2020年全国I卷文科数学高考真题（答案版）

2020年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知合集4=卜,2—3X—4<0},B={-4,1,3,5},则AB=

A.{-4,1}

B.{1,5}

C.{3,5}

D.{1,3}

答案：D

2.若z=l+2i+『，则忖=

A.0

B.1

C.

D.2

答案：c

3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，

以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其

侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为

V5-1

4

V5-1

2

V5+1

4

V5+1

2

答案：C

4.设0为正方形ABCD的中心，在0,A,B,C,D中任取3点，则取到的3点共

线的概率为

答案：A

5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：C）

的关系，在20个不同的温度条件下进行种子的发芽实验，由实验数据（x,.,y）”=

1,2,…,20）得到下面的散点图：

发

芽

率

温度/°c

由此散点图，在10C至40C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽

率y和温度x的回归方程类型的是

A.y=a+bx

B.y=a+bx2

C.y=a+bex

D.y=a+h\nx

答案：D

6.已知圆/+丁2-6*=0,过点（1,2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最

小值为

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：B

7.设函数/(x)=cos(s+2)在卜万，句的图像大致如下图，则/(x)的最小正周

9

BZ6£

C±3E

沏

一

2

D.

答案：C

8.Salog,4=2,则4"

答案：B

9.执行右面的程序框图，则输出的〃=

A.17

B.19

C.21

D.23

答案：C

10.设｛““｝是等比数列，且4+生+%=1，a2+a3+a4^2,贝|%,+%+。8=

A.12

B.24

C.30

D.32

答案：D

v2

11.设鸟是双曲线=l的两个焦点，。为坐标原点，点P在。上且

IOP\=2,则△分退的面积为

A.1

2

B.3

C.-

2

D.2

答案:B

12.已知A,B,C为球。的球面上的三个点，。为△ABC的外接圆.若

。的面积为4不，AB=8C=AC=Og,则球。的表面积为

A.64乃

B.48万

C.361

D.32%

答案：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2x+^-2<0

13.若x,y满足约束条件<x-y-120,则z=x+7y的最大值为.

y+l>0

答案：1

14.设向量a=(l,T),b=(m+l,2m-4),若alb,则m=.

答案：5

15.曲线y=lnx+x+l的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为—.

答案:y=2x

16.数列｛4｝满足a“+2+(T)Z=3〃T，前16项和为540,则％=.

答案:7

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题

为必考题，每个考题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作

答。

（一）必考题：共60分

综合题分割

17.（12分）

某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为A,B,C,

D四个等级，加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加

工费90元、50元、20元；对于D级品，厂家每件赔偿原料损失费50元，该厂

有甲、乙两个分厂可承接加工业务，甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工

成本费为20元/件，厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工

了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：

甲分厂产品等级的频数分布表

等级ABCD

频数40202020

乙分厂产品等级的频数分布表

等级ABCD

频数28173421

（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；

（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润

为依据，厂家应该选哪个分厂承接加工业务？

参考答案：

（1）甲厂：100件产品中，A等品有40件"

二颉率为黑=3

1005

二估计甲厂加工出来一件产品是A级品概率为|。

乙厂：100件产品中，A等品有28件。

二频率为

10025

二估计乙厂加工出来一件产品是A级品概率为三

25

（2）甲加工100件产品巾，，

40件A级，利润40x90=3600（元），

20件B级,利润20x50=1000（元），

20件C级，利润20x20=400（元），

20件D级，利润20x50=1000（元），

二SiflXJOO件产品利润为3600+1000+400-1000-25x100=1500（元）"

同理，乙加工100件产品利涧为28x90+17x50+34x20-21x20-20x100=1000

（元），

18.（12分）

△ABC的内角A,5,C的对边分别为a,瓦c,已知B=15O.

（1）若。=屈，b=2币,求△ABC的面积；

J7

（2）若sinA+6sinC=——，求C.

2

答案：

（1）加

（2）。

12

解析：

（1）b2=a2+c2-2occos5+J

28=3c:+c2-2x-TSc2_当）

28=41+女。

/.7c2=28。

c*=4c=2（舍负）。

a=Gc=2^/3“

S7Ase=^acsinB=；x24x2x—=出«

5c的面积为石，

(2)一

QA+B+C=兀

：.sinA=sin(5+0«

sin/+6sinC=

2

/.sin(C+3)+6sinC=(«

•C浮+sin5geosC+抬sinC=。

季nC+N©争

19.(12分)

如图，。为圆锥的顶点，0是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形,

P为。。上一点，ZAPC=90.

(1)证明：平面945,平面PAC；

(2)设。。=及，圆锥的侧面积为G",求三棱锥尸-ABC的体积.

参考答案：

(1)证明：连接。4。及0C〃

QOA=OB=OCZPO一平面ABO

.\PA=PB=PC^

QAC=BC“

二A4PC三A5尸C“

QZ.4PC=90°,/.ABPC=90°~

即尸一尸C"

QAPIBP=P~

月尸,3Pu平面产,13“

/.PC一平面PJ5-

QPCu平面尸,4C“

,平面PAB，平面P“4C，

⑵设e。半径为r,则圆锥母线长护二，则gx2wx户工=岛,解得r=1，

则OA=OB=OC=1,AC=A

又R4_LPC且R4=PC"

贝lJP4=PC=工C旦

22

从而PO-^PA~—OA'=v

2

V—逐P-ABC=；S、皿xOP=?xqx(jfx4=4d

20.(12分)

已知函数/(x)=e*-a(x+2).

(1)当a=l时，讨论/(%)的单调性；

（2）若/（X）有两个零点，求。的取值范围.

参考答案：

⑴定义域(70,桢)~

a=l时，/(x)=ex-x-2,

f'(x)=ez-1*>

当x<0时，/,(x)<0,/(x)在区间(-ao,O)上递减，

当x>0时，尸(x)>0,〃x)在区间(0,xo)上递增。

(II)f\x)=ex-a2

①当a40时，/。)>0./(切在区间(7\-wo)递增“

f(x)至多有一个零点，不符合题意“

②当a>0时，令/'(x)=0得x=Ina，

xclna时，f(x)<0,〃x)在('®」na)递减~

x>lna时，/,(x)>0,/(x)在(Ina,8)递博，

/(Ina)=a—a(\na+2)<0,解得a>—*>

e

21.(12分)

已知A,B分别为椭圆E:£+y2=l(a〉l)的左右顶点,G为E的上顶点，而•丽=8,

a

P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.

(1)求E的方程；

(2)证明：直线CD过顶点。

参考答案:

(1)由题意得/(-a,0),B(qO),G(0,1)，

\-AG=(aJ),G5=(a<1)而•而=/_]=&乙

/.a"=9〃

2

二椭圆E的方程为卷+j；=1~

(2)6P为直线x=6上一点，设尸(6j)~

二J的斜率为:。

联立与椭圆E得，

-、'=§(x—3)得(9+t2)x2+6rx+9?-81=0"

/+9>2-9=0

9t<81..0

/.xa+xc=—x版=-^p--乙=-3"

9+t

._27-3r

••xc=­zy

9+r

,/C点直线灯上•'>"*3)=占

27-3?6t

C

9+t2：9+?

同理二7即的方程式为y=：(X-3)P

联立G与椭圆E得*，

二一3得(?+1)/-6产x+9/一9=0，

*+9》2-9=0

.,6产9t2-9...

•,XB+冷=j+]XBS^D=j,g=3"

-X-D'^zl士，

。一八1«+「』+J

由椭圆对称性可知，定点在x轴上，故设定点M(m,0)p

①直线CD不与x轴垂直时，。

有kcM=kDM"

旦-0-JL

•9+厂_厂+1..

"27-3t:3t:-3

-------m-5-----m

9+J厂+1

整理得：〃

9+3zw+(3w-9)t2=27—9胴+(加一3)产。

3

故：9+3m=27-9nl且3nl-9=m-3,得m=—3

2

，直线CD过定点(3,0”

2

②直线CD垂直于x轴时，XC=XD=?M。

.3t=327-3产23

产+19+t22

二直线CD过定点(i0)。

2

综上所述，直线CD过定点(三,0)。

2

(二)选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按

所做的第一题计分。

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

（x=cos。

在直角坐标系xQy中，曲线G的参数方程为~：，（，为参数），以坐标原

[y=sin）

点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线。2的极坐标方程为

4pcos^-16pcos^+3=0.

（1）当k=l时，。是什么曲线？

（2）当k=4时，求。与G的公共点的直角坐标.

参考答案：

（1）当K=1B寸，G=f=8st（t为参数），

[y=sint

.•.4=/+丁=1,G是以（o,o）为圆心，1为半径的圆，

（2）当K=4时，G=[、=c°s：’（t为参数）。

[j=sin4r

G：&+后=1,C2:4x-16>+3=0^