2020-2021学年天津市南开区九年级（上）期末数学试卷 解析版

2020-2021学年天津市南开区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1.下面图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

2.下列事件中，是随机事件的是（）

A.画一个三角形，其内角和是180°

B.投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为5

C.在只装了红色卡片的袋子里，摸出一张白色卡片

D.明天太阳从东方升起

3.对于反比例函数y=3,下列判断正确的是（）

x

A.图象经过点（-1,3）

B.图象在第二、四象限

C.不论x为何值，y>0

D.图象所在的第一象限内，y随x的增大而减小

4.如图，四边形ABCO是正方形，点E、尸分别在线段BC、OC上，ZBAE=25°,若线

段AE绕点A逆时针旋转后与线段AF重合，则旋转的角度是（）

5.如图，在△ABC中，DE//BC,AL>=6,DB=3,AE=4,则AC的长为（）

6.如图，AB是。。的直径，C,力是。。上位于4B异侧的两点.下列四个角中，一定与

NAC。互余的角是（）

7.已知4（xi，）“）、B（M，72）'C（冷，力）是反比例函数y=2上的三点，若2V

X

X3,及<力<齐，则下列关系式不正确的是（）

A.JCI,X2<0B.X]*X3<0C.X2'X3<0D.X|+X2<0

9.如图，以切O。于点A,PB切。。于点B,P。交。。于点C,下列结论中不一定成立

的是（)

10.已知二次函数y=/-5-2）x+4图象的顶点在坐标轴上，则机的值一定不是（）

A.2B.6C.-2D.0

11.如图，OO的半径为1,点。到直线，"的距离为2,点尸是直线m上的一个动点，PB

切OO于点B,则PB的最小值是（）

A.1B.VsC.2D.5/5

12.如图是抛物线丫1=0?+公+0QWO）的一部分，抛物线的顶点坐标A（1,3）,与x轴

的一个交点为3（4,0）,直线>2="a+〃（MW0）与抛物线交于A、5两点，结合图象分

析下列结论：

①2。+/?=0；

②abc>0；

③方程a^+bx+c^3有两个相等的实数根；

④当l<x<4时，有”<力；

⑤抛物线与x轴的另一个交点是（-1,0）.

其中正确的是（）

A.①②③B.②④C.①③④D.①③⑤

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分

13.如果4〃=5b,则旦=.

b

14.现有4条线段，长度依次是2、4、6、7,从中任选三条，能组成三角形的概率是.

15.下列y关于x的函数中，y随x的增大而增大的有.（填序号）

①y=-2r+l,②丫=上，（x+2）2+1（x>0）,④y=-2（x-3）2-1（x<0）

X

16.如图，菱形OA3C的顶点。的坐标为（3,4）,顶点4在x轴的正半轴上.反比例函数

y=K（x>0）的图象经过顶点B,则k的值为.

17.如图，正六边形A8CCEF的边长为2,以点A为圆心，A8的长为半径，作扇形ABF,

则图中阴影部分的面积为（结果保留根号和TT）.

18.如图，在由小正方形组成的网格中，AABC的顶点都在格点上，请借助网格，仅用无

刻度的直尺在网格中作出AABC的高AH,并简要说明作图方法（不要求证明）：.

三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

19.有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2,3、4,放在一个口袋中，随机的摸

出一个小球然后放回，再随机的摸出一个小球.

（1）采用树形图法（或列表法）列出两次摸球出现的所有可能结果，并回答两次摸球出

现的所有可能结果共有几种.

（2）求两次摸出的球的标号相同的概率.

(3)求两次摸出的球的标号的和等于4的概率.

20.如图，A、8是双曲线y=K上的点，点A的坐标是(1,4),8是线段AC的中点.

x

(1)求k的值；

21.如图，在等边三角形ABC中，点E为CB边上一点(与点C不重合)，点尸是AC边上

一点，若AB=5,BE=2,ZAEF=60Q,求AF的长度.

22.在△ABC中，ZC=90°,以边AB上一点。为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点，

分别交A8,AC于点E,F.

(1)如图①，连接4D,若NC4£>=25°,求N8的大小；

(2)如图②，若点F为右的中点，。。的半径为2,求AB的长.

23.如图，一段长为45机的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园，墙长为27N，设花园的面

积为S，/,平行于墙的边为X%若X不小于17〃?，

(1)求出S关于X的函数关系式；

(2)求s的最大值与最小值.

花园

24.平面直角坐标系中，四边形0ABe是正方形，点A,C在坐标轴上，点8(6,6),P

是射线上一点，将aAOP绕点A顺时针旋转90°,得△ABQ,Q是点P旋转后的对

应点.

(1)如图(1)当0P=2物寸，求点。的坐标；

(2)如图(2),设点P(x,y)(0<x<6),△AP。的面积为S.求S与x的函数关系式，

并写出当S取最小值时，点尸的坐标；

(3)当寸，求点。的坐标(直接写出结果即可).

25.在平面直角坐标系中，设二次函数)，=》2-x-J-“，其中“>0.

(1)若函数y的图象经过点(1,-2),求函数)，的解析式；

(2)若抛物线与x轴的两交点坐标为A,8(A点在8点的左侧)，与y轴的交点为C,

满足0c=2。3时，求a的值.

(3)已知点尸(即，加)和。(1,〃)在函数y的图象上，若求沏的取值范围.

2020-2021学年天津市南开区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共12小题）

1.下面图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；

3、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；

C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；

。、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意.

故选：C.

2.下列事件中，是随机事件的是（）

A.画一个三角形，其内角和是180°

B.投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为5

C.在只装了红色卡片的袋子里，摸出一张白色卡片

D.明天太阳从东方升起

【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可.

【解答】解：A、画一个三角形，其内角和是180°,是必然事件；

8、投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为5,是随机事件；

C、在只装了红色卡片的袋子里，摸出一张白色卡片，是不可能事件；

。、明天太阳从东方升起，是必然事件；

故选：B.

3.对于反比例函数丁=3下列判断正确的是（）

7

A.图象经过点（-1,3）

B.图象在第二、四象限

C.不论x为何值，y>0

D.图象所在的第一象限内，y随x的增大而减小

【分析】根据反比例函数y=K的性质：当k>0,双曲线的两支分别位于第一、第三象

x

限，在每一象限内y随x的增大而减小，以及凡是反比例函数经过的点横纵坐标之积=人

进行分析即可.

【解答】解：4、图象经过点（-1,3）,说法错误；

8、图象在第二、四象限，说法错误；

C、不论x为何值，y>0,说法错误；

。、图象所在的第一象限内，y随x的增大而减小，说法正确；

故选：D.

4.如图，四边形ABCD是正方形，点E、尸分别在线段BC、0c上，NBAE=25°,若线

段AE绕点4逆时针旋转后与线段4尸重合，则旋转的角度是（）

【分析】证明尸（HL）,可得尸=25°,求出/E4F即可

解决问题；

【解答】解：•••四边形ABC。是正方形，

：.AB=AD,NR4£>=/B=N£>=90°

由旋转不变性可知：AE^AF,

在Rt^ABE和RtAADF中，

[AB=AD,

1AE=AF，

ARtA^BE^RtAADFqHL）,

：.ZBAE=ZDAF=25°,

AZ£AF=90°-25°-25°=40°,

...旋转角为40°,

故选：B.

5.如图，在△4BC中，DE//BC,40=6,DB=3,AE=4,则AC的长为（）

【分析】根据平行线分线段成比例求出EC,即可解答.

【解答】解：•：DE〃BC,

■AD.AEBIJ6_4

DBEC3EC

解得：EC=2,

.•.4C=AE+EC=4+2=6；

故选：C.

6.如图，AB是。。的直径，C,。是。。上位于4B异侧的两点.下列四个角中，一定与

NACQ互余的角是（）

【分析】由圆周角定理得出NACB=/ACZ）+/8C£）=9（r,NBCD=NBAD,得出/

ACD+ZBAD=90°,即可得出答案.

【解答】解：连接8C,如图所示：

是OO的直径，

.,.N4CB=/AC£）+/BCO=90°,

"：ZBCD=ZBAD,

：.ZACD+ZBAD=90°,

故选：D.

D

A

\7B

7.已知A（xi，yp、B（必，>2）、C（X3,”）是反比例函数y=2上的三点，若用〈12V

x

工3，y2V）1Vy3,则下列关系式不正确的是（）

A.XieX2<0B.X1*X3<OC.X2*X3<0D.%l+X2<0

【分析】根据反比例函数y=2和xi〈x2<x3,J2<yi<y3）可得点A，8在第三象限，点

X

C在第一象限，得出X1<X2〈OVX3,再选择即可.

【解答】解：•.•反比例函数）=2中，2>0,

X

・••在每一象限内，），随X的增大而减小，

Vxi<x2<x3,yi<y\<y3^

・••点A,3在第三象限，点。在第一象限，

**.X]<X2<0<%3>

Axj*X2>0,X]>X3<0,X2"X3<0,%l+X2<0,

故选：A.

8.己知k<0<幻，则函数y=kxx和y=丝的图象在同一平面直角坐标系中大致位置是

X

【分析】根据反比例函数），=区（/WO）,当&>0时，图象分布在第一、三象限和一次函

数图象与系数的关系进行判断.

【解答】解："：k]<0<k2,

故选：B.

9.如图，出切OO于点A,P8切。。于点B,PO交。。于点C,下列结论中不一定成立

的是（）

A.PA=PBB.PO平分NAPBC.AB±OPD.ZPAB=2ZAP0

【分析】利用切线长定理得到Ri=PB,PO平分然后判断OP垂直平分AB,从

而可对各选项进行判断.

【解答】解：连接OA、OB,如图，

:以切。0于点A,PB切00于点8,

：.PA=PB,P。平分

"：OA=OB,PA=PB,

；.0尸垂直平分AB,

故选：D.

10.已知二次函数y=/-（,〃-2）x+4图象的顶点在坐标轴上，则烧的值一定不是（）

C.-2

【分析】根据题目中的函数解析式和该函数图象的顶点在坐标轴上，可以得到，"的值,

从而可以解答本题.

2

【解答】解：,二次函数），=/-（机-2）x+4=（x-变2）2-鱼21_+4,

该函数的顶点坐标为（变2,-（M2产+4）,

24

:二次函数y=/-（胆-2）x+4图象的顶点在坐标轴上，

2

...m2或_（m-2）+4=Q）

24

解得机=2或n?i=-2,加2=6,

故选：D.

II.如图，。。的半径为1,点。到直线小的距离为2,点P是直线机上的一个动点，PB

A.1B.如C.2D.y/s

【分析】因为P8为切线，所以AOPB是直角三角形.因为08为定值，所以当0P最小

时，PB最小，根据垂线段最短，知。尸=2时PB最小，运用勾股定理求解即可.

【解答】解：作。匕L小于P点，则0P=2,

为定值，是1,

根据题意，在RtZXOPB中，

PS=VOP2-OB2=V22-12=^

即PB的最小值是百，

故选:B.

12.如图是抛物线丫1=62+法+。（q#0）的一部分，抛物线的顶点坐标A（1,3）,与x轴

的一个交点为8（4,0）,直线皿•+〃（相70）与抛物线交于A、8两点，结合图象分

析下列结论:

①)2。+方=0；

(2)abc>0；

③方程a^+bx+c=3有两个相等的实数根；

④当1<XV4时，有先<)’1；

⑤抛物线与x轴的另一个交点是(-1,0).

其中正确的是()

C.①③④D.①③⑤

【分析】根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到aVO,由对称轴

位置可得6>0,由抛物线与y轴的交点位置可得c>0,于是可对②进行判断；根据顶点

坐标对③进行判断；根据函数图象得当l<x<4时，一次函数图象在抛物线下方，则可

对④进行判断；根据抛物线的对称性对⑤进行判断.

【解答】解：•••抛物线的顶点坐标A(1,3),

，抛物线的对称轴为直线x=-旦=1,

2a

2a+b=0,所以①)正确；

•••抛物线开口向下，

:.b=-240,

•.•抛物线与y轴的交点在x轴上方，

：.c>0,

.".ahc<0,所以②错误；

:抛物线的顶点坐标A(1,3),

；.x=l时，二次函数有最大值，

方程云+c=3有两个相等的实数根，所以③正确；

•抛物线yi=or2+bx+c与直线(，"W0)交于A(1,3),B点(4,0),

当1cx<4时，y2V力，所以④正确.

:抛物线与x轴的一个交点为（4,0）,

而抛物线的对称轴为直线x=1,

...抛物线与x轴的另一个交点为（-2,0）,所以⑤错误；

故选：C.

二.填空题

13.如果4a=56,则且=—.

b一「

【分析】直接利用比例的性质计算得出答案.

【解答】解：•.4/=56,

*_a_=_5_

故答案为：

4

14.现有4条线段，长度依次是2、4、6、1,从中任选三条，能组成三角形的概率是1

-2

【分析】找出所有的可能情况组合以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率.

【解答】解：从长度分别为2、4、6、7的四条线段中任选三条有如下4种情况：2、4、

6；2、4、7；2、6、7；4、6、7；

能组成三角形的结果有2个（2、6、7,4、6、7,）,

则能构成三角形的概率为2=工.

42

故答案为：1.

2

15.下列y关于x的函数中，v随x的增大而增大的有⑶④.（填序号）

①y=-2r+l,（3）y=（x+2）2+l（x>0）,④y=-2（x-3）2-1（x<0）

x

【分析】根据一次函数、二次函数、反比例函数的性质即可一一判断；

【解答】解：y随x的增大而增大的函数有③④，

故答案为③④.

16.如图，菱形。ABC的顶点C的坐标为（3,4）,顶点4在x轴的正半轴上.反比例函数

y=K（x>0）的图象经过顶点B,则k的值为32.

X

【分析】根据点C的坐标以及菱形的性质求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出k

的值.

【解答】解：（3,4）,

：.CB=0C=5,

则点8的横坐标为3+5=8,

故B的坐标为：（8,4）,

将点8的坐标代入y=K得，

X

4=K,

8

解得：仁32.

故答案为：32.

17.如图，正六边形A8CDEF的边长为2,以点A为圆心，A3的长为半径，作扇形A8F,

则图中阴影部分的面积为」丘刍J（结果保留根号和n）.

一3

【分析】设正六边形的中心为点0,连接。。、0E,作OHLOE于H,根据正多边形的

中心角公式求出NOOE,求出0H和正六边形A8CDE尸的面积，再求出/A,利用扇形

面积公式求出扇形ABF的面积，即可得出结果.

【解答】解：设正六边形的中心为点0,连接0。、0E,作0"J_£>E于H,如图所示：

ZDOE=360=60°,

6

：.0D=0E=DE=2,

：.OH=M，

：.正六边形ABCDEF的面积=_1_X2*«X6=6«,

NA=（6-2）X180°=120。,

6

扇形ABF的面积=.12。兀X_Q.=&,

3603

...图中阴影部分的面积=6次-&,

3

故答案为：6愿-断.

18.如图，在由小正方形组成的网格中，△A8C的顶点都在格点上，请借助网格，仅用无

刻度的直尺在网格中作出△A8C的高AH,并简要说明作图方法（不要求证明）：取格

点MN,分别连接BM,CN,BM,CN交于点E,连接4E并延长交BC于点H,贝UAH

即为所求.

【分析】取格点M,N,分别连接8M,CN,BM,CN交于点E,连接AE并延长交BC

于点H,根据三角形的三条高线交于一点可得AH即为所求.

【解答】解：如图，取格点M,N,分别连接BM,CN,

BM,CN交于点E,连接AE并延长交BC于点H,

则AH即为所求.

'：BM±AC,CNLAB,

：.AHLBC.

故答案为：取格点M，N,分别连接BM,CN,BM,CN交于点E,连接AE并延长交BC

于点H,则A”即为所求.

三、解答题

19.有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4,放在一个口袋中，随机的摸

出一个小球然后放回，再随机的摸出一个小球.

（1）采用树形图法（或列表法）列出两次摸球出现的所有可能结果，并回答两次摸球出

现的所有可能结果共有几种.

（2）求两次摸出的球的标号相同的概率.

（3）求两次摸出的球的标号的和等于4的概率.

【分析】（1）画出树状图，然后即可得解：

（2）根据树状图，利用概率公式列式计算即可得解；

（3）根据概率公式列式进行计算即可得解.

【解答】解：（1）画树状图如下：

1234

1234123412341234

和2345345645675678

两次摸球出现的所有可能结果共有16种；

（2）两次摸出的球的标号相同有4种，

所以，尸（两次摸出的球的标号相同）=巨=工：

164

（3）两次摸出的球的标号的和等于4有3次，

所以，P（两次摸出的球的标号的和等于4）=A.

16

20.如图，4、B是双曲线y=K上的点，点4的坐标是（1,4）,8是线段AC的中点.

x

（1）求女的值；

（2）求△OAC的面积.

【分析】（1）把点A（1,4）代入y=K,即可求出％的值；

x

（2）作AOLv轴于点力，轴于点E,由4的坐标是（1,4）,得至IJAD=4,0D

=1,根据B为AC的中点，求出8点坐标为（2,2）,则QE=CE=2-1=1,即OC=3,

然后根据三角形面积公式即可求解.

【解答】解：（1）；A是双曲线y=K上的点，点A的坐标是（1,4）,

X

••.把x=l,y=4代入y=K,得人=1义4=4；

x

（2）作轴于点O,轴于点E,

VA（1,4）,

：.AD=4,00=1.

又为4c的中点，

：.BE=^1AD=2,KCE=DE,

2

二8点的纵坐标为2,则有B点坐标为（2,2）.

：.DE=CE=2-1=1,即0C=3,

Sz\QAC=工,AO,0C=工义4X3=6.

21.如图，在等边三角形ABC中，点E为C3边上一点（与点C不重合），点尸是AC边上

一点，若A8=5,BE=2,NAEF=60°,求Af1的长度.

A

BE

【分析】先利用等边三角形的性质得N8=NC=60°,AC=BC=AB=5f再利用三角形

外角性质得N3AE=NCEF,则可判断凡于是可利用相似比计算出CF的

长,然后计算4C-C尸即可.

【解答】解：•:△ABC为等边三角形，

.\ZB=ZC=60°,AC=BC=AB=59

■:BE=2,

:.CE=3,

*.•ZAEC=ZBAE+ZB,

即ZAEF+ZCEF=NBAE+NB,

而NAEF=60°,ZB=60°,

；./BAE=NCEF,

*：ZB=/C,

：.AABEsAECF,

•BE-AB日ii2一5

CFECCF3

;.CF=旦，

5

：.AF=AC-CF=5-旦=11.

55

22.在△ABC中，NC=90°,以边AB上一点。为圆心，。4为半径的圆与BC相切于点£>,

分别交A8,AC于点E,F.

(1)如图①，连接AO,若/C4O=25°,求N8的大小；

(2)如图②，若点F为右的中点，。。的半径为2,求AB的长.

【分析】（1）连接。。，由在△ABC中，ZC=90°,8C是切线，易得OD〃AC,即可

求得NC4Q=NR4D,继而求得答案；

（2）首先连接。E,0D,由（1）得：OO〃AC,由点尸为第的中点，易得△AOb是等

边三角形，继而求得答案.

【解答】解：⑴连接OD,

YOA为半径的圆与8C相切于点D,

:.OD工BC,

：.ZODB=90°,

•・•在△ABC中，ZC=90°,

：,/ODB=/C,

JOD//AC,

：.ZCAD=ZADO=25°,

*：OA=OD,

：.ZOAD=ZODA=25°,

AZBOD=2ZOAD=50°,

・・・NB=900-N3OQ=40°；

(2)连接OF,OD,

：.ZAFO=ZFODf

"：OA=OF,点F为AD的中点,

AZA=ZAFO,ZAOF=ZFOD,

：.ZA=ZAFO=ZAOF=60Q,

；.NB=90°-/A=30°,

：04=00=2,

OB=2OD=4,

：.AB=0A+0B=6.

23.如图，一段长为45〃7的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园，墙长为27m,设花园的面

积为加2,平行于墙的边为X"?.若x不小于17〃?，

(1)求出s关于x的函数关系式；

(2)求s的最大值与最小值.

花园

【分析】(1)由于平行于墙的边为xm,则垂直于墙的一面长为工(45-x)〃?，由面积公

2

式写出S与x的函数关系式，进而求出x的取值范围；

(2)根据二次函数的性质，即可求得当x取何值时，这个花园的面积有最大值，最大值

是多少，根据|27-学＜|17-学，得到x=17时，S最小，把x=17代入解析式求出最

小值.

【解答】解：(1)平行于墙的边为X片,矩形菜园的面积为

则垂直于墙的一面长为工(45-x)m,

2

根据题意得：(45-x)=-里JC(17WxW27)；

222

(2)'：S=-17+组_=-A(7-45x)=-A(X-至)2+2025-(17«7),

222228

•.T7WxW27,a=-A<0,

2

.•.当寸，s取得最大值,此时5=空区J,

28

•..[27一苧<|17-学，

，x=17加时，S取得最小值，止匕时S=3£J,

8

答：s的最大值是空空加2,最小值是侬

88

24.平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A,C在坐标轴上，点B(6,6),P

是射线。8上一点，将△AOP绕点A顺时针旋转90°,得△AB。，Q是点P旋转后的对

应点.

(1)如图(1)当。2=2通时，求点Q的坐标；

(2)如图(2),设点P(x,y)(0<x<6),△4PQ的面积为S.求S与x的函数关系式，

并写出当S取最小值时，点P的坐标；

(3)当BP+BQ=8扬t求点Q的坐标(直接写出结果即可).

【分析】(1)如图(1),过户点作PG_Lx轴，垂足为G,过。点作。轴，垂足为

H.证明RtZ\AQH丝Rt/XAPG.即可求点。的坐标；

(2)如图(2),过尸点作PGLx轴，垂足为G.根据勾股定理可得AY=AG2+PG2=(6

-x)2+x2,整理得Ap2=27-1级+36.由52户2=获P乂。，S=，-6x+18=(x-3)

2+9.进而可求S与x的函数关系式，并写出当S取最小值时，点P的坐标；

(3)根据BP+8Q=队历可得8尸+0「=队历因为。8=认巧，说明点尸在。8的延

长线上.可得OP-8P=。8=讥用.联立方程组可得BP和。尸的长，结合(1)进而可

求点。的坐标.

【解答】解：(1)如图(1),过P点作PGLt轴，垂足为G,

过Q点作。轴，垂足为从

图⑴

•.•四边形0ABe是正方形，

，NAOB=45°.

VB(6,6),

；Q=6.

在RtAOPG中，

折

PG=0P,sin450=屹义姿=2

：.0G=PG=2.

.\AG=OA-OG