2022-2023学年福建省莆田市成考专升本数学(理)自考真题(含答案)

2022-2023学年福建省莆田市成考专升本数

学(理)自考真题(含答案)

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题(30题)

1.设甲：b=0；乙：函数y=kx+b的图像经过坐标原点，贝IJ()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的充要条件

C.甲是乙的必要条件但不是充分条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

2.过点P(2,3)且在两条坐标轴上截距相等的直线方程是()

A.x+y=5B.3x-2y=0C.2x-3y=0或x+y=5D.x+y=5或3x-2y=0

3.与直线3x-4y+12=0关于y轴对称的直线方程为

A.±j+考=1B.f=1

4-3

C.书+弋=1D.小+q=1

-4—343

4.直三棱柱的每个侧面的面积为5,底面积为10,全面积为()

A.15B.20C.25D.35

5.不等式|x-2区7的解集是()

A.{x|x<9}B.{x|x>—5}C.{x|x<-5或x>9}D.{x|-5<x<9}

6.设甲：△＞().乙：""十6"+c=°有两个不相等的实数根，则

A.A.甲是乙的必要条件，但不是充分条件

B.甲是乙的充分条件，但不是必要条件

C.甲是乙的充分必要条件

D.甲是乙的充分条件，也不是必要条件

7.已知a=(3,6),b=(-4,x),且a上b,则x的值是()

A.A.lB.-lC.2D.-2

8.过点P(2,3)且在两轴上截距相等的直线方程为()

A.x/5+y/5=lB.x/5+y/5=l或y=3/2xC.x+y=5D.y-3=3/2(x-2)

已知函数y=(》"(-8＜工＜+8),则该函数

(A)是奇函数，且在(-«,0)上单调增加

(B)是偶函数，且在(-®,0)上单调减少

(C)是奇函数，且在(0.+8)上单调增加

9.(D)是偶函数,且在(0,+8)上单调减少

10.设函数f(x)=x2-l,则f(x+2)=()

A.x2+4x+5B.x2+4x+3C.x2+2x+5D.x2+2x+3

IL设口是第三象限的角，则k3600-a(k£Z)是

A.A.第一象限的角B.第二象限的角C第三象限的角D.第四象限的角

下列四组中的函数/(x),g(x)表示同一函数的是()

(A)/(x)=1.g(x)=x°(B)/(*)=x,g(x)-—

X

12g(x)-(JX)4(D)/<*)=x1,g(x)-*

设一次函数的图象过点(i.l)和(-2.0),则该一次函数的解析式为()

1212

(A)»=y«+于(B)y=y*-y

|3.(C)y=2x-1(D)y=x+2

14.Iog34-log484og8m=log416,则m为()

A.9/12B.9C.18D.27

15.函数y=10x-l的反函数的定义域是()

A.A.(-1,+oo)B,(0,+oo)C,(l,+oo)D.(-℃,+8)

16.

函数y=sinx+coax的号数是()

(A)sinx-COAX(B)coax-sinx

(C)sinx♦coax(D)-sinx-coax

17.设甲：x=l：乙：x2+2x-3=0()

A.A.甲是乙的必要桑件但不窟乙的充分条件

B.甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件

C.甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

D.甲是乙的充分必要条件

18.直线a平面a,直线b平面0,若a/单,则a、b()

A.平行B.不可能垂直C.相交D.可能平行，也可能异面直线

19.若a>b>0,则()

A.A.A.lofcaVlojb。

B.

C.i"...-

D.

20.助同=n.3.-21.正=13.2.-21.JM疑为

A.12.-1.-XIB.|-2,1.-4|

C12,-1,01a|4,5.-4|

2J5.已知sina=-1-,(y<a<*n),那么tana=()

A.A.3/4

3_

B.4

4

C「3

D.O

22.

过函数)=:图像上一点P作，轴的垂线P。”为垂足。为坐标原点，则△()/，(?

的面积为()

A.lB.2C.3D.6

23.4.27110gl8=

A.12B.6C.3D.1

24.

A.A.l

B.2

C.4

2564孑+log±81=

A.8B.14C.12D.10

函数*；11在上=1处的导数为

(A)5(B>2(C)3(B)4

复政(图的值等于

A.lB.iC.-lD.-i

8in42°8in720+cos42°co»72°等于)

(A)sin60°(B)cos60°

2g(C)co8114°(D)sinll4°

,x=4cos0

椭圆，（夕为参数）的准线方程为

j=3sin6

复数(『)'+(")'的值等于

1-11+»

(A)2(B)-2

30.(C)0(D)4

二、填空题（20题）

31.0-C-G-

双曲线J；T=g>0.〃>0>的渐近线与实轴的夹角是焦

a'o'

32.点且垂在于实轴的弦长等干■

33.

已知随机变量G的分布列是：

012345

之

P0.10.20.3L0.2L0.1L0.1L

贝!)Eg=__________

巳知球的半径为I.它的一个小0B的面积是这个球表面积的会O.则球心到这个小

34.圆所在的平面的距鹿是

35.如果工>0.那么的值域是

36.过点（2」）且与直线y=*+1垂直的直线的方程为------

已知球的半径为1,它的一个小圆的面积是这个球表面积的玄，则球心到这个小

37.圆所在的平面的距离是___—•

3

38.已知sinx=,且x为第四象限角，贝！|

sin2x=o

抛物线V=2"的准线过双曲岭〜=1的左焦点，则p=

39.................................'

40.若正三棱锥底面边长为a,且三条侧棱两两垂直，则它的体积为

41.已知1<x2+y2<2,x2-xy+y2的值域为.

42.已知1&/+/&2，/一工/V值域为

2

43.掷一枚硬币时，正面向上的概率为5,掷这枚硬币4次，则恰有2

次正面向上的概率是o

计算3^X3~—log410—log4-=

44.5---------------.

45.设a是直线y=-H+2的倾斜角，则a=

同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年

46.1则四张贺年卡不同的分配方式有______种.

47.曲线y=x2-ex+l在点（0,0）处的切线方程为。

48.若三角形三边之比为2:3:4,则此三角形的最小角为弧度

设高散型随机变量X的分布列为__________________________

X-2-102

P0.20.10.40.3

49.则期望值E（X）=

过国/+/=”上一点黑（-3,4）作该圆的切线，则此切线方程为•

三、简答题（10题）

51.

(本小题满分12分)

已知叁数方程

x=—(e1+e")cosd,

y=-^-(e*-e-1)sinft

(1)若，为不等于零的常量，方程表示什么曲线？

(2)若8(。射竽,&eN.)为常量.方程表示什么曲线？

(3)求证上述两个方程所表示的曲线有相同的焦点.

52.

(24)(本小题满分12分)

在44房中,4=45。淖=60。,助=2,求4的(；的面积.(精确到0.01)

(23)(本小题满分12分)

设函数/(%)=/-2x?+工

(I)求曲线y=1-2/+3在点(2,11)处的切线方程；

口(H)求函数/(x)的单调区间.

54.

(本小题满分12分)

已知函数/(X)=』-3』+m在［-2.2］上有最大值5.试确定常故m,并求这个函数

在该闭区间上的最小值.

55.(本小题满分12分)

#△A8C中"48=8J6,B=45°.C=60。.求4aBe

56.（本小题满分12分）

已知吊是椭画志+卷=1的两个焦点/为椭圆上一点，且%=JO。,求

△PF用的面积.

57.

（本小题满分12分）

在（a%+l）7的展开式中,%3的系数是％2的系数与％4的系数的等差中项，

若实数a>l,求a的值.

58.（本小题满分12分）

已知等差数列｛an｝中，al=9,a3+a8=0.

⑴求数列｛an｝的通项公式；

⑵当n为何值时，数列｛an｝的前n项和Sn取得最大值,并求该最大值.

59.（本小题满分13分）

三角形两边之和为10,其夹角的余弦是方程2x2-3x-2=0的根，求这个

三角形周长的最小值.

60.

（本小题满分13分）

如图,已知确8SG：弓+/=i与双曲线G：今-/=1

aa

(l)设e,..分别是C,.G的离心率，证明一＜I:

(2)设44是G长轴的两个端点/(%,’。)(1媪＞a)在G上，直线与G的

另一个交点为Q,直线与£的另一个交点为上证明QK平行于丫轴.

四、解答题(10题)

61.建筑-个容积为8000m3,深为6m的长方体蓄水池，池壁每m2的造

价为15元，池底每m2的造价为30元.

(I)把总造价y(元)表示为长x(m)的函数；

(H)求函数的定义域.

62.

如图.设AC_LBC./ABC=45二/ADC=60\BD=20,求AC的长.

63.建一个容积为540(hn3,深6m的长方体蓄水池，池壁每平方米的造

价为15元，池底每平方米的造价为30元.

(I)写出总造价y(元)为水池的长x(m)的函数解析式；

(II)问蓄水池的长与宽分别为多少时总造价最低.

设的败y工〃・)是定义在IT上的MiMK.并且柿足〃“)=〃，)W*

(I)求/U)的值；

(2)如果八八♦〃2T)<2,求*的取值蔺胤

64.

J知等差数列｛%｝的公差dX0,Q1="|•，且Q］,外,生成等比数列.

(I)求储」的通项公式；

(口)若｛0力的前〃项和S.=50,求〃

65.

66.

已知等比数列｛%｝的各项都是正数,且即+右=1°皿2+由=6.

(I)求｛4｝的通项公式；

(II)求｛七｝的前5项和•

67.

设数列(4｝满足m=3必/|=%.+5("为iE整数).

(I)记6.=4+55为正整数).求证数列是等比数列；

(U)求教列的通项公式.

68.

已知函数-X-2/x.

(1)求函数y=/(«)的单调区间,并指出它在各单调区间上是增函数还是减函数;

(2)求函数y=｛外在区间［0,4］上的最大值和最小值♦

69.

(本小题满分12分)

已知函数f(x)=x3+x2-5x-l。求：

⑴f(X)的单调区间；

(2)f(x)零点的个数。

已知椭圆C：£+4=l(a>b>0)的离心率为且a',2W,6'成等比数列.

a'b2

(I)求C的方程：

70.(II)设C上一点P的横坐标为I,F、、入为C的左、右也点，求△尸耳鸟的

五、单选题(2题)

27彳-1懦8=()

(A)12(B)6

71(C)3(D)l

72.已知点A(1,1),B(2,1),C(—2,3),则过点A及线段BC中点的直线

方程为()。

A.x-y+2=0B.x+y-2=0C.x+y+2=0D.x-y=0

六、单选题(1题)

碗=11,3,-2|,兄=[3,2,-2],则记为()

(A)|2,-1,-4|-4|

73(C)|2,-l,0|(D)|4,5,-4|

参考答案

1.B易知b=O=>y=kx+b经过坐标原点,而y=kx+b经过坐标原点=>b=0,

因此甲是乙的充要条件.

2.D

如图，

尹十=1,把点P(2,3)代入得

求在两条坐标轴上截距相等的方程J—1“一,’

设截距式方程为在x轴，y轴上截距为。又因为直线过点(2,3)所以

直线x+y=5和直线3x-2y=0都为过点P(2,3)且在两条坐标轴上截距相

等的直线方程.

3.D

先将3x-4y=-12转化为截距式

Ji------+*=

-12-12-43,

将1换为一工.

4.D

求全面积=侧面积+2底面积=5*3+10*2=35,应选D误选C,错误的原

因是只加了一个底面的面积。

5.D

D【解析】|1一2|47㈡-7247㈡

—5《工《9.故选D.

要会解形如|or+6|4c和|ar+6]

的不等式.这是一道解含有绝对值的不等式的问题，解这类问题关键是

要注意对原不等式去掉绝对值符号，进行同解变形.去掉绝对值符号的

①利用不等式IJrI<ia^-a<ix<Za或|川>a㈡工>

常见方法有：a或zV—a;②利

用定义;③两边平方，但要注意两边必须同时为正这一条件.

6.C

甲：AXJU）乙tax2+fez+c=0有两

个不相等的实数根.

7.C

8.B选项A中，x/5+y/5=l,在轴上截距为5.但答案不完整二•选项B中

有两个方程，y=3/2x在x轴上横截距与y轴上的纵截距都为0,也是相等

的.选项C,虽然过点（2,3）,实质上与选项A相同.选项D,转化为y=3/2x,

答案不完整.

9.D

10.B

11.B

12.D

13.A

14.B

B【解析】由对数换底公式可得噫

2s

左式*(log32)(log??2)(log?!m)

=2bg}2)(]log?2)，log：〃i)

■(logsZMIogznO.

右式wbR,4‘H2,

所以(1密2)(log?m)=2.log?m==2®3=

।嗨4

Iofe3:•故m=9.

15.A

16.B

17.B

18.D

如图，满足已知条件，直线a、b有下面两种情况

ZZZ

a//ba与&是异面直线

19.D

根据指数函数与对数函数的单调性可知,当a>b>0时，有a+>H恒成立.（答案为D）

20.C

C解析曲•北-法・42.-1川

21.B

22.C

23.B

24.C

利用三角函数的诱导公式、二角差的正弦公式及二倍角的正弦公式进

行计算求值.

1_V3,sin80.RsmK)：ainSO•二Gcos80•一2(]疝侬•一堂3nl0・)

sinlO4sin80*sinlO^sinSO"~sitdOcoslO*-sinlOcoslO

43出(80.-60.)=44020”

=4•《答案为。

25.B

该小题主要考查的知识点为对数函数与指数函数的性质.

64丁+log181=»(2,)f+

=2"手—2=16—2=14.

26.D

27.C

28.A

29.A

30.A

31.

C?+C?+c+G+G+C=2*=32.

.•.a+c+a+c+a=>32-c?=32—i=3i.(售案为3i)

32.

2阮xnu

解设过双曲线A焦点垂自于实轴的弦为：.・

即V=1.a

乂由渐近线方弗¥二士卫工.及渐近线与实轴夹角

为a•故“所以y-——--h-"-

uaa

TA,lati”，弦E为2/，tana.

【分析】人健E至w画贱的渐近娘等概/盒.

33.

2.3

34.

20.g

35.[2,+oo)

y=x+，M2=2(x>0),

当x=l时.上式等号成立.所以>e「2.+8).

松x+y-3=0

36.

巨

37.于

38.

24

~25

解析：本题考查了三角函数公式的知识点。X为第四象限角，则cosx=

2

—sinx=AVT—(\---)J/=—5,故

24

sin2x=2sinxcosx=o

39.

4

【解析】该小题主要考查的知识点为圆锥曲线的性质.

【考试指导】

由题意如”>0.抛物线y=2后的

准线为"一',双曲线苧_y=］的左焦点为

(-v/T+T,o),即(一2.0),由题意知，一£一

2

2♦p=4.

40.

・・《V31一国,

由司章如正三核他的侧内米为鼻.

M钥;净号）；♦

祭♦”■得■冬外.打和•冬.备'

24

・：/2+/21，令B=cosa,y=sina,

则X2-xjr+j2=1—cosasina=1——,

当sin2a=1时，1一片红=卷—jry+y?取到最小值J.

C»4

2

同理sx+y&2,令x=\/2cos^»^=>/2sin^,

则x2—zy+y?=2—2cos的i叩=2—sin2p,

当sin2/?=—1时，>—工y+J取到最大值3.

41.[1/2,3]

42.

今z=cosa・y=sina.

则/-Ky+y'=1—cosasina

_-in2a

一_17

sin2a

当sin2Q=1时•1

T'—J,y+y2取到最小值

同理：/+V&2.

令1=7^。尔・丁=々4叩.

则./♦xj»+v2=2-2co»psin/?=2-sin2g,

当sin2/?=一1时•/'—1y十丁’取到最大

值3.

43.

3

8

本题考查了贝努利试验的知识点。恰有2次正面向上的概率是P=

44.

7

【解析】该小题主要考查的知识点为对数函数与指数函数的计算.

_1Q

3TX3T—log10—lo&-=32—

45

(Iog<10+log，y)=9—log,16=9—2=7.

【考试指导】

3

71r

9

46.

47.

x+y=0

本题考查了导数的几何意义的知识点。根据导数的几何意义，曲线在

k=g=­i,

(0,0)处的切线斜率L0,则切线方程为y-0=1(x-

0),化简得：x+y=0o

48.arccos7/8设三边分别为2h、3h、4h(如图)，由余弦定理知

(2h)2=(3h)2+(4h)2-2x3hx4hcosa,cosa=7/8,即a=arccos7/8.

a

4h

n3z-4y.25=0

nu.

51.

(1)因为"0,所以J+eT~0,e'-e-y0.因此原方程可化为

'-产二=CO6g,①

e+e

=sin。.②

le-e

这里9为参数.①1+②5.消去参数仇得

所以方程表示的曲线是椭圆.

（2）由N.知co»'"0,sin'"0.而t为参数，原方程可化为

0-②.烟

亍-S-e-y.

<x»6&in6

因为2e'e-'=2J=2,所以方程化简为

急一3

因此方程所表示的曲线是双曲线.

（3）证由（1）知，在桶BI方程中记a?=a*'工*=.,：'）【

则J1-炉=1,c=1,所以焦点坐标为（±1,0）.

由（2）知.在双曲线方程中记『=88%.炉=6in匕

&则c；=a'+6'=l.c=l.所以焦点坐标为（±1,0）.

因此（1）与（2）中的两方程所表示的曲线有相同的焦点.

(24)解：由正弦定理可知

岑*则

2X—

心"联=旃紧皿.

SAxac=/*BCxABxsinB

■1x2(6-1)x2

=3-4

52.*1.27.

(23)解：(I)/(%)=4/-4%

"2)=24,

所求切线方程为y-11=24(#-2),即24x-y-37=0.……6分

(口)令/(外=0,解得

=-19x2=0,%3=1.

当X变化时/(幻/(幻的变化情况如下表:

X(-8,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+8)

r(x)-0♦0-0

2Z32

/(X)的单调增区间为(-1.0),(1,+8),单调减区间为(-8,-1),(0,

1).……12分

54.

f(x)=3』-6*=3x(x-2)

令/*(x)=0,傅驻点阳=0,—=2

当x<0时/(x)>0；

当0<工<2时J(w)<0

.•.工=。是汽的极大值点,极大值八°)=m

.,./(0)=m也是最大值

.♦.m=5.又/(-2)=m-20

{2)=m-4

-2)=-15JX2)=1

二函数〃外在［-2,2］上的最小值为〃-2)»-15.

55.

由已知可得A=75。，

又sin75°=sin(45°+30°)=sin450cos300+co«45,>sin300=^^--........4分

在△48C中,由正弦定理得

*_____纥-星鱼……8分

->>

9in45°~sin75°8in60'

所以AC=l6.8C=86+8.……12分

56.

由已知.椭圈的长轴长2a=20

设IPFJ=m,\PFi\=n,由椭圆的定义知.m+n=20①

又J=100-64=36,c=6,所以F,(-6,0),吊(6,0)且喝玛I=12

在△PKK中,由余弦定理得》>2+1-2皿1«»30。=12'

m'+n*-4imn=144②

m:+2mn+B1=400,③

③-②，得(2+有)nrn=256.吨=256(2-而

因此.△用■/’的面积为3"mnt»in30。=64(2-万)

由于(ax+l)'=(l+ax)7.

可见,盛开式中的系数分别为C：a‘.Cja1.Cfa4.

由巳知.2Ca'=C》'+C"

„,-7x6x57x67x6x5ij.tn

乂a>1,则art2xy,一♦a=，■+§-%,-•。.5ca-t1n0a+3=0.

57.解之，得a=红由a>l.得a=W^+l.

58.

(I)设等差数列I。」的公差为九由已知%+%=0,得

2a,+9rf=0.又巳知％=9.所以d=-2.

畋列|a.I的通项公式为a.=9-2(n-l).HPa.=11-2n.

(2)数列I。」的前n项和

S”=^*(9+1-2n)=-“'+10n=—(n-5)3+25.

当n=5时.S.取得最大值25.

59.

设三角形三边分别为a,b.c且。+&=10.则6=10-a.

方程4-3x-2=0可化为(2*+1)(-2)=0.所以”-y.*j=2.

因为a、b的夹角为夕，且1«*阴W1.所以coM=-y.

由余弦定理，得

c*=aJ+(10-a),-2a(10-a)x(-y)

=2aJ+100-20a+10a-a1=a2-10a+100

=(吁5尸+75.

因为(a-5)‘M0.

所以当a-5=0,即a=5时;,c的值最小,其值为"=56

又因为Q+b=10,所以c取得1ft小值,a+b+e也取得最小值・

因此所求为10+5A

60.证明：(1)由已知得

将①两边平方.化筒得

(%+a)Y=(A+a)L④

由②(3分别得yi=^(*o-a1).7?="T(o2~*i).

aa

代人④整理弼

a---"a5

----=-----,即unx.=一.-

a+Xjx0+a------------%

同理可得盯

Xfl

所以凡=右f0.所以。肚平行于，轴.

61.(I)设水池长xm,则宽为池壁面积为2x6(x+8000/6x),

池壁造价：15xl2(x+8000/6x),

池底造价：(8000X3)/6=40000

总造价：y=15xl2(x+8000/6x)+40000=180x+240000/x+40000(元).

(II淀义域为{x|x£R且x>0}.

62.

设如右图所示.在直角/MBC中./ABO45',

从而BC^AC^a,

在直角少以?中.NADC=60'

^^"&；=tan60.一6.从而CD=ga,

由CD=BC-HD.得到号a-tf-20.

制得a=30+10焉，即AC=30+1071

63.

<I>设水池的长为工(m)・宽为鬻(m).

池壁的面积为2X6(x+警”m3.

池壁造价为15X2X6Q+婴M元).

OX

池底的面积为挈=900《m,).

D

池底造价为30X900=27000(元).

所以总造价函数为

y=15X2X6Cr+^^)+27000

6x

=*180=+”型”+27000Q>0).

X

(U)y'=180-噂纹

令y'=0,解得了=士30(取正舍负).

当0«30时.y'VO；

当x>30时.y>0.

x=30是惟一极小值点，

即是或小值点.

所以当蓄水池的长与宽分别30(m)时.水池的总造价圾低.

64.

M(1)。*⑴・/U)・/U)・\/U)・Q

⑵,6）T.\什）MT*T>H；）*4+卜2

,•./（八♦〃27）・/1427]</什卜又由，・/（*）是富义”.」的履函数,拘.

65.

（[）%=4+〃・&=+4d,

。4

由已知得（*!"+4）=■4-（4-4-4</）,

解得"=0（舍去）■或4=].

所以的通项公式为

4=A（”-1）X1=〃一（6分）

W

（II）S.=y（a,+a.）=今由已知得m=50,

4Z

解得〃=-10（舍去）,或n=1