2.3.1 函数的单调性和最值(1)教学设计-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

2.3.1函数的单调性和最值(1)教学设计-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册一、教学内容

教材章节：北师大版（2019）必修第一册，第2章，第3节，第1课时

教学内容：函数的单调性和最值

课程主要内容：

1.函数单调性的定义和判断方法

2.函数单调性的几何意义

3.函数的最值概念和求法

4.利用导数求函数的单调区间和最值

5.实际问题中的应用和案例分析

教学目标：

1.学生能够理解函数单调性的定义，并掌握判断函数单调性的方法。

2.学生能够通过函数图像理解函数单调性的几何意义。

3.学生能够理解函数最值的概念，并掌握求函数最值的方法。

4.学生能够利用导数求函数的单调区间和最值。

5.学生能够运用函数的单调性和最值解决实际问题。二、教学目标分析

教学目标分析：

1.核心素养目标：培养学生的数学抽象、逻辑推理和数学建模能力。通过本节课的学习，学生能够理解和掌握函数单调性的定义和判断方法，学会运用函数图像来观察和理解函数的单调性，培养学生的数学抽象能力。同时，学生能够运用逻辑推理来理解和掌握函数的最值概念和求法，培养学生的逻辑推理能力。此外，学生能够通过实际问题来运用函数的单调性和最值，培养学生的数学建模能力。

2.教学目标：通过本节课的学习，学生能够理解函数单调性的定义，并掌握判断函数单调性的方法；学生能够通过函数图像理解函数单调性的几何意义；学生能够理解函数最值的概念，并掌握求函数最值的方法；学生能够利用导数求函数的单调区间和最值；学生能够运用函数的单调性和最值解决实际问题。

3.教学难点：函数单调性的判断方法和函数最值的求法。

4.教学重点：函数单调性的定义和判断方法，函数最值的概念和求法，利用导数求函数的单调区间和最值，运用函数的单调性和最值解决实际问题。三、教学难点与重点

1.教学重点

（1）函数单调性的定义和判断方法

（2）函数单调性的几何意义

（3）函数最值的概念和求法

（4）利用导数求函数的单调区间和最值

（5）运用函数的单调性和最值解决实际问题

2.教学难点

（1）函数单调性的判断方法

-学生可能对函数单调性的定义理解不深刻，需要通过具体的例子来帮助学生理解。

-学生可能对单调性的判断方法不熟悉，需要通过练习和指导来掌握。

（2）函数最值的求法

-学生可能对函数最值的概念理解不清晰，需要通过具体的例子来帮助学生理解。

-学生可能对求函数最值的方法不熟练，需要通过练习和指导来掌握。

（3）利用导数求函数的单调区间和最值

-学生可能对导数的概念和应用不熟悉，需要通过具体的例子来帮助学生理解。

-学生可能对利用导数求函数的单调区间和最值的方法不熟练，需要通过练习和指导来掌握。

（4）运用函数的单调性和最值解决实际问题

-学生可能对将函数的单调性和最值应用于实际问题的方法不熟悉，需要通过具体的例子来帮助学生理解。

-学生可能对解决实际问题的方法不熟练，需要通过练习和指导来掌握。四、教学资源

1.软硬件资源：黑板、粉笔、多媒体投影仪、计算机等。

2.课程平台：无。

3.信息化资源：无。

4.教学手段：讲解、板书、例题演示、小组讨论、练习题等。五、教学过程设计

1.导入新课（5分钟）

目标：激发学生的学习兴趣，引导学生进入本节课的学习。

过程：通过一个生活中的实例，如商品价格的变动，让学生观察价格变化的特点，引导学生思考价格变化的规律，从而引出函数的单调性概念。

2.函数单调性的定义和判断方法（10分钟）

目标：让学生理解函数单调性的定义，并掌握判断函数单调性的方法。

过程：通过讲解和例题演示，让学生理解函数单调性的定义，并通过具体的例子来展示如何判断函数的单调性。

3.函数单调性的几何意义（20分钟）

目标：让学生通过函数图像理解函数单调性的几何意义。

过程：通过讲解和例题演示，让学生理解函数图像的斜率与函数单调性的关系，并通过具体的例子来展示如何通过函数图像来判断函数的单调性。

4.函数最值的概念和求法（10分钟）

目标：让学生理解函数最值的概念，并掌握求函数最值的方法。

过程：通过讲解和例题演示，让学生理解函数最值的概念，并通过具体的例子来展示如何求函数的最值。

5.学生小组讨论（10分钟）

目标：让学生通过小组讨论加深对函数单调性和最值的理解。

过程：将学生分成小组，给每个小组分配一个实际问题，要求小组成员共同讨论并解决问题，最后每个小组进行汇报和交流。

6.课堂展示与点评（15分钟）

目标：让学生通过课堂展示加深对函数单调性和最值的理解，并通过点评提高学生的解题能力。

过程：邀请几个小组进行课堂展示，教师对学生的解题过程进行点评，指出优点和不足之处，并给出改进建议。

7.课堂小结（5分钟）

目标：总结本节课的学习内容，帮助学生巩固记忆。

过程：对本节课的学习内容进行总结，强调函数单调性的定义和判断方法，函数单调性的几何意义，函数最值的概念和求法，以及如何利用函数的单调性和最值解决实际问题。六、学生学习效果

1.学生能够理解函数单调性的定义，并掌握判断函数单调性的方法。

2.学生能够通过函数图像理解函数单调性的几何意义。

3.学生能够理解函数最值的概念，并掌握求函数最值的方法。

4.学生能够利用导数求函数的单调区间和最值。

5.学生能够运用函数的单调性和最值解决实际问题。

6.学生能够通过小组讨论加深对函数单调性和最值的理解。

7.学生能够通过课堂展示提高解题能力和自信心。

8.学生能够通过课堂小结巩固对函数单调性和最值的理解。

9.学生能够将函数的单调性和最值应用于实际问题的解决中，提高解决问题的能力。

10.学生能够通过本节课的学习，提高数学思维能力和逻辑推理能力。

11.学生能够通过本节课的学习，培养数学建模能力，能够将数学知识应用于实际问题的解决中。

12.学生能够通过本节课的学习，提高自主学习和合作学习能力，能够积极参与课堂讨论和小组活动。

13.学生能够通过本节课的学习，培养对数学的兴趣和爱好，提高学习数学的动力和积极性。

14.学生能够通过本节课的学习，提高数学应用能力，能够将数学知识应用于实际问题的解决中。

15.学生能够通过本节课的学习，培养数学抽象能力，能够理解和掌握数学概念和原理。七、重点题型整理

1.函数单调性的判断方法

（1）已知函数f(x)，判断f(x)在区间[a,b]上是否单调递增。

答案：首先求出函数f(x)的导数f'(x)，然后判断f'(x)在区间[a,b]上的符号。如果f'(x)>0在区间[a,b]上恒成立，则f(x)在区间[a,b]上单调递增；否则，f(x)在区间[a,b]上单调递减。

（2）已知函数f(x)，判断f(x)在区间[a,b]上是否单调递减。

答案：与（1）类似，首先求出函数f(x)的导数f'(x)，然后判断f'(x)在区间[a,b]上的符号。如果f'(x)<0在区间[a,b]上恒成立，则f(x)在区间[a,b]上单调递减；否则，f(x)在区间[a,b]上单调递增。

2.函数单调性的几何意义

（1）已知函数f(x)，判断f(x)在区间[a,b]上是否单调递增。

答案：在函数图像上，如果函数图像在区间[a,b]上始终位于x轴的上方，则f(x)在区间[a,b]上单调递增。

（2）已知函数f(x)，判断f(x)在区间[a,b]上是否单调递减。

答案：在函数图像上，如果函数图像在区间[a,b]上始终位于x轴的下方，则f(x)在区间[a,b]上单调递减。

3.函数最值的求法

（1）已知函数f(x)，求f(x)在区间[a,b]上的最大值。

答案：首先求出函数f(x)的导数f'(x)，然后找出导数f'(x)在区间[a,b]上的零点，并判断这些零点是否为极值点。如果f'(x)在区间[a,b]上只有一个零点，且该零点为极值点，则该零点即为最大值点，f(x)在区间[a,b]上的最大值为f(x)在该点的值。如果f'(x)在区间[a,b]上没有零点，则f(x)在区间[a,b]上的最大值为f(a)或f(b)中的较大值。

（2）已知函数f(x)，求f(x)在区间[a,b]上的最小值。

答案：与（1）类似，首先求出函数f(x)的导数f'(x)，然后找出导数f'(x)在区间[a,b]上的零点，并判断这些零点是否为极值点。如果f'(x)在区间[a,b]上只有一个零点，且该零点为极值点，则该零点即为最小值点，f(x)在区间[a,b]上的最小值为f(x)在该点的值。如果f'(x)在区间[a,b]上没有零点，则f(x)在区间[a,b]上的最小值为f(a)或f(b)中的较小值。

4.利用导数求函数的单调区间和最值

（1）已知函数f(x)，求f(x)的单调递增区间和单调递减区间。

答案：首先求出函数f(x)的导数f'(x)，然后找出导数f'(x)>0的区间，即为单调递增区间；找出导数f'(x)<0的区间，即为单调递减区间。

（2）已知函数f(x)，求f(x)的最大值和最小值。

答案：与（3）中的解答类似，首先求出函数f(x)的导数f'(x)，然后找出导数f'(x)的零点，并判断这些零点是否为极值点。如果f'(x)在区间[a,b]上只有一个零点，且该零点为极值点，则该零点即为最大值点或最小值点，f(x)在区间[a,b]上的最大值或最小值为f(x)在该点的值。如果f'(x)在区间[a,b]上没有零点，则f(x)在区间[a,b]上的最大值或最小值为f(a)或f(b)中的相应值。

5.运用函数的单调性和最值解决实际问题

（1）已知某商品的价格函数为p(x)，其中x为商品的销售数量，求销售数量在区间[a,b]上时，商品的销售总额的最大值。

答案：首先求出商品价格函数p(x)的导数p'(x)，然后找出导数p'(x)在区间[a,b]上的零点，并判断这些零点是否为极值点。如果p'(x)在区间[a,b]上只有一个零点，且该零点为极值点，则该零点即为销售总额的最大值点，销售总额的最大值为p(x)在该点的值乘以销售数量。如果p'(x)在区间[a,b]上没有零点，则销售总额的最大值为p(a)或p(b)中的较大值乘以销售数量。

（2）已知某商品的销售数量x与销售总额y之间的关系为y=p(x)，其中p(x)为商品价格函数，求销售数量在区间[a,b]上时，商品的销售总额的最大值。

答案：与（1）类似，首先求出商品价格函数p(x)的导数p'(x)，然后找出导数p'(x)在区间[a,b]上的零点，并判断这些零点是否为极值点。如果p'(x)在区间[a,b]上只有一个零点，且该零点为极值点，则该零点即为销售总额的最大值点，销售总额的最大值为p(x)在该点的值乘以销售数量。如果p'(x)在区间[a,b]上没有零点，则销售总额的最大值为p(a)或p(b)中的较大值乘以销售数量。八、教学反思

本节课的内容是函数的单调性和最值，是高中数学中的重要知识点，对于学生来说有一定的难度。在教学过程中，我采取了讲解、板书、例题演示、小组讨论等多种教学手段，希望能够帮助学生更好地理解和掌握这些知识点。

首先，在导入新课的环节，我通过一个生活中的实例，如商品价格的变动，来激发学生的学习兴趣。这个环节的效果还不错，大部分学生都能够积极参与，对函数的单调性有了初步的认识。

其次，在讲解函数单调性的定义和判断方法时，我通过具体的例子来展示如何判断函数的单调性。这个环节的讲解比较清晰，大部分学生都能够理解并掌握。但是在讲解函数单调性的几何意义时，我发现有的学生对这个概念的理解还不够深入，需要在后续的练习中进一步巩固。

再次，在讲解函数最值的概念和求法时，我通过具体的例子来展示如何求函数的最值。这个环节的讲解也比较清晰，大部分学生都能够理解并掌握。但是，在利用导数求函数的单调区间和最值时，我