2020-2021学年辽宁省盘锦市兴隆台区九年级（上）期末数学试卷（解析版）

2020-2021学年辽宁省盘锦市兴隆台区九年级第一学期期末数学

试卷

一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）.

1.下列图形中，是中心对称图形的是（）

A.正三角形B.平行四边形C.正五边形D.直角三角形

2.下列说法正确的是（）

A.中奖概率为0.001,只要抽1000次，就肯定能中奖

B.概率很小的事件不可能发生

C.投一枚图钉，可以用列举法求得“针尖朝上”的概率

D.“任意画一个多边形，其外角和都是360°”为必然事件

3.如图，点A、B、C、。在。。上，NB£>C=30°,点3是金的中点，则NAOC=（)

A.36°B.72°C.120°D.60°

4.下列方程中没有实数根的是（)

A.N+x+2=0B.2x=0C./-2我x+2=0D.2x2-1x=1

5.下列关于三角形外心的说法中，正确的是（）

A.三角形的外心是三角形各角平分线的交点

B.三角形的外心是三角形三边中线的交点

C.三角形的外心是三角形三边高线的交点

D.三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点

6.若x=2是一元二次方程匕2+3x+2=0的一个解，则％的值是（）

A.-2B.2C.0D.-2或0

7.如图，48,BC和AC分别为0。内接正方形，正六边形和正〃边形的一边，则"是（

B

O

A.六B.八C.十D.十二

8.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（单位：小〃）是

气体体积M（单位：加3）的反比例函数，其图象如图所示.当气球内的气压大于144Aa

时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应（）

c.不大于3*1D.不小于耳小

2

9.某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率分布折线图，则符

C.从长度分别为3,5,7,9的四条线段中任取3条组成三角形

D.从一个装有形状、大小完全相同，只有颜色不同的2个红球1个黑球的袋子中任取一

球，取到的是黑球

10.如图，已知点A（-4,2）,B（1,1）,以原点O为位似中心，按相似比为1：2把

△408缩小，则点4的对应点A'的坐标为（)

A.(-2,1)B.(2,-1)

C.(-2,1)或(2,-1)D.(-8,4)或(2,2)

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)

11.如图，是。。的直径，/ACD=2NBA£>,若BD=2,则的直径为

12.如图，AB、AC是。0的两条切线，8、C是切点.若/4=45°,则/BCA=度.

13.如图，在宽为13m,长为24,”的矩形场地上修建同样宽的三条小路(横向与纵向垂直)，

其余部分种草坪，假设草坪面积为264序，求道路宽为多少？设宽为xm则列出的方程

是.

•<------------------24加-----------------►

13m

IT

14.如图，Rt^AOB中，NABO=90°,反比例函数产三(％#0)的图象与42交于点C,

x

且AC：CB=3：1,若SAAOB=8,则k的值为.

TA

15.抛物线y=ax2+a-2与x轴有两个交点，且当x>0时，y随x的增大而增大，则a的取

值范围是.

16.如图，在AABC中，A8=6,8c=8,AC=7,点。，E分别在A8,BC上，将△BOE

沿ED折叠，点B的对应点F刚好落在AC上.当4CEF与AABC相似时，BE的长

为.

三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分，解答应写出必要的文字说明、证

明过程或演算步骤)

17.解下列方程：

(1)2X2+3A:-4=0；

(2)5x(2x+l)=6x+3.

18.小英和小亮两人玩儿摸球游戏.把标号分别为1,2,3,4的大小形状完全相同的小球

装在一个不透明的口袋中.小英随机摸取一个小球然后放回，小亮再随机摸出一个小球.

(1)下面的游戏规则中，你认为对双方公平的是哪几个？(写出序号即可)

①两人摸出的小球的标号之和是奇数时，小英获胜；否则小亮获胜；

②两人摸出的小球的标号的乘积能被2整除时，小英获胜；否则小亮获胜；

③两人摸出的小球的标号的乘积能被3整除时，小英获胜；否则小亮获胜；

④两人摸出的小球的标号的乘积能被4整除时，小英获胜；否则小亮获胜：

(2)如果你是小英，为了获胜，你想选择上面(1)中的哪一种规则？并说明理由.

19.阅读下列材料：

小金遇到了这样的一个问题：如图1,。是等边三角形ABC内一点，0A=3,。8=4,

0C=5,求NAOB的度数.

小金的思路是：如图2,构造△ABO',使△A。'B@ACOB,再用勾股定理的逆定理和

等边三角形的性质，求出NAOB的度数.

解：将线段80绕点B逆时针旋转60°,得到线段B。'，连接。'A,00'.

：.BO=BO',ZOBO'=•••

(1)请你按小金的思路将本题的解答过程补充完整；

(2)”如图3,点P为正方形ABC。内的一点，PA=1,PB=2,PC=3,求/APB的

度数”.请你根据(1)的解题思路完成：

①给出辅助线作法，并画出对应的图形(不必写出解答过程)；

②直接写出NAP8的度数.

四、解答题(本大题共2小题，每小题10分，共20分，解答应写出必要的文字说明、证

明过程或演算步骤)

20.己知抛物线)，=-2/+4x+6.

(1)请用配方法将>'=-2X2+4X+6化为(x-/i)2+k的形式，并写出对称轴和顶点

的坐标；

(2)在平面直角坐标系中，画出y=-2%2+4x+6的图象；

(3)如果该抛物线沿x轴向左或向右平移胆(/n>0)个单位后经过原点，求〃?的值;

(4)当0<xW4时，求y的取值范围.

21.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=h（AWO）与反比例函数产四（加WO）的

x

图象交于点A和点8，已知点A的坐标为（3,1）.

（I）求反比例函数表达式；

（2）若点P为y轴上一动点，当△ABP的面积为4时，求点P的坐标；

（3）根据图象直接写出当日〉史时，x的取值范围.

x

五、解答题（本大题共2小题，共24分，每小题12分，解答应写出必要的文字说明、证

明过程或演算步骤）

22.如图，是。。的弦，半径OCLAB于点。，点E在射线OC上，HZOEB=ZOAB.

（1）求证：BE是0。的切线；

（2）若A8=2«,NOAB=30°,求图中阴影部分弓形的面积.

23.某超市以每个15元的批发价购进一批花盆.按每个25元出售，平均每天可以卖出60

个.经过市场调查发现，单价每降价1元，平均每天就要多卖出10个.

(1)若超市采用降价销售的方式，当定价多少时，平均每天获利630元？

(2)若降价后超市每天的其他费用为100元，定价是多少时，超市利润最大？最大利润

是多少？

六、解答题(本大题共1题，共14分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

24.(1)巩固基础

如图，在AABC中，点。，E分别在A3,AC上，HDE//BC,过点4作射线分别交。E

于凡于BC与G,求证：

DF=BG

FE-GC'

(2)迁移应用

如图2,在中，ZC=90°,BC=3,A8=5,点。为AC边上一点，点E在8。

上，JiEF//AC,EG//BC,若EF：EG=1：3,求CO的长.

七、解答题(本大题共1题，共14分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

25.如图，抛物线了=以2+法+3经过点A(-1,0),8(3,0),与y轴交于点C.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若点。是抛物线的顶点，判断△BCO的形状，并说明理由；

(3)抛物线上是否存在一点P,使得△4CP是以4C为直角边的直角三角形？若存在，

求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）.

1.下列图形中，是中心对称图形的是（）

A.正三角形B.平行四边形C.正五边形D.直角三角形

【分析】根据中心对称图形的概念求解.

解：A、正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

8、平行四边形是中心对称图形，故此选项正确；

C、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

。、直角三角形不是中心对称图形，故此选项不合题意；

故选：B.

2.下列说法正确的是（）

A.中奖概率为0.001,只要抽1000次，就肯定能中奖

B.概率很小的事件不可能发生

C.投一枚图钉，可以用列举法求得“针尖朝上”的概率

D.“任意画一个多边形，其外角和都是360°”为必然事件

【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，掌握其概念是解决此

题关键.

解：A、买彩票中奖的概率为0.001,并不意味着买1000张彩票就一定能中奖，只有当买

彩票的数量非常大时.，才可以看成中奖的频率接近中奖的概率0.001，故说法错误；

8、概率很小的事件也有可能发生，故说法错误；

C、投一枚图钉，“针尖朝上”，无法利用列举法求概率，故说法错误；

。、“任意画一个多边形，其外角和都是360。”为必然事件，说法正确.

故选：D.

3.如图，点A、B、C、力在。。上，ZBDC=30°,点8是总的中点，则NAOC=（）

IO\

D\

B

A.36°B.72°C.120°D.60°

【分析】如图，连接08,由圆周角定理推知N8OC=60°,然后根据圆心角、弧的关系

求得答案.

解：如图，连接。8,

,.,BC=BC-NBDC=30。，

；./BOC=2NBDC=60°.

又•••点B是宝的中点，

••AB=BC-

NAOB=N8OC=60°.

AZAOC^ZAOB+ZBOC^120°.

故选：C.

4.下列方程中没有实数根的是()

A.x2+x+2—0B.2x—0C.x2-2^/^x+2=0D.2x2-lx—1

【分析】分别计算出各选项中方程的判别式或方程的根，从而做出判断.

解：4.方程/+乂+2=0中4=12-4*1*2=-7<0,没有实数根，符合题意；

B.方程2%=0的根为x=0,不符合题意；

C.方程/-2&乂+2=0中&=(-2&)2-4XlX2=0,有两个相等的实数根，不符

合题意；

D.方程2%2-7X=1,即2%2-7X-1=0中小=(-7)2-4X2X(-1)=57>0,有两

个不相等的实数根，不符合题意.

故选：A.

5.下列关于三角形外心的说法中，正确的是()

A.三角形的外心是三角形各角平分线的交点

B.三角形的外心是三角形三边中线的交点

C.三角形的外心是三角形三边高线的交点

D.三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点

【分析】利用三角形的外心的性质分别判断得出即可.

解：•••三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，

；.4、B、C选项错误，。选项正确，

故选：D.

6.若x=2是一元二次方程h2+3x+2=0的一个解，则发的值是（）

A.-2B.2C.0D.-2或0

【分析】把x=2代入方程h2+3x+2=0得：4"6+2=0,然后通过解方程确定女的值.

解：把x=2代入方程fcr2+3x+2=0得：4k+6+2=0,

解得k=-2.

•••方程区2+3》+2=0是关于x的一元二次方程，

...kWO.

故选：A.

7.如图，A2,8c和AC分别为。0内接正方形，正六边形和正〃边形的一边，则”是（）

A.六B.八C.十D.十二

【分析】根据正多边形中心角的定义求出，ZAOB,NBOC可得结论.

解：连接。1,OB,OC.

由题意，ZAOB=——=90°,ZBOC=——=60°,

46

AZAOC=ZAOB-ZBOC=30°,

30

故选：D.

8.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（单位：kPa）是

气体体积V（单位：机3）的反比例函数，其图象如图所示.当气球内的气压大于144%&

时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应()

A.不大于2布B.不小于2"C.不大于国加3D.不小于旦以3

3322

【分析】根据题意可知温度不变时，气球内气体的气压P(kPa)是气体体积V(加)的

反比例函数，且过点(1.5,64)故PW=96；故当P<144,可判断

解：设球内气体的气压P(kPa)和气体体积丫(加3)的关系式为2=本

:图象过点(1.5,64)

；.k=96,

即2=等在第一象限内，P随丫的增大而减小，

.•.当PW144时，

1443

故选：B.

9.某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率分布折线图，则符

----1----1----11----11--------►

100------200------3。0;熬

A.抛一枚硬币，出现正面朝上

B.掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上

C.从长度分别为3,5,7,9的四条线段中任取3条组成三角形

D.从一个装有形状、大小完全相同，只有颜色不同的2个红球1个黑球的袋子中任取一

球，取到的是黑球

【分析】利用折线统计图可得出试验的频率在0.33左右，进而得出答案.

解：A、抛一枚硬币，出现正面朝上的概率为0.5,不符合这一结果；

B、掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上为《，不符合这一结果；

C、从长度分别为3、5、7、9的4条线段中任取3条作三角形的边，等可能的结果有：3、

5、7；3、7、9；5、7、9；3、7、9,

且能组成三角形的有：3、5、7；5、7、9；3、7、9；

...能组成三角形的概率为g,不符合这一结果；

4

。、从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球的概率为蓝，符合这

一结果.

故选：D.

10.如图，已知点A（-4,2）,«（1,1）,以原点O为位似中心，按相似比为1：2把

△408缩小，则点4的对应点A，的坐标为（）

C.（-2,1）或（2,-1）D.（-8,4）或（2,2）

【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案.

解：•.•以原点O为位似中心，按相似比为1：2把aAOB缩小，点A的坐标为（-4,2）,

.•.点A的对应点A'的坐标为（-4X《，2xA）（-4X（-A）,2X（-A））,

2222

即（-2,1）或（2,-1）,

故选：C.

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)

II.如图，4B是。。的直径，ZACD=2ZBAD,若80=2,则。。的直径为4

【分析】利用圆周角定理得到：/A£)B=90°,ZACD=ZB,结合三角形内角和定理和

已知条件可以判定/D4B=3O°,则AB=28£>,此题得解.

解：是。0的直径，

.•.408=90°.

7AD=AD-

ZACD^ZABD.

又；N4C£)=2NBA。，ZBAD+ZABD=90°,

AZBAD=30°.

*：BD=2,

：.AB^2BD=4.

故答案是：4.

12.如图，AB,AC是。。的两条切线，B、C是切点.若NA=45°,则NBCA=67.5度.

【分析】根据切线长定理可得AB=AC,再由NA的度数可得答案.

解：•••AB、4c是。。的两条切线，B、C是切点，

J.AB^AC,

：.ZBCA=^ZCBA,

：/A=45°,

：.ZBCA=—X(180°-45°)=67.5°.

2

故答案为：67.5.

13.如图，在宽为13%，长为24,”的矩形场地上修建同样宽的三条小路(横向与纵向垂直)，

其余部分种草坪，假设草坪面积为264nl2,求道路宽为多少？设宽为x，〃，则列出的方程

是(13-x)(24-2x)=264

24m

13m

【分析】设宽为mz,剩下的耕田面积可平移成长方形，且能表示出长和宽，从而根据面

积可列出方程.

解：设宽为xnt，(13-x)(24-2x)=264.

故答案为：(13-x)(24-2%)=264.

14.如图，RtZXAOB中，/ABO=90°,反比例函数),=乂(4彳0)的图象与AB交于点C,

x

且AC：C8=3：1,若SAAOB=8,则无的值为4.

【分析】设出0B和BC的长度，可以表示出C点坐标，由此得到k与参数的关系，利用

△A08的面积为8,得到所设参数的方程，进而求出上

解：设08=机，BC=〃,

CCm,ri'),

•••C点在反比例函数y总的图象上，

X

:・k=mn,

•AC：CB=3：1,

.\AC=3CB=3n,

：.AB=AC+CB=4nf

■:S^AOB=8,

••­10B'AB=8>

.\4mn=16,

.\/wn=4,

:・k=mn=4,

故答案为：4.

15.抛物线)，=加+“-2与x轴有两个交点，且当x>0时，y随x的增大而增大，则a的取

值范围是a>0.

【分析】由抛物线y=ar2+“-2与x轴有两个交点，可得，A=a2-4aX(-2)>0,可

求得a的范围a>0或a<-8；又当x>0时，y随x的增大而增大，且抛物线的对称轴

为直线：x=-y,可得，抛物线的开口向上，即a>0,综合可得结论.

解：：抛物线y="2+a-2与x轴有两个交点，

2

A=a2_4ax(-2)=a+8a>0,

.">0或aV-8,

由抛物线y=a/+a-2可知，抛物线对称轴为直线：犬=-/，

又当x>0时，y随x的增大而增大，

，抛物线开口向上，即a>0,

综上，a的取值范围为0>0.

故答案为：a>0.

16.如图，在aABC中，AB=6,8c=8,AC=7,点。，E分别在45,BC上，将△BOE

沿瓦)折叠，点8的对应点厂刚好落在AC上.当△CEP与△ABC相似时，BE的长为

丝或壁

7-13--

【分析】根据折叠的性质得到根据相似三角形的性质即可得到结论.

解：：将△BOE沿DE翻折得到

:.BE=EF,

：BC=8,

：.CE=8-BE,

当△CEF与8c相似时，丝=空或空■=变，即殳坦=些或空型=延,

BCABACAB8676

解得：阳=券或等

IXO

故答案是：丝或翼■.

713

三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分，解答应写出必要的文字说明、证

明过程或演算步骤)

17.解下列方程：

(1)2x2+3x-4=0；

(2)5x(2x+l)=6x+3.

【分析】(1)先求出按-4“c的值，再代入公式求出答案即可；

(2)整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.

解：(1)2N+3X-4=0,

这里4=2,6=3,c=-4,

：△=父-4ac=32-4X2*(-4)=41,

•»■=力士Jb2-4ac=-3±TH

2a2X2

解得…二上叵，皿=士叵;

44

（2）5x（2x+l）=6x+3,

♦.,整理得：10x2-x-3=0,

；.（2x+l）（5x-3）=0,

；.2x+l=0或5x-3=0,

解得：X\—-X2="1".

25

18.小英和小亮两人玩儿摸球游戏.把标号分别为1,2,3,4的大小形状完全相同的小球

装在一个不透明的口袋中.小英随机摸取一个小球然后放回，小亮再随机摸出一个小球.

（1）下面的游戏规则中，你认为对双方公平的是哪几个？（写出序号即可）

①两人摸出的小球的标号之和是奇数时，小英获胜；否则小亮获胜；

②两人摸出的小球的标号的乘积能被2整除时，小英获胜：否则小亮获胜；

③两人摸出的小球的标号的乘积能被3整除时，小英获胜；否则小亮获胜；

④两人摸出的小球的标号的乘积能被4整除时，小英获胜；否则小亮获胜；

（2）如果你是小英，为了获胜，你想选择上面（1）中的哪一种规则？并说明理由.

【分析】（1）根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然

后根据概率公式即可得出答案；

（2）根据（1）小英胡获胜的概率，找出概率最大的即可得出答案.

解：（1）列表如下：

1234

1(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)

2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)

3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)

4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)

所有等可能的情况有16种，

①两次摸出的球的标号之和为偶数和奇数的情况都是8种,

则尸（小英获胜）=《，P（小亮获胜）=《，二者相等，说明游戏公平.

22

②两人摸出的小球的标号的乘积能被2整除的有12种，

则p（小英获胜）=¥•=?，p（小亮获胜）=4二者不相等，说明游戏不公平.

1644

③两人摸出的小球的标号的乘积能被3整除的有7种，

则P（小英获胜）=工，P（小亮获胜）=冬，二者不相等，说明游戏不公平.

④两人摸出的小球的标号的乘积能被4整除的有8种，

则P（小英获胜）=县=《，P（小亮获胜）=!，二者相等，说明游戏公平.

1622

游戏对双方公平的是①④；

（2）如果我是小英，为了获胜，我应选择②，这样获胜的概率比较大.

19.阅读下列材料：

小金遇到了这样的一个问题：如图1，0是等边三角形A8C内一点，0A=3,08=4,

0C=5,求/A08的度数.

小金的思路是：如图2,构造△ABO',使△AO'BqACOB,再用勾股定理的逆定理和

等边三角形的性质，求出/AOB的度数.

解：将线段B。绕点B逆时针旋转60°,得到线段B。'，连接。'A,00'.

：.BO=BO',ZOBO'=•••

（1）请你按小金的思路将本题的解答过程补充完整；

（2）”如图3,点P为正方形A8CO内的一点，PA=\,PB=2,PC=3,求N4PB的

度数”.请你根据（1）的解题思路完成：

①给出辅助线作法，并画出对应的图形（不必写出解答过程）；

【分析】（1）由"S可证△B。'A丝△BOC,可得0c=0'A=5,利用勾股定理的逆定

理即可证得△A。。'是直角三角形，即可求解.

(2)①将aBCP绕点B顺时针旋转90°得到△BAE,然后连接PE,图形如图2所示.

②根据旋转的性质知△8CP丝△BAE.由全等三角形的对应边相等、等腰三角形的判定推

知ABPE是等腰三角形，则/BPE=/BEP=45°；然后由全等三角形的对应边相等、勾

股定理证得NAPE=90°：最后根据图中角与角间的数量关系求得/AP8=135°.

图2

:将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO',

：.ZOBO'=60°,AO'=CO=5,

是等边三角形，

：.ZBOO'=60°,

'：AO2+OO2=25=O'A2,

.•.N4OO'=90°,

AZAOB=\50°；

(2)①将△8CP绕点3顺时针旋转90°得到△BAE,然后连接PE,图形如图2所示.

图2

②；根据旋转的性质知NPBE=90°,4BCP注4BAE.

：.BP=BE,PC=AE,

:.NBPE=NBEP=45°.

又PA=1,PB=2,PC=3,PE=&PB=2&,

：.AE2=AP2+PE2,

AZAPE=-90°，

AZAPB=ZAPE+ZBPE=90°+45°=135°,即图2中NAPB的度数为135°.

四、解答题(本大题共2小题，每小题10分，共20分，解答应写出必要的文字说明、证

明过程或演算步骤)

20.已知抛物线y=-2x2+4x+6.

(1)请用配方法将y=-2x2+4x+6化为y—a(x-h)2+k的形式，并写出对称轴和顶点

的坐标；

(2)在平面直角坐标系中，画出y=-2%2+4x+6的图象；

(3)如果该抛物线沿x轴向左或向右平移％(/»>0)个单位后经过原点，求力的值；

(4)当0WxW4时，求y的取值范围.

【分析】(1)直接利用配方法求出二次函数顶点坐标和对称轴得出答案:

(2)利用(1)中所求进而画出函数图象；

(3)直接利用函数图象得出即可；

(4)直接利用二次函数增减性以及结合极值法求出y的取值范围.

解：(1)由题意可得：y=-2%2+4x+6=-2(x-1)2+8,

对称轴为：直线x=l,顶点坐标为：(1,8)；

(2)如图所示:

（4）当0WxW4时，

当x=l,y=8,当x=4,y=-10,

则y的取值范围为：-10WyW8.

21.如图，在平面直角坐标系中，一次函数尸Ax（20）与反比例函数尸则（"/0）的

x

图象交于点A和点B,已知点A的坐标为（3,1）.

（1）求反比例函数表达式；

（2）若点尸为y轴上一动点，当AABP的面积为4时，求点尸的坐标；

（3）根据图象直接写出当船＞处时，x的取值范围.

x

【分析】（1）根据待定系数法即可求得;

(2)根据反比例函数和正比例函数的对称性求得B的坐标，然后根据三角形面积公式得

到(3+3)=4,求得。尸的长，即可求得尸的坐标；

(3)根据图象即可求得.

解：(1)•.•反比例函数y=@WO)的图象经过点A(3,1),

X

・••m=3X1=3,

反比例函数表达式为y=3；

X

(2)•.•一次函数&WO)与反比例函数)，=旦(m#0)的图象交于点A和点B,

X

点A的坐标为(3,1),

：.B(-3,-1),

；・SAABP=LOP・(3+3)=4,

2

4

JOP=—,

3

AA

点尸的坐标为(0,4■)或(0,-4)；

33

(3)观察图象，当日》&时，x的取值范围是-3<x<0或x>3.

x

五、解答题(本大题共2小题，共24分，每小题12分，解答应写出必要的文字说明、证

明过程或演算步骤)

22.如图，AB是。。的弦，半径0CL4B于点。，点E在射线0C上，且N0EB=/0A8.

(1)求证：BE是。0的切线；

(2)若48=2«,N048=30°,求图中阴影部分弓形的面积.

【分析】(1)连接0B,由直角三角形的性质及等腰三角形的性质得出NOBE=90°,

则可得出结论；

(2)由直角三角形的性质得出0力=返A£>=1,400=60°,根据扇形的面积公式可

3

得出答案.

【解答】（1）证明：连接03,

•：OA=OB9

：.ZOAB=ZOBA,

・・・0C_LAB,

：.ZBDE=90°,

:.NDBE+NOEB=90°,

•：NOEB=NOAB,

・・・NO84+NZ）BE=90°,

AZOBE=90°,

・・・OBA.BE,

・・・5E是。。的切线；

（2）解：・・・OD_LA8,A8=2«,

.\AD=-^AB=yf2f

,：ZOAB=30°,

JQ

A0D=-^-AD=\,ZAOD=60°,

3

・・・0A=2,NA08=2/A00=120°,

/.S^AOB=-^ABX0D=yX2V3X1=«，2.=*'

，阴影部分弓形的面积为S檎形AO8-SAAO«=-^TI-^3-

23.某超市以每个15元的批发价购进一批花盆.按每个25元出售，平均每天可以卖出60

个.经过市场调查发现，单价每降价1元，平均每天就要多卖出10个.

（1）若超市采用降价销售的方式，当定价多少时，平均每天获利630元？

（2）若降价后超市每天的其他费用为100元，定价是多少时，超市利润最大？最大利润

是多少？

【分析】（1）设定价为x元，根据题意列出关于x的一元二次方程，求解即可；

(2)根据题意列出函数解析式，再根据函数的性质求函数最值即可.

解：(1)设定价是x元，由题意，得：

[(25-x)X10+60JX(x-15)=630,

化简，得：-10x2+460x-4650=630,

解得：制=24,及=22,

答：当定价为24元或22元时，平均每天获利630元；

(2)设获利为卬元，

贝I」卬=[(25-x)X10+601X(x-15)-100=-10JV2+460X-4750=-10(x-23)2+540,

V-10<0,抛物线开口向下，w有最大值，

.•.当x=23时，w有最大值，最大值为540元.

答：定价是23元时，超市利润最大，最大利润是540元.

六、解答题(本大题共1题，共14分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

24.(1)巩固基础

如图，在aABC中，点。，E分别在4B,AC上，jaDE//BC,过点4作射线分别交OE

于凡于BC与G,求证：

_DF=BG

FE-GC'

(2)迁移应用

如图2,在中，ZC=90°,BC=3,AB=5,点。为AC边上一点，点E在2。

上，HEF//AC,EG//BC,若E/：EG=1：3,求CD的长.

图1图2

【分析】(1)证明△AD/S^ABG,AAEF^AACG,根据相似三角形的性质得到典=

BG

怨，弊=绊，等量代换证明结论；

AGCGAG

(2)过点。作OH〃BC交AB于”，根据相似三角形的性质得到O，=3C。，再证明△

ADH^^ACB,根据相似三角形的性质列出比例式，求出CD

【解答】（1）证明：：OE〃BC,

：./\ADF^/\ABG,^AEF^/XACG,

.DF=AFEF=AF

••而一前'正一前

.DF_EF

••前一西’

.DF=BG

•♦丽一而；

(2)解：过点。作£W〃BC交A8于，,

■:EG//BC,

J.EG//DH,

:ABEGS/\BDH,

.EG_BE

••而一丽’

'：EF//AC,

•EF=BE

•0一丽’

.EG=EF

••丽一亩

在RtZ\ACB中，NC=90。，BC=3,AB=5,

=