高一年级上学期2.3二次函数与一元二次方程不等式讲义

题型一：解一元二次不等式（不含参）【例1】不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解一元二次不等式，求出答案.【详解】，解得：，解得：或.故选：C【】不等式的解集为（

）A．或 B．C．或 D．【答案】B【分析】化简原不等式，利用一元二次不等式的解法解原不等式即可.【详解】原不等式即为，解得，故原不等式的解集为.故选：B.【】表示不超过x的最大整数，则满足不等式的x的值可以为（

）A．3 B． C． D．8【答案】AC【分析】由一元二次不等式得，再结合新定义可求x的值.【详解】不等式可化为，所以，所以，所以的值可以为内的任何实数，故选：AC.【】不等式的解集为.【答案】【分析】将因式分解后即可求出解集，要注意隐藏条件.【详解】不等式可化为，.故答案为：.题型二：解一元二次不等式（含参）【例2】（1）解关于x的不等式；（2）解关于x的不等式.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【分析】（1）分，和三种情况，结合一元一次不等式的解法解之即可；（2）分，，，和五种情况，结合一元二次不等式的解法解之即可.【详解】解：（1）当时，有，不符合题意，无解；当时，有；当时，有，综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.（2）当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，解得；当，即时，解得或；当，即时，有，所以解集为R；当，即时，解得或，综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为R；当时，不等式的解集为或.【】设，解关于的不等式：．【答案】答案见解析【分析】将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，结合一次、二次不等式的解法解原不等式，即可得解.【详解】解：由可得.（1）当时，原不等式即为，解得；（2）当时，解方程可得或.①当时，，解原不等式可得或②当时，则，解原不等式可得；③当时，原不等式即为，解得；④当时，，解原不等式可得.综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.【】解关于的不等式：．【答案】答案见解析.【分析】讨论，以及时，对应不等式的解集即可．【详解】关于的不等式：中，，当或时，，对应的一元二次方程有两个实数根和，且，故不等式的解集为或；当时，，对应的一元二次方程有两个相等的实数根，不等式的解集为；当时，，不等式的解集为；综上，或时，不等式的解集为或；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为．【点睛】本题考查含参一元二次不等式的求解，注意分类讨论即可，属基础题.【】符号[x]表示不大于x的最大整数（xR），例如：[1.3]=1，[2]=2，[1.2]=2.(1)已知[x]=2，[x]=2，分别求两方程的解集M、N；(2)设方程[|x1|]=3的解集为A，集合，若，求k的取值范围.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据题意解方程即可；（2）根据题意列方程，解方程得到集合，然后分，，三种情况讨论求集合B即可.【详解】（1）因为表示不大于的最大整数，时，解得：，所以，时，解得：，所以.（2）因为，所以，根据绝对值不等式的几何意义解得：，又；当时，，所以成立；当时，，若，则有：，解得；当时，，若，则有：，解得；综上：.题型三：一元二次不等式与一元二次函数，方程的关系【例3】若不等式的解集是，则的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用根于系数的关系先求出，再解不等式即可.【详解】不等式的解集是则根据对应方程的韦达定理得到：，解得，则的解集为故选：A【】已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（

）A． B．或C． D．或【答案】A【分析】根据二次函数图象及性质，结合一元二次函数与一元二次不等式的解集的关系即可求解.【详解】由二次函数图象知：，二次函数的零点为和，所以一元二次方程的两根为或，所以不等式的解集为.故选：A.【】已知的解集为，则的值为（

）A．1 B．2 C．1 D．2【答案】B【分析】由题知为方程的一个根，由韦达定理即可得出答案.【详解】因为的解集为，所以为方程的一个根，所以．故选:B．【】（多选）已知关于的不等式的解集是或，则下列说法正确的是（

）A．B．不等式的解集是C．不等式的解集是D．【答案】ACD【分析】由一元二次不等式与解集的关系可判断A选项；利用韦达定理可得出、与的等量关系，利用一次不等式的解法可判断B选项；利用二次不等式的解法可判断C选项；计算可判断D选项.【详解】对于A选项，因为关于的不等式的解集是或，则，A对；对于B选项，由题意可知，关于的方程的两根分别为，，由韦达定理可得，可得，，则，由可得，解得，B错；对于C选项，由可得，即，解得，因此，不等式的解集是，C对；对于D选项，，D对.故选：ACD.【】（多选）已知不等式的解集为或，其中，则下列选项正确的是（

）A．B．不等式的解集为或C．D．不等式的解集为或【答案】AB【分析】对于A，由不等式的解集进行判断，对于BD，由韦达定理，然后结合一元二次不等式的解法进行判断，对于C，由不等式的解集结合根与系数的关系判断.【详解】不等式的解集为或，所以，，所以A正确，所以，由解集形式可知，由于，所以，所以，所以C不正确，由，得，因为，所以，即，因为，所以，所以不等式的解集为或，所以B正确，D错误，故答案为：AB三、解答题【例4】已知函数.(1)若关于的不等式的解集为，求的值；(2)若，解关于的不等式.【答案】(1)(2)时，解集为；时，解集为；时，解集为或【分析】（1）知道的解集为，可确定的根为和，代入求解a，b即可.（2）将转化为含参一元二次不等式，讨论a的范围可求解不等式的解集.【详解】（1）的解集为，和是方程的两个根，∴，解得：.（2）不等式，可化为：.当时，原不等式即为，．当时，原不等式化为，或.当时，原不等式为，可化为因，．综上，时，原不等式的解集为；时，原不等式的解集为；时，原不等式的解集为或【】已知函数(1)若关于x的不等式的解集为，求的值.(2)设关于x不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意可得到是的两个实数根，根据根与系数关系即可得到答案；（2）分和两种情况，当时，题意可转化成恒成立，利用基本不等式求的最小值即可得到答案【详解】（1）∵关于x的不等式的解集为，所以是的两个实数根，则根据根与系数关系得，解得；（2）关于x不等式在上恒成立，当时，原不等式为恒成立；当时，可整理得恒成立，∵（当且仅当即时，取等号）∴解得，∴综上所述，的取值范围是题型四：一元二次根的分布问题【例5】关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】讨论a，确定，则可将化为，令，结合二次函数知识可得，即可求得答案.【详解】当时，即为，不符合题意；故，即为，令，由于关于的方程有两个不相等的实数根，且，则与x轴有两个交点，且分布在1的两侧，故时，，即，解得，故，故选：D【】要使关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则的取值范围是A． B．或 C．或 D．【答案】D【分析】由题意可得，二次函数的图象与轴的两个交点在的两边，则，由此求解关于的不等式得答案．【详解】解：方程对应的二次函数为，其图象是开口向上的抛物线，要使方程的一根比1大且另一根比1小，则抛物线与轴的两个交点在的两边，，即，解得．故选：．【点睛】本题考查一元二次方程根的分布与系数的关系，考查数学转化思想方法，灵活运用“三个二次”的结合是关键，属于基础题．【】若方程有唯一的实数根3，则不等式的解集为．【答案】【分析】由题设条件得到抛物线的图象特点，即可求得不等式的解集【详解】由已知得抛物线的开口向下，与x轴交于点，故不等式的解集为．故答案为：【】关于的一元二次方程在区间内、外各有一个实数根，则实数的取值范围是.【答案】【解析】令，当不是方程的根时，得到，求解得到的范围；再验证当以及是方程的根时是否满足题意，即可得出结果.【详解】在区间内、外各有一个实数根，令，当不是方程的根时，所以，解得：；当是方程的根时，得，此时方程变为：，解得：或，在区间内，在区间外，符合题意；当是方程的根时，得，此时方程变为：，解得：或，此时方程的两根均在区间外，不符合题意；所以实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】易错点睛：本题考查利用一元二次方程根的分布问题求参数，解题时要注意分析判别式、对称轴以及端点（与根比大小的数）的函数值符号.三、解答题【例6】已知一元二次方程．(1)写出“方程有一个正根和一个负根”的充要条件；(2)写出“方程有一个正根和一个负根”的一个必要而不充分条件，并给予证明．【答案】(1)(2)方程有一个正根和一个负根的一个必要而不充分条件可以是，证明见解析【分析】（1）利用判别式及韦达定理即可得到不等式组，解出即可；（2）首先由（1）知其充要条件为，故可以选取作为其必要不充分条件，再证明即可.【详解】（1）若方程有一个正根和一个负根，则，即，．方程有一个正根和一个负根的充要条件是．（2）方程有一个正根和一个负根的一个必要而不充分条件是，证明：若方程有一个正根和一个负根，则由（1）知其充要条件为，从而，故必要性成立．若，则方程中，，，方程有两个同号根，充分性不成立，故是方程有一个正根和一个负根的一个必要而不充分条件．【】已知（1）求的最小值；（2）若恒成立，求的范围；（3）若的两根都在内，求的范围．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）分别在、、和的情况下，得到函数在上的单调性，进而求得最小值；（2）将问题转化为恒成立；由二次函数图象和性质可得不等式组，解不等式求得结果；（3）令可求得两根，根据根所处范围可构造不等式求得结果.【详解】（1）①当时，，在上单调递减

②当时，开口方向向下，对称轴为在上单调递减

③当时，开口方向向上，对称轴为若，则

在上单调递减

若，则

在上单调递减，在上单调递增综上所述：（2）恒成立等价于恒成立当时，不恒成立，不合题意当时，，解得：综上所述：的取值范围为（3）令，即若，方程仅有一个实数根，不合题意；若，则方程两根为，

，解得：综上所述：的取值范围为【点睛】本题考查二次函数最值的求解、一元二次不等式恒成立问题和一元二次方程根的分布问题的求解；考查学生对于二次函数的图象和性质的掌握；易错点是忽略二次项系数是否为零的讨论，造成求解错误.题型五：一元二次函数恒成立和最值问题【例7】若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】讨论和两种情况，即可求解.【详解】当时，不等式成立；当时，不等式恒成立，等价于．综上，实数的取值范围为．故选：B．【】不等式对任意的恒成立，则（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】将原不等式转化为一元二次不等式恒成立问题，根据二次函数的性质求解.【详解】可整理为，根据二次函数的性质有：，故A正确；当时，满足，即原不等式成立，B错误；由，得，所以，C正确；，D正确；故选：ACD．【例8】设函数．(1)若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围；(2)若，解关于的不等式．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）把不等式整理为关于的不等式，然后利用其在时恒成立可得关于的不等关系从而得结论；（2）不等式化简为，然后分类讨论求解．【详解】（1）不等式对于实数时恒成立，即，，显然，函数在上递增，从而得，即，解得，所以实数的取值范围是；（2）不等式，即，当时，，当时，不等式可化为，而，解得，当时，不等式可化为，当，即时，，，当，即时，或，当，即时，或，所以，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为.【】已知关于的不等式．(1)若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；(2)若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）不等式整理成标准的一元二次不等式，由判别式可得参数范围；（2）不等式换成以为主元，为一次不等式，这样只要和时不等式都成立即可得的范围．【详解】（1）若对任意实数，不等式恒成立，即恒成立则关于的方程的判别式，即，解得，所以实数的取值范围为．（2）不等式，可看成关于的一次不等式，又，所以，解得且，所以实数的取值范围是．【】已知函数(1)若关于x的不等式的解集为，求的值.(2)设关于x不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意可得到是的两个实数根，根据根与系数关系即可得到答案；（2）分和两种情况，当时，题意可转化成恒成立，利用基本不等式求的最小值即可得到答案【详解】（1）∵关于x的不等式的解集为，所以是的两个实数根，则根据根与系数关系得，解得；（2）关于x不等式在上恒成立，当时，原不等式为恒成立；当时，可整理得恒成立，∵（当且仅当即时，取等号）∴解得，∴综上所述，的取值范围是【例9】已知函数．(1)当时，求函数在区间上的值域；(2)当时，求函数在区间上的最大值；(3)求在上的最大值与最小值．【答案】(1)(2)(3)答案见解析【分析】（1）求出二次函数的单调区间，从而可求出函数的值域，（2）分和两种情况结合二次函数的性质求其最大值，（3）求出抛物线的对称轴，然后分，，和由种情况求函数的最值即可【详解】（1）当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，，函数在区间上的值域是