最短路径问题-人教版八年级

最短路径问题黄陂区长轩岭中学陈国强如图所示：从A到B有三条路可供选择，你会选择哪条路距离最短？你的理由是什么？ABCDEF两点之间，线段最短。如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A.B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ABAB●●P●泵站健在点P可使输气管线最短。L问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里面有一位久负盛名的学者，叫做海伦。有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边L饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？AB追问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？ABL将A，B两地抽象为两个点，将河L抽象为一条直线●●追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并将它抽象为数学问题吗？ABL●●追问3你能用自己的语言说明这个问题的意思，并将它抽象为数学问题，数学术语表达吗？现在的问题是怎样找出使两条线段之和最短的直线L上的点，设C为直线L上一个动点.上面的问题就转化为：当点C在L什么位置时，AC和CB的和最小（如图）ABLC●●●问题2如图，点A,B在L的同侧，点C是直线L上一个动点，当C在L的什么位置时，AC和BC的和最小？追问1对于问题2，如何将B“移”到L的另一侧B’处，满足直线L的任意一点C，都保持CB与CB’的长度相等?问题3你能用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的B’吗？ABLCB’作法：（1）作点B关于直线L的对称点B’(2)连接AB’，与直线L相交于点C，即C点为所求。●●●●问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？ALCB’BC’证明：如图，在直线L上任取一点C’(与点C不重合)连接AC’,BC’,B’C’由轴对称的性质知：BC=B’CBC’=B’C’AC+BC=AC+B’C=AB’AC’+BC’=AC’+B’C’你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？证明：在三角形AB’C’中AB’<AC’+B’C’所以AC+BC<AC’+BC’即AC+BC最短●●●●●追问1证明AC+BC最短时，为什么要在直线L上任取一点C’（与点C不重合）证明AC+BC<AC’+BC’?,这里的C’的作用是什么？ACB’BC’若直线L上任意一点（与点C不重合）与A.B两点的距离之和都大于AC+BC,就说AC+BC最小。追问2回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程，借助什么解决问题的？L●●●●●练习：如图，小河边有两个村庄A.B,要在河边建一自来水厂向A村与B村供水。（1）若要使水厂到A.B村的距离相等，则应选择在哪建厂？（2）若要使水厂到A.B两村的水管最短，应建在什么地方？●●如图，∠AOB=30°,点P为∠

AOB内一点。OP=10.点M,N分别在OA,OB上，求三角形PMN的周长最小值AOBPP1P2MN解：分别作点P关于OA.OB的对称点P1.P2。连P1P2，交OA于M,交OB于N，△PMN的周长=P1P2。所以P1P2=OP1=OP2=OP=10●●●●●运用新知：1.某中学八（1）班举行文艺晚会，桌子摆成如下图a所示的两直排（图中AO.BO）.AO桌面上摆