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文档简介
——一元微积分学大学数学（一）第1节常数项级数的概念和性质1第七章无穷级数第一节常数项级数的概念和性质一.无穷级数的概念二.级数收敛的必要条件三.无穷级数的基本性质2一.无穷级数的概念1.无穷级数的定义设有数列
{un}:u1,u2,…,un,…为一个无穷级数,简称为级数.称un为级数的一般项或通项.则称表达式34下列各式均为常数项级数例152.级数的敛散性定义无穷级数的前n项之和：称为级数的部分和.若存在,则称级数收敛.S称为级数的和：6若不存在(包括为
),发散.则称级数7讨论等比级数的敛散性.等比级数的部分和为：当公比|r|<1时,此时等比级数收敛,其和为：解例28当公比|r|>1时,当公比r=1时,Sn=a,n为奇数0,n为偶数当公比|r|<1时,等比级数收敛；当公比r=
1时,当公比|r|
1时,等比级数发散.综上所述,9讨论级数的敛散性.
解例310而故即该级数收敛,其和为11二.无穷级数的基本性质有相同的敛散性,且
若c0为常数,则与1.性质112证的部分和为的部分和为故同时收敛或同时发散,即与且有132.性质214证的部分和为：故即级数收敛,且15因为等比级数所以级数例416一个收敛级数与一个发散级数的和是收敛的还是发散的？是发散的两个发散的级数之和是收敛的还是发散的？不一定17
但对收敛级数来说,它的和将改变.在一个级数的前面加上或者去掉有限项后,所得到的新的级数与原级数的敛散性相同.3.性质318证设级数的部分和为Sn,去掉级数的前面m项后得到的级数的部分和为19由于Sm当m固定时为一常数,所以故级数与级数20级数仍然收敛,且其和不变.对收敛的级数加括号后所得到的新在级数运算中,不能随意加上或去掉括号,因为这样做可能改变级数的敛散性.4.性质421收敛的级数去掉括号后所成的级数仍收敛吗？不一定发散的级数加括号后所成的级数是否仍发散？不一定22原级数也发散如果加括号后的级数仍发散,原级数是否也发散？235.性质5级数收敛的必要条件若级数收敛,则必有定理证设24证明调和级数是发散的:调和级数的部
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