2024年中考数学二轮题型突破练习题型5 圆的相关证明与计算（复习讲义）（原卷版）

PAGE题型五圆的相关证明与计算（复习讲义）【考点总结|典例分析】考点01圆的有关概念1．与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．（6）弦心距：圆心到弦的距离．考点02垂径定理及其推论1．垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．2．推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．考点03圆心角、弧、弦的关系1．定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．2．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．考点04圆周角定理及其推论1．定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．推论（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．（2）直径所对的圆周角是直角．考点05与圆有关的位置关系1．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d．(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．2．直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交图形公共点个数0个1个2个数量关系d>rd=rd<r考点06切线的性质与判定1．切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点．（2）切线到圆心的距离等于圆的半径．（3）切线垂直于经过切点的半径．利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．2．切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．考点07三角形与圆1.三角形外接圆外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．2．三角形的内切圆内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．1．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，SKIPIF1<0切SKIPIF1<0于点B，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点C，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点D，连接SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的度数为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2023·重庆·统考中考真题）如图，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的直径，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切于点C，连接SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的度数为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，SKIPIF1<0内接于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的度数是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，SKIPIF1<0是半圆SKIPIF1<0的直径，点SKIPIF1<0在半圆上，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05.如图，A，B，C是半径为1的⊙O上的三个点，若AB＝SKIPIF1<0，∠CAB＝30°，则∠ABC的度数为（）A．95° B．100° C．105° D．110°6．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，已知点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07.如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的度数为（）A．70° B．90° C．40° D．60°8.如图，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0内一点，且满足SKIPIF1<0SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0的长度最小时，SKIPIF1<0的面积是（）A．3 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．（2023·湖南常德·统考中考真题）如图，四边形SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的内接四边形，SKIPIF1<0是直径，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0．

(1)求证：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．10．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外接圆，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0延长线上一点，连接SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线；(2)若直径SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．11.如图，A，B是SKIPIF1<0上两点，且SKIPIF1<0，连接OB并延长到点C，使SKIPIF1<0，连接AC．（1）求证：AC是SKIPIF1<0的切线．（2）点D，E分别是AC，OA的中点，DE所在直线交SKIPIF1<0于点F，G，SKIPIF1<0，求GF的长．12．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0的延长线上，且SKIPIF1<0．

(1)求证：EF与SKIPIF1<0相切；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．13．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，点SKIPIF1<0在第一象限内，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴相切于点SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0轴相交于点SKIPIF1<0．连接SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．

(1)求证：四边形SKIPIF1<0为矩形．(2)已知SKIPIF1<0的半径为4，SKIPIF1<0，求弦SKIPIF1<0的长．14.如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是直径，弦SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0为弦SKIPIF1<0延长线上一点，连接SKIPIF1<0并延长交直径SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0．（1）求证：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线；（2）若SKIPIF1<0的半径为8，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．15．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，以SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0为直径作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0边于点D，过点C作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点E，连接SKIPIF1<0SKIPIF1<0．

(1)求证：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的长．16.如图，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的内接三角形，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0．（1）求证：直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切；（2）若SKIPIF1<0的直径是10，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．20.如图，已知点SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为直径的圆上一点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0延长线上一点，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂线交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0，连结SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（1）求证：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的半径．21.（2023·上海·统考中考真题）如图，在SKIPIF1<0中，弦SKIPIF1<0的长为8，点C在SKIPIF1<0延长线上，且SKIPIF1<0．

(1)求SKIPIF1<0的半径；(2)求SKIPIF1<0的正切值．22.如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝8，BECE23.如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的长．24．（2023·辽宁大连·统考中考真题）如图1，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的直径，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的平分线交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．

(1)求SKIPIF1<0的度数；(2)如图2，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的切线交SKIPIF1<0延长线于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．25．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点D，点E是斜边SKIPIF1<0上一点，以SKIPIF1<0为直径的SKIPIF1<0经过点D，交SKIPIF1<0于点F，连接SKIPIF1<0．

(1)求证：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．26.如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO并延长，与⊙O交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC