2019年辽宁省本溪市中考数学试卷及解析

2019年辽宁省本溪市中考数学试卷

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1、（3分）下列各数是正数的是（）

A、0B、5C、-AD、

2

2、（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、x-i-x—xB、(-3，)2=-9x4

C、xL『=2x6D、(%3)2=)

4、（3分）2019年6月8日，全国铁路发送旅客约9560000次，将数据9560000科学记数法

表示为（）

A、9.56X106B、95.6X105C、0.956X107D、956X1（/

5、（3分）下表是我市七个县（区）今年某日最高气温（C）的统计结果：

县（区）平山区明山区溪湖区南芬区高新区本溪县恒仁县

气温（C）26262525252322

则该日最高气温（℃）的众数和中位数分别是（）

A、25,25B、25,26C、25,23D、24,25

6、（3分）不等式组卜七〉。的解集是（）

[2x-8<0

A、x>3B、C、x<3D、3VA<4

7、（3分）如图所示，该几何体的左视图是（)

正面

A、打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国”

B、若原命题成立，则它的逆命题一定成立

C、一组数据的方差越小，则这组数据的波动越小

D、在数轴上任取一点，则该点表示的数一定是有理数

9、（3分）为推进垃圾分类，推动绿色发展、某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进

行垃圾分类、用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两

种型号机器人的单价和为140万元、若设甲型机器人每台x万元，根据题意，所列方程

正确的是（）

A、360=480B、360480

x140-x140-xx

C、36°140D、沏-140^480

XXXX

10、（3分）如图，点P是以A5为直径的半圆上的动点，CALAB,POLAC于点。，连接

AP,设PA-PD=y,则下列函数图象能反映y与x之间关系的是（）

OB

二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）

11、（3分）若正工在实数范围内有意义，则x的取值范围为、

12、（3分）函数y=5x的图象经过的象限是、

13、（3分）如果关于x的一元二次方程，-4x+4=0有实数根，那么k的取值范围是、

14、（3分）在平面直角坐标系中，点4,B的坐标分别是A（4,2）,B（5,0）,以点。为

位似中心，相似比为工，把△AB。缩小，得到△4810,则点A的对应点Ai的坐标

2

为、

15、（3分）如图，8。是矩形ABC。的对角线，在34和8。上分别截取BE,BF,使BE=

BF；分别以E,尸为圆心，以大于皂尸的长为半径作弧，两弧在NAB。内交于点G,作

2

射线BG交AO于点P,若AP=3,则点P到8。的距离为、

16、（3分）如图所示的点阵中，相邻的四个点构成正方形，小球只在点阵中的小正方形ABC。

内自由滚动时，则小球停留在阴影区域的概率为

17、（3分）如图，在平面直角坐标系中，等边△OAB和菱形OCDE的边OA,0E■都在x轴

上，点C在08边上，SAABD=M，反比例函数产区（X>0）的图象经过点8,则女的

X

值为_______

18、（3分）如图，点当在直线/：y=L上,点向的横坐标为2,过Bi作交x

2

轴于点A”以4以为边，向右作正方形48归2。，延长B2cl交x轴于点A2；以A2B2

为边，向右作正方形A22283c2，延长23c2交x轴于点A3;以A383为边，向右作正方形

A38384c3,延长84c3交X轴于点4；…；按照这个规律进行下去，点G的横坐标为

（结果用含正整数n的代数式表示）

y

三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）

2

19、（10分）先化简，再求值（一a.-4__,）+—?其中“满足J+3a-2=0、

a2-4a+42-aa2-2a

20、（12分）某中学为了提高学生的综合素质，成立了以下社团：4、机器人，B、围棋，C、

羽毛球，。、电影配音、每人只能加入一个社团、为了解学生参加社团的情况，从参加社

团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计

根据以上信息，解答下列问题：

（1）这次被调查的学生共有人：

（2）请你将条形统计图补充完整；

（3）若该校共有1000学生加入了社团，请你估计这1000名学生中有多少人参加了羽毛

球社团；

（4）在机器人社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人

中任选两名参加机器人大赛、用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率、

四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）

21、（12分）如图，在四边形ABCD中，AB//CD,AD1CD,NB=45°,延长C£）到点E,

DE=DA,连接AE、

（1）求证：AE=BCi

（2）若AB=3,CD=\,求四边形ABCE的面积、

22、（12分）小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，②分

别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆。£

箱长8C,拉杆AB的长度都相等，B,F在AC上，C在。E上，支杆。尸=30。",CE：

C£>=1：3,ZDCF=45°,NCCF=30°,请根据以上信息，解决下列问题、

（1）求4c的长度（结果保留根号）；

（2）求拉杆端点A到水平滑杆EC的距离（结果保留根号）、

图1图2

五、解答题（满分12分）

23、（12分）某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16元、工厂将该产品进

行网络批发，批发单价y（元）与一次性批发量x（件）（x为正整数）之间满足如图所示

的函数关系、

（1）直接写出y与x之间所满足的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）若一次性批发量不超过60件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是

多少？

24、（12分）如图，点P为正方形A8CQ的对角线AC上的一点，连接BP并延长交CQ于

点E,交4力的延长线于点凡。。是△£>£厂的外接圆，连接。P、

（1）求证：0P是。0的切线；

（2）若tanNPQC=工，正方形A8CQ的边长为4,求。。的半径和线段0P的长、

2

七、解答题（满分12分）

25、（12分）在RtZ\ABC中，N8CA=90°,ZA<ZABC,。是AC边上一点，HDA=DB,

0是A8的中点，CE是△BCD的中线、

（1）如图小连接0C,请直接写出N0CE和N。4c的数量关系：；

（2）点M是射线EC上的一个动点，将射线0M绕点0逆时针旋转得射线0N,使N

M0N=ZADB,ON与射线CA交于点N、

①如图b,猜想并证明线段0M和线段ON之间的数量关系；

②若NBAC=30°,BC=m,当/A0N=15°时，请直接写出线段ME的长度（用含机

的代数式表示）、

八、解答题(满分14分)

26、(14分)抛物线y=-&2+笈+0与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点，顶点为C,

9

对称轴交无轴于点£>,点P为抛物线对称轴C。上的一动点(点P不与C,。重合)、过

点C作直线P8的垂线交尸3于点E,交x轴于点F、

(1)求抛物线的解析式；

(2)当△PCF的面积为5时，求点P的坐标；

(3)当aPCF为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标、

备用图

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1、（3分）下列各数是正数的是（）

A、0B、5C、-工D、

2

试题分析：此题利用正数和负数的概念即可解答、

试题解答：解：0既不是正数，也不是负数；5是正数；卷和都是负数、

故选:B、

点评：此题考查正数和负数的概念、大于0的数是正数，正数前面加上“-”的数是负

数、数0既不是正数，也不是负数、

试题分析：根据轴对称图形、中心对称图形的定义即可判断、

试题解答：解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意;

8、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意;

C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

。、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意、

故选：B、

点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形：如果一个图形

沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在

同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180。，旋转后的图形能和原图形完全重合,

那么这个图形就叫做中心对称图形、

3、（3分）下列计算正确的是（）

7.724

AA、x-x=xB、(-3x)2=-9x

C＞xi*xi—2x（＞D、（%3）2=/

试题分析：直接利用同底数累的乘除运算法则以及新的乘方运算法则分别化简得出答案、

试题解答：解：A、了.尸£故此选项错误；

B、（-3，）2=/4,故此选项错误；

C、故此选项错误；

D、（?）2=*6,故此选项正确；

故选：。、

点评：此题主要考查了同底数事的乘除运算以及哥的乘方运算，正确掌握相关运算法则

是解题关键、

4、（3分）2019年6月8日，全国铁路发送旅客约9560000次，将数据9560000科学记数法

表示为（）

A、9.56X106B、95.6X105C、0.956X107D、956X104

试题分析：科学记数法的表示形式为aX10"的形式，其中1W间＜10,H为整数、确定〃

的值时，要看把原数变成“时，小数点移动了多少位，H的绝对值与小数点移动的位数相

同、当原数绝对值＞1时.，〃是正数；当原数的绝对值＜1时，〃是负数、

试题解答：解：将数据9560000科学记数法表示为956X1（）6、

故选：A、

点评：此题主要考查科学记数法的表示方法、科学记数法的表示形式为“X10”的形式，

其中lW|a|＜10,〃为整数，表示时关键要正确确定“的值以及〃的值、

5、（3分）下表是我市七个县（区）今年某日最高气温（℃）的统计结果：

县（区）平山区明山区溪湖区南芬区高新区本溪县恒仁县

气温（℃）26262525252322

则该日最高气温（℃）的众数和中位数分别是（）

A、25,25B、25,26C、25,23D、24,25

试题分析：根据众数和中位数的概念求解即可、

试题解答：解：•••在这7个数中，25CC）出现了3次，出现的次数最多，

,该日最高气温（℃）的众数是25；

把这组数据按照从小到大的顺序排列位于中间位置的数是25,

则中位数为:25；

故选：A、

点评：本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将

一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中

间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平

均数就是这组数据的中位数、

6、（3分）不等式组的解集是（）

[2x-8<0

A、x>3B、xW4C、x<3D、3cxW4

试题分析：分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可、

试题解答：解：卜3>°①，

[2x-840②

由①得：x>3,

由②得：xW4,

则不等式组的解集为3VxW4,

故选：D、

点评：此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键、

7、（3分）如图所示，该几何体的左视图是（）

试题分析：根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案、

试题解答：解：从左边看是一个矩形，中间有两条水平的虚线，

故选：B、

点评：本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图、

8、（3分）下列事件属于必然事件的是（）

A、打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国”

B、若原命题成立，则它的逆命题一定成立

C、一组数据的方差越小，则这组数据的波动越小

D、在数轴上任取一点，则该点表示的数一定是有理数

试题分析：直接利用随机事件以及必然事件的定义分析得出答案、

试题解答：解：A、打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国”，是随机事件，不合题

意；

B、若原命题成立，则它的逆命题一定成立，是随机事件，不合题意：

C、一组数据的方差越小，则这组数据的波动越小，是必然事件，符合题意；

。、在数轴上任取一点，则该点表示的数一定是有理数，是随机事件，不合题意；

故选：C、

点评：此题主要考查了随机事件以及必然事件的定义，正确把握相关定义是解题关键、

9、（3分）为推进垃圾分类，推动绿色发展、某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进

行垃圾分类、用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两

种型号机器人的单价和为140万元、若设甲型机器人每台x万元，根据题意，所列方程

正确的是（）

A、360=480B、360=480

x140-x140-xx

C、36。+480=[40D、360-14p=480

XXXX

试题分析：设甲种型号机器人每台的价格是X万元，根据“用360万元购买甲型机器人

和用480万元购买乙型机器人的台数相同”，列出关于x的分式方程、

试题解答：解：设甲型机器人每台x万元，根据题意，可得：侬=480,

x140-x

故选：A、

点评：本题考查了分式方程的应用，解题的关键正确找出等量关系，列出分式方程、

10、（3分）如图，点尸是以A8为直径的半圆上的动点，C4L48,于点。，连接

AP,设AP=x,PA-PD=y,则下列函数图象能反映y与x之间关系的是（)

试题分析：设圆的半径为R，连接P8,贝ijsinNA8P=3^hJ-K，则PD=APs\na=xX-L

2R2R2R

=」一/，即可求解、

2R

试题解答：设：圆的半径为R,连接PB,

'：CA±AB,即AC是圆的切线，则/PD4=NP8A=a,

则PD=APsma=xxJ-=_Ljc1,

2R2R

则y=PA-PD=--L^+x,

2R

图象为开口向下的抛物线，

故选：C、

点评：本题考查的动点的函数图象，涉及到解直角三角形、圆的切线的性质、二次函数

基本性质等，关键是找出相应线段的数量关系，列出函数表达式、

二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）

11、（3分）若工在实数范围内有意义，则x的取值范围为x22、

试题分析：根据二次根式有意义的条件可得x-220,再解即可、

试题解答：解：由题意得：x-220,

解得：x22,

故答案为：x》2、

点评：此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非

负数、

12、（3分）函数v=5x的图象经过的象限是一、三、

试题分析：利用这个比例函数的性质结合比例系数的符号直接回答即可、

试题解答：解：函数y=5x的图象经过一三象限，

故答案为：一、三

点评：本题考查了正比例函数的性质，正比例函数（A¥0）,k>0时，图象在一三

象限，呈上升趋势，当ZV0时，图象在二四象限，呈下降趋势、

13、（3分）如果关于x的一元二次方程/-4+无=0有实数根,那么）的取值范围是kW4、

试题分析：根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0,列出关于人的不等式，

求出不等式的解集即可得到k的范围、

试题解答：解：根据题意得：△=16-4420,

解得：kW4、

故答案为：kW4、

点评：此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0,方程有两个不相等的实数根；

根的判别式的值等于0,方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0,方程没有实

数根、

14、（3分）在平面直角坐标系中，点A,8的坐标分别是A（4,2）,B（5,0）,以点。为

位似中心，相似比为工,把△ABO缩小，得到△A/］。，则点A的对应点A,的坐标为（2,

2

1）或（-2,-1）、

试题分析：根据位似变换的性质计算即可、

试题解答：解：以点。为位似中心，相似比为工，把△ABO缩小，点4的坐标是A（4,

2

2）,

则点A的对应点Ai的坐标为（4X工，2义工）或（-4XL-2XJL）,即（2,1）或

2222

（-2,-1）＞

故答案为：（2,1）或（-2,-1）、

点评：本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为

位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于上或-公

15、（3分）如图，8。是矩形ABC。的对角线，在BA和BD上分别截取BE,BF,使BE=

BF；分别以E,F为圆心，以大于工后厂的长为半径作弧，两弧在内交于点G,作

2

射线8G交于点P,若AP=3,则点P到GQ的距离为3、

试题分析：首先结合作图的过程确定BP是NABO的平分线，然后根据角平分线的性质

求得点P到8。的距离即可、

试题解答：解：结合作图的过程知I：BP平分NABQ,

VZA=90°,AP=3,

.•.点P到8。的距离等于AP的长，为3,

故答案为：3、

点评：考查了尺规作图的知识及角平分线的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是根

据图形确定BP平分NA8。、

16、（3分）如图所示的点阵中，相邻的四个点构成正方形，小球只在点阵中的小正方形ABCZ）

内自由滚动时，则小球停留在阴影区域的概率为_旦_、

试题分析：如图所示，AO与直线的交点为E,AB与直线的交点为凡分别求出AE、AF

所占边长的比例即可解答、

试题解答：解：如图所示，A。与直线的交点为E,AB与直线的交点为尸，

根据题意可知杷,邺,

□yAB

根据相似三角形的性质可得且心—

2AF

AF=^B,

=2

SAAEF4AE'AF1X^-ABX4AB-yAB-

乙CtCtOLc,

...小球停留在阴影区域的概率为：1-2」工、

1212

故答案为：11

12

点评：本题考查的是几何概率，用到的知识点为：几何概率=相应的面积与总面积之比、

17、(3分)如图，在平面直角坐标系中，等边△OA8和菱形O8E的边。A,OE都在x轴

上，点C在。8边上，SAABD=M，反比例函数y=K(X>0)的图象经过点B,则上的

X

值为_近_、

试题分析：连接0D,由△OAB是等边三角形，得到N4OB=60°,根据平行线的性质

得到NOEO=/AOB=60°,推出△OEO是等边三角形，得到NOOE=NBAO=6()°,

得到0。〃48,求得SABDO=5AA。。，推出SAAOB=SMBD=百，过B作B〃_L0A于”，

由等边三角形的性质得到04=A”，求得SAOBH=Y2,于是得到结论、

2

试题解答：解：连接。£),

•.•△OAB是等边三角形，

...N4OB=60°,

；四边形OCDE是菱形，

J.DE//OB,

...N£)EO=/AOB=60°,

...△OE。是等边三角形，

...NOOE=N84O=60°,

：.OD//AB,

S^BDO=S&AOD，

,**S四边形A8OO=SZ\AOO+SZ\A8O=SZ\BOO+SZ\AO8,

过3作3H_LO4于“，

・•・OH=AH,

2

・・•反比例函数y=K(x>0)的图象经过点8,

x

・•・2的值为«，

故答案为：

点评：本题考查了反比例函数系数k的几何意义，等边三角形的性质，菱形的性质，同

底等高的三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键、

18、（3分）如图，点S在直线/：y=L上，点的横坐标为2,过办作交x

2

轴于点A|,以A81为边，向右作正方形A1B1B2G，延长B2cl交x轴于点A2；以勺生

为边，向右作正方形上B283c2，延长83c2交x轴于点43；以小氏为边，向右作正方形

A38384c3,延长B4c3交X轴于点4：…；按照这个规律进行下去，点Cn的横坐标为

可知图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是1：2,然后依次利用相似三角

形的性质计算出Cl、C2、C3、C4……的横坐标，根据规律得出答案、

试题解答：解：过点2］、G、C2、C3、C4分别作BiOLx轴，轴，C2O2”轴,

C3〃3-Lx轴，C4£>41xtt，....垂足分别为力、。|、。2、。3、D4

•.•点B|在直线/：y=L上，点明的横坐标为2,

2

.,.点Bi的纵坐标为1,

即:OD=2,B\D=\,

图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是1：2,

BjD]DA।CjDjD[A?

OD-2[D-C业1—

二点C|的横坐标为：2+1+（3）°,

22

点Q的横坐标为：2+A+（2）°+（3）°xl.+（3）|=§+（3）°x.§.+（3/

222422242

点C3的横坐标为：2+A+（3.）°+（旦）°xA+（A）'+（A）JxA+（3）2=5+（3）

2224224222

°xS+（旦）仪5++（旦）2

4242

点Q的横坐标为：=§+（2）°x5+（旦）仪5+（3）2x^+（3）3

22424242

点Cn的横坐标为:=5+（3）°X.L+（3）1义5+（旦）2x5+（3）3义$+（旦）4义互......

22424242424

+（3）"T

2

=5+_§4（3）°+（J.）*x+（3）2+（J.）3+（3）4...]+（旦）"T

24222222

，严=7

故答案为：A/7

点评：考查一次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的性质、在计算探索的过程中发

现规律，得出一般性的结论、

三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）

2

19、（10分）先化简，再求值（~42—,其中。满足/+34-2=0、

a-4a+42-&a-2a

试题分析：根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据)+3。-2=0,可以

求得所求式子的值、

试题解答：解：(一,土「4)4-—2—

a-4a+42-aa_2a

=[(a+2)(a-2)+1]「a(a-2)

(a-2)2a-2・2

=(a+2+1)丁-(:-2)

a-2a-22

_a+3/(a-2)

7^".-F"

—a(a+3)

2

_a2+3a

一,

2

・・・/+3。-2=0,

••a+3〃=2,

二.原式=2=i,

2

点评：本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法、

20、(12分)某中学为了提高学生的综合素质，成立了以下社团：4、机器人，B、围棋，C、

羽毛球，。、电影配音、每人只能加入一个社团、为了解学生参加社团的情况，从参加社

团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计

根据以上信息，解答下列问题:

(1)这次被调杳的学生共有200人:

(2)请你将条形统计图补充完整；

(3)若该校共有1000学生加入了社团，请你估计这1000名学生中有多少人参加了羽毛

球社团；

（4）在机器人社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人

中任选两名参加机器人大赛、用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率、

试题分析：（1）由A类有20人，所占扇形的圆心角为36°,即可求得这次被调查的学

生数；

（2）首先求得C项目对应人数，即可补全统计图；

（3）该校1000学生数X参加了羽毛球社团的人数所占的百分比即可得到结论；

（4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙

两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案、

试题解答：解：（1）类有20人，所占扇形的圆心角为36°,

这次被调查的学生共有：204--3L=200（人）；

360

故答案为：200；

（2）。项目对应人数为：200-20-80-40=60（人）；

（3）1OOOX_§2_=3OO（人）

200

答：这1000名学生中有300人参加了羽毛球社团;

（4）画树状图得:

开始

/N/N/1\

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

•.•共有12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2种,

'.p(选中甲、乙)=2_=工、

126

点评：此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图、注意概率=所求情

况数与总情况数之比、

四、解答题(第21题12分，第22题12分，共24分)

21、(12分)如图，在四边形ABCO中，AB//CD,AD±CD,NB=45°,延长C£)到点E,

使连接AE、

(1)求证：AE=BCi

(2)若AB=3,CD=\,求四边形ABCE的面积、

试题分析：(1)通过证明四边形A8CE是平行四边形，可得结论；

(2)由平行四边形的性质可求。E=AO=2,即可求四边形A8CE的面积、

试题解答：证明：(1),：AB//CD,ZB=45°

.•./C+N8=180°

，NC=135°

,;DE=DA,ADLCD

.,.NE=45°

VZE+ZC=180°

：.AE//BC,S.AB//CD

四边形ABCE是平行四边形

：.AE=BC

(2).四边形ABCE是平行四边形

：.AB=CE=3

：.AD=DE=AB-CD=2

，四边形A8CE的面积=3X2=6

点评：本题考查平行四边形的判定和性质，熟练运用平行四边形的判定是本题的关键、

22、(12分)小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，②分

别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆。E,

箱长8C,拉杆A3的长度都相等，B,F在AC上，C在DE上，支杆Z）F=30a”,CE-.

CD=1：3,ZDCF=45°,ZCDF=30°,请根据以上信息，解决下列问题、

（1）求AC的长度（结果保留根号）；

（2）求拉杆端点A到水平滑杆的距离（结果保留根号）、

试题分析：（1）过尸作于"，解直角三角形即可得到结论；

（2）过A作AGLEQ交EZ）的延长线于G,根据等腰直角三角形的性质即可得到结论、

试题解答：解：（1）过F作FHVDE于H,

:.NFHC=NFHD=90°,

,：ZFDC=30°,。尸=30,

：.FH=lj）F=l5,DH='^J）F=15眄,

22

,：ZFCH=45°,

：.CH=FH=\S,

.,.CD=CH+DH=15+1573，

,:CE：C£>=1：3,

D£=ACD=20+20A/3，

3

,:AB=BC=DE,

；.AC=（40+40料）cm；

（2）过4作AG_L£'。交ED的延长线于G,

VZACG=45°,

；.AG=®4c=20扬20面，

2

答：拉杆端点A到水平滑杆EO的距离为（20后20代）cm.

'B

ECH_D........G

图2

点评：此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用

数学知识解决实际问题、

五、解答题（满分12分）

23、（12分）某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16元、工厂将该产品进

行网络批发，批发单价y（元）与一次性批发量x（件）（x为正整数）之间满足如图所示

的函数关系、

（1）直接写出y与x之间所满足的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）若一次性批发量不超过60件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是

多少？

试题分析：（1）认真观察图象，分别写出该定义域下的函数关系式，定义域取值全部是

整数;

（2）根据利润=（售价-成本）X件数，列出利润的表达式，求出最值、

试题解答：解：（1）当0<xW20且x为整数时，y=40；

当20<xW60且x为整数时，y=-」』+50；

2

当尤>60且x为整数时，y=20；

（2）设所获利润w（元），

当0<xW20且x为整数时，y=40,

.3=（40-16）X20=480%,

当20<xW60且x为整数时，），=-L+50,

w=(y-16)x=(--kr+50-16)x,

2

w=--kr2+34x,

2

，w=-A(x-34)2+578,

2

：--l<0,

2

...当x=34时，w最大，最大值为578元、

答：一次批发34件时所获利润最大，最大利润是578元、

点评：本题主要考查一次函数和二次函数的应用，根据题意列出函数表达式并熟练运用

性质是解决问题的关键、

六、解答题（满分12分）

24、（12分）如图，点户为正方形ABCQ的对角线AC上的一点，连接BP并延长交CQ于

点E,交的延长线于点凡。。是△£>£尸的外接圆，连接。P、

（1）求证：DP是。。的切线；

（2）若tanNPQC=工，正方形ABC。的边长为4,求。。的半径和线段0P的长、

2

B

试题分析：（1）连接。3,可证△CQP丝ZkCBP,可得NCDP=NCBP,由NCBP+NBEC

=90",ZBEC=ZOED=ZODE,可证出NO£>P=90°,则。P是。。的切线；

（2）先求出“长，在RtaOEF中可求出EF长，证明△。尸ES^FPO,由比例线段可

求出EP长，则OP可求出、

试题解答：（1）连接0。，

:正方形ABCC中，CD=BC,CP=CP,ZDCP=ZBCP=45°,

:•△CDPW4CBP(SAS),

：・/CDP=/CBP,

•：ZBCD=90°,

；・NCBP+NBEC=90°,

•・•OD=OE,

：.ZODE=ZOEDf

ZOED=ZBEC,

：.NBEC=/OED=/ODE,

：.ZCDP+ZODE=90a,

：.ZODP=90°,

・・・。户是。。的切线；

(2)•:/CDP=/CBE,

・CE1

••tan/CBE=tan/CDP蒜吟，

DU/

CE=^x4=2f

：.DE=2,

VZ£DF=90°,

・・・片/是。0的直径，

；・NF+NDEF=90°,

:,NF=NCDP,

在RtZV)£F中，匪」，

DF2

：.DF=4f

EF='DE2+DF2={42+22=2代,

***

VZF=ZPDE,/DPE=/FPD,

：,ADPEs[\FPD,

•・,—PE=—PD=—DE，

PDPFDF

设PE=x,则PD=2x,

AX(X+2V5)=(2X)2,

解得x=2加，

3

点评：本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、正方形的性质、全等三角形的判定

与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的运用；熟练掌握切线的判定与性质

并结合锐角三角函数进行计算是解决问题的关键、

七、解答题（满分12分）

25、（12分）在n△A8C中，NBC4=90°,ZA<ZABC,。是AC边上一点，且D4=OB,

。是AB的中点，CE是△8CO的中线、

（1）如图“，连接OC,请直接写出NOCE和/OAC的数量关系：NOCE=/OAC；

（2）点M是射线EC上的一个动点，将射线0M绕点0逆时针旋转得射线ON,使N

MON=ZADH,ON与射线CA交于点N、

①如图b,猜想并证明线段0M和线段ON之间的数量关系；

②若NB4C=30°,BC=m,当/4ON=15°时，请直接写出线段ME的长度（用含加

的代数式表示）、

XL

图a图b备用图

试题分析：(1)结论：ZECO=ZOAC,理由直角三角形斜边中线定理，三角形的中位

线定理解决问题即可、

(2)①只要证明△COMg/XAON(ASA),即可解决问题、

②分两种情形：如图3-1中，当点N在。1的延长线上时，如图3-2中，当点N在线

段AC上时，作O//LAC于H、分别求解即可解决问题、

试题解答：解：(1)结论：ZECO=ZOAC.

理由：如图1中，连接OE、

图1

VZBCD=90°,BE=ED,BO=OA,

'：CE=ED=EB=1£D,CO=OA=OB,

2

：.ZOCA^ZA,

\'BE=ED,BO=OA,

OE//AD,OE=1AD,

2

：.CE=EO.

：.ZEOC^ZOCA^ZECO,

：.ZECO^ZOAC,

故答案为：/OCE=/OAC、

(2)如图2中,

3

VOC=OA,DA=DB,

.・・NA=NOCA=/ABD,

：.ZCOA=ZADBf

VZMON=/ADB,

：./AOC=NMON,

:.ZCOM=ZAON9

9：ZECO=ZOACf

:・/MCO=/NAO,

;OC=OA,

:•△COMg/MON(ASA),

：・OM=ON、

②如图3-1中，当点N在。1的延长线上时,