高一数学二次函数的性质和图象课件

二次函数的图象和性质

高一数学毕京祥2021/5/91

教学目标知识与技能目标1．能通过配方把二次函数

化成

的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；2．会利用对称性画出二次函数的图象．3、会用公式确定对称轴和顶点坐标。2021/5/92过程与方法目标通过思考（新问题转化为旧知识，）探究，归纳，尝试等过程，让学生从中学会探索新知的方式方法。情感态度价值观目标经历求二次函数的对称轴和顶点坐标的探究过程，渗透配方法和数形结合的思想方法。2021/5/93重点和难点

教学重点：

用配方法确定抛物线的顶点坐标和对称轴

教学难点：

配方法的推导过程2021/5/94（一）二次函数的定义

一般地，如果y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0),那么y叫做x的二次函数.①②解：根据题意，得２2021/5/95

（二）二次函数的几种表达式：①、②、③、(顶点式)(一般式)(交点式)2021/5/96

例2、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标是-1、3，与y轴交点的纵坐标是：（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.（1）确定抛物线的解析式；你能用不同方法求解析式吗?试试看哦开口向上;对称轴直线x=1;顶点坐标(1,-2)2021/5/97抛物线开口方向顶点坐标对称轴最值a>0a<0增减性a>0a<0当a>0时开口向上，并向上无限延伸；当a<0时开口向下，无限延伸.(h,k)直线直线在对称轴左侧，y随x的增大而减小在对称轴右侧，y随x的增大而增大在对称轴左侧，y随x的增大而增大在对称轴右侧，y随x的增大而减小xyxy

（三）二次函数的图像与性质2021/5/98（四）研究二次函数的一般方法:

（1）配方（2）求函数的图象与x轴的交点（3）列表描点作图（4）函数图象的对称性质（5）函数的增减性，最值2021/5/99例3.研究函数的图像与性质.

所以函数y=f(x)的图像可以看作是由y=x2

经一系列变换得到的，具体地说：先将y=x2

的图像向左移动4个单位，再向下移动2个单位得到的图像解：（1）配方得

（2）函数与x轴的交点是：(－6，0)和(－2，0)（0，6）函数与y轴的交点：2021/5/910（4）函数f(x)在(－∞,－4]上是减函数，在[－4,+∞)

上是增函数.（5）函数f(x)在x=－4时，取得最小值－2，记为ymin=－2.

它的图象顶点为(－4，－2)（3）函数图像的对称性质：函数的对称轴是x=－4。如果一个函数f(x)满足：

f(a+x)=f(a－x)，那么函数f(x)关于x=a对称.2021/5/911练习.已知抛物线y=的的对称轴x=2（1）求m的值，并判断抛物线开口方向；（2）求函数的最值及单调区间。解：（1）因为抛物线的对称轴是x=2，所以，解得m=2，m－1>0，抛物线的开口向上.（2）原函数整理得y=x2－4x+3=(x－2)2－1.

所以当x=2时，ymin=－1.

单调增区间为[2,+∞)，单调减区间为(－∞,2].2021/5/912例4.已知函数f(x)=ax2+bx(a，b为常数)，x∈[－1，1]，（1）若函数f(x)为偶函数，且f(1)=1，求a，b的值；（2）若函数f(x)为奇函数，且f()=,求f(x)的值域。解：（1）因为函数f(x)=ax2+bx为偶函数，所以b=0，又f(1)=1，所以a=1.f(x)=x2.

（2）函数f(x)为奇函数，则a=0，b=1，所以f(x)=x，x∈[－1，1]，所以值域是[－1，1].2021/5/913例5.已知函数f(x)=x2－4x+1，不计算函数值，比较f(－1)、f(1)、f(4)、f(5)的大小。解：f(x)=x2－4x+1=(x－2)2－3，对称轴是x=2，在区间[2,+∞)上是增函数.

f(－1)=f(2－3)=f(2+3)=f(5)，

f(1)=f(2－1)=f(2+1)=f(3)，所以f(1)<f(4)<f(－1)=f(5).2021/5/914例6.已知二次函数y=x2－mx+m－2，（1）证明：无论m为何值时，函数的图象与x轴总有两个交点；（2）m为何值时，这两个交点之间的距离最小。解：（1）△=m2－4m+8=(m－2)2+4>0，所以无论m为何值时，函数的图象与x轴总有两个交点；（2）设方程的两个解分别为x1，x2，则x1+x2=m，x1x2=m－2，(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2=m2－4m+8=(m－2)2+4.所以当m=2时，|x1－x2|最小，最小值是2.2021/5/915

能力训练

二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则在下列各不等式中成立的个数是____________1-10xy①abc<0②a+b+c<0③a+c>b④2a+b=0⑤Δ=b2-4ac>0①④⑤2021/5/9161.已知的图象如图所示,则a、b、c满足()

(A)a<0,b<0,c<0;(B)a>0,b<0,c>0(C)a<0,b>0,c>0;(D)a<0,b<0,c>0Dx0y

反馈练习：2021/5/9172、下列各图中能表示函数y=ax+b和在同一坐标系中的图象大致是（）

x0A

yyyyx0Bx0x0CDD2021/5/918总结：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的系数a，b，c，△与抛物线的关系

aa,bc△a决定开口方向：a＞０时开口向上，

a＜０时开口向下a、b同时决定对称轴位置：a、b同号时对称轴在y轴左侧

a、b异号时对称轴在y轴右侧

b＝０时对称轴是y轴c决定抛物线与y轴的交点：c＞０时抛物线交于y