3.1.2 椭圆及其标准方程 教学设计-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1.2椭圆及其标准方程教学设计-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间教学内容分析本节课的主要教学内容是椭圆及其标准方程。椭圆是平面上的曲线，其所有点到两个焦点的距离之和是一个常数，这个常数称为椭圆的长轴长。椭圆的标准方程可以通过将椭圆方程转换为标准形式来得到，其中涉及到椭圆的离心率和半长轴、半短轴等参数。

教学内容与学生已有知识的联系主要体现在以下几个方面：首先，学生已经掌握了圆的方程和性质，这为理解椭圆的定义和性质奠定了基础。其次，学生已经学习了直线方程和二次函数方程，这有助于理解椭圆的标准方程的推导过程。最后，学生已经学习了三角函数和向量，这为计算椭圆的离心率和参数提供了工具。

本节课的内容与课本《数学人教A版（2019）选择性必修第一册》第3章“圆锥曲线”中的“椭圆及其标准方程”相关联。通过本节课的学习，学生将能够掌握椭圆的定义和性质，学会推导椭圆的标准方程，并能够运用所学知识解决实际问题。核心素养目标本节课旨在培养学生运用数学知识解决问题的能力，提升学生的数学思维和抽象思维能力，培养学生逻辑推理和数学建模的能力。通过学习椭圆及其标准方程，学生将能够运用数学知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力和创新能力。同时，本节课还将培养学生与他人合作交流的能力，培养学生的团队合作精神。重点难点及解决办法1.重点：

-椭圆的定义及其几何属性

-椭圆的标准方程及其推导

-椭圆的应用实例

2.难点：

-椭圆定义的深入理解

-椭圆标准方程的推导过程

-椭圆的应用实例分析

解决办法：

-对于椭圆定义的深入理解，可以通过实际例子和图形的直观展示来帮助学生理解椭圆的形状和性质。

-对于椭圆标准方程的推导过程，可以通过逐步引导和公式推导，让学生跟随教师的思路，逐步掌握推导过程。

-对于椭圆的应用实例分析，可以通过实际问题来引导学生分析问题、建立模型、求解问题，从而培养学生的应用能力和创新能力。

突破策略：

-采用小组合作学习的方式，让学生在小组内交流讨论，共同解决问题，培养学生的团队合作精神。

-利用多媒体教学手段，如动画、视频等，增强教学的直观性和生动性，提高学生的学习兴趣和积极性。

-设计一些实际问题让学生进行探究，培养学生的数学应用能力和创新能力。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有本节课所需的教材或学习资料。本节课所需教材为人教A版（2019）选择性必修第一册，第3章“圆锥曲线”中的“椭圆及其标准方程”。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的图片、图表、视频等多媒体资源。这些资源主要包括：

-椭圆的图形展示，包括标准椭圆、斜椭圆、双曲型椭圆等，以帮助学生直观地理解椭圆的形状和性质。

-椭圆的标准方程推导过程的步骤图解，以帮助学生理解推导过程。

-椭圆的实际应用实例，如卫星轨道、行星轨道等，以帮助学生了解椭圆在实际中的应用。

3.实验器材：如果涉及实验，确保实验器材的完整性和安全性。本节课不涉及实验，故无需准备实验器材。

4.教室布置：根据教学需要，布置教室环境，如分组讨论区、实验操作台等。具体布置如下：

-将教室分成几个小组讨论区，每个小组配备一张桌子、几把椅子，以便学生进行小组讨论和合作学习。

-在教室的一侧设置一个实验操作台，用于展示椭圆的标准方程推导过程的步骤图解，以便学生更直观地了解推导过程。

五、教学过程设计

1.导入：通过一个关于椭圆的实际问题，引发学生的兴趣和好奇心，引导学生思考椭圆的定义和性质。

2.讲解：结合教材和辅助材料，讲解椭圆的定义、几何属性、标准方程及其推导过程。讲解过程中，注重引导学生思考和理解，及时解答学生的疑问。

3.实践：通过小组合作学习，让学生在小组内交流讨论，共同解决一个关于椭圆的实际问题。在讨论过程中，鼓励学生运用所学知识，培养学生的团队合作精神和创新能力。

4.总结：对本节课的内容进行总结，强调椭圆的定义、几何属性、标准方程及其推导过程。同时，引导学生思考椭圆在实际中的应用，激发学生的学习兴趣。

5.作业：布置与本节课内容相关的作业，要求学生独立完成，巩固所学知识。

六、教学评价

1.课堂参与度：观察学生在课堂上的参与程度，了解学生对椭圆及其标准方程的掌握情况。

2.小组合作学习：观察学生在小组合作学习中的表现，了解学生是否能够运用所学知识解决问题，培养学生的团队合作精神。

3.作业完成情况：检查学生的作业完成情况，了解学生对椭圆及其标准方程的掌握程度。

4.课后反馈：收集学生的意见和建议，了解学生对课堂的满意度，为今后的教学提供参考。教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：激发学生对椭圆及其标准方程的学习兴趣。

过程：教师通过展示一个关于椭圆的实际问题，如卫星轨道的形状，引发学生的兴趣和好奇心，引导学生思考椭圆的定义和性质。

2.椭圆的定义与几何属性（10分钟）

目标：使学生了解椭圆的定义和几何属性。

过程：教师结合教材和辅助材料，讲解椭圆的定义、几何属性，如焦点、长轴、短轴等，并通过图形展示，帮助学生直观地理解椭圆的形状和性质。

3.椭圆的标准方程及其推导（20分钟）

目标：使学生掌握椭圆的标准方程及其推导过程。

过程：教师结合教材和辅助材料，讲解椭圆的标准方程及其推导过程，通过逐步引导和公式推导，让学生跟随教师的思路，逐步掌握推导过程。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生运用所学知识解决问题的能力，培养学生的团队合作精神。

过程：教师给出一个关于椭圆的实际问题，要求学生在小组内交流讨论，共同解决问题。在讨论过程中，鼓励学生运用所学知识，培养学生的团队合作精神和创新能力。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：检查学生对椭圆及其标准方程的掌握情况，提高学生的表达能力和自信心。

过程：每个小组派代表上台展示本小组的讨论成果，其他同学认真倾听，教师对每个小组的表现进行点评，指出优点和不足，鼓励学生继续努力。

6.课堂小结（5分钟）

目标：对本节课的内容进行总结，巩固学生的学习成果。

过程：教师对本节课的内容进行总结，强调椭圆的定义、几何属性、标准方程及其推导过程，同时，引导学生思考椭圆在实际中的应用，激发学生的学习兴趣。拓展与延伸1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料：

-《数学之美》一书中关于椭圆的内容，作者：吴军。

-《几何原本》中关于椭圆的定义和性质的描述。

-《解析几何》一书中关于椭圆的标准方程及其推导过程的详细讲解。

-《椭圆的应用与研究》一文，介绍了椭圆在天文、工程、生物学等领域的应用。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究：

-要求学生查阅相关资料，深入了解椭圆的定义、几何属性、标准方程及其推导过程。

-鼓励学生探索椭圆在实际中的应用，如卫星轨道、行星轨道、天文望远镜等。

-引导学生思考椭圆与其他曲线（如圆、双曲线、抛物线等）的关系，探索它们之间的共性和差异。

-要求学生进行椭圆的标准方程的推导练习，提高学生的数学思维和计算能力。

-鼓励学生参与椭圆的实验探究，如制作椭圆模型、测量椭圆的参数等，培养学生的动手能力和创新能力。

-引导学生运用椭圆的知识解决实际问题，如设计椭圆形的跑道、计算椭圆形的面积等，培养学生的数学应用能力。内容逻辑关系1.椭圆的定义及其几何属性

重点知识点：椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、离心率等。

板书设计：

-椭圆的定义：所有点到两个焦点的距离之和是一个常数

-焦点：椭圆上离椭圆中心最近的点

-长轴：椭圆上距离最长的直径

-短轴：椭圆上距离第二长的直径

-离心率：椭圆的焦距与长轴长度的比值

2.椭圆的标准方程及其推导

重点知识点：椭圆的标准方程、参数方程、推导过程等。

板书设计：

-椭圆的标准方程：\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\]

-参数方程：\[x=a\cos(t),y=b\sin(t)\]

-推导过程：将椭圆的参数方程转换为标准方程

3.椭圆的应用实例分析

重点知识点：椭圆在天文、工程、生物学等领域的应用。

板书设计：

-椭圆在天文学中的应用：卫星轨道、行星轨道等

-椭圆在工程学中的应用：椭圆形跑道、椭圆形水池等

-椭圆在生物学中的应用：细胞核的形状、植物叶片的形状等典型例题讲解1.题型一：求椭圆的离心率

【例题】已知椭圆的方程为\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，求椭圆的离心率。

【答案】椭圆的离心率\(e\)可以通过公式\(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)计算得出。

2.题型二：求椭圆的长轴和短轴

【例题】已知椭圆的方程为\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，求椭圆的长轴和短轴。

【答案】椭圆的长轴长度为\(2a\)，短轴长度为\(2b\)。

3.题型三：求椭圆的焦点坐标

【例题】已知椭圆的方程为\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，求椭圆的焦点坐标。

【答案】椭圆的焦点坐标为\((±c,0)\)，其中\(c=\sqrt{a^2-b^2}\)。

4.题型四：求椭圆的参数方程

【例题】已知椭圆的方程为\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，求椭圆的参数方程。

【答案】椭圆的参数方程为\(x=a\cos(t),y=b\sin(t)\)，其中\(t\)是参数。

5.题型五：求椭圆的面积

【例题】已知椭圆的方程为\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，求椭圆的面积。

【答案】椭圆的面积\(S\)可以通过公式\(S=\piab\)计算得出。

6.题型六：求椭圆的方程

【例题】已知椭圆的长轴长度为\(2a\)，短轴长度为\(2b\)，求椭圆的方程。

【答案】椭圆的方程为\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)。

7.题型七：求椭圆的焦点距离

【例题】已知椭圆的方程为\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，求椭圆的焦点距离。

【答案】椭圆的焦点距离\(2c\)可以通过公式\(2c=2\sqrt{a^2-b^2}\)计算得出。

8.题型八：求椭圆的斜率

【例题】已知椭圆的方程为\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，求椭圆的斜率。

【答案】椭圆的斜率可以通过公式\(k=-\frac{a^2}{b^2}\)计算得出。

9.题型九：求椭圆的参数\(t\)

【例题】已知椭圆的参数方程为\(x=a\cos(t),y=b\sin(t)\)，求椭圆的参数\(t\)。

【答案】椭圆的参数\(t\)可以通过公式\(t=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)\)计算得出。

10.题型十：求椭圆的参数方程中的参数\(a\)和\(b\)

【例题】已知椭圆的参数方程为\(x=a\cos(t),y=b\sin(t)\)，求椭圆的参数\(a\)和\(b\)。

【答案】椭圆的参数\(a\)和\(b\)可以通过公式\(a=\sqrt{x^2+y^2}\),\(b=\sqrt{x^2-y^2}\)计算得出。教学评价与反馈1.课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度，了解学生对椭圆及其标准方程的掌握情况。重点关注学生在课堂上的提问、回答问题、参与讨论等情况，以及学生对椭圆定义、标准方程及其推导过程的理解程度。

2.小组讨论成果展示：通过小组讨论，了解学生对椭圆及其标准方程的掌握情况，以及学生的团队合作精神和创新能力。观察学生在小组讨论中的表现，了解他们是否能够运用所学知识解决问题，以及他们在讨论中的参与度和贡献度。

3.随堂测试：通过随堂测试，了解学生对椭圆及其标准方程的掌握情况，以及学生的计算能力和解决问题的能力。测试内容应包括椭圆的定义、标准方程及其推导过程，以及椭圆的应用实例。

4.作业完成情况：检查学生的作业完成情况，了解学生对椭圆及其标准方程的掌握程度。重点关注学生的作业完成质量，以及他们在作业中遇到的问题和困难。

5.教师评价与反馈：根据以上评价结果，对学生的学习情况进行综合评价，给出有针对性的反馈和建议。对于表现优秀的学生，给予表扬和鼓励，激发他们的学习兴趣和积极性。对于存在困难的学生，给予个别辅导和指导，帮助他们解决学习中的问题，提高他们的学习能力和自信心。同时，根据学生的反馈和建议，对教学内容和教学方法进行调整和改进，以提高教学效果和学生的满意度。反思改进措施（一）教学特色创新

1.引入实际问题：在教学中引入与椭圆相关的实际问题，如卫星轨道、行星轨道等，激发学生的兴趣和好奇心，让学生了解椭圆在实际中的应用。

2.小组合作学习：组织学生进行小组合作学习，培养学生的团队合作精神和创新能力。通过小组讨论和合作解决问题，提高学生的参与度和学习效果。

3.多媒体教学手段：利用多媒体教学手段，如动画、视频等，增强教学的直观性和生动性，提高学生的学习兴趣和积极性。

（二）存在主要问题

1.教学管理：在课堂管理方面，存在部