但反之不成立，即函数在某点处的两个偏导数都存在，但函数不一定可微。如SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的两个偏导数都存在，但函数点SKIPIF1<0处不可微。这是与一元函数的区别（一元函数可微与可导是等价的）。例3：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0的对称性，SKIPIF1<0。SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0点可微。且SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0取点列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0SKIPIF1<0故SKIPIF1<0不存在，从而SKIPIF1<0在SKIPIF1<0点不连续。由SKIPIF1<0的对称性，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0点也不连续。对一元函数，可微与可导是等价的，即：可微SKIPIF1<0可导。但对二元函数，可微与偏导存在并不等价，即：可微SKIPIF1<0偏导存在，反之未必。应特别引起注意。4．可微的充分条件定理3（可微的充分条件）如果函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的某一邻域内处偏导数SKIPIF1<0、SKIPIF1<0连续，则函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处可微。注意在找函数相应的全增量时，为了使SKIPIF1<0与偏导数发生关系，我们把由SKIPIF1<0变到SKIPIF1<0的过程分为两部：先由点SKIPIF1<0变到点SKIPIF1<0，再变到点SKIPIF1<0，其过程如下图所示。或者先由点SKIPIF1<0变到点SKIPIF1<0，再变到点SKIPIF1<0。例1求SKIPIF1<0的全微分解由于SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0例2求函数SKIPIF1<0的全微分解由于SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0例3求函数SKIPIF1<0的全微分解由于SKIPIF1<0所以SKIPIF1<05．全微分形式的不变性设函数SKIPIF1<0具有连续的偏导数，则全微分为SKIPIF1<0.如果SKIPIF1<0、SKIPIF1<0又是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的函数，即SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且这两个函数具有连续的偏导数，则复合函数SKIPIF1<0的全微分为SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0由此可见，无论SKIPIF1<0在自变量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的函数还是中间变量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的函数，它的全微分形式是一样的，这个性质就叫做全微分形式的步变性。§8.5多元复合函数的求导法在一元函数中，复合函数的求导公式在求导法中所起的重要作用，对于多元函数来说也是如此。下面我们来学习多元函数的复合函数的求导公式。我们先以二元函数为例：一．全导数（复合函数的中间变量均为一元函数的情形）由二元函数SKIPIF1<0和两个一元函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0复合起来的函数SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一元函数。此时复合函数的导数就是一个一元函数的导数SKIPIF1<0，称为全导数定理1如果一元函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处均可导，二元函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的对应点SKIPIF1<0处有一阶连续偏导数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。则复合函数SKIPIF1<0在对SKIPIF1<0的导数存在，且SKIPIF1<0证明给SKIPIF1<0以增量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0相应的增量为SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0的全增量为SKIPIF1<0由于已知函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处有一阶连续偏导数，因此可微。SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0又一元函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0均可导，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0连续，则SKIPIF1<0故SKIPIF1<0因此SKIPIF1<0，从而有SKIPIF1<0用同样的方法可把定理推广到复合函数的中间变量多余两个的情形。比如，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0构成的复合函数SKIPIF1<0，在与定理相类似的条件下，则复合函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0可导，且有SKIPIF1<0.例1若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0解由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0注全导数实际上是一元函数的导数，只是求导的过程是借助于偏导数来完成而已。二．多元复合函数的求导法1．复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理2如果函数SKIPIF1<0及SKIPIF1<0都在点SKIPIF1<0具有对SKIPIF1<0及对SKIPIF1<0的偏导数，函数SKIPIF1<0在对应点SKIPIF1<0具有连续偏导数，则复合函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0偏导数存在，且有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.类似用同样的方法，设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0及SKIPIF1<0都在点SKIPIF1<0具有对SKIPIF1<0及对SKIPIF1<0的偏导数，函数SKIPIF1<0在对应点SKIPIF1<0具有连续偏导数，则复合函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的两个偏导数都存在，且有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.例2若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0解由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0注定理2在求SKIPIF1<0时，将SKIPIF1<0看作常量，因此中间变量SKIPIF1<0及SKIPIF1<0仍看作一元函数而应用定理1，但由于复合函数SKIPIF1<0以及SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的二元函数，所以应把定理1中的SKIPIF1<0改成SKIPIF1<0，再把SKIPIF1<0同时换成SKIPIF1<0或同时换成SKIPIF1<0即得定理2.2．复合函数的中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形定理3如果函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0具有对SKIPIF1<0及对SKIPIF1<0的偏导数，函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0可导，函数SKIPIF1<0在对应点SKIPIF1<0具有连续偏导数，则复合函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的两个偏导数都存在，且有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0定理3的特例设函数SKIPIF1<0具有连续的偏导数，而SKIPIF1<0具有偏导数，则复合函数SKIPIF1<0具有对SKIPIF1<0及对SKIPIF1<0的偏导数，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0注①定理3是定理2的特例；②这里SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是不同的，SKIPIF1<0是把复合函数SKIPIF1<0中的SKIPIF1<0看作不变而对SKIPIF1<0的偏导数，SKIPIF1<0是把SKIPIF1<0中的SKIPIF1<0及SKIPIF1<0看作不变而对SKIPIF1<0的偏导数。SKIPIF1<0与SKIPIF1<0也有类似的区别。例3若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0解设SKIPIF1<0则SKIPIF1<0由于SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0例4若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0解SKIPIF1<0SKIPIF1<0§8.6隐函数的求导一．隐函数的简介一个二元方程SKIPIF1<0可以确定一个一元隐函数SKIPIF1<0；一个三元方程SKIPIF1<0可以确定一个二元隐函数SKIPIF1<0；由方程组SKIPIF1<0=0、SKIPIF1<0=0可确定一个二元函数。二．一元隐函数的求导将SKIPIF1<0代入方程SKIPIF1<0得SKIPIF1<0对SKIPIF1<0求导得SKIPIF1<0若SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0隐函数存在定理1设函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的某一邻域内具有连续偏导数，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则方程SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的某一邻域内恒能确定一个连续且具有连续导数的函数SKIPIF1<0，它满足条件SKIPIF1<0，并有SKIPIF1<0。例1设SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0解设SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0三．二元隐函数的求导设方程SKIPIF1<0确定了二元隐函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0连续，且SKIPIF1<0。将SKIPIF1<0代入方程SKIPIF1<0得SKIPIF1<0两端分别对SKIPIF1<0和SKIPIF1<0求导得SKIPIF1<0SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0隐函数存在定理2设函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的某一邻域内具有连续偏导数，而且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则方程SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数SKIPIF1<0，它满足条件SKIPIF1<0，并有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.例2设SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0解设SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0故SKIPIF1<0例3设SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0解设SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0故SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0例4设SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为常数，SKIPIF1<0可微（SKIPIF1<0）。证明两端分别对SKIPIF1<0求导SKIPIF1<0得SKIPIF1<0同理SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0隐函数存在定理3设函数SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且偏导数组成的函数行列式（即雅可比（jacobi）式）SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0不等于零，则方程组SKIPIF1<0=0、SKIPIF1<0=0在点SKIPIF1<0的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续导数的函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0，它满足条件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，并有SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0。§8.7多元函数的极值在一元函数中我们看到，利用函数的导数可以求得函数的极值，从而可以解决一些最大、最小值的应用问题。多元函数也有类似的问题，这里我们只学习二元函数的极值问题。一．二元函数极值1．二元函数极值的概念定义1如果在SKIPIF1<0的某一去心邻域内的一切点SKIPIF1<0恒有等式SKIPIF1<0成立，那末就称函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处取得极大值SKIPIF1<0如果恒有等式SKIPIF1<0成立，那末就称函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处取得极小值SKIPIF1<0。极大值与极小值统称极值.使函数取得极值的点(x0,y0)称为极值点2．二元函数在SKIPIF1<0取得极值的必要条件定理二元可导函数在SKIPIF1<0取得极值的条件是SKIPIF1<0注意：此条件只是取得极值的必要条件。定义2凡是使SKIPIF1<0的点SKIPIF1<0称为函数SKIPIF1<0的驻点。可导函数的极值点必为驻点，但驻点却不一定是极值点。3．二元函数极值判定的方法定理设SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的驻点，且函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的某一邻域内有连续的二阶偏导数。令SKIPIF1<0则（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0是极大值当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0是极小值（2）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0不是极值（3）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0可能是极值，也可能不是极值。列表如下SKIPIF1<0SKIPIF1<0△＜0A＜0时取极大值A＞0时取极小值△＞0非极值△=0不定4．二元函数极值判定的方法（1）求一、二阶导数和偏导数（2）求驻点（3）计算SKIPIF1<0（4）确定极值。例1：求SKIPIF1<0的极值。解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0解方程组SKIPIF1<0，得驻点(1,1),(0,0)对于驻点(1,1)有SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0因此，SKIPIF1<0在点(1,1)取得极小值SKIPIF1<0对于驻点(0,0)有SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0因此，SKIPIF1<0在点(0,0)不取得极值二．多元函数的最大、最小值问题我们已经知道求一元函数极大值、极小值的步骤，对于多元函数的极大值、极小值的求解也可采用同样的步骤。下面我们给出实际问题中多元函数的极大值、极小值求解步骤。（1）根据实际问题建立函数关系，确定其定义域；（2）求出驻点；（3）结合实际意义判定最大、最小值.例2在平面SKIPIF1<0求一点，使它与坐标原点的距离最短。解（1）先建立函数关系，确定定义域求解与原点的距离最短的问题等价于求解与原点距离的平方SKIPIF1<0最小的问题。但是SKIPIF1<0点位于所给的平面上，故SKIPIF1<0。把它代入上式便得到所需的函数关系SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（2）求驻点解SKIPIF1<0得唯一驻点SKIPIF1<0。由于点SKIPIF1<0在所给平面上，故可知