2020-2021学年太原市高一年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年太原市高一上学期期末数学试卷

一、单选题（本大题共12小题，共36.0分）

4

1.若角仪是第三象限角，且sina=一—，则悟02a=（）

2424'244

A.——B.-----C.——D.—

72Sqq

2.已知扇形04B的面积为4,圆心角为2弧度，则⑪的长为（）

A.2B.4C.27rD.47r

3.塞函数y=f（x）的图象经过点（3,遮），则〃%）是（）

A.偶函数，且在（0,+8）上是增函数

B.偶函数，且在（0,+8）上是减函数

C.奇函数，且在（0,+8）上是增函数

D.非奇非偶函数，且在（0,+8）上是增函数

4.如图是函数y=sin（3x+0）（W|<$的图象，那么（）

5.给出下列三个等式：f(xy)=f(x)+f(y),/(x+y)=/(x)/(y),f(x+y)=/(x)+f(y),下

列函数中不满足其中任何一个等式的是（）

A./(x)=3XB./(%)=xa

C./（%）=log2xD./（%）=kx（kw0）

6.已知角a的终边与以坐标原点为圆心，以1为半径的圆交于点P（sin等，cos等），则角a的最

00

小正值为（）

A.=B.空3D,A12L

6336

7.已知函数/'(X)=x+2*，5(x)=%+Inx,h(x)=/+%-2的零点分别为Xi，x2,x3,则()

A.x3<<x2B.<x3<x2C.x2<x3<D.xr<x2<x3

8.已知函数/'OXAs讥3x+0)(4>0,3>0,|如〈》的部分图象如图所示，则/(尤)的解析式可

以为（）

A.y=2sin(2x+g)

C.y=2sin(2x-；)D.y=2sin(x-g)

9.已知sinf—a')=—>贝!]cos(2a+?)=()

63J

10.已知sin2a<0,cosa<0,则下列各式一定成立的是（）

A.sina<0B.tana>0

C.sina+cosa>0D.sina—cosa>0

11.如图所示为函数/M=Asin（@x+@）（A〉0,0》0,0<（p<^

）的部分图象，那么/卜3）=（）

1

A.

2

B.1

C.-1

D.0

12.设a=log2n,b=log^rt,c=/则()

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>b>a

二、单空题（本大题共4小题，共16.0分）

13.已知sin（?r+a）=-3且a是第二象限角，那么tan2a=

14.若偶函数y=/(x)(xeR)满足/'(1+x)=/(I-x),且当*e[-1,0]时,/(x)=/，则函数g(x)=

/(x)-|/gx|的零点个数为个.

15.已知tana=/，tan(a—.)=—岑，则tan/?=.

16.已知命题p:“对任意的右图4工,,:点一嫡西聊"，命题q:“存在短E虚“?F普备除呼雷-碱=财”若命

题“p且q”是真命题，则实数僦的取值范围是.

三、解答题(本大题共7小题，共72.0分)

1-31

17.(1)0.064~-(-1)0+165+0.255;

8

(2)22+ZO^Z5—210g2310g3$.

18.(本小题满分10分)

已知tan0=5,求下列各式的值：

4cosa+sinacosa?-6sina

(i)：-+------------:

。sin。+2cosd

一)5sin2a-3sinCLCOSO+7

l—2sM(7r+4)cos(27r-a)

19.已知tan(a+*=3,求sin2(-a)-sin2(^+a)的值,

20.计算：

(1)3-1++lg20+IgS;

(2)求函数y=log(x+1)(16-4%)的定义域.

21.已知函数/(%)=/+b%+。，(b,cER),5(x)=/(/(%)),记非空数集4={%|/(x)=0},B=

{%|g(%)=0].

(I)若函数f(x)图象过点p(l,6),且方程/(%)=2%只有唯一解，求函数f(x)解析式；

(H)若c=0,且Z=B,求b的取值范围；

(皿)若方程/(X)=不存在两个不同的实数根，且函数/(X)与g(x)的值域相同，求C的取值范围.

22.已知函数(x)=(sin"c+石cos公x)：-1(其中回〉0)，且函数|/(x)的最小正周期为区.

(I)求叵的值；

(n)求函数百■在区间上的最大值和最小值.

23.在。ABC中，角4,B,C所对的边分别是a,b,c,已知sin4sinB+sinBsinC+cos2B=1

(1)求证：a,b,c成等差数列;

(2)若。==,求?的值.

参考答案及解析

1.答案：A

434

解析：解：•・•a为第三象限角，sin(x=--,cosa=--,.;tana=—

553

2tana24

tan2oc=

1-tan2aT

故答案选：A.

2.答案：B

解析：解：设扇形04B的半径为r,

根据题意可得：|x2xr2=4,解得r=2.

则Q弧长=2x2=4.

故选：B.

利用扇形面积计算公式、弧长计算公式即可得出.

本题考查了扇形面积计算公式、弧长计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

3.答案：C

解析：

本题考查待定系数法求出基函数的解析式，以及基函数奇偶性、单调性的应用，属于基础题.

设基函数/'（x）=xa（a是常数），把已知点代入求出a的值，由函数奇偶性的定义判断出是奇函数，由

幕函数的单调性，判断出在（0,+8）上的单调性，即可得答案.

解：设幕函数/（%）=x«a是常数），

••・幕函数/的图象经过点（3,遮），

3a=遮=35>则a=

即/（x）="

.•・函数的定义域是R,且,（一%）=_x5=_y（x）,

=箝是奇函数,

va=->0,

3

・•・f(%)在(0,+8)上是增函数,

故选：C,

4.答案：B

解析：解：根据函数'=5也(3芯+0)(|0<$的图象，可得;X生=?+£,求得3=2,

再根据五点法作图，可得2xg+0=7T,.•.0=%

故选：B.

由周期求出3,由五点法作图求出9的值，可得结论.

本题主要考查由函数丫=①加3%+9)的部分图象求解析式，由周期求出3,由五点法作图求出9的

值，属于基础题.

5.答案：B

解析：解：由于函数/'(x)=3*满足/"(X+y)=函数f(x)=log2%满足f(xy)=/(x)+f(y),

函数/。)=由(4#0)满足八%+、)=/。)+/3),故排除4、C、D,

再根据基函数的性质可得f。)=”不满足题中所给的等式中的任意一个，

故选：B.

根据指数函数、对数函数、一次函数、幕函数的性质，对各个选项中的函数进行逐一判断，找出不

满足其中任何一个等式的函数，从而得出结论.

本题主要考查指数函数、对数函数、一次函数、基函数的性质应用，属于中档题.

6.答案：D

8sy~2后

解析：因为点p在a的终边上，所以tana=-4―=-^=-4-.因为点P在第四象限，所以最

二2一“33

sn—n

小的正角为一”，故选。。

6

7.答案：D

解析:

本题考查函数的零点，属于一般题.

先判断各函数零点的范围，再进行比较即可得解.

解：由f(%)=x+2*=0可得2*=-x,则零点必定小于零，即与<0,

・・・g(x)=%+，n%在(0,1)单调递增，且存在&€(0,1),使得g(&)<0,又g(l)>0,则g(x)的零点

必位于(0,1)内,即0<%2<1，

函数八(%)=%3+%一2在R上单调递增，且h(l)=0,则无(%)零点%3=1,

故％1<x2<x3.

故选D

8.答案：A

解析：解：由函数f(x)=Asm(3%+?)的部分图象知，

A=2,IT=,

46124

解得T=n.

(；

o=-T=2

又2s+/=2x|+w=g+21-7T,

由|勿<5解得

n

:./(%)=2sin(2x+—

故选：A.

由函数/(x)的部分图象求得4、T、3和“的值，即可写出/(x).

本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题.

9.答案：D

解析：

本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题.由题意利用诱导公式、二倍角的

余弦公式，求得cos(2a+g)的值.

解：vsin(^—a)=乎,则cos(2a+半)——cos[zr—(2a+~)]——cos(；—2a)——1+2sin2(^—

a)T

故选D.

10.答案:D

解析：

根据题意，由sin2a<0,cosa<0分析可得cosa<0,则sina>0,据此分析选项，综合即可得答

案.

本题考查三角函数的恒等变形，关键是掌握二倍角的正弦公式.

解：根据题意，sin2a=2sinacosa<0,即sina、cosa符号相反，

又由cosa<0,则sbiQ>0,

据此分析选项：

对于4、sina>0,故A错误，

对于B、tana=—<0,故8错误，

cosa

对于C、cosa<0,sina>0,则sina+cosa>0不一定正确，C错误，

对于0、cosa<0,sina>0,则必有sina—cosa>0,。正确.

故选：D.

II.答案：。

解析：本题主要考查的是三角函数的图像和性质，是一道中档题.

T2乃7i

解：由题意得，.•.4=2,-=3-|-ll=4T=8,.-.^=—^=-,把4（一1,2）代入函数

/:JL

/（x）=Asin（0x+^）（A>0>"0，"开）中,

/（.VI=2sin/（-3I=0，故答案选：D.

12.答案：C

解析：解：由于a=log27r>1,b=log2^=-log27T<-1,c=（0,1）,

1・a>c>b,

故选：C.

由条件利用对数函数的单调性和特殊点判断出a、匕、c的范围，可得它们间的大小关系.

本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，属于基础题.

13.答案：-延

7

解析：解：•・•sin（7r+a）=-sina=-j,

・•・sina=i

3

・・・a是第二象限角，

・•・cosa<0,

・•・cosa=—V1—sin2a=----，

3

sinaV2

tana=------

cosa4

2tana4>/2

贝!Jtan2a=

l-tan2a7

故答案为一竽

利用诱导公式化简已知等式左边求出sina的值，再利用同角三角函数间的基本关系求出cosa的值,

进而确定出tana的值，所求式子利用二倍角的正切函数公式化简，将tana的值代入计算即可求出值.

此题考查了二倍角的正切，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解

本题的关键.

14.答案:10

解析：解：•偶函数y=/(x)(xeR)满足/'(1+x)=f(l-x),

故答案为：10.

运用函数的对称性和奇偶性，确定函数y=/(x)的周期，构造函数y=f(x),h(x)=\lgx\,则函数

g(x)=/(x)-|/gx|的零点问题转化为图象的交点问题，结合图象，即可得到结论.

本题的考点是函数零点与方程根的关系，主要考查函数零点的定义，关键是正确作出函数图象，注

意掌握周期函数的一些常见结论：若/(x+a)=f(x),则周期为a；若/(x+a)=-〃>),则周期为

2a等.

15.答案：2金

解析：解：tana=乎，tan(a-£)=—日，

可得：巴丝士竺=一立.

,1+tanatan/52

~tanp_=_V2

1+ytan/?2'

解得：tanp=2V2.

故答案为：2企.

利用两角和与差的三角函数转化求解即可.

本题考查两角和与差的三角函数，考查转化思想以及计算能力.

16.答案：卜啊士一簿如'=4

解析：试题分析：根据题意，由于命题p：“对任意的富图工时婢-浏回旷，则可知a小于等于6的

最小值1即可，故可知渐七：1，对于命题q：“存在死色虚/F黑窝能#软-螂=励”，说明方程有解，则

判别式大于等于零，故可知

砾户一/碱:迎螭;Uka?-襄#弼更知；匚熊谓导怎目酎-既更厕:中：豳港口.或三一鼠由于命题"p且q”是

真命题，则求解交集得到的参数a的范围是废旧士-域涮=年。

考点：复合命题的真值

点评：主要是考查了命题的真值，以及复合命题的真值的运用，属于基础题。

17.答案：解：(1)0.064-3-(-|)o+16J+0.25i

=0.4-1-1+23+0.5

=2.5—1+8+0.5

10；

(2)22+Zo^z5—2l0d23log3S

22+log25_2，。0238935

4x5-5=15.

解析：(1)直接利用有理指数基的运算法则化简求解即可.

(2)利用对数的运算法则化筒求解即可.

本题考查指数与对数的运算法则的应用，考查计算能力.

18.答案：0

□S

解析:

19.答案：解：由tan(a+》=3,得手生=3,解得tana=；.

41-tanatan-2

4

1—2sin(n+a)cos(27r—a)1+2sinacosa

sin2(—a)—sin2(^+a)-siMa—cos2a

o111

(sina+cosarsina+cosatana+1z+1

—___________________________________171_______________—___________—±____=__o4

(sina-cosa)(sina+cosa)sina-cosatana-1-1

解析：由已知展开两角和的正切求得tana,再由诱导公式及二倍角公式化弦为切求解.

本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及两角和正切的应用，是基础题.

20.答案：解：(1)原式=：-•3+仞100=1—•3+2=-

16-4X>0

(2)由题意可得：x+1>0,解得：一1cx<2,且

.尤+1中1

•,・函数y=log(x+i)(16-铲)的定义域为{幻―1<%<2,且x于0}.

解析：(1)利用.指数与对数运算性质即可得出；

16-4》>0

(2)由题意可得：jx+1>0,解出即可得出.

.尤+1片1

本题考查了指数与对数运算性质、函数的定义域，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

21.答案：解：(I)由题意可得"1)=6,即l+b+c=6,即c=5—b,

又/(x)=2x只有一个解，可得(6—2>—4c=0,

即的-2)2-4(5-/?)=0,解得6=±4,

当b=4时，c=l；当b=-4时，c=9,

可得/(x)=x2+4x+1或/(x)=-4x+9；

(n)^c=0,/(x)=x2+bx,g(x)=(%2+hx)2+b(x2+bx),

由非空数集4={x|/(x)=0},B={x\g(x)=0},

又g(x)=(x2+/>x)(x2+bx+b)=0,

由4=8,可得％2+取+6=0无解或只有解0,

即。2—4b<0,可得0<b<4；或b=0,

可得b的范围是[0,4)；

(HI)证明：f(%)=%-；可得%2+bx+c=无一%

即/+(b-l)x+c+，=0,

△=(b—I)2—4(c+^)<0,可得(b—I)2<4c4-1,

又f(X)=(%+g)2+c—g2c—令f(%)=t>c—y,

g(x)=/+尻+c,又f(%)和g(%)的值域相同,

可得c—可得cwQ—2,可得4cWb2—2b,可得4c+lW(b—l)2,

又(b-l)2<4c-1,可得4c+l=(b-l)2>0,解得c>-i

解析：(I)由f(l)=6,以及f(x)=2x只有一个解，可得b,c的方程组，解方程可得所求值；

(口)求得/。)的解析式，由题意可得g(x)的解析式，由4=8,可得/+取+6=0无解或只有解0,

即可得到所求范围；

(W)由题意可得x2+(b-l)x+c+：=0,由判别式小于等于0,再由f(x)和g(x)的值域相同，可得

b,c的关系式，即可得到所求c的范围.

本题考查二次函数的解析式的求法和二次方程的根的分布，以及二次函数的值域，考查化简整理的

运算能力，属于中档题.

22.答案：(1)皈=葭(口)当工=一：时，函数取得最小值/(一：)=一6+1,

当卜=7时,函数取得最大值&)=3.

解析：试题分析：([)因为|f(x)=(sina)x+忑costyx)?-1

|=(sin;a)x+3coszax+lyfisintaxcos<yx)-l

|=2cos2tyx+抬sin2iyx2分

卜cos2tyx+gsin2©x+14分

=2sin(2