数学（选修45）课件21含有绝对值的不等式

第2章绝对值不等式2.1含有绝对值的不等式1．绝对值的几何意义设a是任意一个实数，在数轴上：(1)|a|表示________________________的距离．(2)|x－a|表示___________________________________的距离．(3)|x＋a|表示___________________________________的距离．实数a对应的点与原点O实数x对应的点与实数a对应的点之间实数x对应的点与实数－a对应的点之间在数轴上把|a|，|b|，|a＋b|表示出来(分ab＞0，ab＜0两种情况)．2．绝对值重要不等式如果a，b是实数，那么|a|－|b|≤__________≤|a|＋|b|.|a＋b||a－b|与|a|－|b|及|a|＋|b|具有怎样的大小关系？提示：|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.3．绝对值重要不等式的常用结论(1)设a，b是任意实数，有||a|－|b||≤|a＋b|，当且仅当ab≤0时，__________成立．(2)对任意实数a，b，c，有|a－b|≤|a－c|＋|c－b|，当且仅当(a－c)(c－b)≥0时，__________成立．等号等号不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中，两个等号成立的条件分别是什么？提示：不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0，且|a|≥|b|.含绝对值不等式的证明【点评】含绝对值不等式的证明，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题，或利用不等式的性质|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|证明不等式，常要对绝对值内的式子进行分析组合、添项或减项使待证式与已知之间联系起来，最后通过绝对值的运算完成证明．

求函数y＝|x－3|－|x＋1|的最大值和最小值．解法一：||x－3|－|x＋1||≤|(x－3)－(x＋1)|＝4，∴－4≤|x－3|－|x＋1|≤4.∴ymax＝4，ymin＝－4.利用绝对值重要不等式求函数的最值【点评】求y＝|x＋m|＋|x＋n|和y＝|x＋m|－|x＋n|的最值的主要方法有如下几种：①借助绝对值的定义，进行零点分段求解；②利用绝对值的几何意义求解；③利用定理||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|直接求解．2．求函数y＝|x－3|＋|x＋1|的最小值．解法一：|x－3|＋|x＋1|＝|3－x|＋|x＋1|≥|(3－x)＋(x＋1)|＝4，当且仅当(3－x)(x＋1)≥0时取等号．由(3－x)(x＋1)≥0，得(x－3)(x＋1)≤0.∴－1≤x≤3，由此当－1≤x≤3时，函数y＝|x－3|＋|x＋1|取得最小值4.画出该函数的图象，如图所示，由图象可得y≥4，∴当－1≤x≤3时，y取得最小值4.

若不等式a＜|x－4|＋|x＋3|恒成立，则实数a的取值范围是__________.解析：∵|x－4|＋|x＋3|≥|(x－4)－(x＋3)|＝7，∴a＜7.故a的取值范围是(－∞，7)．答案：(－∞，7)．绝对值重要不等式的应用[互动探究]若本例条件变为“若不等式a＞|x－4|－|x＋3|恒成立”，则如何求实数a的取值范围？解析：∵|x－4|－|x＋3|≤|(x－4)－(x＋3)|＝7.∴a＞7.故a的取值范围为(7，＋∞)．答案：(7，＋∞)【点评】利用绝对值重要不等式的性质解决恒成立问题时，通常利用|a±b|达到消去变量的目的，从而得到|a|＋|b|的最小值或|a|－|b|的最大值．3．(1)若不等式|x－2|＋|x＋3|＜a的解集为空集，则实数a的取值范围是__________.(2)若不等式|2x＋1|－|2x－1|＜a对任意实数x恒成立，则a的取值范围是__________.解析：(1)不等式|x－2|＋|x＋3|＜a的解集为空集，即|x－2|＋|x＋3|≥a恒成立，又|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5，故a的取值范围是a≤5.(2)|2x＋1|－|2x－1|≤|(2x＋1)－(2x－1)|＝2，因此a的取值范围是a＞2.答案：(1)a≤5

(2)a＞21．证明绝对值不等式的三种方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明．(2)利用重要不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明．(3)转化为函数问题，数形结合进行证明．2．研究含有绝对值的函数问题时，可根据