山东省济南市2023年各地区中考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（13套）-03解答题（较难题）①

山东省济南市2023年各地区中考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（13套）-03解答题（较难题）①一．一元一次不等式的应用（共1小题）1．（2023•商河县二模）为提高市民的环保意识，倡导“节能减排，绿色出行”，某市计划在城区投放一批“共享单车”．这批单车分为A，B两种不同款型，其中A型车单价400元，B型车单价320元．（1）今年年初，“共享单车”试点投放在某市中心域区正式启动．投放A，B两种款型的单车共100辆，总价值36800元．试问本次试点投放的A型车与B型车各多少辆？（2）试点投放活动得到了广大市民的认可，该市决定将此项公益活动在整个城区全面射开．投放A，B两车型的数量比为3：2，且投资总价值不低于184万元．请问城区10万人口平均每100人至少享有A型车与B型车各多少辆？二．反比例函数综合题（共4小题）2．（2023•济阳区二模）如图，一次函数y＝x+a的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（4，3），与y轴交于点B．（1）求a，k的值；（2）点C在反比例函数图象上，直线CA与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB，求△ABC的面积；（3）点E在x轴上，点F是坐标系内一点，当四边形AEBF为矩形时，求点E的坐标．3．（2023•历城区二模）如图1，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），点B（0，2），直线AB与反比例函数y＝（k≠0）的图象在第一象限相交于点C（a，4），（1）求反比例函数的解析式；（2）如图2，点E（4，m）是反比例函数y＝（k≠0）图象上一点，连接CE，AE，试问在x轴上是否存在一点D，使△ACD的面积与△ACE的面积相等，若存在，请求点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，坐标原点O关于点D的对称点为G，且点G在x轴的正半轴上，若点M是反比例函数的第一象限图象上一个动点，连接MG，以MG为边做正方形MGNF，当顶点F恰好落在直线AB上时，求点M的坐标．4．（2023•天桥区二模）如图，在直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A（m，3）、B两点．（1）求反比例函数的表达式；（2）将直线向上平移后与y轴交于点C，与双曲线在第二象限内的部分交于点D，如果△ABD的面积为16，求直线向上平移的距离；（3）E是y轴正半轴上的一点，F是平面内任意一点，使以点A，B，E，F为顶点的四边形是矩形，请求出所有符合条件的点E的坐标．5．（2023•历下区模拟）如图1，一次函数y＝kx﹣3（k≠0）的图象与y轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（8，1）．（1）k＝；m＝；（2）点C是线段AB上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，连接OC，OD，AD，当四边形OCAD的面积等于24时，求点C的坐标；（3）在（2）的前提下，将△OCD沿射线BA方向平移一定的距离后，得到△O′C′D′，若点O的对应点O′恰好落在该反比例函数图象上（如图2），请直接写出此时点D的对应点D′的坐标．三．二次函数综合题（共2小题）6．（2023•莱芜区二模）抛物线的顶点坐标为D（1，4），与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）如图1，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，求AM+OM的最小值，并求出此时M点的坐标；（3）如图2，点P在第四象限的抛物线上，连接CD，PD与BC相交于点Q，与x轴交于点G，是否存在点P，使∠PQC＝∠ACD．若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2023•天桥区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若在线段BC上存在一点M，使得∠BMO＝45°，过点O作OH⊥OM交CB的延长线于点H，求点H的坐标；（3）在（2）的条件下，点P是y轴正半轴上的一个动点，连接PM，过M做MQ⊥PM交x轴与Q，N是PQ的中点，求BN的最小值．​四．三角形综合题（共1小题）8．（2023•济阳区二模）有公共顶点C的两个等腰直角三角形按如图1所示放置，点E在AB边上．（1）连接BD，请直接写出值为；（2）如图2，F，G分别为AB，ED的中点，连接FG，求值；（3）如图3，N为BE的中点，连接CN，AD，求值．五．四边形综合题（共1小题）9．（2023•槐荫区二模）已知，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转（DE＜AB），∠EDF＝90°，DE＝DF，连接AE，CF．（1）如图1，求证：△ADE≌△CDF；（2）直线AE与CF相交于点G．①如图2，BM⊥AG于点M，BN⊥CF于点N，求证：四边形BMGN是正方形；②如图3，连接BG，若AB＝5，DE＝3，直接写出在△DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值．​六．几何变换综合题（共3小题）10．（2023•莱芜区二模）如图，在同一平面内的△ABC和△ADE，连接CE、BD，点P、Q分别是线段CE、BD的中点，△ADE绕点A自由旋转时，B、P、D三点会在同一条直线上．（1）如图1，当△ABC和△ADE都是等边三角形时，判断线段PA、PB、PC的数量关系，并给出证明；（2）如图2，当△ABC和△ADE都是等腰直角三角形时，请直接写出线段PA、PB、PC的数量关系；（3）如图3，当∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠AED＝30°，时，求点A到直线PB的距离．11．（2023•历城区二模）如图，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，点O为直角顶点，连接AD，BC，E是线段BC的中点，连接OE．【问题解决】（1）如图①，当C，D两点分别在边OA，OB上时，线段EO与线段AD之间的数量关系为；【类比探究】（2）将△COD绕点O顺时针旋转到如图②所示位置，请探究（1）中的数量关系是否成立，并说明理由．【拓展延伸】（3）在△COD的旋转过程中，当∠AOC＝150°时，若OA＝6，OC＝2，请直接写出OE的长．​12．（2023•天桥区二模）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，，点D为平面内任意一点，将线段CD绕点C逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接AE．（1）若点D为△ABC内部任意一点时．①如图1，判断线段AE与BD的数量关系并给出证明；②如图2，连接DE，当点E，D，B在同一直线上且BD＝2时，求线段CD的长；（2）如图3，直线AE与直线BD相交于点P，当AD＝AC时，延长AC到点F，使得CF＝AC，连接PF，请直接写出PF的取值范围．七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）13．（2023•钢城区二模）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋项A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为55°，房屋的顶层横梁EF＝12m，ET∥CB，AB交EF于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4）（1）求屋项到横梁的距离AG；（2）求房屋的高AB．14．（2023•商河县二模）某市为实现5G网络全覆盖，2023——2025年拟建设5G基站七千个．如图，在坡度为l＝1：2.4的斜坡CB上有一建成的基站塔AB，基站塔与水平地面垂直，小明在坡脚C测得塔顶A的仰角为45°，然后她沿坡面CB行走13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53°．（点A、B、C、D均在同一平面内）（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）（1）求D处的竖直高度；（2）求基站塔AB的高．

山东省济南市2023年各地区中考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（13套）-03解答题（较难题）①参考答案与试题解析一．一元一次不等式的应用（共1小题）1．（2023•商河县二模）为提高市民的环保意识，倡导“节能减排，绿色出行”，某市计划在城区投放一批“共享单车”．这批单车分为A，B两种不同款型，其中A型车单价400元，B型车单价320元．（1）今年年初，“共享单车”试点投放在某市中心域区正式启动．投放A，B两种款型的单车共100辆，总价值36800元．试问本次试点投放的A型车与B型车各多少辆？（2）试点投放活动得到了广大市民的认可，该市决定将此项公益活动在整个城区全面射开．投放A，B两车型的数量比为3：2，且投资总价值不低于184万元．请问城区10万人口平均每100人至少享有A型车与B型车各多少辆？【答案】（1）本次试点投放的A型车60辆、B型车40辆；（2）则城区10万人口平均每100人至少享有A型车3000×＝3辆、至少享有B型车2000×＝2辆．【解答】解：（1）设本次试点投放的A型车x辆、B型车y辆，根据题意，得：，解得：，答：本次试点投放的A型车60辆、B型车40辆；（2）由（1）知A、B型车辆的数量比为3：2，设整个城区全面铺开时投放的A型车3a辆、B型车2a辆，根据题意，得：3a×400+2a×320≥1840000，解得：a≥1000，即整个城区全面铺开时投放的A型车至少3000辆、B型车至少2000辆，则城区10万人口平均每100人至少享有A型车3000×＝3辆、至少享有B型车2000×＝2辆．二．反比例函数综合题（共4小题）2．（2023•济阳区二模）如图，一次函数y＝x+a的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（4，3），与y轴交于点B．（1）求a，k的值；（2）点C在反比例函数图象上，直线CA与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB，求△ABC的面积；（3）点E在x轴上，点F是坐标系内一点，当四边形AEBF为矩形时，求点E的坐标．【答案】（1）a＝4，k＝12；（2）8；（3）E（1，0）或（3，0）．【解答】解：（1）将点A的坐标（4，3）代入一次函数表达式得：3＝×4+a，解得：a＝1，将点A的坐标A（4，3）代入反比例函数表达式得：3＝，解得：k＝12；（2）∵点A（4，3），D点的纵坐标是0，AD＝AC，∴点C的纵坐标是3×2﹣0＝6，把y＝6代入y＝得x＝2，∴C（2，6），如图，作CH⊥x轴于H，交AB于E，当x＝2时，y＝＝2，∴E（2，2），∵C（2，6），∴CE＝6﹣2＝4，∴S△ABC＝＝＝8；（3）如图，∵a＝1，∴一次函数的解析式为y＝x+1，当x＝0时，y＝1，∴OB＝1，∵四边形AEBF为矩形，∴∠BEA＝90°，过A作AH⊥x轴于H，∴∠AHE＝∠AEB＝90°，∴∠HAE+∠AEH＝∠AEH+∠BEO＝90°，∴∠BEO＝∠HAE，∴△AHE∽△EOB，∴，∵A（4，3），∴OH＝4，AH＝3，∴，解得OE＝1或3，∴E（1，0）或（3，0）．3．（2023•历城区二模）如图1，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），点B（0，2），直线AB与反比例函数y＝（k≠0）的图象在第一象限相交于点C（a，4），（1）求反比例函数的解析式；（2）如图2，点E（4，m）是反比例函数y＝（k≠0）图象上一点，连接CE，AE，试问在x轴上是否存在一点D，使△ACD的面积与△ACE的面积相等，若存在，请求点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，坐标原点O关于点D的对称点为G，且点G在x轴的正半轴上，若点M是反比例函数的第一象限图象上一个动点，连接MG，以MG为边做正方形MGNF，当顶点F恰好落在直线AB上时，求点M的坐标．【答案】（1）y＝；（2）（2，0）或（﹣6，0）；（3）M坐标为：或（1，8）．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝mx+n，把点A（﹣2，0），点B（0，2）分别代入上式可得：∴，解得：，∴y＝x+2，把C（a，4）代入y＝x+2中，∴a+2＝4，解得：a＝2，∴C（2，4），把C（2，4）代入y＝可得：，解得：k＝8，∴反比例函数解析式为y＝；（2）∵E（4，m）在反比例函数y＝图象上，∴m＝2，∴E（4，2），∵△ACE的面积与且△ACD的面积相等，当D点在x轴的正半轴上时，设过D点与直线AB平行的直线解析式为y＝x+b，∴4+b＝2，解得b＝﹣2，∴y＝x﹣2，∴D（2，0）；当D点在x轴的负半轴上时，点D关于点（﹣2，0）的对称点为（﹣6，0），此时△ACE的面积与且△ACD的面积相等，∴D（﹣6，0）；综上所述：D点坐标为（2，0）或（﹣6，0）；（3）由题意得：G（4，0），设M（t，）（t＞0），①当F点M左侧时，过点M作QH∥x轴，过点F作FQ⊥QH交于Q点，过点G作GH⊥QH交于点H，则∠MQF＝∠MHG＝90，，∵四边形FNGM为正方形，∴∠FMG＝90°，FM＝MG，∵∠FMG＝90°，∴∠QMF+∠HMG＝90°，∵∠HMG+∠MGH＝90°，∴∠QMF＝∠MGH，∵FM＝MG，∴△MFQ≌△GMH（AAS），∴MH＝QF，GH＝QM，∴F（t﹣，﹣4+t），∴﹣4+t＝t﹣+2，解得t＝，∴M（，3）；②点F在M右侧时，过点M作QH∥y轴，交x轴于点Q，过点F作FH⊥QH交于点H，，同理可得：△MFH≌△GMQ（AAS），∴GQ＝HM，MQ＝FH，∴QG＝MH＝4﹣t，MQ＝FH＝，∴F（t+，），代入y＝x+2可得：，解得：t＝1，∴M（1，8），综上所述：M点坐标为：（）或（1，8）．4．（2023•天桥区二模）如图，在直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A（m，3）、B两点．（1）求反比例函数的表达式；（2）将直线向上平移后与y轴交于点C，与双曲线在第二象限内的部分交于点D，如果△ABD的面积为16，求直线向上平移的距离；（3）E是y轴正半轴上的一点，F是平面内任意一点，使以点A，B，E，F为顶点的四边形是矩形，请求出所有符合条件的点E的坐标．【答案】（1）y＝﹣；（2）直线向上平移的距离为4个单位长度；（3）点E的坐标为（0，）或（0，5）．【解答】解：（1）令一次函数中y＝3，则3＝﹣x，解得：x＝﹣4，即点A的坐标为（﹣4，3），∵点A（﹣4，3）在反比例函数的图象上，∴k＝﹣4×3＝﹣12，∴反比例函数的表达式为y＝﹣；（2）连接AC、BC如图所示．设平移后的解析式为y＝﹣x+b，∵该直线平行直线AB，∴S△ABD＝S△ABC，∵△ABD的面积为16，∴S△ABC＝OC•（xB﹣xA）＝16，∴b×8＝16，∴b＝4，∴直线向上平移的距离为4个单位长度；（3）如图，∵E是y轴正半轴上的一点，F是平面内任意一点，以点A，B，E，F为顶点的四边形是矩形，②A为直角顶点，∴∠BAE＝90°，过A作AH⊥y轴于H，∴∠OAE＝∠AHO＝∠AHE＝90°，∴∠OAH+∠EAH＝∠OAH+∠AOH＝90°，∴∠EAH＝∠AOH，∴△AOH∽△EOA，∴，∵A（﹣4，3），∴AH＝4，OH＝3．∴，∴EH＝，∴OE＝3+＝，∴点E的坐标为（0，），②E为直角顶点，∴AE⊥BE，∴AB＝10，∴OA＝5，∴△AEB为直角三角形，∴OE为中线，∴EO＝AO＝5，∴E（0，5），综上所述，点E的坐标为（0，）或（0，5）．5．（2023•历下区模拟）如图1，一次函数y＝kx﹣3（k≠0）的图象与y轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（8，1）．（1）k＝；m＝8；（2）点C是线段AB上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，连接OC，OD，AD，当四边形OCAD的面积等于24时，求点C的坐标；（3）在（2）的前提下，将△OCD沿射线BA方向平移一定的距离后，得到△O′C′D′，若点O的对应点O′恰好落在该反比例函数图象上（如图2），请直接写出此时点D的对应点D′的坐标．【答案】（1），8；（2）C（2，﹣2）；（3）D′（6，6）．【解答】解：（1）把点A（8，1）分别代入y＝kx﹣3和y＝中，得，1＝8k﹣3，1＝，解得：k＝，m＝8，故答案为，8；（2）C（a，a﹣3）（0＜a＜8），则D（a，），∴CD＝﹣a+3，∵S四边形OCAD＝24，∴•CD•xA＝24，即（﹣a+3）×8＝24，∴a2+6a﹣16＝0，∴a1＝﹣8，a2＝2，经检验：a1＝﹣8，a2＝2是原方程的解，∵0＜a＜8，∴a＝2，∴C（2，﹣2）；（3）由平移可知：OO′∥AB，∴直线OO′的解析式为y＝x，由，解得或（舍弃），∴O′（4，2），∵把点O向右平移4个单位，向上平移2个单位得到O′，∵D（2，4），∴D′（6，6）．三．二次函数综合题（共2小题）6．（2023•莱芜区二模）抛物线的顶点坐标为D（1，4），与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）如图1，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，求AM+OM的最小值，并求出此时M点的坐标；（3）如图2，点P在第四象限的抛物线上，连接CD，PD与BC相交于点Q，与x轴交于点G，是否存在点P，使∠PQC＝∠ACD．若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）M（，）；（3）存在点P，使∠PQC＝∠ACD，P（4，﹣5）．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为D（1，4），∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，将点A（﹣1，0）代入，得：4a+4＝0，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，故该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）如图，作点O关于直线BC的对称点K，连接AK交BC于点M，连接BK，由对称性可知，OM＝KM，∴AM+OM＝AM+KM≥AK，当O、M、K三点共线时，AM+OM有最小值，∵B（3，0），C（0，3），∴OB＝OC，∴∠CBO＝45°，由对称性可知∠KBM＝45°，∴BK⊥BO，∴K（3，3），设直线AK的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AK的解析式为y＝x+，设直线BC的解析式为y＝mx+3，∴3m+3＝0，∴m＝﹣1，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，联立方程组，解得：，∴M（，）；（3）存在点P，使∠PQC＝∠ACD．理由如下：如图2，过点D作y轴的平行线交过点C与x轴的平行线于点E，则DE＝CE＝1，即∠DCE＝45°，则∠OCD＝90°+45°＝135°，则∠ACD＝135°+∠ACO；过点Q作QT⊥x轴于点T，则∠CQT＝135°，则∠PQC＝∠CQT+∠TQP＝135°+∠TQP＝∠ACD＝135°+∠ACO，∴∠TQP＝∠ACO，过点P作PN∥y轴交过点D与x轴的平行线于点N，∵PN⊥x轴，QT⊥x轴，∴PN∥QT，∴∠NPD＝∠TQP＝∠ACO，在Rt△AOC中，tan∠ACO＝＝＝tan∠NPD，设点P（t，﹣t2+2t+3），则tan∠NPD＝＝＝，解得：t＝1（舍去）或t＝4，经检验，t＝4是方程的根，∴P（4，﹣5）．7．（2023•天桥区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若在线段BC上存在一点M，使得∠BMO＝45°，过点O作OH⊥OM交CB的延长线于点H，求点H的坐标；（3）在（2）的条件下，点P是y轴正半轴上的一个动点，连接PM，过M做MQ⊥PM交x轴与Q，N是PQ的中点，求BN的最小值．​【答案】（1）y＝﹣2x2+4x+6；（2）（，﹣）；（3）．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+6，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6；（2）过点M作MG⊥y轴于点G，过点H作HT⊥y轴于点T，则∠QGO＝90°，∠HTO＝90°，∴∠GMO+∠MOG＝90°，∵OH⊥OM，∠BMO＝45°，∴∠MOH＝90°，∠OHM＝45°，∴∠MOG+∠TOH＝90°，OM＝OH，∴∠GMO＝∠TOH，在△MGO和△OTH中，，∴△MGO≌△OTH（AAS），∴MG＝OT，GO＝TH，∵点C坐标为（0，6），设直线BC的解析式为y＝kx+n（k≠0，k，n为常数），代入点B（3，0），点C（0，6），得，解得，∴直线BC解析式为y＝﹣2x+6，设点H坐标为（m，﹣2m+6），则TH＝m，OT＝2m﹣6，∴点M坐标为（2m﹣6，m），∵点M在线段BC上，∴﹣2（2m﹣6）+6＝m，解得m＝，∴﹣2×+6＝﹣，∴点H坐标为（，﹣）；（3）由（2）可知，点M坐标为（，），∵PM⊥MQ，∴△PMQ是直角三角形，∵N是PQ的中点，∴MN＝PQ，∵∠POQ＝90°，∴ON＝PQ，∴MN＝ON，∴点N在线段MO的垂直平分线上，作线段MO的垂直平分线l，直线l与直线MO交于点R，直线l与x轴交于点K，则R坐标为（），当BN⊥l时，BN取得最小值，如图所示：设直线MO的解析式为y＝ex（e≠0），代入点M（，），得e＝，解得e＝3，∴直线MO的解析式为y＝3x，设直线l的解析式为y＝，代入点R（），得，解得f＝2，∴直线l的解析式为y＝，当y＝＝0时，x＝6，∴点K坐标为（6，0），∴KB＝6﹣3＝3，∴KB：KO＝1：2，∵∠BKN＝∠BKN，∠BNK＝∠BRK＝90°，∴△BNK∽△ORK，∴BN：OR＝KB：KO＝1：2，∵OR＝＝，∴BN＝OR＝，∴BN的最小值为．四．三角形综合题（共1小题）8．（2023•济阳区二模）有公共顶点C的两个等腰直角三角形按如图1所示放置，点E在AB边上．（1）连接BD，请直接写出值为1；（2）如图2，F，G分别为AB，ED的中点，连接FG，求值；（3）如图3，N为BE的中点，连接CN，AD，求值．【答案】（1）1；（2）；（3）2．【解答】解：（1）∵∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴BD＝AE，∴，故答案为：1；（2）如图2，连接CF，CG，∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，F，G分别为AB，ED的中点，∴AC＝CF，∠A＝∠ACF＝45°＝∠CEG＝∠ECG，∴∠ACE＝∠FCG，∴△ACE∽△FCG，∴＝＝；（3）如图3，取BC的中点M，连接NM，∵N为BE的中点，点M是BC的中点，∴EC＝2MN，MN∥EC，BC＝2CM，∴∠NMC+∠ECB＝180°，CD＝2MN，AC＝2CM，∵∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝180°，∴∠CMN＝∠ACD，，∴△ACD∽△CMN，∴＝．五．四边形综合题（共1小题）9．（2023•槐荫区二模）已知，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转（DE＜AB），∠EDF＝90°，DE＝DF，连接AE，CF．（1）如图1，求证：△ADE≌△CDF；（2）直线AE与CF相交于点G．①如图2，BM⊥AG于点M，BN⊥CF于点N，求证：四边形BMGN是正方形；②如图3，连接BG，若AB＝5，DE＝3，直接写出在△DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值．​【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②4．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝90°，∵DE＝DF，∠EDF＝90°，∴∠ADC＝∠EDF，∴∠ADE＝∠CDF，∴△ADE≌△CDF（SAS）；（2）①证明：如图，设AG与CD相交于点P．∠ADP＝90°，∠DAP+∠DPA＝90°，∵△ADE≌△CDF，∴∠DAE＝∠DCF．∵∠DPA＝∠GPC，∴∠DAE+∠DPA＝∠GPC+∠GCP＝90°．∠PGN＝90°，∵BM⊥AG，BN⊥GN，∴四边形BMGN是矩形，∴∠MBN＝90°∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠MBN＝90°．∴∠ABM＝∠CBN．又∵∠AMB＝∠BNC＝90°∴△AMB≌△CNB（ASA）．∴MB＝NB．∴矩形BMGN是正方形；②解：作DH⊥AG交AG于点H，作BM⊥AG于点M，此时△AMB≌△AHD．∴BM＝AH，AH2＝AD2﹣DH2，AD＝5，∴DH最大时，AH最小，DH＝DE＝2，∴BM＝AH＝4，由（2）①可知，△BGM是等腰直角三角形，∴BG最小＝BM＝4．六．几何变换综合题（共3小题）10．（2023•莱芜区二模）如图，在同一平面内的△ABC和△ADE，连接CE、BD，点P、Q分别是线段CE、BD的中点，△ADE绕点A自由旋转时，B、P、D三点会在同一条直线上．（1）如图1，当△ABC和△ADE都是等边三角形时，判断线段PA、PB、PC的数量关系，并给出证明；（2）如图2，当△ABC和△ADE都是等腰直角三角形时，请直接写出线段PA、PB、PC的数量关系PB＝CP+AP；（3）如图3，当∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠AED＝30°，时，求点A到直线PB的距离．【答案】（1）PA+PC＝PB，理由见解析过程；（2）PB＝CP+AP，理由见解析过程；（3）点A到直线PB的距离2．【解答】解：（1）PA+PC＝PB，理由如下：如图1，连接AQ，∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵点P、Q分别是线段CE、BD的中点，∴BQ＝DQ，CP＝PE，∴BQ＝CP，∴△ACP≌△ABQ（SAS），∴AQ＝AP，∠BAQ＝∠CAP，∴∠BAC＝∠PAQ＝60°，∴△PAQ是等边三角形，∴PQ＝AP，∴PB＝BQ+PQ＝AP+CP；（2）PB＝CP+AP，理由如下：如图2，连接AQ，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∠BAD＝∠ACE，∵点P、Q分别是线段CE、BD的中点，∴BQ＝DQ，CP＝PE，∴BQ＝CP，∴△ACP≌△ABQ（SAS），∴AQ＝AP，∠BAQ＝∠CAP，∴∠BAC＝∠PAQ＝90°，∴△PAQ都是等腰直角三角形，∴PQ＝AP，∴PB＝CP+AP，故答案为：PB＝CP+AP；（3）如图3，过点A作AH⊥BP于H，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠AED＝30°，∴点A，点B，点E三点共线，EA＝AD，AC＝AB，∴＝，∴△ABD∽△ACE，∴∠ABD＝∠ACE，又∵∠BDA＝∠CDP，∴∠BAC＝∠BPC＝90°，又∵CP＝PE，∴BC＝BE，CD＝DE，∵∠DCP＝∠DEP，∵∠ADE＝90°﹣∠AED＝60°，∴∠DCP＝∠DEP＝30°，∴∠BCE＝∠BEC＝60°，∴△BCE是等边三角形，∴BE＝CE，∵CP＝PE，∠CAE＝90°，∴AP＝CP＝PE＝4，∵∠BCA＝∠ECA＝30°，∴AB＝AE＝4，∠PBE＝∠ACE＝30°，∴AH＝AH＝2，∴点A到直线PB的距离2．11．（2023•历城区二模）如图，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，点O为直角顶点，连接AD，BC，E是线段BC的中点，连接OE．【问题解决】（1）如图①，当C，D两点分别在边OA，OB上时，线段EO与线段AD之间的数量关系为AD＝2EO；【类比探究】（2）将△COD绕点O顺时针旋转到如图②所示位置，请探究（1）中的数量关系是否成立，并说明理由．【拓展延伸】（3）在△COD的旋转过程中，当∠AOC＝150°时，若OA＝6，OC＝2，请直接写出OE的长．​【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵△AOB和△COD是等腰直角三角形，∴AO＝BO，CO＝DO，∠AOB＝90°，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴AD＝BC，在Rt△BOC中，E是BC的中点，∴BC＝2EO，∴AD＝2EO，故答案为：AD＝2EO；（2）（1）中结论仍成立，理由如下：延长OE至F使EO＝EF，连接BF，连接FC并延长交AO于G，∵E是BC的中点，∴四边形BOCF是平行四边形，∴CF＝BO，∵AO＝BO，∴CF＝AO，∵∠COD＝∠AOB＝90°，∴∠FCO＝90°+∠COG，∠AOD＝90°+∠AOC，∴∠FCO＝∠AOD，∵CO＝DO，∴△AOD≌△FCO（SAS），∴AD＝OF，∵点E是▱BOCF的对角线的交点，∴EO＝EF，∴OF＝2EO，∴AD＝2EO；（3）如图3，当△COD绕点O顺时针旋转150°时，∠AOC＝150°，∴∠BOC＝360°﹣150°﹣90°＝120°，过点C作FC⊥BO交延长线于F，过点E作EG⊥BO交于G，∴∠OCF＝30°，∵OC＝2，∴OF＝1，CF＝，∵E是BC的中点，∴EG＝CF＝，GB＝GF，∴OA＝OB＝4，∴BF＝5，∴BG＝FG＝2.5，∴OG＝1.5，∴OE＝；如图4，当△COD绕O点逆时针旋转150°时，∠AOC＝150°，∴∠BOC＝60°，过点C作CF⊥BO交于F，过点E作EG⊥BO交于G，∴∠OCF＝30°，∵OC＝2，∴FO＝1，CF＝，∵E是BC的中点，∴GE＝CF＝，BG＝GF，∵OB＝AO＝4，∴BF＝3，∴BG＝FG＝，∴OG＝，∴OE＝；综上所述：OE的长为或．12．（2023•天桥区二模）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，，点D为平面内任意一点，将线段CD绕点C逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接AE．（1）若点D为△ABC内部任意一点时．①如图1，判断线段AE与BD的数量关系并给出证明；②如图2，连接DE，当点E，D，B在同一直线上且BD＝2时，求线段CD的长；（2）如图3，直线AE与直线BD相交于点P，当AD＝AC时，延长AC到点F，使得CF＝AC，连接PF，请直接写出PF的取值范围．【答案】（1）①AE＝BD，理由见解析过程；②CD＝2；（2）2≤PF≤5+．【解答】解：（1）①AE＝BD，理由如下：∵将线段CD绕点C逆时针方向旋转90°得到线段CE，∴CD＝CE，∠DCE＝90°＝∠ACB，∴∠ACE＝∠BCD，又∵AC＝BC，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD；②∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，，∴AB＝BC＝2，∵△ACE≌△BCD，∴∠CAE＝∠CBD，AE＝BD＝2，∴∠CAE+∠BAC+∠ABE＝∠CAB+∠ABE+∠CBD＝90°，∴∠AEB＝90°，∴BE＝＝＝6，∴DE＝6﹣2＝4，∵CD＝CE，∠DCE＝90°，∴CD＝2；（2）∵△ACE≌△BCD，∴∠E＝∠CDB，∠ACE＝∠DCB，∵∠BCD+∠CDB+∠CBD＝90°，∴∠CBD+∠E+∠BCD＝180°，∵∠E+∠EPB+∠PBC+∠BCD+∠ECD＝360°，∴∠EPB＝90°，∴点P在以AB为直径的圆上运动，∵AD＝AC，∴点P不能在劣弧BC上，如图3，取AB的中点O，过点O作OH⊥AF于H，当点O在线段PF上时，PF有最大值，点P在点C时，PF有最小值，∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝