人教A版高中数学（选择性必修二）同步讲义第08讲 第四章 数列 重点题型章末总结（教师版）

第08讲第四章数列重点题型章末总结一、思维导图二、题型精讲题型01等差与等比数列的基本运算1．（2023·全国·高二随堂练习）已知数列SKIPIF1<0为等差数列，前n项和为SKIPIF1<0，求解下列问题：(1)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(3)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求n．【答案】(1)2(2)1596(3)11【详解】（1）由题意知数列SKIPIF1<0为等差数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0公差为d，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；（2）数列SKIPIF1<0为等差数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0公差为d，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；（3）由题意知数列SKIPIF1<0为等差数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0公差为d，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），故SKIPIF1<0.2．（2023秋·高二课时练习）在等差数列SKIPIF1<0中，(1)已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(3)已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(4)已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0(4)SKIPIF1<0【详解】（1）由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．（2）由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．（3）由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．（4）由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．3．（2023·全国·高二课堂例题）已知数列SKIPIF1<0是等差数列．(1)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(3)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求n．【答案】(1)2700(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0．【详解】（1）因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据公式SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．（2）因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．根据公式SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．（3）把SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．整理，得SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0（舍去）．所以SKIPIF1<0．4．（2023秋·高二课时练习）在等差数列SKIPIF1<0中，(1)已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．【答案】(1)44(2)SKIPIF1<0【详解】（1）设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0故SKIPIF1<0.（2）设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0故SKIPIF1<0.5．（2023秋·云南·高三校联考阶段练习）在正项等比数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）设正项等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．（2）由（1）可知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是以1为首项，2为公差的等差数列，故SKIPIF1<0．6．（2023·全国·高二随堂练习）已知数列SKIPIF1<0为等比数列．(1)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0和q；(3)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【详解】（1）因为数列SKIPIF1<0为等比数列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，（2）因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，（3）因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由题意可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，综上SKIPIF1<0或SKIPIF1<07．（2023·全国·高二随堂练习）求下列等比数列SKIPIF1<0的前n项和．(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(4)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0(4)378【详解】（1）由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0（2）由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0（3）由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0（4）由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<08．（2023·全国·高二随堂练习）已知数列SKIPIF1<0为等比数列，前n项和为SKIPIF1<0．(1)如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求q；(3)如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【详解】（1）SKIPIF1<0等比数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．（2）在等比数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，显然公比SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．（3）因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以公比SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.题型02等差、等比数列的判定1．（2023春·山东淄博·高二校考阶段练习）已知下列数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0的公式SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)判断该数列是否为等差数列，并说明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)不是等差数列，理由见解析【详解】（1）因为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，上式不成立，所以SKIPIF1<0；（2）由（1）得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0不是等差数列.2．（2023春·云南曲靖·高一曲靖一中校考期末）数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是常数．(1)当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0及SKIPIF1<0的值；(2)数列SKIPIF1<0是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)数列SKIPIF1<0不是等差数列，理由见解析【详解】（1）因为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，假设数列SKIPIF1<0是等差数列，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0不是等差数列，故假设不成立，故数列SKIPIF1<0不可能为等差数列3．（2023春·上海嘉定·高二统考期末）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)求证：数列SKIPIF1<0是等差数列.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)见解析【详解】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）由（1）知，SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是以首项为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0等差数列.4．（2023春·贵州铜仁·高二统考期末）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．(1)求证：数列SKIPIF1<0是等比数列；(2)求数列SKIPIF1<0的通项公式及它的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【详解】（1）证明：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是以3为首项，3为公比的等比数列.（2）由（1）得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<05．（2023·全国·高二专题练习）已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．证明：数列SKIPIF1<0为等比数列；【答案】证明见解析【详解】（1）由题意，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．由题意知SKIPIF1<0，①

当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，②①-②得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，2为公比的等比数列．6．（2023秋·黑龙江大庆·高三大庆市东风中学校考阶段练习）在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求证：数列SKIPIF1<0为等比数列，并求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【答案】(1)证明见解析；SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0【详解】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0的等比数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0SKIPIF1<0．7．（2023·全国·高二专题练习）在数列SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求证：数列SKIPIF1<0是等比数列．(2)求数列SKIPIF1<0的通项公式．【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0【详解】（1）令SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，∴数列SKIPIF1<0是公比为2的等比数列，即数列SKIPIF1<0是公比为2的等比数列．（2）由（1）易知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．题型03等差、等比数列的性质及应用1．（2023秋·天津河东·高三天津市第四十五中学校考阶段练习）若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则其前17项和SKIPIF1<0（

）A．136 B．119 C．102 D．85【答案】B【详解】根据SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是公差为2的等差数列，利用等差数列性质由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0；所以其前17项和SKIPIF1<0.故选：B2．（2023春·新疆伊犁·高二统考期中）记等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【详解】解：因为SKIPIF1<0为等差数列，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为等差数列SKIPIF1<0的公差）.故选：D.3．（2023秋·吉林白城·高三校考阶段练习）已知等差数列SKIPIF1<0是递增数列，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】由等差数列的性质，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0是递增数列，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：C.4．（2023春·河南周口·高二校联考期中）设等差数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：D5．（2023春·新疆·高二八一中学校考期末）若两个等差数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.故选：B.6．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知等差数列SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的前n项和为SKIPIF1<0，公差SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则使得SKIPIF1<0的最大整数n为（

）A．9 B．10 C．17 D．18【答案】C【详解】解：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0异号，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大整数n为17.故选：C7．（2023秋·云南昆明·高三云南民族大学附属中学校考阶段练习）已知等比数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．8 B．9 C．16 D．17【答案】A【详解】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为等比数列，所以SKIPIF1<0仍成等比数列.易知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0.故选:A.8．（2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知等比数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．90 B．135 C．150 D．180【答案】C【详解】由题意，在等比数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由等比数列前n项和的性质可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，∴有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（舍）或SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故选：C.9．（2023·福建泉州·统考模拟预测）记等比数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】设等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：C.10．（2023·河南·模拟预测）已知等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【详解】设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，由等差数列前n项和公式可知SKIPIF1<0；可得SKIPIF1<0为定值，所以SKIPIF1<0即为等差数列，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，公差为1的等差数列，所以SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<011．（2023秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考开学考试）已知等差数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其前SKIPIF1<0项和分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【详解】运用等差数列的性质SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，由等差数列性质可知SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.12．（2023秋·江西南昌·高三江西师大附中校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0为等比数列，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【详解】由SKIPIF1<0为等比数列，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．13．（2023·全国·高二随堂练习）已知等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．【答案】81【详解】由于等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0也成等差数列，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.14．（2023·全国·高二随堂练习）在由正数组成的等比数列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【答案】SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0是由正数组成的等比数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0.题型04数列求通项、求和1．（2023·浙江·模拟预测）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0(1)若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项SKIPIF1<0；(2)记SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项之和，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【详解】（1）当SKIPIF1<0,SKIPIF1<0①,SKIPIF1<0②,①SKIPIF1<0②可得SKIPIF1<0,左右同时乘以SKIPIF1<0可以得出:SKIPIF1<0,即得SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0应用累加法可得:SKIPIF1<0SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0（2）由（1）SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.2．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知各项均为正数的数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通项公式；(2)求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0【详解】（1）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，符合上式，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）由（1）知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．3．（2023·湖南永州·统考一模）已知数列SKIPIF1<0是公比SKIPIF1<0的等比数列，前三项和为39，且SKIPIF1<0成等差数列．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）由题意可得SKIPIF1<0，即得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；（2）由（1）结论可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0SKIPIF1<0.4．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）在数列SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0．(1)证明：数列SKIPIF1<0为等比数列；(2)记______，数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．在①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0三个条件中选择一个补充在第（2）问中并对其求解．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析.【详解】（1）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0为以2为首项，2为公比的等比数列．（2）选择①：由（1）得，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0．选择②：由（1）得，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.选择③：由（1）得，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.5．（2023·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）记等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）设数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，符合题意；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，不符合题意，舍去，所以SKIPIF1<0．（2）由（1）知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，两式相减，得SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，两式相减，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．三、数学思想与方法函数方程1．（2023·上海浦东新·统考三模）已知数列SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是正整数）的递推公式为SKIPIF1<0若存在正整数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值是．【答案】SKIPIF1<0【详解】由题意，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是SKIPIF1<0，公比为3的等比数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0也成立，SKIPIF1<0；对于SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0SKIPIF1<0，考察SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是对称轴为SKIPIF1<0，开口向下的抛物线，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0

，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0最大，SKIPIF1<0；故答案为：SKIPIF1<0.2．（2023·山东淄博·山东省淄博实验中学校考三模）已知等差数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，且公差SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0；(2)若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，设数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，若对任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）因为数列SKIPIF1<0为等差数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因为对任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0递增，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．3．（2023·山东潍坊·统考二模）已知等差数列SKIPIF1<0的公差为2，前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0成等比数列.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的最大项.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）由题意知SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）由（1）知SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因为函数在SKIPIF1<0时递减，所以SKIPIF1<0的最大值可能出现在SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0的最大项为SKIPIF1<0.4．（2023·浙江宁波·统考二模）已知等比数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0．(1)求首项SKIPIF1<0的值及SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，求满足SKIPIF1<0的最大正整数n的值．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)11【详解】（1）解法1：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为数列SKIPIF1<0是等比数列，所以公比为2，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0满足题意，所以SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0．解法2：由题知，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由①SKIPIF1<0代入②，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．（舍去），所以SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0．（2）由（1）得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时单调递增，且SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以满足条件的最大正整数SKIPIF1<0．分类讨论思想1．（2023·河北沧州·校考三模）设公比为正数的等比数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0中的项的个数，求数列SKIPIF1<0前100项的和.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）设公比为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是首项为2，公比为2的等比数列，故数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0.（2）由SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0中的项的个数，可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0.∴数列SKIPIF1<0前100项的和为SK