2020-2021学年人教版数学八年级下册 第十七章勾股定理- 教学质量检测卷

八年级下册数学第十七章勾股定理-2020-2021学年人教版教学质量检测卷

一、单选题

1.ABC中，ZA,ZB,/C的对边分别记为a,b,c,由下列条件不能判定ABC为直角三角形的是（）

A.ZA+ZB=ZCB.ZA：ZB：ZC=1：2：3

C.a2=c2-b2D.a：b：c=3：4：6

,ZACB=90°,CDLAB于点。，已知AC=3,BC=4,则3。=(

1292A/316

A.B.RD.—

T55

3.已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为根和九（机＜〃），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这

两个三角形都为等腰三角形，则（）

A.n-2mn-m2=0B.m2+2mn-n2=0

C.m2-2mn-n2=0D.m2—Imn+n1=0

4.如图，在四边形ABC。中，AB=BC=2,DC=372>AD=>/26,ZABC=90°,则四边形ABC。

C.10D.12

5.如图，已知正方体纸盒的高为1,已知一只蚂蚁从其中一个顶点A,沿着纸盒的外部表面爬行至另一个

顶点B,则蚂蚁爬行的最短距离是（）

A

A.B.2C.75D.72+1

6.如图，分别以RtABC的三边为斜边向外作等腰直角三角形，若斜边AB=6,则图中阴影部分的面积

为（）.

A.6B.12C.16D.18

.如图，在中，于点

7ABCAOLBCD,平分NAC3交于点E,交AB于点F,AB=15fAD=12,

8C=14,则DE的长是（）

A

BD

10

A.3B.4C.5D.—

3

8.在RtAABC中，ZACB=90°,BC=5cm,AC=12cm,三个内角的平分线交于点P,则点P到AB

的距离尸”为（）

3060

A.1cmB.2cmC.—cmD.—cm

1313

9.如图，在RtZXABC中，ZAC5=90°,ZABC=30°,CD平分NACB.边AB的垂直平分线DE分

别交。,钻于点。,后.以下说法错误的是()

B上-------------.----BC

A.ABAC=60°B.CD=2BEC.DE=ACD.y/2CD=BC+-AB

2

10.如图，在等腰RfABC中，ZACB=90。，点P是A6c内一点，且CP=1,BP：五,AP=2,

以。尸为直角边，点C为直角顶点,作等腰RtDCP,下列结论:①点A与点D的距离为72；@AP±PC；

()

③AB=2。®SAPB=2,其中正确结论有是

C8

A.①②③B.②④C.①②D.②③④

11.如图，等边46c的边长为8.P,Q分别是边AC8C上的点，连结交于点0.以下结论:

①若AP=CQ,贝！JBAP乌ACQ-②若AQ=5P,则NAO8=120。；③若AP=CQ,3P=7,则

PC=5；④若点P和点Q分别从点A和点B同时出发，以相同的速度向点C运动（到达点C就停止），则

点。经过的路径长为4代.其中正确的（）

C.①②D.①③④

12.如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为15cm,在容器内壁离容器底部3cm的点3

处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿3cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的

最短路径为25cm,则该圆柱底面周长为（）

18cmC.25cmD.40cm

二、填空题

13.已知在45c中，NACB=90°,NA=30°,若该三角形的一中线长为加，则的长为

14.如图，在ABC中，已知AB=2逐，AC=442>BC=6.贝UABC的面积为.

15.如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形排成的，若正方形A,B,C,D的边长分别是4,5,3,

4,则最大正方形E的面积是.

16.在RtaABC中，NA=90°,BC=1Q,AB=6,如果点P在AC边上，且点P到Rt^ABC的两个

顶点的距离相等，那么AP的长为.

17.如图，在A5c中，ZC=90°,以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC,AB于点M,N,

再分别以M，N为圆心，大于‘MN长为半径画弧，两弧交于点。，作射线A。，交BC于点E；已知

2

CE=3,BE=5,则AC的长为.

18.如图，在平面直角坐标系xOv中，。为坐标原点，A（5,o）,点B在y轴上运动，以A3为边作等腰

RtABC,ZBAC=9Q°（点A,B,。呈顺时针排列），当点8在V轴上运动时，点。也随之运动.在

点。的运动过程中，OC+AC的最小值为.

三、解答题

19.如图所示，DE±AB,CFLAB,大坝横截面迎水坡AD的坡比为4:3,背水坡的坡比为1:2,

坡高20米，坝顶宽10米，求大坝截面周长.

D

20.如图，在RfAABC中，ZACB=90°,AC=12,A3=13,点。是R/AA5C外一点，连接OC,DB,

且CD=4,BD=3.

(1)求证：ND=90°

(2)求：四边形A3DC的面积.

21.如图，BC=4cm,AB=3cm,AF=12cm,AC1AF,正方形CDEF的面积是169cm?.

(1)求AC的长度；

(2)判断A5c的形状？并说明理由.

22.如图，点。为AB上的一点，△ACE^ABCD,AD2+DB2=DE2.

Cl)试说明AAED是直角三角形;

(2)试判断△ABC的形状，并说明理由.

23.如图，在ABC中，AB=AC=5cm,BC=6cm,5。_LAC交AC于点D,动点P从C出发，按

CfAf3fC的路径运动，且速度为2cm/s,设运动时间为t.

(1)求8。的长.

(2)当7=3.2时，求证：CAB.

(3)P在运动过程中，若CDP是以CP为腰的等腰三角形，求出所有满足条件t的值.

24.如图，在45c中，点。、E分别是AB,AC边中点CDLA5于。，延长DE,过。作CFLDE

于F.

(1)求证：△ADgABDC.

(2)若3c=10,DF=9,求FC的长度.

25.如图，ABC中，ZACB=90°,AB=5cm,BC=4cm,若点P从点A出发，以每秒2cm的速

度沿折线A—B—C—A运动，设运动时间为/(r〉0)秒.

(1)AC=cm；

(2)当点尸在边AC上且恰好又在/ABC的角平分线上时，求此时/的值；

(3)在运动过程中，当/为多少秒时，为等腰三角形(直接写出结果).

参考答案

1.D

解：A、ZA+ZB=ZC,又NA+NB+NC=180。，则NC=90。，是直角三角形；

B、ZA：ZB：ZC=1：2：3,又NA+NB+NC=18O°,则NC=90°,是直角三角形;

C、由a2=c2-b2,得a?+b2=c2,符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；

D、32+42*62,不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形.

解：VZACB=90°,AC=3,BC=4,

二AB=VAC2+BC2=A/'32+42=5，

设BD=x,AD=5-x,•.*CD±AB

.,.ZCDA=ZCDB=90",

AC2-AD2=BC2-BD2,

32-(5-X)2=42-X2,

解得，x=g，

解：如图，ABD是等腰三角形，ACD是等腰直角三角形,

AD=BD=n-m,

根据勾股定理得：m2+m2=(n-m)2,

：•2m2=n2-2mn+m2,

m2+2mn-n2=0.

4.B

连接AC,如图:

D

口

••,ZABC=90°,AB=BC=2,

•••AC=2万

•.•在ADC中，AC2+DC'=(2^)2+(3A/2)2=26,

AD2=A/262=26-

AC2+DC2=AD2,ADC是直角三角形，

SA5C'x2x2=2,

2

SADC=；x2叵义3人=6,

S四边形ABCD=SiABC+SADC=2+6=8,

5.C

方法一：走两个正方形两接的面展开成日字形的对角线

在三角形ABC中，由勾股定理AB=VAC2+BC2=A/,22+12=A/5；

DB

AC

方法二：走一面折线AD-BD,由勾股定理BD=a+付=叫

AD+DB=^+1；

方法三折线AE-ED-DB即AE+ED+DB=3；

在正方体外部表面走有这三类走法，

V5<9,

二逐<3，

V2>1,

5/2>1,

2A/2>2，

2友+3>2+3，

,•A/2+1>y/5，

蚂蚁爬行的最短距离是逃.

6.D

解：在RtAAHC中，AC2=AH2+HC2,AH=HC,

.*.AC2=2AH2,

AC

，HC=AH=~产,

V2

BCAB

同理：CF=BF=-^,BE=AE=

在RtAABC中，AB2=AC2+BC2,AB=6,

111

4(®4(f)=%AC,BC,AB2)

=—1(AB2+AB2)

=18.

7.D

解：如图所示，作EG，AC于点G,

・・,于点D,

在RtAABD中，BD=VAB2-AD2=9，

3c=14,

二DC=BC—BD=5,

...在中，AC=VAD2+CD2=13»

平分乙4cB交AD于点E,EGLAC,EDIBC

：.DE=GE,

,:CE=CE

•••ACEDdCEG,

，CD=CG=5,

设DE=GE=xf则AE=AD—ED=12—x,AG=AC—GO=8,

222

:•在RtAEG中，AE=EG+AG9

即：（12—x）2=必+82,

解得：x=—,即：DE=—,

33

故选：D.

A

8.B

解：在RtZXABC中，ZACB=90°,BC=5cm,AC=12cm,

AB=A/,AC2+BC2=A/'52+122=13

P是RtZXABC中三个内角的平分线的交点，

ZCAP=ZPAB,ZABP=NCBP,ZACP=ZBCP

过点P,分别作Rt^ABC三边的垂线段，如图，

在4P与△HAP中，

'ZCAP=ZBAP

<AP=AP

ZAMP=NAHP

：.AMAP=AHAP(ASA)

PM=PH

同理得，△PMC=APNC(ASA),BHP=^BNP(ASA)

:.PM=PN,PN=PH

PM=PH=PN

S=-ACPM+-ABPH+-BCPN

ABRC222

=~(AC+AB+BC)PH

=1x(5+12+13)-PH

=15PH

又S=-AC-BC=-x5xl2=30

^22

.-.15PH=30

PH=2

故选：B.

9.B

解：如图，连接BD、AD,过点D作DM_LBC于M,DN_LCA的延长线于N,

90°,ZABC=30°,

：.ZBAC=60°.故此选项说法正确;

B、VDM±BC,DN±CA

.•.ZDNC=ZDMC=90°,

VCD平分NACB,

二ZDCN=ZDCM=45°.

.,.ZDCN=ZCDN=45".

/.CN=DN.

则△CDN是等腰直角三角形.

同理可证：△CDM也是等腰直角三角形,

CD=NDN?+CN?=yJlDN-CD=«DM、CM?=^,

DM

.♦.DM=DN=CM=CN,NMDN=90".

•••DE垂直平分AB,

；.BD=AD,AB=2BE.

.,.RSBDM^AADN,

/.ZBDM=ZAND.

.,.ZBDM+ZADM=ZAND+ZADM=ZMDN.

ZADB=90".

•••AB=^BET+AD1=y/2AD-

即2BE=72AD.

,在RtAAND中，AD是斜边，DN是直角边，

.,.AD>DN,则亚AD>®DN.

.,.2BE>CD.故此选项说法错误.

C>VBD=AD,ZADB=90",

.•.△ABD是等腰直角三角形.

.*.DE=­AB.

2

在RtAABC中，ZACB=90°,/ABC=30。,

/.AC=-AB.

2

.*.DE=AC.故此选项说法正确.

D、VRtABDM^AADN,

.*.BM=AN.

CN=AC+AN=AC+BM=CM.

二BC=BM+CM=AC+2BM.

,/CD=72CN,

:.母CD=2CN=2AC+2BM=AC+2BM+AC.

VAC=—AB,

2

L1

:.72CD=—AB+BC.故此选项说法正确.

10.c

连结AD,

在等腰RfABC中，ZACB=90°,

.*.AC=BC,

Rt0cp是等腰三角形，

.♦.CD=CP,

AZACD+ACP=90",ZACP+ZPCB=90",

.,.ZDCA=ZPCB,

在乙ADC^DABPC中，

AC=BC,

ZDCA=ZPCB,

DC=PC,

.".△ADC^ABPC(SAS),

；•AD=BP=g

①点A与点D的距离为应正确，

在RtADCP中，由勾股定理DP=7CD2+CP2=V2，

在AADP中，AD2+DP2=(V2J'+(A/2)'=4=AP2,

.•.△ADP为等腰直角三角形，

.".AD±DP,

②AP工PC正确；

BD=BP+PD=2及，

在RtAADB中，由勾股定理，

AB=^/AD2+BD2=72+8=710，

③AB=2血不正确；

SAPB=~PBAD=-S/2XS/2=1,

APB22

④SAPB=2不正确•

故选择：C.

CB

11.B

①在三角形△BAP和小ACQ中：

AP=CQ

<ABAC=NC

AB=AC

则△BAPgZkACQ(SAS)；①正确;

②如图1,

在片的位置，ZAOB=120°,

在鸟的位置，NAOB的大小无法确定；②错误;

③本问与AP=CQ这个条件无关，如图，

P还是会有两个位置即：P1、P2，

当在片时，

作BELAC于E点，贝（JE为AC中点,

VAB=8,AE=-AC,

2

•*-BE==4^/3>

又BP=7,

：,PE={BP2-BE?=1，

.♦.CP=CE+PE=5,

当在月时，同理解ABCP,得CP=CE-PE=3;故③错;

④由题可得：AP=BQ,由对称性可得0的运动轨迹为△ABC中AB边上的中垂线

则；AB=8,

，BC=AB=8,

则AB边上的中垂线的长为:BC2-

...运动轨迹路径长为4途；④正确;

...正确的为①④;

12.D

解：如图，将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半,

作A关于E的对称点A',连接48交EG于尸，

则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为A尸+3万的长，

即+A'B=25cm,

延长5G,过H作A。，3G于D,

AE=AE=3cm,BD=BG+DG=BG+AE=15-3+3=15cm,

.•.RtZXADB中，由勾股定理得：AD=JA®—BQ?=—15?=20cm，

，该圆柱底面周长为：20x2=40cm,

13.2或拽I或而.

7

解：设设BC=x,

VZACB=90°,NA=30°,

，AB=2x,

•*-AC=ylAB2-BC2=出x，

当BC边上的中线长为历时，

(^3)2=(73X)2+(1)2

Vx>0,解得x=2；

当AC边上的中线长为而时,

(5=(争+X2

Vx>0,解得x=2叵；

7

A

当AB边上的中线长为而时,

AB=2VH，

BC=屈；

故答案为：2或号L或厉.

14.12

解：如图，过A作AO,8c于D,

设8。=尤，则CO=6—x,

依题意有（2占）2_/=（4应）2_（6-尤）2,

解得x=2,

在RtAADB中，AD=^A^-BD1=^245）2-2/=4,

则AA3C的面积为工x6x4=12.

2

故答案为：12.

根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为％,D的面积和为S2,

2222

SI=4+5,S2=3+4,

于是S3=S1+S2>

即可得53=16+25+9+16=66.

故答案是：66.

-7

16.4或一.

4

在RtAABC中，

VZA=90",BC=10,AB=6,

•••AC=7BC2-AB-=A/102-62=8>

若PB=PC,连结PB,

设PA=x,则PB=PC=8-x,

在RtAPAB中，

,."PB2=AP2+AB2,

:.(8-x)2=X2+62,

77

.*.x=—,即PA=一，

44

若PA=PC,则PA=4,

若PA=PB,由图知，在RtAPAB中，不可能，

.♦.PA=4或一.

4

17.6

如图，过点E做E。，A3交AB于点D

ZADE=ZBDE=90

,ZADE=ZC=90

根据题意得：A。为aBAC的平分线，即NC4EZDAE

XVAE=AE

:.AADE^AACE

：.AC=AD,DE=CE=3

■:NBDE=90，BE=5

•*-DB=4BE1-DE1=4»BC=CE+BE=8

设AC=AD=x

:.AB—AD+DB=x+4

VZC=90°

AAC2+BC2=AB2,即f+82=a+4『

:.8%=64—16

，x=6

18.5A/5

如图，过点A作直线IJ_x轴，过C,B作CDJJ于点D,BEL于点E,

,.,ZDCA+ZCAD=90°,ZEAB+ZCAD=180o-90o=90o,

.,.ZDCA=ZEAB,

又；NCDA=NAEB=90。，AB=AC,

；.ACDA*AEB(AAS),

.♦.BE=AD,

VA(5,0),

，AD=BE=0A=5,

作点A关于CD的对称点A，，连接CA，，则点A在直线I上,DA,=DA=5,AC=AT,

...OC+AC=OC+AZC,

■:在ACOA，中，OC+A0OA，,

...当o,c,A，三点共线时，。。+4。有最小值=0"，此时，OAJ《Q42+=旧+1()2=5指,

•*-OC+AC最小值=5#).

故答案是：5A/5.

19.100+2075（米）

解：•••坝横截面迎水坡AD的坡比为4：3,坡高20米,

•••AE=-^=15米，AD7AE?包£2=25米,

4v

同理可得：BF=40米，BC=20小米，

XVEF=CD=10^,

.••大坝截面周长为：15+25+40+206+10+10=100+20小(米).

20.

解：(1)在RtAABC中，ZBCA=90",AC=12,AB=13,

BC2=AB2-AC2=132-122=25,

:.BC=5,

VCD=4,BD=3,

.".CD2+BD2=42+32=25,

VBC=5,HPBC2=25,

.,.CD2+BD2=BC2,

•••△DBC是直角三角形，

.,.ZD=90".

(2)DBC是直角三角形，且ND=90。，

SAnBr=—BDxDC——x3x4=6,

•・•在RSABC中，ZBCA=90°,AC=12,BC=5,

:.SiAV4lDoCr=—2BCxAC2=—x5x12=30,

,S四边形ABCD=S^ABC+SADBC=30+6=36.

21.解：(1)•.•正方形CDEF的面积为169cm2,

•••CF=V169=13cm，

又ACLAE,

：.ZCAF=90°,

在放ACF中，A尸=12,CF=13,

AC=yjCF2-AF-=5cm>

(2)A6c为直角三角形，ZB=90°,理由如下：

在ABC中，BC=4cm,AB=3cm,AC=5,

・•・AB2+BC2=32+42=25=52=AC2，

46c为直角三角形，48=90°.

22.

证明：（1）VAACE^ABCD,

：.AE=BD

"：AD^DB^DE2

:.AD2+AE'DE2

...^AED是直角三角形，且NEAD=90"；

（2）AA8c是等腰直角三角形，理由如下

是直角三角形，且NEAD=90。；

.*.ZEAC+ZCAB=90o

•/△/ICE^ABCD,

.*.AC=BC,ZEAC=ZDBC

.,.ZDBC+ZCAB=90°

.•.△A8C是等腰直角三角形.

23.

解：（1）如图1中，作AHL8C于H.

AH=^AB^-BH2=正-32=4cm,

S=—,BC•AH——•AC-BD,

ABC22

(2)如图2中,

A

当Z=3.2时，3.2x2=6.4,

此时点P在A3边上，AP=6.4-5=1.4cm,

由(1)可知A£)=J"?—皿=I"111'

AP^AD,

VAC=AB,ZA=ZA

在△APC与△ADB中

AP=AD

<ZA=ZA,

AC=AB

：.AP®ADB^AS,

ZAPC=AADB=90,

/.PCLAB.

(3)当点P在BC上时，CP=(16—2力cm,

①如图3-1中，当CD=CP时，

A

*•*CD=5—1.4=3.6cm,

/.16—2t=3.6,

•*.t=6.2s・

②如图3-2中，当PD=PC时,

A

图3—2

VPD=PC,

：.ZC=ZPDC,

VZC+Z.CBD=90,APDC+APDB=90

二ZPBD=NPDB,

:.PB=PD,

:.PC=PB=3cm,

V16-2t=3,

:•t=6.5s.

综上所述，满足条件的t的值为6.2s或6.5s.

24.

(1)VD为AB中点，

AAD=BD,

VCD±AB