4.2 提取公因式法（解析版）

2022-2023学年浙教版七年级下册同步培优知识点巩固+易错题辨析+统考原题呈现+拓展拔高训练4.2提取公因式法1、提取公因式法：(1)定义：一个多项式中每一项都含有的的因式，叫做这个多项式各项的。把公因式提取出来进行，这种分解因式的方法叫做提取公因式法。(2)字母表示：ma+bm+cm=.2、提取公因式法的一般步骤：(1)确定应提取的；(2)用公因式去这个多项式，所得的商作为另一个因式；(3)把多项式写成这两个因式的的形式.提取公因式后，应使多项式余下的各项含有公因式.3、注意：(1)首相为前面为负号时：如果多项式是第一项系数是负数时，应把公因式的符号“－”提取，提出“－”号时，多项式的各项都要；(2)定系数：取多项式各项系数的为公因数的系数；(3)定字母：字母取多项式各项中都含有的的字母；(4)定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的；(5)合并化简：有的分解因式后多项式因式中有的还要进行合并化简；(6)分解要彻底：有的题目提取公因式后还可以用其他方法继续分解.4、添括号法则：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都；括号前面是“－”号，括到括号里的各项都.【答案】（1）相同；公因式；因式分解（2）m(a+b+c)2、公因式；除；积；不再3、（1）变号（2）最大公约数（3）相同（4）最低次数（5）同类项4、不变号；变号练习：1、把多项式6m(2n－3)－15m2(3－2n)分解因式得()A.(2n－3)(15m2+6m)B.3m(2n－3)(5m－2)C.3m(2n－3)(5m+2)D.3m(3－2n)(5m+2)．【答案】C【解析】6m(2n－3)－15m2(3－2n)，=6m(2n－3)+15m2(2n－3)，=3m(2n－3)(5m+2)，故选C．2、下列因式分解正确的是（）A．x2﹣4=（x+4）（x﹣4）B．x2+2x+1=x（x+2）+1C．3mx﹣6my=3m（x﹣6y）D．2x+4=2（x+2）【答案】D【解析】A.原式利用平方差公式分解得到结果；原式=（x+2）（x﹣2），错误；B.原式利用完全平方公式分解得到结果；原式=（x+1）2，错误；C.原式提取公因式得到结果；原式=2m（x﹣2y），错误；D.原式提取公因式得到结果．原式=2（x+2），正确。3、因式分解：6(x+y（2）(x－y)2+(x+2y)2+6x2+15y2－2xy【答案】（1）原式=2（x+y）[3（x+y）﹣（x﹣y）]=2（x+y）（2x+4y）=4（x+y）（x+2y）（2）(x－y)2+(x+2y)2+6ax2+15ay2－2xy=x2－2xy+y2+x2+4xy+4y2－2xy+6ax2+15ay2=2x2+5y2+6ax2+15ay2=(2x2+5y2)+(6ax2+15ay2)=(2x2+5y2)+3a(2x2+5y2)=(2x2+5y2)(3a+1).4、在括号前面填上“+”或“－”号，使等式成立：(1)b－a=(a－b)(2)d+c=(d+c)；(3)－z－y=(y+z)(4)(y－x)2=(x－y)2(5)－x2+y2=(x2－y2)(6)(y－x)3=(x－y)3(7)(x－y)4n=(y－x)4n(8)(x－y)2n+1=(y－x)2n+1【答案】－，+，－，+，－，－，+，－简便运算：(1)34×3.14+410×0.314+2500×0.0314(2)3562×2.02－2020×2.562【答案】(1)原式=34×3.14+41×3.14+25×3.14=3.14×(34+41+25)=3.14×100=314；(2)原式=3.562×2020－2020×2.562=2020×(3.562－2.562)=2020.1、下列代数式添括号正确的是（）A．a+b+2=a+(b-2) B．a-b-1=a-(b-1)C．a+b-1=a+(b+1) D．a-b+1=a-(b-1)【答案】D【解析】a+b+2=a+(b+2)，故A错误；

a-b-1=a-(b+1)，故B错误；

a+b-1=a+(b-1)，故C错误；

a-b+1=a-(b-1),故D正确2、计算(－2)2021+4(－2)2020的值是()A．－22020B．－4C．0D．22021【答案】D【解析】(－2)2021+4(－2)2020=(－2)(－2)2020+4(－2)2020=2(－2)2020=2∙22020=220213、把(a-b)+m(b-a)提取公因式(a-b)后，则另一个因式是（）A．1-m B．1+m C．m D．-m【答案】A【解析】(a-b)+m(b-a)=(a-b)(1-m)，∴另一个因式为（1-m），故答案为：A．4、已知(19x-31)(13x-17)-(13x-17)(11x-23)可因式分解成(ax+b)(8x+c)，其中a，b，c均为整数，则a+b+c=（）A．-12 B．-32 C．38 D．72【答案】A【解析】原式=（13x-17）（19x-31-11x+23）=（13x-17）（8x-8），

∴原式可因式分解为（ax+b）（8x+c），

∴8x+c=8x-8，ax+b=13x-17，

∴c=-8，a=13，b=-17，

∴a+b+c=13-17-8=-12.

故答案为：A.

5、已知a-b=3，b+c=-5，则代数式ac-bc+A．-15 B．-2 C．-6 D．6【答案】C【解析】∵a-b=3，b+c=-5，∴a-b＋b＋c=3-5，即a+c=-2，∴ac-bc+=(a-b)(a+c)=3×(-2)=-6.故答案为：C.6、72020－5EQ72019+372018是17的倍数吗？为什么？【答案】是17的倍数，理由如下：72020－5EQ×72019+3×72018=72018(72－5×7+3)=72018(72－5×7+3)=72018×17，∵17能被17整除，∴72018×17也能17整除，∴72020－5EQ72019+372018是17的倍数.7、若x≠y，且x+y=0，且(x+3)2－(y+2)2=35，求x、y的值【答案】∵x≠y，且x+y=0，∴x=－y，∵(x+3)2－(y+2)2=35∴x2+6x+9－(y2+4y+4)=35∴x2+6x+9－y2－4y－4=35∴(－y)2+6(－y)+9－y2－4y－4=35∴y2－6y+9－y2－4y－4=35∴－10y=30解得：y=－3，x=3.8、观察下列式子的因式分解做法：①x2-1=(x-1)(x+1)；②x3﹣1=x3﹣x+x﹣1=x（x2﹣1）+x﹣1=x（x﹣1）（x+1）+（x﹣1）=（x﹣1）[x（x+1）+1]=（x﹣1）（x2+x+1）；③x4﹣1=x4﹣x+x﹣1=x（x3﹣1）+x﹣1=x（x﹣1）（x2+x+1）+（x﹣1）=（x﹣1）[x（x2+x+1）+1]=（x﹣1）（x3+x2+x+1）；…（1）模仿以上做法，尝试对x5﹣1进行因式分解；（2）观察以上结果，猜想xn﹣1=；（n为正整数，直接写结果，不用验证）（3）根据以上结论，试求45+44+43+42+4+1的值．【答案】（1）解：x5﹣1=x5﹣x+x﹣1=x（x4﹣1）+x﹣1=x（x﹣1）（x3+x2+x+1）+（x﹣1）=（x﹣1）[x（x3+x2+x+1）+1]=（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）；（2）（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x2+x+1）（3）解：45+44+43+42+4+1=13×（4﹣1）（45+44+43+42+4+1=13×（46﹣1=46-1【解析】(2)xn﹣1=xn﹣x+x﹣1=x（xn-1﹣1）+x﹣1=x（x﹣1）（xn-2+xn-3+…+x+1）+（x﹣1）=（x﹣1）[x（xn-2+xn-3+…+x+1）+1]=（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x2+x+1）；9、综合题:探索发现（1）分解因式：①（1＋x）＋x(1＋x)＝（）（）＝（）2②（1＋x）＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＝③（1＋x）＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋x(1＋x)3＝（2）根据（1）的规律，直接写出多项式：(1＋x)＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋…＋x(1＋x)2017分解因式的结果：。（3）变式：(1-x)(1+x)(1+x2)(1+x4【答案】（1）1+x；1+x；1+x；(1+x)3；(1+x)4（2）(1+x)2018（3）(1-【解析】（1）①（1＋x）＋x(1＋x)=（1+x）（1+x）=（1+x）2②（1＋x）＋x(1＋x)＋x(1＋x)2=（1+x）（1+x）+x(1＋x)2=（1+x）2+x(1＋x)2=（1+x）(1＋x)2=(1+x)3③（1＋x）＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋x(1＋x)3=(1+x)4(2)1＋x)＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋…＋x(1＋x)2017=(1+x)2018(3)(1-x)(1+x)(1+x2)(1+统考原题呈现统考原题呈现1、（2022•鼓楼）9998﹣993的结果最接近于（）A．9998 B．9997 C．9996 D．9995【答案】A【解析】9998﹣993＝993×（9995﹣1），∵9995﹣1≈9995，∴993×（9995﹣1）≈9998，即9998﹣993的结果最接近于9998，故选：A．2、（2022•乳山）多项式x2y+2xy与x2y﹣4y的公因式是（）A．y B．x+2 C．x﹣2 D．y（x+2）【答案】D【解析】x2y+2xy＝xy（x+2），x2y﹣4y＝y（x+2）（x﹣2），∴多项式x2y+2xy与x2y﹣4y的公因式是y（x+2）．故选：D．3、（2020·杭州）把多项式（x﹣y）+x2（y﹣x）因式分解，结果正确的是（）A．（x﹣y）（1+x2） B．（x﹣y）（1﹣x2） C．（x﹣y）（1+x）（1﹣x） D．（x﹣y）（x+1）（x﹣1）【答案】C【解析】原式＝（x﹣y）（1﹣x2）＝（x﹣y）（1﹣x）（1+x）；故答案选：C．4、（2022•济阳）边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a2b+ab2的值为（）A．15 B．30 C．60 D．120【答案】B【解析】由题意得：2（a+b）＝10，ab＝6，∴a+b＝5，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝6×5＝30，故选：B5、（2022•南海）因式分解：9（a﹣b）（a+b）﹣3（a﹣b）2＝．【答案】6（a﹣b）（a+2b）【解析】原式＝3（a﹣b）[3（a+b）﹣（a﹣b）]＝3（a﹣b）（3a+3b﹣a+b）＝3（a﹣b）（2a+4b）＝6（a﹣b）（a+2b）．故答案为：6（a﹣b）（a+2b）．6、（2021•嘉兴）已知x﹣y+z＝﹣4，求x（x﹣y+z）+y（y﹣x﹣z）+z（z+x﹣y）的值．【答案】∵x﹣y+z＝4，∴原式＝x（x﹣y+z）﹣y（x﹣y+z）+z（x﹣y+z）＝（x﹣y+z）（x﹣y+z）＝16．7、（2022•湖州）某老师在讲因式分解时，为了提高同学们的思维训练力度，他补充了一道这样的题：对多项式（．x2﹣4+2）（x2﹣4+6）+4进行因式分解，有个学生解答过程如下，并得到了老师的夸奖：解：设x2﹣4x＝y．原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）＝y2+8y+16（第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）根据以上解答过程回答以下问题：（1）第四步的结果继续因式分解得到结果为；（2）请你模仿以上方法对多项式（x2+6x）（x2+6x+10）+25进行因式分解．【答案】（1）第四步的结果继续因式分解得到结果为（x﹣2）4；故答案为：（x﹣2）4；（2）设x2+6x＝y，原式＝y（y+10）+25＝y2+10y+25＝（y+5）2＝（x2+6x+5）2＝（x+1）2（x+5）2．8、（2022•市中）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2＝（1+x）[1+x+x（x+1）]＝（1+x）2（1+x）＝（1+x）3（1）上述分解因式的方法是，共用了次．（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2021，则结果是．（3）依照上述方法分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．【答案】（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共用了2次，故答案为：提公因式法，2；（2）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2021，则需要用上述方法2021次，结果是（1+x）2022，故答案为：（1+x）2022；（3）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）＝（1+x）[1+x+x（x+1）+...+x（x+1）n﹣1]＝（1+x）2[（1+x+x（x+1）+...+x（x+1）n﹣2]..．＝（1+x）n+1．1、若20222022﹣20222020＝2023×2022n×2021，则n的值是（）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】A【解答】∵20222022﹣20222020＝20222020×（20222﹣1）＝20222020×（2022+1）×（2022﹣1）＝2023×20222020×2021，又∵20222022﹣20222020＝2023×2022n×2021，∴2023×20222020×2021＝2023×2022n×2021．∴n＝2020．故选：A．2、先阅读、观察、理解，再解答后面的问题：第1个等式：1×2=13（1×2×3﹣0×1×2）=1第2个等式：1×2+2×3=13（1×2×3﹣0×1×3）+13（=13（1×2×3﹣0×1×2+2×3×4﹣1×2×3）=1第3个等式：1×2+2×3+3×4=13（1×2×3﹣0×1×2）+13（2×3×4﹣1