2024年中考数学二轮题型突破练习题型11 综合探究题（复习讲义）（教师版）

PAGE题型十一综合探究题（复习讲义）【考点总结|典例分析】命题内容及趋势：

(1)从数量角度反映变化规律的函数类题型：

(2)以直角坐标系为载体的几何类题型：(3)以“几何变换”为主体的几何类题型：

(4)以“存在型探索性问题”为主体的综合探究题：

(5)以“动点问题”为主的综合探究题：

二、需要注意的问题及建义：

(1)在复习中要更多关注“几何变换”，强化对图形变换的理解。

加强对图形的旋转、平移、对称多种变换的研究，对不同层次的学生进行分层拔高，使每一个学生都有较大的提升空间。

(2)让学生参与数学思维活动，经历问题解决的整个过程。

复习中应多引导学生运用“运动的观点”来分析图形，要多引导学生学会阅读、审题、获取信息，养成多角度、多侧面分析问题的习惯，逐步提高学生的数学能力。(3)要特别重视“函数图像变换型”问题教学的研究。

通过开展“函数图像变化”的专题教学，树立函数图像间相互转换的思维，尽量减少学生对函数“数形”认知的欠缺，比如，平时渗透抛物线的轴对称、旋转等知识点。当某个函数图像经过变换出现多个函数图像时，要引导学生从图形间的相互联系中寻找切入点，排除识图的干扰，对图像所蕴含的信息进行横向挖掘和纵向突破，将“有效探索”进行到底。此类试题考查的思路是从知识转向能力，从传统应用转向信息构建，这就提醒我们课堂上重要的不是讲解，而是点拨、引导、提升，一定要从重视知识积累转向问题探究的过程，关注学生自主探究能力的培养。

(4)突出数学核心概念、思想、方法的考查。

中学数学核心概念、思想方法是数学知识的精髓，也势必会成为考查综合应用能力的重要载体，这包括方程、不等式、函数，以及基本几何图形的性质、图形的变化、图形与坐标知识之间横纵向的联系，也包括中学数学中常用的重要数学思想。如：函数与方程思想、数形结合、分类讨论思想很化归与转换思想。而数学基本方法是数学的具体表现，具有模式化和可操作性，常用的基本方法有配方法、换元法、待定系数法、归纳法和割补法。

1．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）在平行四边形SKIPIF1<0中（顶点SKIPIF1<0按逆时针方向排列），SKIPIF1<0为锐角，且SKIPIF1<0．

(1)如图1，求SKIPIF1<0边上的高SKIPIF1<0的长．(2)SKIPIF1<0是边SKIPIF1<0上的一动点，点SKIPIF1<0同时绕点SKIPIF1<0按逆时针方向旋转SKIPIF1<0得点SKIPIF1<0．①如图2，当点SKIPIF1<0落在射线SKIPIF1<0上时，求SKIPIF1<0的长．②当SKIPIF1<0是直角三角形时，求SKIPIF1<0的长．【答案】(1)8(2)①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】（1）利用正弦的定义即可求得答案；（2）①先证明SKIPIF1<0，再证明SKIPIF1<0，最后利用相似三角形对应边成比例列出方程即可；②分三种情况讨论完成，第一种：SKIPIF1<0为直角顶点；第二种：SKIPIF1<0为直角顶点；第三种，SKIPIF1<0为直角顶点，但此种情况不成立，故最终有两个答案．【详解】（1）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．（2）①如图1，作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，由（1）得，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0延长线于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，

∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0．由旋转知SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．②由旋转得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．情况一：当以SKIPIF1<0为直角顶点时，如图2．

∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0落在线段SKIPIF1<0延长线上．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由（1）知，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．情况二：当以SKIPIF1<0为直角顶点时，如图3．

设SKIPIF1<0与射线SKIPIF1<0的交点为SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．情况三：当以SKIPIF1<0为直角顶点时，点SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0的延长线上，不符合题意．综上所述，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，正弦的定义，全等的判定及性质，相似的判定及性质，理解记忆相关定义，判定，性质是解题的关键．2.(2022·重庆市A卷)如图，在锐角△ABC中，∠A=60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F．

(1)如图1，若AB>AC，且BD=CE，∠BCD=∠CBE，求∠CFE的度数；

(2)如图2，若AB=AC，且BD=AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN.在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想；

(3)若AB=AC，且BD=AE，将△ABC沿直线AB翻折至△ABC所在平面内得到△ABP，点H是AP的中点，点K是线段PF上一点，将△PHK沿直线HK翻折至△PHK所在平面内得到△QHK，连接PQ.在点D，E运动过程中，当线段PF取得最小值，且QK⊥PF时，请直接写出PQBC的值．

【答案】解：(1)如图1中，在射线CD上取一点K，使得CK=BE，

在△BCE和△CBK中，

BC=CB∠BCK=∠CBEBE=CK，

∴△BCE≌△CBK(SAS)，

∴BK=CE，∠BEC=∠BKD，

∵CE=BD，

∴BD=BK，

∴∠BKD=∠BDK=∠ADC=∠CEB，

∵∠BEC+∠AEF=180°，

∴∠ADF+∠AEF=180°，

∴∠A+∠EFD=180°，

∵∠A=60°，

∴∠EFD=120°，

∴∠CFE=180°−120°=60°；

(2)结论：BF+CF=2CN．

理由：如图2中，∵AB=AC，∠A=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AB=CB，∠A=∠CBD=60°，

∵AE=BD，

∴△ABE≌△BCD(SAS)，

∴∠BCF=∠ABE，

∴∠FBC+∠BCF=60°，

∴∠BFC=120°，

如图2−1中，延长CN到Q，使得NQ=CN，连接FQ，

∵NM=NF，∠CNM=∠FNQ，CN=NQ，

∴△CNM≌△QNF(SAS)，

∴FQ=CM=BC，

延长CF到P，使得PF=BF，则△PBF是等边三角形，

∴∠PBC+∠PCB=∠PCB+∠FCM=120°，

∴∠PFQ=∠FCM=∠PBC，

∵PB=PF，

∴△PFQ≌△PBC(SAS)，

∴PQ=PC，∠CPB=∠QPF=60°，

∴△PCQ是等边三角形，

∴BF+CF=PC=QC=2CN．

(3)由(2)可知∠BFC=120°，

∴点F的运动轨迹为红色圆弧(如图3−1中)，

∴P，F，O三点共线时，PF的值最小，

此时tan∠APK=AOAP=23，

∴∠HPK>45°，

∵QK⊥PF，

∴∠PKH=∠QKH=45°，

如图3−2中，过点H作HL⊥PK于点L，设PQ交KH题意点J，设HL=LK=2，PL=3，PH=7，KH=22，

3．（2023·甘肃武威·统考中考真题）【模型建立】（1）如图1，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是等边三角形，点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0边上．①求证：SKIPIF1<0；②用等式写出线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的数量关系，并说明理由．【模型应用】（2）如图2，SKIPIF1<0是直角三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0边上．用等式写出线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的数量关系，并说明理由．【模型迁移】（3）在（2）的条件下，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．

【答案】（1）①见解析；②SKIPIF1<0，理由见解析；（2）SKIPIF1<0，理由见解析；（3）SKIPIF1<0【分析】（1）①证明：SKIPIF1<0，再证明SKIPIF1<0即可；②由SKIPIF1<0和SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，可得SKIPIF1<0．证明SKIPIF1<0，从而可得结论；（2）如图，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．可得SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，从而可得结论；（3）由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0，求解SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如图，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，再利用余弦的定义可得答案．【详解】（1）①证明：∵SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是等边三角形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．

②SKIPIF1<0．理由如下：∵SKIPIF1<0和SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0．理由如下：如图，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．

∵SKIPIF1<0和SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0是直角三角形，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．（3）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．如图，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．

∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，锐角三角函数的灵活应用，本题难度较高，属于中考压轴题，作出合适的辅助线是解本题的关键．4.(2022·广东省深圳市)(1)发现：如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交CD边于G点．求证：△BFG≌△BCG；

(2)探究：如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD=8，AB=6.将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H，且FH=CH，求AE的长．

(3)拓展：如图③，在菱形ABCD中，AB=6，E为CD边上的三等分点，∠D=60°.将△ADE沿AE翻折得到△AFE，直线EF交BC于点P，求PC的长．

【答案】(1)证明：∵将△AEB沿BE翻折到△BEF处，四边形ABCD是正方形，

∴AB=BF，∠BFE=∠A=90°，

∴∠BFG=90°=∠C，

∵AB=BC=BF，BG=BG，

∴Rt△BFG≌Rt△BCG(HL)；

(2)解：延长BH，AD交于Q，如图：

设FH=HC=x，

在Rt△BCH中，BC2+CH2=BH2，

∴82+x2=(6+x)2，

解得x=73，

∴DH=DC−HC=113，

∵∠BFG=∠BCH=90°，∠HBC=∠FBG，

∴△BFG∽△BCH，

∴BFBC=BGBH=FGHC，即68=BG6+73=FG73，

∴BG=254，FG=74，

∵EQ//GB，DQ//CB，

∴△EFQ∽△GFB，△DHQ∽△CHB，

∴BCDQ=CHDH，即8DQ=736−73，

∴DQ=887，

设AE=EF=m，则DE=8−m，

∴EQ=DE+DQ=8−m+887=1447−m，

∵△EFQ∽△GFB，

∴EQBG=EFFG，即1447−m254=m74，

解得m=92，

∴AE的长为92；

(3)解：(Ⅰ)当DE=13DC=2时，延长FE交AD于Q，过Q作QH⊥CD于H，如图：

设DQ=x，QE=y，则AQ=6−x，

∵CP//DQ，

∴△CPE∽△QDE，

∴CPDQ=CEDE=2，

5．（2023·湖北随州·统考中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）当SKIPIF1<0的三个内角均小于SKIPIF1<0时，如图1，将SKIPIF1<0绕，点C顺时针旋转SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，

由SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0为①三角形，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由②可知，当B，P，SKIPIF1<0，A在同一条直线上时，SKIPIF1<0取最小值，如图2，最小值为SKIPIF1<0，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有SKIPIF1<0③；已知当SKIPIF1<0有一个内角大于或等于SKIPIF1<0时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若SKIPIF1<0，则该三角形的“费马点”为④点．(2)如图4，在SKIPIF1<0中，三个内角均小于SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，已知点P为SKIPIF1<0的“费马点”，求SKIPIF1<0的值；

(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知SKIPIF1<0．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/SKIPIF1<0，a元/SKIPIF1<0，SKIPIF1<0元/SKIPIF1<0，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示）【答案】(1)①等边；②两点之间线段最短；③SKIPIF1<0；④A．(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【分析】（1）根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析即可得出结论；（2）根据（1）的方法将SKIPIF1<0绕，点C顺时针旋转SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，即可得出可知当B，P，SKIPIF1<0，A在同一条直线上时，SKIPIF1<0取最小值，最小值为SKIPIF1<0，在根据SKIPIF1<0可证明SKIPIF1<0，由勾股定理求SKIPIF1<0即可，（3）由总的铺设成本SKIPIF1<0，通过将SKIPIF1<0绕，点C顺时针旋转SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，得到等腰直角SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，即可得出当B，P，SKIPIF1<0，A在同一条直线上时，SKIPIF1<0取最小值，即SKIPIF1<0取最小值为SKIPIF1<0，然后根据已知和旋转性质求出SKIPIF1<0即可．【详解】（1）解：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0为等边三角形；∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由两点之间线段最短可知，当B，P，SKIPIF1<0，A在同一条直线上时，SKIPIF1<0取最小值，最小值为SKIPIF1<0，此时的P点为该三角形的“费马点”，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小．又∵已知当SKIPIF1<0有一个内角大于或等于SKIPIF1<0时，“费马点”为该三角形的某个顶点．∴该三角形的“费马点”为点A，故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0．（2）将SKIPIF1<0绕，点C顺时针旋转SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，由（1）可知当B，P，SKIPIF1<0，A在同一条直线上时，SKIPIF1<0取最小值，最小值为SKIPIF1<0，

∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，由旋转性质可知：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0最小值为SKIPIF1<0，（3）∵总的铺设成本SKIPIF1<0∴当SKIPIF1<0最小时，总的铺设成本最低，将SKIPIF1<0绕，点C顺时针旋转SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由旋转性质可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，当B，P，SKIPIF1<0，A在同一条直线上时，SKIPIF1<0取最小值，即SKIPIF1<0取最小值为SKIPIF1<0，

过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0总的铺设成本SKIPIF1<0（元）故答案为：SKIPIF1<0【点睛】本题考查了费马点求最值问题，涉及到的知识点有旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，以及两点之间线段最短等知识点，读懂题意，利用旋转作出正确的辅助线是解本题的关键．6.(2022·重庆市B卷)在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=22，D为BC的中点，E，F分别为AC，AD上任意一点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到线段EG，连接FG，AG．

(1)如图1，点E与点C重合，且GF的延长线过点B，若点P为FG的中点，连接PD，求PD的长；

(2)如图2，EF的延长线交AB于点M，点N在AC上，∠AGN=∠AEG且GN=MF，求证：AM+AF=2AE；

(3)如图3，F为线段AD上一动点，E为AC的中点，连接BE，H为直线BC上一动点，连接EH，将△BEH沿EH翻折至△ABC所在平面内，得到△B'EH，连接B'G，直接写出线段【答案】(1)解：如图1，连接CP，

由旋转知，CF=CG，∠FCG=90°，

∴△FCG为等腰直角三角形，

∵点P是FG的中点，

∴CP⊥FG，

∵点D是BC的中点，

∴DP=12BC，

在Rt△ABC中，AB=AC=22，

∴BC=2AB=4，

∴DP=2；

(2)证明：如图2，

过点E作EH⊥AE交AD的延长线于H，

∴∠AEH=90°，

由旋转知，EG=EF，∠FEG=90°，

∴∠FEG=∠AEH，

∴∠AEG=∠HEF，

∵AB=AC，点D是BC的中点，

∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=45°，

∴∠H=90°−∠CAD=45°=∠CAD，

∴AE=HE，

∴△EGA≌△EFH(SAS)，

∴AG=FH，∠EAG=∠H=45°，

∴∠EAG=∠BAD=45°，

∵∠AMF=180°−∠BAD−∠AFM=135°−∠AFM，

∵∠AFM=∠EFH，

∴∠AMF=135°−∠EFH，

∵∠HEF=180°−∠EFH−∠H=135°−∠EFH，

∴∠AMF=∠HEF，

∵△EGA≌△EFH，

∴∠AEG=∠HEF，

∵∠AGN=∠AEG，

∴∠AGN=∠HEF，

∴∠AGN=∠AMF，

∵GN=MF，

∴△AGN≌△AMF(AAS)，

∴AG=AM，

∵AG=FH，

∴AM=FH，

∴AF+AM=AF+FH=AH=2AE；

(3)解：∵点E是AC的中点，

∴AE=12AC=2，

根据勾股定理得，BE=AE2+AB2=10，

由折叠直，BE=B'E=10，

∴点B'是以点E为圆心，10为半径的圆上，

由旋转知，EF=EG，

∴点G是以点E为圆心，EG为半径的圆上，

∴B'G的最小值为B'E−EG，

要B'G最小，则EG最大，即EF最大，

∵7．（2023·湖南·统考中考真题）（1）[问题探究]如图1，在正方形SKIPIF1<0中，对角线SKIPIF1<0相交于点O．在线段SKIPIF1<0上任取一点P（端点除外），连接SKIPIF1<0．

①求证：SKIPIF1<0；②将线段SKIPIF1<0绕点P逆时针旋转，使点D落在SKIPIF1<0的延长线上的点Q处．当点P在线段SKIPIF1<0上的位置发生变化时，SKIPIF1<0的大小是否发生变化？请说明理由；③探究SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系，并说明理由．（2）[迁移探究]如图2，将正方形SKIPIF1<0换成菱形SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，其他条件不变．试探究SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）①见解析；②不变化，SKIPIF1<0，理由见解析；③SKIPIF1<0，理由见解析（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，理由见解析【分析】（1）①根据正方形的性质证明SKIPIF1<0，即可得到结论；②作SKIPIF1<0，垂足分别为点M、N，如图，可得SKIPIF1<0，证明四边形SKIPIF1<0是矩形，推出SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，进而可得结论；③作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点E，作SKIPIF1<0于点F，如图，证明SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即可得出结论；（2）先证明SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点E，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点G，如图，则四边形SKIPIF1<0是平行四边形，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都是等边三角形，进一步即可证得结论．【详解】（1）①证明：∵四边形SKIPIF1<0是正方形，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0的大小不发生变化，SKIPIF1<0；证明：作SKIPIF1<0，垂足分别为点M、N，如图，

∵四边形SKIPIF1<0是正方形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴四边形SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；证明：作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点E，作SKIPIF1<0于点F，如图，

∵四边形SKIPIF1<0是正方形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0是矩形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0于点M，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；证明：∵四边形SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等边三角形，SKIPIF1<0垂直平分SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点E，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点G，如图，则四边形SKIPIF1<0是平行四边形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都是等边三角形，∴SKIPIF1<0，

作SKIPIF1<0于点M，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形、菱形的性质，矩形、平行四边形、等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、正确添加辅助线是解题的关键．8.(2021·四川省达州市)某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

【观察与猜想】

(1)如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，则DECF的值为______；

(2)如图2，在矩形ABCD中，AD=7，CD=4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，则CEBD的值为______；

【类比探究】

(3)如图3，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE⋅AB=CF⋅AD；

【拓展延伸】

(4)如图4，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AD=9，tan∠ADB=13，将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处得△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，DE⊥CF．

①求DECF的值；

②连接【答案】解：(1)如图1，设DE与CF交于点G，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A=∠FDC=90°，AD=CD，

∵DE⊥CF，

∴∠DGF=90°，

∴∠ADE+∠CFD=90°，∠ADE+∠AED=90°，

∴∠CFD=∠AED，

在△AED和△DFC中，

∠A=∠FDC∠CFD=∠AEDAD=CD，

∴△AED≌△DFC(AAS)，

∴DE=CF，

∴DECF=1；

(2)如图2，设DB与CE交于点G，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠EDC=90°，

∵CE⊥BD，

∴∠DGC=90°，

∴∠CDG+∠ECD=90°，∠ADB+∠CDG=90°，

∴∠ECD=∠ADB，

∵∠CDE=∠A，

∴△DEC∽△ABD，

∴CEBD=DCAD=47，

故答案为：47．

(3)证明：如图3，过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H，

∵CG⊥EG，

∴∠G=∠H=∠A=∠B=90°，

∴四边形ABCH为矩形，

∴AB=CH，∠FCH+∠CFH=∠DFG+∠FDG=90°，

∴∠FCH=∠FDG=∠ADE，∠A=∠H=90°，

∴△DEA∽△CFH，

∴DECF=ADCH，

∴DECF=ADAB，

∴DE⋅AB=CF⋅AD；

(4)①如图4，过点C作CG⊥AD于点G，连接AC交BD于点H，CG与DE相交于点O，

∵CF⊥DE，GC⊥AD，

∴∠FCG+∠CFG=∠CFG+∠ADE=90°，

∴∠FCG=∠ADE，∠BAD=∠CGF=90°，

∴△DEA∽△CFG，

∴DECF=ADCG，

在Rt△ABD中，tan∠ADB=13，AD=9，

∴AB=3，

在Rt△ADH中，tan∠ADH=13，

∴AHDH=13，

设AH=a，则DH=3a，

∵AH2+DH2=AD2，

∴a9．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图1，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0分别为边SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0．初步尝试：（1）SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系是_________，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的位置关系是_________．特例研讨：（2）如图2，若SKIPIF1<0，先将SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0顺时针旋转SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为锐角），得到SKIPIF1<0，当点SKIPIF1<0在同一直线上时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0．

（1）求SKIPIF1<0的度数；（2）求SKIPIF1<0的长．深入探究：（3）若SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0顺时针旋转SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．当旋转角SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在同一直线上时，利用所提供的备用图探究SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系，并说明理由．【答案】初步尝试：（1）SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；（2）特例研讨：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】（1）SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0分别为边SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位线，即可得出结论；（2）特例研讨：（1）连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0是等边三角形，SKIPIF1<0是等边三角形，得出SKIPIF1<0；（2）连接SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，勾股定理求得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；（3）当点SKIPIF1<0在同一直线上时，且点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上时，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在同一个圆上，进而根据圆周角定理得出SKIPIF1<0，表示SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，即可求解；当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上时，可得SKIPIF1<0在同一个圆上，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，表示SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，即可求解．【详解】初步尝试：（1）∵SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0分别为边SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位线，∴SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；故答案是：SKIPIF1<0；（2）特例研讨：（1）如图所示，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位线，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵将SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0顺时针旋转SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为锐角），得到SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；SKIPIF1<0∵点SKIPIF1<0在同一直线上时，∴SKIPIF1<0又∵在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是斜边SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0是等边三角形，∴SKIPIF1<0，即旋转角SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0是等边三角形，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,（2）如图所示，连接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,

∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）∴SKIPIF1<0,（3）如图所示，当点SKIPIF1<0在同一直线上时，且点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上时，

∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位线，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∵将SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0顺时针旋转SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∵点SKIPIF1<0在同一直线上，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在同一个圆上，

∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；如图所示，当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上时，

∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0在同一个圆上，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0顺时针旋转SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0,SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0综上所述，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，中位线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．10.（2021·山西中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，试猜想SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系，并加以证明；独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将SKIPIF1<0沿着SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点）所在直线折叠，如图②，点SKIPIF1<0的对应点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0并延长交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，请判断SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系，并加以证明；问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将SKIPIF1<0沿过点SKIPIF1<0的直线折叠，如图③，点A的对应点为SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，折痕交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．该小组提出一个问题：若此SKIPIF1<0的面积为20，边长SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求图中阴影部分（四边形SKIPIF1<0）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．【答案】（1）SKIPIF1<0；见解析；（2）SKIPIF1<0，见解析；（3）SKIPIF1<0．【分析】（1）如图，分别延长SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交于点P，根据平行四边形的性质可得SKIPIF1<0，根据平行线的性质可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用AAS可证明△PDF≌△BCF，根据全等三角形的性质可得SKIPIF1<0，根据直角三角形斜边中线的性质可得SKIPIF1<0，即可得SKIPIF1<0；（2）根据折叠性质可得∠CFB=∠C′FB=SKIPIF1<0∠CFC′，FC=FC′，可得FD=FC′，根据等腰三角形的性质可得∠FDC′=∠FC′D，根据三角形外角性质可得∠CFC′=∠FDC′+∠FC′D，即可得出∠C′FB=∠FC′D，可得DG//FB，即可证明四边形DGBF是平行四边形，可得DF=BG=SKIPIF1<0，可得AG=BG；（3）如图，过点M作MQ⊥A′B于Q，根据平行四边形的面积可求出BH的长，根据折叠的性质可得A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH，根据SKIPIF1<0可得A′B⊥AB，即可证明△MBQ是等腰直角三角形，可得MQ=BQ，根据平行四边形的性质可得∠A=∠C，即可得∠A′=∠C，进而可证明△A′NH∽△CBH，根据相似三角形的性质可得A′H、NH的长，根据NH//MQ可得△A′NH∽△A′MQ，根据相似三角形的性质可求出MQ的长，根据S阴=S△A′MB-S△A′NH即可得答案．【详解】（1）SKIPIF1<0．如图，分别延长SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交于点P，∵四边形SKIPIF1<0是平行四边形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,∵SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0，在△PDF和△BCF中，SKIPIF1<0，∴△PDF≌△BCF，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0．∵将SKIPIF1<0沿着SKIPIF1<0所在直线折叠，点SKIPIF1<0的对应点为SKIPIF1<0，∴∠CFB=∠C′FB=SKIPIF1<0∠CFC′，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴∠FDC′=∠FC′D，∵SKIPIF1<0=∠FDC′+∠FC′D，∴SKIPIF1<0，∴∠FC′D=∠C′FB，∴SKIPIF1<0，∵四边形SKIPIF1<0为平行四边形，∴SKIPIF1<0，DC=AB，∴四边形SKIPIF1<0为平行四边形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（3）如图，过点M作MQ⊥A′B于Q，∵SKIPIF1<0的面积为20，边长SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，∴BH=50÷5=4，∴CH=SKIPIF1<0，A′H=A′B-BH=1，∵将SKIPIF1<0沿过点SKIPIF1<0的直线折叠，点A的对应点为SKIPIF1<0，∴A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH，∵SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，AB//CD，∴SKIPIF1<0，∴∠MBH=45°，∴△MBQ是等腰直角三角形，∴MQ=BQ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∴∠A′=∠C，∵∠A′HN=∠CHB，∴△A′NH∽△CBH，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：NH=2，∵SKIPIF1<0，MQ⊥A′B，∴NH//MQ，∴△A′NH∽△A′MQ，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：MQ=SKIPIF1<0，∴S阴=S△A′MB-S△A′NH=SKIPIF1<0A′B·MQ-SKIPIF1<0A′H·NH=SKIPIF1<0×5×SKIPIF1<0-SKIPIF1<0×1×2=SKIPIF1<0．【点睛】本题考查折叠的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．11．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）【问题呈现】SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是直角三角形，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，探究SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的位置关系．

(1)如图1，当SKIPIF1<0时，直接写出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的位置关系：____________；(2)如图2，当SKIPIF1<0时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．【拓展应用】(3)当SKIPIF1<0时，将SKIPIF1<0