人教A版高中数学（选择性必修三）同步讲义第03讲 6.2.3组合+6.2.4组合数 （教师版）

第03讲6.2.3组合+6.2.4组合数课程标准学习目标①了解组合、组合数的意义。②掌握常见的组合处理方法。③会用组合的相关方法解决简单的组合问题。④熟练运用组合数的相关公式及性质解决与组合有关的问题。⑤在实际问题中能区分排列与组合的关系，准确选择恰当的方法解决排列组合的相关问题。1.掌握组合、组合数的意义；2.能解决简单的组合问题；3.并能解决简单的排列组合综合问题；知识点01：组合（1）定义：一般地：从SKIPIF1<0个不同的元素中取出SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)个元素作为一组，叫做从SKIPIF1<0个不同元素中取出SKIPIF1<0个元素的一个组合.（2）相同组合：只要两个组合的元素相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合.（3）组合与排列的异同相同点:组合与排列都是“从SKIPIF1<0个不同的元素中取出SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)个元素”.不同点:组合要求元素“不管元素的顺序合成一组”,而排列要求元素“按照一定的顺序排成一列”因此区分某一问题是组合问题还是排列问题,关键是看选出的元素是否与顺序有关,即交换某两个元素的位置对结果有没有影响,若有影响,则是排列问题，若无影响，则是组合问题.知识点02：组合数与组合数公式（1）组合数的定义：从SKIPIF1<0个不同元素中取出SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)个元素的所有不同组合的个数,叫做从SKIPIF1<0个不同元素中取出SKIPIF1<0个元素的组合数,用符号SKIPIF1<0表示.（2）组合数公式SKIPIF1<0或：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）.规定：SKIPIF1<0【即学即练1】（2023上·高二课时练习）计算：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0.【答案】(1)455(2)21(3)19900【详解】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0知识点03：组合数的性质（1）性质1：SKIPIF1<0（2）性质2：SKIPIF1<0【即学即练2】（2022下·广东梅州·高二校考阶段练习）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】由组合数性质知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.故选：A.【即学即练3】（多选）（2023上·辽宁·高二校联考阶段练习）满足方程SKIPIF1<0的SKIPIF1<0值为（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】AB【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故舍去；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故舍去；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；故选:AB题型01组合的概念【典例1】（2023下·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第六十八中学校考期中）下列四个问题属于组合问题的是（

）A．从SKIPIF1<0名志愿者中选出SKIPIF1<0人分别参加导游和翻译的工作B．从SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0这SKIPIF1<0个数字中选取SKIPIF1<0个不同的数字排成一个三位数C．从全班同学中选出SKIPIF1<0名同学参加学校运动会开幕式D．从全班同学中选出SKIPIF1<0名同学分别担任班长、副班长【答案】C【详解】对于A选项，从SKIPIF1<0名志愿者中选出SKIPIF1<0人分别参加导游和翻译的工作，将SKIPIF1<0人选出后，还要安排导游或翻译的工作，与顺序有关，这个问题为排列问题；对于B选项，从SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0这SKIPIF1<0个数字中选取SKIPIF1<0个不同的数字排成一个三位数，选出三个数字之后，还要将这三个数安排至个位、十位、百位这三个数位，与顺序有关，这个问题为排列问题；对于C选项，从全班同学中选出SKIPIF1<0名同学参加学校运动会开幕式，只需将三名同学选出，与顺序无关，这个问题为组合问题；对于D选项，从全班同学中选出SKIPIF1<0名同学分别担任班长、副班长，将SKIPIF1<0人选出后，还要安排至班长、副班长两个职务，与顺序有关，这个问题为排列问题.故选：C.【典例2】（多选）（2023下·河北石家庄·高二校考阶段练习）下列问题是组合问题的是（

）A．把5本不同的书分给5个学生，每人一本B．从7本不同的书中取出5本给某个同学C．10个人相互发一微信，共发几次微信D．10个人互相通一次电话，共通了几次电话【答案】BD【详解】A.因为书不同，每个同学拿到的也不同，与顺序有关，故不是组合问题；B.从7本不同的书中取出5本给某个同学，每种取法中取出的书不考虑顺序，故是组合问题；C.10个人相互发一微信，与顺序有关，故不是组合问题；D.因为互相通一次电话与顺序无关，故是组合问题；故选：BD【典例3】（多选）（2023下·高二单元测试）下列是组合问题的是（

）A．平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？B．10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少场次？C．从10个人中选出3个为代表去开会，有多少种选法？D．从10个人中选出3个为不同学科的课代表，有多少种选法？【答案】ABC【详解】A是组合问题，因为两点确定一条直线，与点的顺序无关；B是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别；C是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别；D是排列问题，因为三个人中，担任哪一科的课代表是有顺序区别的．故选:ABC．【典例4】（2022·高二课时练习）判断下列问题是组合问题还是排列问题．(1)若集合SKIPIF1<0，则集合SKIPIF1<0的含有3个元素的子集有多少个？(2)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上需准备多少种车票？(3)从7本不同的书中取出5本给某同学；(4)三个人去做5种不同的工作，每人做1种，有多少种分工方法？(5)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得一本，有多少种分配方法？【答案】(1)组合问题(2)排列问题(3)组合问题(4)排列问题(5)组合问题【详解】（1）因为集合SKIPIF1<0的任一个含3个元素的子集与元素顺序都无关，所以它是组合问题．（2）因为车票与起点、终点顺序有关，例如“甲→乙”与“乙→甲”的车票不同，所以它是排列问题．（3）因为从7本不同的书中取出5本给某同学，取出的5本书并不考虑书的顺序，所以它是组合问题．（4）因为从5种不同的工作中选出3种，按一定顺序分给三个人去做，所以它是排列问题．（5）因为3本书是相同的，把这3本书无论分给哪三个人都不需要考虑顺序，所以它是组合问题．【变式1】（2022下·黑龙江齐齐哈尔·高二龙江县第一中学校考阶段练习）下面问题中，是排列问题的是（

）A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数B．从40人中选5人组成篮球队C．从100人中选2人抽样调查D．从1，2，3，4，5中选5个数组成集合【答案】A【详解】解：对于A，由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数，则共有SKIPIF1<0种排法，是排列问题；对于B，从40人中选5人组成篮球队，有SKIPIF1<0种选法，是组合问题；对于C，从100人中选2人抽样调查，有SKIPIF1<0种选法，是组合问题；对于D，从1，2，3，4，5中选5个数组成集合，有SKIPIF1<0种选法，是组合问题.故选：A.【变式2】（2023上·高二课时练习）判断下列问题分别是排列问题还是组合问题：(1)从10名学生中任选5名去参观一个展览会，求有多少种不同的选法；(2)从1、2、3、4、5这5个数字中，每次任取2个不同的数作为一个点的坐标，求所有不同点的个数；(3)一个黄袋中装有四张分别写有1、3、5、7的卡片，另一个红袋中装有四张分别写有2、8、16、32的卡片．从红袋和黄袋中各任取一张卡片，问这两张卡片上的数相加所得的和有多少种；(4)有四本不同的书要分别送给四个人，每人一本，问一共有多少种不同的送法．【答案】(1)组合问题(2)排列问题(3)组合问题(4)排列问题【详解】（1）从10名学生中任选5名去参观一个展览会，选出的学生不用排序，所以这是组合问题.（2）从1、2、3、4、5这5个数字中，每次任取2个不同的数作为一个点的坐标，由于坐标有横纵坐标之分，所以选出的2个不同的数需要排序，故这是排列问题.（3）从红袋和黄袋中各任取一张卡片，求这两张卡片上的数相加所得的和，因为加法满足交换律，故选出的卡片不用排序，所以这是组合问题.（4）因为四本不同的书送给四个人，要求每人一本，所以这四本书需要排序，故这是排列问题.【变式3】（2023下·高二课时练习）判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？(2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；(3)从7本不同的书中取出5本给某个学生．【答案】(1)排列问题(2)排列问题(3)组合问题【详解】（1）因为一种火车票与起点、终点顺序有关，如甲→乙和乙→甲的车票是不同的，所以它是排列问题．（2）由于书不同，每人每次拿到的书也不同，有顺序之分，因此它是排列问题．（3）从7本不同的书中，取出5本给某个学生，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题．题型02组合数的计算、化简与证明【典例1】（2024·全国·高三专题练习）SKIPIF1<0（

）A．74 B．98 C．124 D．148【答案】C【详解】SKIPIF1<0．故选：C．【典例2】（多选）（2024上·吉林·高二长春市第二实验中学校联考期末）下列有关排列数、组合数的等式中，正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BC【详解】A选项，SKIPIF1<0，A错误；B选项，根据组合公式得到SKIPIF1<0，B正确；C选项，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，C正确；D选项，SKIPIF1<0，D错误.故选：BC【典例3】（2023下·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第六十八中学校考期中）（1）计算：SKIPIF1<0；（2）证明：SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）证明见解析.【分析】（1）利用排列数公式可求得所求代数式的值；（2）利用组合数公式可证得结论成立.【详解】（1）SKIPIF1<0；（2）证明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.【变式1】（多选）（2023下·河北石家庄·高二石家庄市第十八中学校考阶段练习）下列等式中，正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ACD【详解】A：SKIPIF1<0，正确；B：SKIPIF1<0，错误；C：SKIPIF1<0，正确；D：SKIPIF1<0，正确；故选：ACD【变式2】（2023上·江西南昌·高二南昌十中校考期中）（1）计算：SKIPIF1<0；（2）求值：SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【详解】（1）SKIPIF1<0；（2）由组合数的定义知：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【变式3】（2023上·高二课时练习）m是自然数，n为正整数，且SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．【答案】证明见解析【详解】根据组合数公式，可以得到SKIPIF1<0．题型03组合数方程与不等式【典例1】（2023上·河南驻马店·高二统考期末）关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0的解为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0且SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】D【详解】因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，符合题意；若SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，符合题意；综上所述：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选：D.【典例2】（2023上·山东德州·高二校考阶段练习）（1）解关于x的不等式SKIPIF1<0．（2）求等式SKIPIF1<0中的n值．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【详解】（1）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）原方程变形为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，化简整理，得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【典例3】（2024·全国·高三专题练习）（1）解不等式SKIPIF1<0．（2）若SKIPIF1<0，求正整数n．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【详解】（1）由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.【变式1】（2023上·高二课时练习）不等式SKIPIF1<0的解为．【答案】SKIPIF1<0【详解】依题意SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以不等式的解为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【变式2】（2023下·河北石家庄·高二校考阶段练习）若SKIPIF1<0，求m.【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【详解】依题意，得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【变式3】（2024上·辽宁沈阳·高二校联考期末）（1）已知SKIPIF1<0，计算：SKIPIF1<0；（2）解方程：SKIPIF1<0．【答案】（1）126；（2）SKIPIF1<0．【详解】（1）因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，经验证符合题意，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（2）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而由SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以原方程的解为SKIPIF1<0.题型04组合数的性质及其应用【典例1】（2023下·甘肃白银·高二统考开学考试）SKIPIF1<0（

）A．84 B．120 C．126 D．210【答案】D【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：D【典例2】（2023下·山东济宁·高二统考期中）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．3 B．6 C．9 D．3或6【答案】D【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.经检验符合题意故选：D【典例3】（多选）（2023下·江苏南京·高二南京师大附中校考期中）若SKIPIF1<0，则正整数SKIPIF1<0的值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AC【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或3，经检验均满足要求.故选：AC【典例4】（2023下·河北邢台·高二邢台一中校考阶段练习）若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0.【答案】4【详解】由题意可知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，舍去，综上：SKIPIF1<0.故答案为：4【变式1】（2023下·江苏徐州·高二徐州高级中学校考期中）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】C【详解】若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0.故选:C.【变式2】（多选）（2023下·山西运城·高二统考期中）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值可以是（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】BC【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或8.故选：BC【变式3】（2023上·福建龙岩·高二校考阶段练习）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为.【答案】210【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=210，故答案为：210.题型05有限制条件的组合问题【典例1】（2024·全国·高三专题练习）用2个0，2个1和1个2组成一个五位数，则这样的五位数有（

）A．8个 B．12个 C．18个 D．24个【答案】C【详解】当首位为2时，这样的五位数有SKIPIF1<0个；当首位为1时，这样的五位数有SKIPIF1<0个.综上，这样的五位数共有SKIPIF1<0个.故选：C.【典例2】（2024上·上海·高二校考期末）2020年底以来，我国多次在重要场合和政策文件中提及碳中和，碳中和指的是二氧化碳排放量和吸收景可以正负抵消，实现二氧化碳“零排放”.二氧化碳的分子是由一个碳原子和两个氧原子构成的，其结构式为SKIPIF1<0.已知氧有SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三种天然同位素，碳有SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三种天然同位素，则由上述同位素可构成的不同二氧化碳分子共有个.【答案】18【详解】分以下两种情况讨论：若两个氧原子相同，此时二氧化碳分子共有SKIPIF1<0种；若两个氧原子不同，此时二氧化碳分子共有SKIPIF1<0种.由分类加法计数原理可知，由上述同位素可构成的不同二氧化碳分子共有SKIPIF1<0种.故答案为：18【典例3】（2024·全国·高三专题练习）某校为促进拔尖人才培养开设了数学、物理、化学、生物、信息学五个学科竞赛课程，现有甲、乙、丙、丁四位同学要报名竞赛课程，由于精力和时间限制，每人只能选择其中一个学科的竞赛课程，则恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法数为．【答案】96【详解】由题知先安排甲、乙、丙、丁四位同学的2名选择数学竞赛课程，则有：SKIPIF1<0种情况，剩下2名同学在选择物理、化学、生物、信息学四个学科竞赛课程时有：①2名同学选择1个学科竞赛则有：SKIPIF1<0种情况，②2名同学各选择1个学科竞赛则有SKIPIF1<0种情况，所以恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法数为：SKIPIF1<0种情况，故答案为：96.【变式1】（2024上·海南海口·高三海南中学校考阶段练习）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读3种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（

）A．30种 B．60种 C．180种 D．240种【答案】C【详解】甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读3种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有SKIPIF1<0种.故选：C【变式2】（2024·全国·高三专题练习）中国空间站的主体结构包括天和核心实验舱､问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲､乙等5名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多二人，则甲乙不在同一实验舱的种数有（

）A．60 B．66 C．72 D．80【答案】C【详解】5名航天员安排三舱，每个舱至少一人至多二人，共有SKIPIF1<0种安排方法，若甲乙在同一实验舱的种数有SKIPIF1<0种，故甲乙不在同一实验舱的种数有SKIPIF1<0种.故选：C.【变式3】（2024·全国·高三专题练习）从1，2，3，4，5，6中选取4个数字，组成各个数位上的数字既不全相同，也不两两互异的四位数，记四位数中各个数位上的数字从左往右依次为a，b，c，d，且要求SKIPIF1<0，则满足条件的四位数的个数为.【答案】105【详解】由题意可知，只用2个不同的数字时，有SKIPIF1<0（种）选法，按照位数要求，每种数字组合组成的符合要求的四位数有3个，比如数字1和2，可以构成的四位数有1222，1122，1112，所以共有SKIPIF1<0（个）符合要求的四位数.只用3个不同的数字时，有SKIPIF1<0（种）选法，按照位数要求，每种数字组合组成的符合要求的四位数有3个，比如数字1，2，3，可以构成的四位数有1123，1223，1233，所以共有SKIPIF1<0（个）符合要求的四位数.故符合要求的四位数总共有SKIPIF1<0（个）.故答案为：105题型06排列、组合的综合应用【典例1】（2024·全国·高三专题练习）将六位数“SKIPIF1<0”重新排列后得到不同的六位偶数的个数为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．216 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】由题意，末尾是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，不同偶数个数为SKIPIF1<0，末尾是SKIPIF1<0，不同偶数个数为SKIPIF1<0，所以共有SKIPIF1<0个.故选：D【典例2】（2024·全国·高三专题练习）中国空间站（ChinaSpaceStation）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有（

）A．450种 B．72种 C．90种 D．360种【答案】A【详解】由题知，6名航天员安排三舱，三舱中每个舱至少一人至多三人，可分两种情况考虑：第一种：分人数为SKIPIF1<0的三组，共有SKIPIF1<0种；第二种：分人数为SKIPIF1<0的三组，共有SKIPIF1<0种；所以不同的安排方法共有SKIPIF1<0种.故选：A.【典例3】（2024·全国·高三专题练习）2022年11月，第五届中国国际进口博览会即将在上海举行，组委员会准备安排5名工作人员去A，B，C，D这4所场馆，其中A场馆安排2人，其余场馆各1人，则不同的安排方法种数为．【答案】60【详解】分为两步，第一步：安排2人去A场馆有SKIPIF1<0种结果，第二步：安排其余3人到剩余3个场馆，有SKIPIF1<0种结果，所以不同的安排方法种数为SKIPIF1<0．故答案为：60.【典例4】（2024·全国·高三专题练习）2023年杭州亚运会需招募志愿者，现从某高校的8名志愿者中任意选出3名，分别担任语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲、乙2人不能担任语言服务工作，则不同的选法共有种.【答案】252【详解】解：先从甲、乙之外的6人中选取1人担任语言服务工作，再从剩下的7人中选取2人担任人员引导、应急救助工作，则不同的选法共有SKIPIF1<0种.故答案为：252【变式1】（2024·全国·高三专题练习）安排包括甲、乙在内的4名大学生去3所不同的学校支教，每名大学生只去一个学校，每个学校至少去1名，甲、乙不能安排在同一所学校，则不同的安排方法有（

）A．36种 B．30种 C．24种 D．12种【答案】B【详解】若每名大学生只去一个学校，每个学校至少去1名，则不同的安排方法有SKIPIF1<0种，若甲、乙安排在同一所学校，则不同的安排方法有SKIPIF1<0种，所以甲、乙不能安排在同一所学校，则不同的安排方法有SKIPIF1<0种.故选：B.【变式2】（2024上·河北邯郸·高三磁县第一中学校考阶段练习）国际高峰论坛上，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这3个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（

）A．306 B．198 C．268 D．378【答案】B【详解】由题可知选出的3个媒体团的构成有如下两类：①选出的3个媒体团中只有一个国内媒体团，有SKIPIF1<0种不同的提问方式；②选出的3个媒体团中有两个国内媒体团，有SKIPIF1<0种不同的提问方式．综上，共有SKIPIF1<0种不同的提问方式．故选：B.【变式3】（2024·全国·高三专题练习）从5男3女共8名学生中选出组长1人，副组长1人，普通组员3人组成5人志愿组，要求志愿组中至少有3名男生，且组长和副组长性别不同，则共有种不同的选法.（用数字作答）【答案】SKIPIF1<0【详解】由题意可知，当志愿组有3名男生，2名女生时，有SKIPIF1<0种方法；当志愿组有4名男生，1名女生时，有SKIPIF1<0种方法，由分类计数原理得，共有SKIPIF1<0种不同的选法.故答案为：SKIPIF1<0.【变式4】（2024·全国·高三专题练习）从2个不同的红球，2个不同的黄球，2个不同的蓝球共6个球中任取2个，放入红、黄、蓝色的三个袋子中，每个袋子至多放入1个球，且球色与袋色不同，则不同的放法有种.【答案】42【详解】根据题意，分两类情况：①若取出2个球全是同一种颜色，有3种可能，若为红色只需把它们放入蓝和黄即可，有SKIPIF1<0（种），此时有SKIPIF1<0（种）；②若取出的2个球为两种颜色的球，有SKIPIF1<0（种），若为一红一黄，每个袋子至多放入一个球，且球色与袋色不同，有3种方法，此时共有SKIPIF1<0（种），因此不同的放法有SKIPIF1<0种.故答案为：42.题型07与几何图形有关的组合问题【典例1】（2023上·辽宁沈阳·高二校考阶段练习）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（

）A．18 B．24 C．30 D．32【答案】C【详解】从SKIPIF1<0到SKIPIF1<0共有SKIPIF1<0条最短路径，从SKIPIF1<0到SKIPIF1<0共有SKIPIF1<0条路径，故小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为SKIPIF1<0.故选：C【典例2】（2023下·云南楚雄·高二统考期中）如图，小华从图中SKIPIF1<0处出发，先到达SKIPIF1<0处，再前往SKIPIF1<0处，则小华从SKIPIF1<0处到SKIPIF1<0处可以选择的最短路径有（

）

A．25条 B．48条 C．150条 D．512条【答案】C【详解】从SKIPIF1<0处到SKIPIF1<0处的最短路径有SKIPIF1<0条，从SKIPIF1<0处到SKIPIF1<0处的最短路径有SKIPIF1<0条，则小华从SKIPIF1<0处到SKIPIF1<0处可以选择的最短路径有SKIPIF1<0条．故选：C.【典例3】（多选）（2023下·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习）在某城市中，SKIPIF1<0两地之间有如图所示的道路网，甲随机沿道路网选择一条最短路径，从SKIPIF1<0地出发到SKIPIF1<0地，则下列结论正确的是（

）

A．不同的路径共有31条B．不同的路径共有41条C．若甲途经SKIPIF1<0地，则不同的路径共有18条D．若甲途经SKIPIF1<0地，且不经过SKIPIF1<0地，则不同的路径共有8条【答案】AC【详解】由图可知，从SKIPIF1<0地出发到SKIPIF1<0地的最短路径共包含7步，其中3步向上，4步向右，且前3步中至少有1步向上，则不同的路径共有SKIPIF1<0条，故A正确、B错误；若甲途经SKIPIF1<0地，则不同的路径共有SKIPIF1<0条，故C正确；若甲途经SKIPIF1<0地，且不经过SKIPIF1<0地，则不同的路径共有SKIPIF1<0，故D错误；故选：AC.【变式1】（2023上·江西抚州·高二江西省抚州市第一中学校考阶段练习）在某城市中，A，B两地有如图所示的方格型道路网，甲随机沿道路网选择一条最短路径，从A地出发去往B地，途经C地，则不同的路线有（

）A．90种 B．105种 C．260种 D．315种【答案】B【详解】由题可知，不同的路线有SKIPIF1<0种．故选：B.【变式2】（2023上·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期中）某数学兴趣小组用纸板制作正方体教具，现给图中的正方体展开图的六个区域涂色，有红、橙、黄、绿四种颜色可选，要求制作出的正方体相邻面所涂颜色均不同，共有种不同的涂色方法.【答案】SKIPIF1<0【详解】如图，还原回正方体后，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为正方体前后两个对面，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为左右两个对面，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为上下两个对面，

先涂SKIPIF1<0有SKIPIF1<0种涂法，当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0同色，再涂SKIPIF1<0有SKIPIF1<0种涂法，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0同色，则有SKIPIF1<0种涂法，最后涂SKIPIF1<0有SKIPIF1<0种涂法，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不同色，则有SKIPIF1<0种涂法，最后涂SKIPIF1<0有SKIPIF1<0种涂法，则有SKIPIF1<0种涂法；当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不同色，则涂SKIPIF1<0有SKIPIF1<0种涂法，涂SKIPIF1<0有SKIPIF1<0种涂法，此时SKIPIF1<0与SKIPIF1<0必同色且只有一种涂法，SKIPIF1<0也只有SKIPIF1<0种涂法，则有SKIPIF1<0，综上可得一共有SKIPIF1<0种涂法.故答案为：SKIPIF1<0【变式3】（2023·全国·高二随堂练习）如图，湖面上有4个相邻的小岛A，B，C，D，现要建3座桥梁，将这4个小岛连接起来，共有多少种不同的方案？

【答案】16【详解】由题意知要将4个相邻的小岛A，B，C，D连接起来，共有SKIPIF1<0个位置可以建设桥梁，从这6个位置中选3个建设桥梁，共有SKIPIF1<0种选法，但选出的3个位置可能是仅连接SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0三个小岛，不合题意，故要建3座桥梁，将这4个小岛连接起来，共有SKIPIF1<0（种）不同的方案.题型08分组、分配问题【典例1】（2023·四川雅安·统考一模）甲、乙、丙、丁4个学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有SKIPIF1<0五个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，则4个学校中至少有3个学校所选研学基地不相同的选择种数共有（

）A．420 B．460 C．480 D．520【答案】C【详解】求不相同的选择种数有两类办法：恰有3个学校所选研学基地不同有SKIPIF1<0种方法，4个学校所选研学基地都不相同有SKIPIF1<0种方法，所以不相同的选择种数有SKIPIF1<0（种）.故选：C【典例2】（2023上·湖北武汉·高二武汉市东湖中学校考期中）为庆祝3.8妇女节，东湖中学举行了教职工气排球比赛，赛制要求每个年级派出十名成员分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛.(1)一共有多少不同的分组方案？(2)在进入决赛后，每个年级只派出一支队伍参加决赛，在比赛时须按照1、2、3、4、5号位站好，为争取最好成绩，高二年级选择了SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0六名女老师进行训练，经训练发现SKIPIF1<0不能站在5号位，若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0同时上场，必须站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）队伍分配方案可分为：①两组都是3女2男；②一组是1男4女，另一组是3男2女，①若两组都是3女2男，则先将6女平均分成两组共SKIPIF1<0种方式，再将4男平均分成两组共SKIPIF1<0种方式，所以两组都是3女2男的情况有SKIPIF1<0种；②一组是1男4女，另一组是3男2女的情况有SKIPIF1<0种，所以总情况数为SKIPIF1<0种.故一共有SKIPIF1<0种不同的分组方案；（2）总共可分为三种情况，如下：①若SKIPIF1<0上场且SKIPIF1<0不上场：先将SKIPIF1<0全排列，共有SKIPIF1<0种方式，再把SKIPIF1<0捆绑后和SKIPIF1<0全排列共有SKIPIF1<0种方式，所以SKIPIF1<0上场且SKIPIF1<0不上场共有SKIPIF1<0种不同的排列方式；②若SKIPIF1<0上场且SKIPIF1<0也上场：（i）若SKIPIF1<0在1号位，先将SKIPIF1<0全排列，共有SKIPIF1<0种方式，再从SKIPIF1<0中选两人，有SKIPIF1<0种方式，则SKIPIF1<0捆绑后和SKIPIF1<0中的两人全排列，有SKIPIF1<0种方式，所以SKIPIF1<0在1号位共有SKIPIF1<0种不同的方式；（ii）若SKIPIF1<0在2号位，再将SKIPIF1<0全排列，且SKIPIF1<0可位于3，4号位或4，5号位，共有SKIPIF1<0种方式，再从SKIPIF1<0中选两人进行排列，有SKIPIF1<0种方式，所以SKIPIF1<0在2号位或3号位共有SKIPIF1<0种不同的方式；（iii）若SKIPIF1<0在3号位，再将SKIPIF1<0全排列，且SKIPIF1<0可位于1，2号位或4，5号位，共有SKIPIF1<0种方式，再从SKIPIF1<0中选两人进行排列，有SKIPIF1<0种方式，所以SKIPIF1<0在2号位或3号位共有SKIPIF1<0种不同的方式；（iiii）若SKIPIF1<0在4号位，将SKIPIF1<0全排列，且SKIPIF1<0可位于1，2号位或2，3号位，共有SKIPIF1<0种方式，再从SKIPIF1<0中选两人进行排列，有SKIPIF1<0种方式，所以SKIPIF1<0在4号位共有SKIPIF1<0种不同的方式.所以SKIPIF1<0上场且SKIPIF1<0也上场共有SKIPIF1<0种不同的方式；③若SKIPIF1<0中有一人上场且SKIPIF1<0上场：SKIPIF1<0上场且不在5号位，则SKIPIF1<0可位于1，2，3，4号位，有SKIPIF1<0种方式，再从SKIPIF1<0中选一人，有SKIPIF1<0种方式，SKIPIF1<0中的一人和SKIPIF1<0共4人全排列，共SKIPIF1<0种方式，所以SKIPIF1<0中有一人上场且SKIPIF1<0上场共有SKIPIF1<0种不同的排列方式.综上所述，共有SKIPIF1<0种排列方式.【典例3】（2023下·河南郑州·高二校考期中）已知从左到右有5个空格.(1)若向这5个格子填入0，1，2，3，4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少不同的填法？(2)若向这5个格子放入7个不同的小球，要求每个格子里都有球，问有多少种不同的放法？【答案】(1)96(2)16800【详解】（1）根据题意，分2步进行分析：①第三个格子不能填0，则0有4种选法；②将其余的4个数字全排列，安排在其他四个格子中，有SKIPIF1<0种情况，则一共有SKIPIF1<0种不同的填法；（2）根据题意，分2步进行分析：①、将7个小球分成5组，有2种分法：若分成2－2－1－1－1的5组，有SKIPIF1<0种分法，若分成3－1－1－1－1的5组，有SKIPIF1<0种分组方法，则有（SKIPIF1<0）种分组方法，②、将分好的5组全排列，对应5个空格，有SKIPIF1<0种情况，则一共有SKIPIF1<0种放法.【典例4】（2022下·安徽安庆·高二安庆市第二中学校考期中）6位同学报名参加2022年杭州亚运会4个不同的项目（记为SKIPIF1<0）的志愿者活动，每位同学恰报1个项目.(1)6位同学站成一排拍照，如果甲乙两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队方式有多少种？(2)若每个项目至少需要一名志愿者，求一共有多少种不同报名方式？(3)若每个项目只招一名志愿者，且同学甲不参加项目SKIPIF1<0，同学乙不参加项目SKIPIF1<0，求一共有多少种不同录用方式？【答案】(1)144(2)1560(3)252【详解】（1）根据题意先把甲乙看成整体，与除了甲、乙、丙、丁之外的两人进行排列，再把丙丁插空进行排列，所以共有SKIPIF1<0.（2）先分为4组，则按人数可分为1，1，1，3和1，1，2，2两种分组方式，共有SKIPIF1<0种；再分到4个项目，即可得共有SKIPIF1<0；（3）先考虑全部，则共有SKIPIF1<0种排列方式，其中甲参加项目SKIPIF1<0共有SKIPIF1<0种，同学乙参加项目SKIPIF1<0共有SKIPIF1<0种；甲参加项目SKIPIF1<0同时乙参加项目SKIPIF1<0共有SKIPIF1<0种，根据题意减去不满足题意的情况共有SKIPIF1<0种.【典例5】（2023·高二课时练习）将四个小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，根据下列条件求不同放法的种数．(1)四个小球不同，每个盒子各放一个；(2)四个小球相同，每个盒子各放一个；(3)四个小球不同，四个盒子恰有一个空着；(4)四个小球相同，四个盒子恰有一个空着．【答案】(1)24(2)1(3)144(4)12（4）先将小球分组，再选出空盒，选出放入2个小球的盒子，从而得到答案.【详解】（1）四个小球不同，每个盒子各放一个，属于全排列问题，则不同的放法有SKIPIF1<0种；（2）四个小球相同，每个盒子各放一个，每个小球放入任何一个盒子，都为同1种情况，故不同的放法有1种；（3）四个小球不同，四个盒子恰有一个空着，则有一个盒子放入了2个小球，先将四个不同的小球分为3组，有SKIPIF1<0种情况，选出一个空盒，有SKIPIF1<0种情况，再将分好的3组小球，与对应的3个盒子进行全排列，共有SKIPIF1<0种选择，综上：四个小球不同，四个盒子恰有一个空着，选择方法有SKIPIF1<0种；（4）四个小球相同，四个盒子恰有一个空着，则有一个盒子放入了2个小球，先将四个不同的小球分为3组，则只有1种分法，即2，1，1，选出一个空盒，有SKIPIF1<0种情况，将分好的3组小球，放入3个盒子中，选出放入2个小球的盒子，有SKIPIF1<0种情况，综上：四个小球相同，四个盒子恰有一个空着，一共有SKIPIF1<0种选择.【变式1】（2024·河南郑州·统考一模）2023年12月6日上午，2023世界5G大会在郑州国际会展中心拉开帷幕．世界5G大会是全球5G领域国际性盛会，也是首次在豫举办．本次大会以“5G变革共绘未来”为主题，以持续推动5G不断演进创新为目标．现场邀请全球有影响力的科学家、企业家、国际组织负责人等参会，并进行高层次、高水平交流研讨．为确保大会顺利进行，面向社会招聘优秀志愿者，参与大会各项服务保障工作．现从包含甲、乙的6人中选派4人参与“签到组”、“服务组”、“物料组”、“机动组”四个不同的岗位工作，每人去一个组，其中甲、乙至少有一人参加且甲不去“签到组”的选派方法共有种．（用数字作答）【答案】SKIPIF1<0【详解】根据题意可知6人中选派4人参与选派方式共有SKIPIF1<0种，其中甲、乙都不参与的选派方式共有SKIPIF1<0种，其中甲、乙至少有一人参加且甲去“签到组”的选派方式共有SKIPIF1<0种，所以甲、乙至少有一人参加且甲不去“签到组”的选派方法共有SKIPIF1<0种.故答案为：SKIPIF1<0【变式2】（2023下·江苏宿迁·高二统考期中）某医疗小组有4名男性，2名女性共6名医护人员，医护人员甲是其中一名．(1)若从中任选2人参加A，SKIPIF1<0两项救护活动，每人只能参加其中一项活动，每项活动都要有人参加，求医护人员甲不参加SKIPIF1<0项救护活动的选法种数；(2)这6名医护人员将去3个不同的地方参与医疗支援，每人只能去一地，每地有2人前往，若2名女性不能去往同一个地方，求不同的分配方案种数．【答案】(1)25(2)72【详解】（1）分两类：①甲参加SKIPIF1<0项救护活动，再从其余5人中选一人参加A，选法数为SKIPIF1<0，②甲不参加救护活动，则从其余5人中任选两人参加救护活动，选法数为SKIPIF1<0，所以共有选法种数为20+5=25；（2）分三步：第一步先安排两名女性医护人员有：SKIPIF1<0，第二步：安排两名女医护人员同去的男医护人员有：SKIPIF1<0，第三步：剩余两名男性医护人员去另外一地有：SKIPIF1<0，所以共有不同的分配方案数为：SKIPIF1<0．【变式3】（2023下·湖北·高二校联考阶段练习）（1）将SKIPIF1<0个不同的小球放入SKIPIF1<0个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法?（2）将SKIPIF1<0个不同的小球放入SKIPIF1<0个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法?（3）将SKIPIF1<0个相同的小球放入SKIPIF1<0个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法?（4）将SKIPIF1<0个相同的小球放入SKIPIF1<0个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法?（注：要写出算式，结果用数字表示）【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0.【分析】（1）先将SKIPIF1<0个不同的小球分为三组，确定每组小球的数量，然后将三组小球放【详解】解：（1）将SKIPIF1<0个不同的小球分为三组，每组的小球数量分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0或SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，然后再将这三组小球放入三个盒子中，因此，不同的放法种数为SKIPIF1<0种；（2）每个小球有SKIPIF1<0种方法，由分步乘法计数原理可知，将SKIPIF1<0个不同的小球放入SKIPIF1<0个不同的盒子中，盒子可空，不同的放法种数为SKIPIF1<0种；（3）将SKIPIF1<0个相同的小球放入SKIPIF1<0个不同的盒子中，没有空盒子，只需在SKIPIF1<0个相同的小球中间所形成的SKIPIF1<0个空位中插入SKIPIF1<0块板即可，所以，不同的放法种数为SKIPIF1<0种；（4）将SKIPIF1<0个相同的小球放入SKIPIF1<0个不同的盒子中，盒子可空，等价于将SKIPIF1<0个相同的小球放入SKIPIF1<0个不同的盒子中，每个盒子不空，只需在SKIPIF1<0个相同的小球中间所形成的SKIPIF1<0个空位中插入SKIPIF1<0块板即可，所以，不同的放法种数为SKIPIF1<0种.【变式4】（2023下·浙江·高二杭州市萧山区第五高级中学校联考期中）盒子中有SKIPIF1<0个不同的白球和SKIPIF1<0个不同的黑球.(1)若将这些小球取出后排成一排，使得黑球互不相邻，白球也不相邻，共有多少种不同的排法？(2)随机一次性摸出SKIPIF1<0个球，使得摸出的三个球中至少有SKIPIF1<0个黑球，共有多少种不同的摸球结果？(3)将这些小球分别放入另外三个不同的盒子，使得每个盒子至少一个球，共有多少种不同的放法？（注：要写出算式，结果用数字表示）【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【详解】（1）解：将SKIPIF1<0个不同的白球和SKIPIF1<0个不同的黑球排成一排，使得黑球互不相邻，白球也不相邻，只需先将SKIPIF1<0个不同的黑球进行排序，然后将SKIPIF1