2019-2020学年广东省深圳市南山区蛇口学校九年级（上）期末数学试卷 （解析版）

2019-2020学年九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（共12小题）.

1.若a、b、c、d是成比例线段，其中a=5cm,b=2.5cm,c=10cm,则线段d的长为（）

3.如图，E尸过矩形ABC。对角线的交点。，且分别交48、CD于E、F,矩形A8CD内

的一个动点尸落在阴影部分的概率是（）

4.已知反比例函数尸=工，下列结论中不正确的是（）

x

A.图象经过点（-1,-1）

B.图象在第一、三象限

C.当x>l时，OVyVl

D.当xVO时，y随着x的增大而增大

5.如果1是方程2，+公-4=0的一个根，则方程的另一个根是（）

A.-2B.2C.-1D.1

6.下列命题中，不正确的是（）

A.对角线相等的矩形是正方形

B.对角线垂直平分的四边形是菱形

C.矩形的对角线平分且相等

D.顺次连结蓑形各边中点所得的四边形是矩形

7.某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如图的折线

统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（）

频率

A

0.8......................................................

::二二，

0.2......................................................

1002003004005005

A.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小时随机出的是“剪刀”

B.掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数

C.袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球

D.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌花色是红桃

8.如图，在△45C中，DE//FG//BC,且AO:AF:AB=1:2:4,则SAADE:S0aHi（DFGE;

9.如图，小颖身高为160cm,在阳光下影长AB=240cm,当她走到距离墙角（点O）150cm

处时，她的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子。E的长度为（）

10.已知关于x的一元二次方程（A-2）*2-2x+l=0有两个不相等的实数根，则肚的取值

范围是（）

A.k<2B.k<3C.AV2且A¥0D.AV3且A=#2

11.如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BE尸G是以原点。为位似中心的位

似图彩，且相似比为士•，点A,

B,E在x轴上，若正方形5E尸G的边长为12,则C点

3

坐标为（）

C.(4,4)D.(8,4)

12.在正方形ABCD中，AB=3,点E在边C£>上，且£>E=1,将△AOE沿AE对折到△

AFE,延长E尸交边5c于点G,连接4G,CF.下列结论，其中正确的有（）个.

(1)CG=FG

(2)NEAG=45°

Q

(3)S^EFC=—

5

C.3D.4

二、填空题（本题有4小题，每小题3分，共12分.把答案填在答题卡上.）

13.一元二次方程x2-16=0的解是

,“a»a+b।m.ia_

14.已知---=—,则一=

a-b3b

15.如图，若菱形ABC。的边长为2cm,ZA=120°,将菱形ABC。折叠，使点A恰好落

在菱形对角线的交点。处，折痕为EF,则EF=cm,

C

16.如图，直线y=mx-1交y轴于点优交x轴于点C,以BC为边的正方形A8C。的顶

9..k

点A(-1,«)在双曲线》=---(x<0)上，。点在双曲线(x>0)上，则左的

xx

三、解答题：(17题6分，18题6分，19题7分，20题8分，21题8分，22题8分，23

题9分，共计52分)

17.解下列方程：

(1)X2+4X-5=0

(2)(x-3)2=2(3-x)

18.深圳国际马拉松赛事设有A”全程马拉松”，8“半程马拉松”，C“嘉年华马拉松”

三个项目，小智和小慧参加了该赛事的志愿者服务工作，组委会将志愿者随机分配到三

个项目组.

(1)小智被分配到A“全程马拉松”项目组的概率为.

(2)用树状图或列表法求小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的概率.

19.如图，在矩形ABC。中，E为AO边上的一点，过C点作CF_LCE交48的延长线于

点F.

(1)求证：△CDKsMBF;

(2)若8为AF的中点，CB=3,DE=\,求的长.

20.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABC。的顶点C与原点。重合，点8在y轴的正半

轴上，点A在反比例函数y=K(A>0,x>0)的图象上，点。的坐标为(4,3).

(1)求《的值;

(2)若将菱形A8C。沿x轴正方向平移，当菱形的顶点。落在函数7=义(4>0,x>0)

x

的图象上时，求菱形4BCD沿x轴正方向平移的距离.

21.因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客

最喜欢的旅游目的地城市之一.深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2018

年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2020年春节长假期间，将接待游客

达28.8万人次.

(1)求东部华侨城景区2018至2020年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率；

(2)东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅

游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每

天可多销售30杯.2020年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多

少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润

额？

22.在△A3C中，ZACB=90°,48=20,8c=12.

AAA

CBCMBCB

图1图2备用图

(1)如图1,折叠△ABC便点A落在AC边上的点。处，折痕交AC、A8分别于。、

H,若SAABC=9SADHQ,则HQ=.

(2)如图2,折叠ZVIBC使点A落在3c边上的点M处，折痕交AC、A3分别于E、

F.若FM〃AC,求证：四边形AEMF是菱形；

(3)在(1)(2)的条件下，线段CQ上是否存在点P,使得和相似？

若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由.

23.如图1,已知点A(a,0),B(0,b),且a、b满足、/而+(a+b+3)2=O,平等四

(1)a=,b=;

(2)求。点的坐标；

(3)点P在双曲线》=上■上，点。在y轴上，若以点A、B、P、。为顶点的四边形是平

x

行四边形，试求满足要求的所有点。的坐标；

(4)以线段A5为对角线作正方形AFBH(如图3),点7是边AF上一动点，M是

UM

”7的中点，MN_L”r,攵AB于N,当7在A尸上运动时，黑的值是否发生改变？若

HT

改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明.

参考答案

一、选择题（本题有12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的，请将正确的选项用铅笔涂在答题卡上.）

1.若a、b、c、d是成比例线段，其中a=5cm,b=2.5cm,c=10c/n,则线段d的长为（）

A.2cmB.4cmC.5cmD.6cm

【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线

段.根据定义ad=cb,将a,6及c的值代入即可求得d.

解：已知a,b,c,d是成比例线段，

根据比例线段的定义得：ad=cb,

代入a=5c，〃，b=2.5cm,c=10cm,

解得：d=5.

故线段d的长为5cm.

故选：C.

解：从上边看是一个同心圆，外圆是实线，内圆是虚线，

故选：B.

3.如图，E尸过矩形ABCD对角线的交点O,且分别交A5、CD于E、F,矩形ABCD内

的一个动点P落在阴影部分的概率是（）

D

【分析】根据矩形的性质，得AEBO沿AFDO,再由△A0〃与△OBC同底等高，4AOB

与△ABC同底且△AOB的高是△A8C高的L导出结论.

2

解：•.•四边形为矩形，

：.OB=OD=OA=OC,

在△£8。与△17）0中，NEOB=NDOF,OB=OD,ZEBO=ZFDO,△EBOW^FDO,

•••阴影部分的面积=S~tEO+SziEBO=Sz\AOA,

VAAOB与△ABC同底且△AOB的高是△A5C高的工，

故选：B.

4.已知反比例函数丫=工，下列结论中不正确的是（）

x

A.图象经过点（-1,-1）

B.图象在第一、三象限

C.当x>l时，OVyVl

D.当xVO时，y随着无的增大而增大

【分析】根据反比例函数的性质及图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可.

解：4、1•当x=-l时，y=-1,...此函数图象过点（-1,-1）,故本选项正确;

B、-：k=l>0,二此函数图象的两个分支位于一三象限，故本选项正确；

C、：当x=l时，y=l,...当x>l时，OVyVl,故本选项正确；

。、V*=l>0,...当xVO时，），随着x的增大而减小，故本选项错误.

故选：D.

5.如果1是方程2/+历'-4=0的一个根，则方程的另一个根是（）

A.-2B.2C.-1D.1

【分析】利用两根之积为-2确定方程的另一个根.

解：设方程的另一个根为f,

根据题意得lXf=-5，解得［=-2,

即方程的另一个根为-2.

故选：A.

6.下列命题中，不正确的是（）

A.对角线相等的矩形是正方形

B.对角线垂直平分的四边形是菱形

C.矩形的对角线平分且相等

D.顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形

【分析】根据矩形的性质和正方形的判定方法对A进行判断；根据菱形的判定方法对5

进行判断；根据矩形的性质对C进行判断；根据三角形中位线的性质和矩形的判定方法

对。进行判断.

解：4、对角线垂直的矩形是正方形，所以A选项为假命题；

8、对角线垂直平分的四边形是菱形，所以3选项为真命题；

C、矩形的对角线平分且相等，所以C选项为真命题；

。、顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形，所以。选项为真命题.

故选:A.

7.某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如图的折线

统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（）

频率

A

0.8......................................................

::二二二，

0.2......................................................

?

100200300400500）救

A.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小时随机出的是“剪刀”

B.掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数

C.袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球

D.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌花色是红桃

【分析】利用折线统计图可得出试验的频率在0.5左右，进而得出答案.

解：4、在“石关、剪刀、布”的游戏中，小时随机出的是“剪刀”为,，不符合这一结

果，故此选项错误；

Q1

B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数的概率是曰=（=（）.5,符合

这一结果，故此选项正确；

C、从一个装有1个红球2个黄球的袋子中任取一球，取到的是黄球的概率为：告，不符

合这一结果，故此选项错误；

。、一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为：0.25,不

符合这一结果，故此选项错误；

故选：B.

8.如图，在△4BC中，DE//FG//BC,且40:AF:AB=1:2:4,则S^DFGE:

SawFBCG等于（）

A.1:2:4B.1:4:16C.1:3:12D.1:3:7

【分析】由于〃尸G〃8C,那么△AZ)ES2\AFGS2\ABC,根据40:AF:AB=1:

2:4,可求出三个相似三角形的面积比.进而可求出△AOE、四边形。尸GE、四边形FBCG

的面积比.

解：'：DE//FG//BC,

△AD£^>AABC,

'：AD-.AF:AB=1:2:4,

二SAADE:S^AFG-S^ABC=1：4:16,

设△AOE的面积是a,则fG和△48C的面积分别是4a,16a,

则Sb边杉DFGE和S联mFBCG分别是3。，12%

:.SiiADE：S0m矽DFGE：SFBCG=1：3：12.

故选：c.

9.如图，小颖身高为160cm,在阳光下影长A8=240cm，当她走到距离墙角（点O）150c机

处时，她的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子OE的长度为()

【分析】过E作Ef_LCG于尸，利用相似三角形列出比例式求出投射在墙上的影子OE

长度即可.

解：过E作EF_LCG于F,

设投射在墙上的影子。E长度为x,由题意得：AGFESAHAB,

：.AB:FE=AH:(GC-x),

则24():150=160:(160-x),

解得：x=60.

答：投射在墙上的影子DE长度为60cm.

故选：B.

10.已知关于x的一元二次方程(A-2)3-2x+l=()有两个不相等的实数根，则A的取值

范围是()

A.k<2B.k<3C.k<2且k丰0D.k<3SLk*2

【分析】根据方程有两个不相等的实数根结合二次项系数非0,即可得出关于k的一元

一次不等式组，解不等式组即可得出结论.

解：•.•关于x的一元二次方程(k-2)*2-加+1=0有两个不相等的实数根，

fk-27t0

*

•[△=(-2)2-4(k-2)>0’

解得：AV3且左手2.

故选：D.

11.如图，在平面直角坐标中，正方形A8CQ与正方形5EFG是以原点。为位似中心的位

似图形，且相似比为工，点A,B,E在x轴上，若正方形3EFG的边长为12,则C点

3

坐标为()

【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出的长，进而得出△OAQS^OBG,

进而得出AO的长，即可得出答案.

解：:•正方形ABCD与正方形BEFG是以原，点、O为位似中心的位似图形，且相似比为”,

3

.AD_1

争一百，

VBG=12,

：.AD=BC=4,

■:AD//BG,

：A0ADS40BG,

.0A_1

**OB-T

.OA_1

,,4■KJA—，

解得：04=2,

：.OB=6,

••.C点坐标为:(6,4),

故选：A.

12.在正方形ABCD中，48=3,点E在边C。上，且OE=1,将△AOE沿AE对折到△

AFE,延长E尸交边8c于点G,连接AG,C尸.下列结论，其中正确的有()个.

(1)CG=FG

(2)ZEAG=45°

(3)S&EFC=m

5

(4)CF=

C.3D.4

【分析】（D根据翻折可得AD=AF=AB=3,进而可以证明△A3GgZkAkG,再设

CG=x,利用勾股定理可求得x的值，即可证明CG=fG;

（2）由（1）△ABGgAAFG,可得NR4G=NR4G,进而可得NEAG=45°;

（3）过点尸作尸H_LCE于点可得FH〃CG,通过对应边成比例可求得尸H的长，

Q

进而可求得SAEFC=*；

5

（4）根据（1）求得的x的长与E尸不相等，进而可以判断CF手工GE.

(1)1•四边形48C。为正方形，

：.AD=AB=BC=CD=3,NBAD=，B=NBCD=ND=90°,

由折叠可知：

AF=AD=3,ZAFE=ZD=90°,DE=EF=1,则CE=2,

：.AB=AF=3,AG=AG,

ARtAABG^RtAAFG(HL)

：.BG=FG

设CG=x,则BG=FG=3-x,

：.EG=4-x,EC=2,

根据勾股定理，得

在RtAfiGC中，(4-x)2=x2+4

解得x=1_,则3-x1

：.CG=FG,

所以（1）正确；

（2）由（1）中RtAABG^RtAAFG（//L）

：.ZBAG=ZFAG,

又NZME=N尸AE,

/.ZBAG+ZFAG+ZDAE+ZFAE=90°,

：.ZEAG=45°.

所以（2）正确；

（3）过点尸作F"_LCE于点〃，

：.FH//BC,

.FH=EF

**CG-EG

即1：（-1+1）=FH：（y）

：.FH=—

5

133

ASAEFC=—X2X-^-=—

255

所以（3）正确；

Q

（4）VGF=—,EF=1,

2

点尸不是EG的中点，CF^^GE,.

所以（4）错误.

所以（1）、（2）、（3）正确.

故选：C.

二、填空题（本题有4小题，每小题3分，共12分.把答案填在答题卡上.）

13.一元二次方程x2-16=0的解是xi=-4,%2=4.

【分析】方程变形后，开方即可求出解.

解：方程变形得：好=16,

开方得：x=±4,

解得:xi=-4,X2=4.

故答案为：xi=-4,X2=4

r口人,则T-

14.已知-a-+-b-=_―7

a-b3

【分析】依据比例的性质，即可得到曳=盘.

b2

解.a+b7

・a-b3’

/.la_7b=3a+3b,

A4a=10*,

・a_5

*T-T

故答案为：—.

2

15.如图，若菱形A5co的边长为2cm,ZA=120",将菱形ABC。折叠，使点A恰好落

在菱形对角线的交点。处，折痕为£死则Eb=_JW_c/w,

【分析】连接AC、BD,根据题意得出E、F分别为A3、AO的中点，EF是△A3。的

中位线，得出EF=3B。，再由已知条件根据三角函数求由03,即可求出EP.

解：连接AC、BD,如图所示：

•.•四边形A8C。是菱形，

：.AC±BD,

•.,将菱形ABC。折叠，使点A恰好落在菱形对角线的交点。处，折痕为EF,

：.AE=E0,AF=OF,

:.E、尸分别为AB、40的中点，

：.EF是△A8O的中位线，

：.EF=—BD,

2

V菱形ABCD的边长为2cm,NA=120°,

：.AB=2cm,ZABC=60°,

：.OB=—BD,NA8O=30°,

2

；.OB=AB-cos30°=2X与=百，

:.EF=/BD=OB=a；

故答案为：

16.如图，直线y=，”x-1交y轴于点8,交x轴于点C,以BC为边的正方形A3CD的顶

9k

点A(-1,a)在双曲线y=(x<0)上，D点在双曲线y=—(x>0)上，则A的

xx

值为6.

【分析】先确定出点A的坐标，进而求出A3,再确定出点C的坐标，利用平移即可得

出结论.

9

解：'：A(-1,a)在双曲线>>=-士>(xVO)上，

x

<z=2,

：.A(-1,2),

•点8在直线y=/nx-1上，

：.B(0,-1),

；•A5=7(-1-0)2+(-1-2)2=

♦.,四边形A8CQ是正方形，

***BC=AB=710,

设C(凡0),

,，,Vn2+l2=V^0»

.•・〃=-3（舍）或〃=3,

：.C(3,0),

.•.点8向右平移3个单位，再向上平移1个单位，

.•.点。是点4向右平移3个单位，再向上平移1个单位，

点。(2,3),

TO点在双曲线y=K(x>0)上，

x

"=2X3=6,

故答案为：6.

三、解答题：(17题6分，18题6分，19题7分，20题8分，21题8分，22题8分，23

题9分，共计52分)

17.解下列方程：

(1)x2+4x-5=0

(2)(x-3)2=2(3-x)

【分析】(1)利用因式分解法求解可得；

(2)利用因式分解法求解可得.

解：(1)Vx2+4x-5=0,

:.(x+5)(x-1)=0,

则x+5=0或x-1=0,

解得x=-5或x=l;

(2)V)(x-3)2+2(x-3)=0,

(x-3)(x-1)=0,

则x-3=0或x-1=0,

解得x=3或x=l.

18.深圳国际马拉松赛事设有A“全程马拉松”，8“半程马拉松”，C“嘉年华马拉松”

三个项目，小智和小慧参加了该赛事的志愿者服务工作，组委会将志愿者随机分配到三

个项目组.

(1)小智被分配到A“全程马拉松”项目组的概率为—.

-3-

(2)用树状图或列表法求小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的概率.

【分析】(1)直接利用概率公式计算可得；

（2）先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出其中小智和小慧被分到同一个项

目标组进行志愿服务的结果数，然后根据概率公式计算.

解：（1）小智被分配到A“全程马拉松”项目组的概率为

故答案为：春；

（2）画树状图为：

小智AB

「/T\/N

小急ABCABC

共有9种等可能的结果数，其中小智和小慧被分到同一个项目标组进行志愿服务的结果

数为3,

所以小智和小慧被分到同一个项目标组进行志愿服务的概率为3=工.

93

19.如图，在矩形43C。中，E为AO边上的一点，过C点作Cf_LCE交AB的延长线于

点F.

(1)求证：ACDESACBF；

（2）若8为A尸的中点，CB=3,DE=1,求CD的长.

【分析】（1）先利用矩形的性质得ND=N1=N2+N3=9O°,然后根据等角的余角相

等得到N2=N4,则可判断△C〃EsAkC5F；

（2'）^G：.BF=AB,设CD=BF=x,再利用△CDEs/iCBF,则可根据相似比得到工」,

3x

然后利用比例性质求出x即可.

【解答】（1）证明：•・•四边形43CD是矩形,

，ND=N1=N2+N3=9O°,

VCF±CE

，N4+N3=90°

N2=N4,

:.ACDESACBF;

(2)解：•四边形ABC。是矩形,

：.CD=AB,

为AF的中点

：.BF=AB,

设CD=BF=x

■:ACDESACBF,

.CDDE

,,艰方

.x1

,,百G'

Vx>0,

:,x=M，

20.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABC。的顶点C与原点。重合，点8在y轴的正半

轴上，点A在反比例函数y=K(AX),x>0)的图象上，点。的坐标为(4,3).

X

(1)求女的值；

(2)若将菱形ABCO沿x轴正方向平移，当菱形的顶点。落在函数>=m(*>0,x>0)

x

的图象上时，求菱形ABC。沿x轴正方向平移的距离.

【分析】(1)过点。作x轴的垂线，垂足为尸，首先得出A点坐标，再利用反比例函

数图象上点的坐标性质得出即可；

(2)将菱形A3C。沿x轴正方向平移，使得点。落在函数y旦2(x>0)的图象O'

X

点处，得出点£>'的纵坐标为3,求出其横坐标，进而得出菱形4BCD平移的距离.

解：(1)过点。作工轴的垂线，垂足为万，

・・•点。的坐标为(4,3),

工。尸=4,DF=39

：.OD=59

：.AD=5,

・•.点A坐标为(4,8),

A*=xj=4X8=32,

A*=32;

(2)将菱形ABC。沿x轴正方向平移，使得点。落在函数y旦2(x>0)的图象O'

X

点处，

过点做X轴的垂线，垂足为尸'.

VDF=3,

:P=3,

，点的纵坐标为3,

•点O'在y*的图象上

X

•一32

x

解得：x二学,

O

即OF'=—,

3

：.FF'=—-4=—,

33

二菱形ABC。平移的距离为生.

3

21.因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客

最喜欢的旅游目的地城市之一.深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2018

年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2020年春节长假期间，将接待游客

达28.8万人次.

(1)求东部华侨城景区2018至2020年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率；

(2)东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅

游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每

天可多销售30杯.2020年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多

少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润

额？

【分析】(1)设年平均增长率为x,根据东部华侨城景区在2018年春节长假期间，共

接待游客达20万人次，预计在2020年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次.列出

方程求解即可；

(2)设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天630()元的利润额，由题

意得关于y的方程，解方程并对方程的解作出取舍即可.

解：(1)设年平均增长率为%由题意得：

20(1+x)2=28.8,

解得：xi=0.2=20%,X2=-2.2(舍).

答：年平均增长率为20%;

(2)设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题

意得：

(y-6)[300+30(25-j)]=6300,

整理得：J2-41J+420=0,

解得：)1=20,72=21.

•.•让顾客获得最大优惠，

**.j=20.

答：当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平

均每天6300元的利润额.

22.在△A8C中，ZACB=90°,AB=20,8c=12.

（1）如图1,折叠△A5C使点4落在4c边上的点。处，折痕交AC、A3分别于。、

H,若54ABe=9SADHQ,则HQ=4.

（2）如图2,折叠△ABC使点A落在BC边上的点M处，折痕交AC、A8分别于E、

F.若FM〃AC,求证：四边形AEM尸是菱形；

（3）在（1）（2）的条件下，线段C。上是否存在点P,使得和△”。尸相似？

若存在，求出尸。的长；若不存在，请说明理由.

【分析】（1）利用勾股定理求出AC,设“Q=x,根据SAA8C=9SMH°,构建方程即可

解决问题；

（2）想办法证明四边相等即可解决问题；

（3）设AE=EM=FM=AF=4m,则BM=3m,FB=5m,构建方程求出m的值，分

两种情形分别求解即可解决问题.

解：（1）如图1中，

在△ABC中，VZACB=90",AB=20,BC=U,

^C=:V202-12^=16,设

VHQ//BC,

.AQ=QH

・•而一而‘

■AQ__x

••而F，

・・・AQ4=新，

VS-BC=9S&DHQ,

114

X16X12=9X—XxX-^r,

223

Ax=4或-4（舍弃），

：・HQ=4,

故答案为4.

由翻折不变性可知：AE=EM,AF=FM,ZAFE=ZMFE,

-FM//AC,

:.ZAEF=NMFE,

：.ZAEF=ZAFEt

:.AE=AF9

：.AE=AF=MF=ME,

，四边形AEM产是菱形.

(3)如图3中,

图3

设4旧=£时=产知=4尸=4〃?，则BM=3mfFB=5m,

:.4/n+5/?z=20,

：.AE=EM=—,

9

二EC=AC-AE=16--,

99

•••CM=/EH2_EC2=¥，

•：QH=4,AQ=¥，

o

・•・℃=罟39，设尸0=X,

O

当胃=詈时，AHQPs^MCP,

4_x

••.IT=32

■3~~

解得：x=—,

QHPQ

当=・时，AHQPs^pcM,

PCCM

4二x

A32__"jT

V-xV

解得:x=8或得，

经检验：x=8或1•是分式方程的解，且符合题意，

综上所述，满足条件长QP的值为孚或8或得.

IO

23.如图1,已知点A(%0),B(0,b),且a、〜满足心市(a+b+3)2,平等四

边形A3C。的边40与y轴交于点E,且E为40中点，双曲线y=K经过C、O两点.

(1)a=-1,/>=-2;

(2)求。点的坐标；