2020-2021学年广东省汕头市澄海区九年级（上）期末数学试卷 （含解析）

2020-2021学年广东省汕头市澄海区九年级第一学期期末数学试

卷

一、选择题（共10小题）.

1.一元二次方程f-2x+l=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.无法确定

2.如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于3的数的概率是

3.下列图形中，是中心对称图形的是（

4.如图，在△ABC中，ZBAC=32°,将△A3C绕点A按顺时针方向旋转50°,对应得到

△A8C,则/CAB的度数为（）

A.18°B.82°C.64°D.100°

5.如图，AB是。。的直径，N80C=100°,则/。的度数为（）

C.40°D.80°

6.若关于x的一元二次方程以2+区+1=0（aWO）的一个解是x=l,则2020-a-6的值是

A.2025B.2015C.2021D.2019

7.“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋

在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问锯几何？”用现代的数学语言

表述是：“如图，。为。。的直径，弦ABLCQ垂足为E,CE=1寸，A8=10寸，求

直径CD的长”，依题意，C。长为（

C.24寸D.26寸

8.如图，在长为54米、宽为38米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪.要使

草坪的面积为1800平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（

A.(54-X)(38-%)=1800B.(54-%)(38-尤)+无2=1800

C.54X38-54x-38x=1800D.54x+38x=1800

9.如图，将矩形ABC。绕点8顺时针旋转90°至矩形EBG尸的位置，连接AC、EG,取

AC,EG的中点M、N,连接MN,若AB=8,BC=6,则MN=(

10.如图，抛物线yuaf+bx+c（〃W0）与％轴交于点（3,0）,对称轴为直线％=1.结合

图象分析下列结论：

①Q/?C>0；

②4a+2Z?+c>0；

③一元二次方程〃/+陵+。=0的两根分别为修=3,x2=-1;

④2Q+CV0.其中正确的结论有（）个.

二、填空题（共7小题，每小题4分，共28分）

11.点尸（3,-2）关于原点对称的点在第象限.

12.抛物线y=2f-1的顶点坐标是.

13.已知矩形的长和宽是方程¥-9%+20=0的两个实数根，则矩形的面积为

14.如图，在。。中，A3是直径，CD是。0的切线，直线A3和ED交于点C,ZADE=

60°,则NC的度数为

EDC

15.设a,b是一个直角三角形两条直角边的长，且（GW）（«W-1）=6,则这个直角

三角形的斜边长为.

16.汽车刹车后行驶的距离s（米）与行驶时间r（秒）的函数关系是s=18「6广，汽车从

刹车到停下来所用时间是秒.

17.如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC,ZC=90°,CD=4,BC=9.以A为旋转中

心将腰A8顺时针旋转90°至AE,连接DE,若DE=DB.则△&£）£的面积等于.

三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）

18.解方程：¥-4=3（x+2）

19.如图，已知抛物线y=f+fcv+c经过A（-3,0）,C（0,-3）两点.

（1）求6,c的值;

（2）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标，并结合图象，写出当y<0时，x的取值范

20.如图，在中，ZACB=90°.

（1）作OO,使它过点A、2、C（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）所作的圆中，若AC=2,AB=4,求劣弧BC的长.

四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

21.为相应国家“一带一路”经济发展战略，树立品牌意识，我市质检部门对4、B、C、D

四个厂家生产的同种型号的零件共2000件进行合格率检测，通过检测得出C厂家的合格

率为95%,并根据检测数据绘制了如图1、图2两幅不完整的统计图.

(1)抽查。厂家的零件为件，扇形统计图中。厂家对应的圆心角为.

(2)抽查C厂家的合格零件为件，并将图1补充完整.

(3)若要从A、B、a。四个厂家中，随机抽取两个厂家参加德国工业产品博览会，请

用“列表法”或“画树形图”的方法求出A、8两个厂家同时被选中的概率.

22.如图，将aABC绕点A按顺时针方向旋转90。，得到△ADE,点8的对应点为点D

点C的对应点E落在BC边上，连接BD.

(1)求证：DE_LBC；

(2)若AC=3近，8c=7,求线段的长.

23.在一次聚会上，规定每两个人见面必须握1次手.

(1)若参加聚会的人数为6,则共握手次，若参加聚会的人数为为正整数)，

则共握手次；

(2)若参加聚会的人共握手36次，请求出参加聚会的人数；

(3)小明由握手问题想到了一个数学问题：若线段上共有m个点(不含端点A、B),

线段总数为多少呢？请直接写出结论.

五、解答题(三)(本大题共2小题，每小题10分，共20分)

24.如图，在四边形48CD中，AD//BC,ADLCD,AC=AB,为△ABC的外接圆.

(1)如图1,求证：是。。的切线；

(2)如图2,CD交。0于点E,过点A作AGJ_BE,垂足为后交于点G.

①求证：AG=BG；②若AD=4,CD=5,求GP的长.

25.如图，抛物线经过A(-2,0),8(4,0),C(0,-3)三点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在直线BC下方的抛物线上有一动点P,使得△P8C的面积最大，求点尸的坐标；

(3)点M为尤轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N,使以A,C,M,N四点构成

的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题（共10小题）.

1.一元二次方程f-2x+l=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.无法确定

解：由题意可知：△=（-2）--4X1X1=0,

故选：B.

2.如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于3的数的概率是

【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二

者的比值就是其发生的概率.

解：•.•共6个数，大于3的有3个，

:.P（大于3）=^-=~

62

故选：D.

3.下列图形中，是中心对称图形的是（）

【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,

那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案.

解：4不是中心对称图形，故此选项不合题意；

8、不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；

。、是中心对称图形，故此选项符合题意；

故选：D.

4.如图，在△A8C中，ZBAC=32°,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°,对应得到

AAB'C,则/CAB的度数为（）

解：•.•将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50。，

：.ZCAC=50°,

：NBAC=32°,

：.ZCAB=50°+32°=82°,

故选：B.

5.如图，AB是。。的直径，ZBOC=100°,则/。的度数为（

故选：C.

6.若关于x的一元二次方程〃¥+次+1=0(〃wo)的一个解是1=1,则2020-〃-b的值是

()

A.2025B.2015C.2021D.2019

【分析】根据关于x的一元二次方程ox2+fe+l=0(〃W0)的一个解是％=1,可以得到

的值，然后将所求式子变形，再将〃+人的值代入，即可解答本题.

解：•・•关于x的一元二次方程⑪2+云+1=0(〃W0)的一个解是龙=1,

。+/?+1=0,

a+b=-1,

A2020-a-b

=2020-(〃+Z?)

=2020-(-1)

=2020+1

=2021,

故选：C.

7.“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋

在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问锯几何？”用现代的数学语言

表述是：“如图，CO为。0的直径，弦垂足为E,CE=1寸，A8=10寸，求

直径CD的长”，依题意，8长为(

C.24寸D.26寸

【分析】根据垂径定理和勾股定理求解.

解：连接。4,如图所示，

设直径C。的长为2x,则半径OC=x,

：CD为。。的直径，弦于E,48=10寸,

：.AE^BE^—AB=—X10=5寸，

22

连接则04=%寸，

根据勾股定理得X2=5?+(x-1)2,

解得x=13,

C£)=2x=2X13=26(寸).

故选：D.

8.如图，在长为54米、宽为38米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪.要使

草坪的面积为1800平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（）

B.(54-x)(38-尤)+¥=1800

C.54X38-54x-38x=1800D.54x+38x=1800

解：设道路的宽为X米，则种植草坪的部分可合成长（54-X）米，宽为（38-x）米的

矩形,

依题意得：(54-x)(38-%)=1800.

故选：A.

9.如图，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°至矩形EBGF的位置，连接AC,EG,取

AC、EG的中点M、N,连接跖V,若A8=8,BC=6,则MN=()

C.5D.5%

解：如图，连接8。，BF,DF,

:四边形ABC。，四边形8EFG都是矩形，M、N是AC、EG的中点，

.•.点M是的中点，点N是BF的中点，

：.MN=—DF,

2

VAB=8,BC=6,

,■•AC=R皿2+BC2=.64+36=1。，

.•.AC=BD=10,

:将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°至矩形EBGF的位置，

：.DB=BF=10,ZDBF=90°,

:.DF=^D=10近,

:.MN=5近,

故选：D.

10.如图，抛物线y=af+bx+c（czWO）与无轴交于点（3,0）,对称轴为直线尤=1.结合

图象分析下列结论：

①Q/?C>0；

②4a+2Z?+c>0；

③一元二次方程〃/+加；+0=0的两根分别为为=3,入2=-1;

④2〃+cV0.其中正确的结论有（）个.

A.1B.2C.3D.4

解：抛物线开口向下，因此。<0,对称轴为x=l>0,因此a、b异号，所以6>0,抛物

线与y轴交点在正半轴，因此c>0,所以。儿<0,故①不正确；

当x=2时，y=4a+2b+c>0,故②正确；

抛物线与x轴交点（3,0）,对称轴为x=L因此另一个交点坐标为（-1,0）,即方

程苏+法+。=0的两根为制=3,无2=-1，故③正确；

抛物线与x轴交点（-1,0）,所以a-b+c—0,又％=-"^-=1,有2a+b=6,所以3a+c

2a

=0,而a<0,因此2a+c>0,故④不正确；

故选：B.

二、填空题（共7小题，每小题4分，共28分）

11.点尸（3,-2）关于原点对称的点在第象限.

解：点尸（3,-2）关于原点对称的点为（-3,2）,在第二象限，

故答案为：二.

12.抛物线y=2f-1的顶点坐标是（0,-1）.

【分析】利用顶点坐标公式直接求解.

解：根据顶点坐标公式，

得顶点横坐标为工=2=0,

2a

纵坐标为y=4&c-卜一=-1,即（0,-1）.

4a

13.己知矩形的长和宽是方程x2-9x+20=0的两个实数根，则矩形的面积为20.

解：设矩形的长和宽分别为修、尤2,

根据题意得XI-X2=20,

所以矩形的面积=XI•尤2=20.

故答案为20.

14.如图，在O。中，AB是直径，是的切线，直线A3和瓦）交于点C,/ADE=

60°,则/C的度数为3度.

二

EDC

【分析】连接0。，根据切线的性质和已知条件求得NA0O=3O°；由等腰三角形的性质

知NA=NADO=30°；然后根据圆周角定理得到NCOD=2NA=60°；最后根据直角

三角形的性质来求NC的度数.

解：如图，连接0。，

•「CO是。。的切线，0。是半径，

：.ODA.EC,

：.ZEDO=90°.

VZADE=60°,

AZADO=30°.

9：0D=0A,

：.ZA=ZADO=30°.

：.ZCOD=2ZA=60°,

：.ZC=90°-60°=30°.

故答案是：30°.

15.设〃，b是一个直角三角形两条直角边的长，且(/+廿)(«W-1)=6,则这个直角

三角形的斜边长为—丘.

【分析】将办“看做整体解方程得“2+62=3或/+/=-2(舍)，从而得出/=/+”

=3,即可得答案.

解：*.*(«2+/?2)(tz2+Z?2-1)=6,

(/+/)2-(a2+/?2)-6=0,

(a2+b2-3)(a2+/?2+2)=0,

解得：/+。2=3或〃2+》2=一2(舍)，

则<?=/+。2=3,

・•・这个直角三角形的斜边长为

故答案为：如.

16.汽车刹车后行驶的距离s（米）与行驶时间t（秒）的函数关系是s=18-6广，汽车从

刹车到停下来所用时间是1.5秒.

解：•.•s=18r-6，，

=-6（/-1.5）2+13.5,

.•.当1=1.5秒时，s取得最大值，即汽车停下来.

故答案为：1.5

17.如图，在直角梯形ABC。中，AD//BC,NC=90°,CO=4,BC=9.以A为旋转中

心将腰A8顺时针旋转90°至AE,连接。E,若DE=DB.则△AAE的面积等于10.

,/以A为旋转中心将腰AB顺时针旋转90°至AE,

：.AE=AB,ZBAE=90°,

ZABE^ZAEB=45°,

•：DE=DB,AE=AB,

：.AD垂直平分BE,

：.AM±BE,BM=ME=AM,

•：AD//BC,NC=90°,

：.ZADC=90°,BC±BE,

四边形DC3M是矩形，

：.BC=MD=9,BM=CD=4,

：.AD=MD-AM=5,

：.△ADE的面积=2XA£)XEM=LX5X4=10,

22

故答案为10；

三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题6分，共18分)

18.解方程：/-4=3G+2)

【分析】首先去括号，再合并同类项，最后十字相乘法分解因式，解两个一元一次方程

即可.

解：：尤2-4=3(x+2),

*.x-4=3x+6,

.,.x2-3x-10=0,

(%-5)(x+2)=0,

.•.x+2=0或x-5=0,

•*Xi-■-2,忿=5.

19.如图，己知抛物线y=¥+bx+c经过A(-3,0),C(0,-3)两点.

⑴求6,c的值；

(2)求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标，并结合图象，写出当了＜0时，x的取值范

围.

【分析】(1)利用待定系数法解答；

(2)由(1)中所求得的6、c的值可以确定函数解析式，将一般式转化为交点式，易得

点B的坐标；结合函数图象解答.

解：(1)把A(-3,0),C(0,-3)分别代入y=x2+bx+c,得

(9-3b+c=0

lc=-3

b=2

解得

c=-3

（2）由（1）可得：抛物线y=f+2x-3=（尤+3）（x-1），则A（-3,0）,8（1,0）.

观察函数图象知，当y<0时，x的取值范围是-3<x<l.

20.如图，在RtaABC中，ZACB=90°.

（1）作。。，使它过点A、B、C（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）所作的圆中，若AC=2,AB=4,求劣弧BC的长.

【分析】（1）利用尺规作AB的垂直平分线，即可作OO,使它过点A、B、C；

（2）根据AC=2,AB=4,利用弧长公式即可求劣弧的长.

解：（1）如图，即为所求；

OA=OC=AC=2,

...△Q4C是等边三角形,

：.ZCOA=60°,

:.zcoB=no°,

,人_120兀义2_4兀

"BC1803',

答：劣弧2C的长为等.

四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

21.为相应国家“一带一路”经济发展战略，树立品牌意识，我市质检部门对A、B、C、D

四个厂家生产的同种型号的零件共2000件进行合格率检测，通过检测得出C厂家的合格

率为95%,并根据检测数据绘制了如图1、图2两幅不完整的统计图.

（1）抽查。厂家的零件为500件,扇形统计图中。厂家对应的圆心角为90。.

（2）抽查C厂家的合格零件为380件,并将图1补充完整.

（3）若要从A、B、C、。四个厂家中，随机抽取两个厂家参加德国工业产品博览会，请

用“列表法”或“画树形图”的方法求出48两个厂家同时被选中的概率.

抽查厂家零件数条形统计图抽查厂家零件数扇形图

【分析】（1）用2000乘以。所占的百分比得到抽查。厂家的零件数，然后用360。乘

以。所占的百分比得到得到扇形统计图中D厂家对应的圆心角；

（2）用2000乘以C厂家的合格率得到抽查C厂家的合格零件数，然后补全条形统计图；

（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出48两个厂家同时被选中的结果

数，然后根据概率公式求解.

解：（1）抽查。厂家的零件为2000（1-35%-20%-20%）=500（件），扇形统计图

中。厂家对应的圆心角=上®-><360°=90°

2000

（2）抽查C厂家的合格零件=2000X95%X20%=380（件），

条形统计图补充为：

抽查厂家零件数条形统计图

故答案为500,90°,380；

(3)画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中A、B两个厂家同时被选中的结果数为2,

所以A、8两个厂家同时被选中的概率=三=”.

126

22.如图，将AABC绕点A按顺时针方向旋转90。，得到△ADE,点8的对应点为点D

点C的对应点E落在BC边上，连接BD.

(1)求证：DE±BC；

(2)若AC=3如，BC=7,求线段BD的长.

【分析】(1)由旋转的性质可得AC=AE,NCA£=90°,NAED=/ACE,可得NACE

=ZAEC=45°=ZAED,可得结论；

(2)由直角三角形的性质可求EC=6,可求BE=1,由勾股定理可求8。的长.

解：(1)•••将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90。，

：.AC^AE,ZCAE=90°,NAED=/ACE,

AZACE=ZAEC=45°=ZAEDf

：.ZDEC=90°,

：.DE_LBC；

（2）・・・AE=AC=3&,ZEAC=90°,

:・EC=6,

：.BE=BC-EC=lf

・・,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°,

：.DE=BC=1,

•**DB=^BE2+DE2=449+1=5V2-

23.在一次聚会上，规定每两个人见面必须握1次手.

（1）若参加聚会的人数为6,则共握手15次,若参加聚会的人数为〃"为正整数）,

则共握手次；

（2）若参加聚会的人共握手36次，请求出参加聚会的人数；

（3）小明由握手问题想到了一个数学问题：若线段上共有机个点（不含端点A、B）,

线段总数为多少呢？请直接写出结论.

【分析】（1）利用握手的次数=/x参加聚会的人数X（参加聚会的人数-1）,即可

求出结论；

（2）利用（1）的结论及参加聚会的人共握手36次，即可得出关于力的一元二次方程，

解之取其正值即可得出结论；

（3）利用线段的总数=微■义点的个数义（点的个数-1）,即可得出结论.

解：（1）若参加聚会的人数为6,共握手段义6X5=15（次）,

若参加聚会的人数为w5为正整数），共握手氏（n-1）（次）.

故答案为：15；、■〃（"-1）.

（2）依题意得：—n（n-1）=36,

2

整理得：n-n-72=0,

解得：ni=9,〃2=-8（不合题意，舍去）.

答：参加聚会的人数为9人.

（3）:线段A8上共有5+2）（包含端点A、B）个点,

线段总数为寺（777+2）（m+1）（条）.

五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）

24.如图，在四边形ABC。中，AD//BC,ADLCD,AC=AB,为△ABC的外接圆.

（1）如图1,求证：是。。的切线；

（2）如图2,CO交。。于点E,过点A作AGJ_BE,垂足为凡交BC于点G.

①求证：AG=BG；②若AO=4,CD=5,求GP的长.

图1图2

【解答】（1）证明：如图1,连接。A,OB,OC,

图1

在△OAC和△048中，

'AC=AB

<OA=OA，

OC=OB

.•.△OAC^AOABCSSS),

：.ZOAC^ZOAB,

平分/8AC,

：.AO±BC.

又：AO〃BC,

：.AD±AO,

A。是。。的切线；

（2）①证明：如图2,连接AE.

D\

图2

u：ZBCE=90°,

：.ZBAE=90°,

XVAFXBE,

ZAFB=90°,

VZBAG+ZEAF=ZAEB+ZEAF=90°,

:・NBAG=/AEB,

ZABC=ZACB=ZAEB,

：.ZBAG=ZABCf

：.AG=BG；

②解：在△A。。和△△尸5中，

<ZADC=ZAFB=90°

<ZACD=ZABF，

tAC=AB

AAADC^AAFB(A4S),

：.AF=AD=4fBF=CD=5,

设/G=x,在RtZXB尸G中，FG=x,BF=5,BG=AG=xU,

2122

：.FG+BF=BGf即¥+52=(x+4),

._9

••X——,

8

9

：.FG=—.

8

25.如图，抛物线经过A(-2,0),B(4,0),C(0,-3)三点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在直线BC下方的抛物线上有一动点P,使得△P8C的面积最大，求点尸的坐标；

(3)点M为无轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N,使以A,C,M,N四点构成