2020-2021学年河南省郑州市七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2020-2021学年河南省郑州市七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.下列运算正确的是（）

A.a2+a2=2a4B.（2a2）3=6«6

C.（-2a）2・〃3=4〃5D.W=0

2,小红在学习垂线时遇到了这样一个问题，请你帮她解决：如图，线段A8和CQ相交于

点。，则下列条件中能说明AB±CD的是（）

C

AOB

D

A.AO=OBB.CO=ODC.ZAOC=ZBODD.ZAOC=ZBOC

3.某校为庆祝中国共产党建党100周年举行“传承红色基因，沐浴阳光成长”歌咏比赛，

七年级8个班通过抽签决定出场顺序，七年级（1）班恰好抽到第1个出场的概率为（）

A.—B.—C.—D.—

108104

4.如图，取一张薄的正方形纸，沿对角线对折后，得到一个等腰直角三角形，再沿底边上

的高线对折，按上面方式再次对折，然后沿圆弧剪开，去掉较小部分，展开后将其平铺，

得到的图形应该是（）

C.5cm,5cm,1\cmD.14C〃2,16cm,30cm

6.如图，从边长为“的正方形中去掉一个边长为。的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成

一个长方形，上述操作能验证的等式是（）

A.(a+b)(a-b)—a2-b1B.(a-b)2—a2-2ab+b2

C.(a+b)2=a2+2ah+b2D.d1+ab=a(a+b)

7.如图，ACLBC,CD±AB,DELAC,垂足分别为C,D,E,则下列说法正确的是()

A.BC是△BCQ的高B.DE^—BC

2

C.NCEB=NABCD.是△ACQ的高

8.数学课上，小明用尺规在黑板上作/AOB的平分线，并进行简单的说理，下面是小明的

解答过程，则符号“。、©☆、㊉”代表的内容错误的是（）

已知：ZAOB.

求作：射线0C,使/AOC=/BOC.

作法：（1）以点。为圆心，在0A和02上分别截取0£>,0E,使8

（2）分别以点C,E为圆心、以纵半径作弧，两弧在NA08内交于点C；

（3）作射线OC.0C就是/AOB的平分线.

理由：（1）连接EC,DC,则EC=OC,易知△OEC也△OOC,理由☆；

（2）所以/AOC=ZBOC,理由

BB

E

©.

A.■示“OD=OE"

B.癞示“大于的长”

C.☆表示“SAS”

D.㊉表示“全等三角形的对应角相等”

9.有若干个大小形状完全相同的小长方形现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，

其中阴影部分面积为35；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积

为102（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面积为（）

D.16

10.如图①，E为长方形A8CO的边AO上一点，点P从点5出发沿折线8-E-O运动到

点。停止，点。从点8出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是Icm/s.现产,

。两点同时出发，设运动时间为x（s）,△BP。的面积为y（c〃），若y与x的对应关

系如图②所示，则a的值是（）

图①

A.32cm2B.34cm2C.36o%2D.38cm2

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.2020年9月22日，习近平主席在第七十五届联合国大会一般性辩论上发表重要讲话时

指出，中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争

于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.二氧化碳是一种碳氧化合物，

分子直径约为0.35〜0.51，"〃，用科学记数法表示0.35〃机=m.（\nm-\0

12.如图，AE//CD,若Nl=37°,ND4c=89°,则NBAE的度数=°.

13.在学习完”七巧板“相关知识后，小明所在四人数学兴趣小组，分别用边长为8厘米的

正方形制作了一幅七巧板，并合作设计了如图所示的作品，请你帮他们计算出图中圈出

来的图形的面积之和为平方厘米.

14.定义：等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值”称为这个等腰三角形的'‘优美比"，

若等腰AABC的周长为13cm,AB=5an,则它的“优美比"k=.

15.如图，在长方形A8CD中，AD=BC=5,AB=CD=12,AC=13,动点M在线段AC

上运动（不与端点重合），点M关于边A。，OC的对称点分别为Mi,Mi,连接M1M2,

点。在上，则在点M的运动过程中，线段例附2长度的最小值

16.先化简，再求值：（2。+"|孙3）4-弓孙）-（2x-y）2,其中尤=2,y--

17.如图是小明在一次野外拓展训练活动中的行动路线，从A地出发沿北偏东65。方向到

补给地8,从补给地8沿北偏西25°方向到C地与伙伴汇合，小明通过指南针确定：从

C地出发沿着与BC垂直的方向前进，就可以保持与AB的方向一致，到达目的地并

且距离最短.小明解释理由如下，请你填空.

因为CD1BC(已知)，

所以NC=90°(),

且CO最短.

因为(已知)，

所以NA+=180°().

因为NA=65°,

所以N43尸=180°-N4=115°.

因为NCBF=25°(已知)，

所以NABC=NABF-NCBF=90°.

所以NC=N4BC().

所以CD//().

18.如图，在10X10的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,网格中有直线/和线段

AB(点4、点B在格点上).

(1)作出线段AB关于直线/对称的线段A'B1；

(2)请在直线/上找到一点P,使点P到点A、8的距离之和最短(不写作法)；

(3)在(2)的条件下，若点P到A8的距离为d”点P到A'B'的距离为小，则4

d2(填“>”、"V”或“=”).

19.如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一

个边长为0.5米的正方形后，在附近闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似看

成点），记录如下：

掷小石子所落的总次数（小石子所落的50150300600

有效区域内，含边界）m

小石子落在正方形内（含正方形边上）103578149

的次数”

n：m0.2000.2330.2570.248

（1）根据如表，如果你掷一次小石子，那么小石子落在正方形内（含正方形边上）的概

率约为（精确到0.01）;

（2）当掷小石子所落的总次数加=1000时，小石子落在正方形内（含正方形边上）的次

数〃最可能为;

A.105

B.249

C.518

D.815

（3）请你利用（1）中所得概率，估计整个不规则封闭图形的面积约是多少平方米？

20.【实际问题】在拓展训练过程中，小明和组员为了完成测河宽的任务，在不能过河测量

又没有任何测量工具的情况下，设计出下面的方案：小明面向河对岸的方向站好，然后

调整帽子，使视线通过帽檐正好落在河对岸一点；然后，他转过身，保持刚才的姿态，

这时视线通过帽檐落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的方法量出自己与那

个点的距离，这个距离就是河的宽度.

【数学建模】将小明看成一条线段AB,河对岸一点为点C,自己所在岸的那个点为点

示意图如图所示，请你根据示意图帮助小明同学将问题补充完整，并解释其中的道理.

如图，如果。于点A,,那么AC=AO.

【问题解决】说明AC=4。的理由.

21.如图1,小球从光滑斜坡A8滚下，经过粗糙平路8C,再从光滑斜坡CO上坡至速度变

为0后，又沿斜坡OC滚下，经过粗糙平路CB,沿BA上坡至速度变为0,…往返运动

至小球停止.（在同一段路程中，路程S=v平均％口襁=丫开始+丫结束）

2

（1）下面的表格记录了小球第一次从点A向点。运动时，速度v与时间f的关系；那么

在3s到5s之间速度v与时间t的关系式为；

时间/（S）00.51233.544.556

速度V012465.554.540

{mis')

（2）根据表格中的数据，将速度u与时间，的关系用图象表示如图2,则图2中的点E

表示的实际意义是什么？

（3）求小球第一次在斜坡CD上滚动的最大距离.

22.(1)如图1,两条线段AO与8c相交于点0,如果N8=N£),那么NA与NC的数量

关系是,依据是;

(2)如图2,Rt^ABC中，NACB=90°,AC^BC,过点C作直线/平行于A8,在点

C的右侧取一点E,作/BEF=/ACB,射线EF交边AC于点F,交边8C于点0,BE

与EF的数量关系是,请说明理由(提示：在同一个三角形中，如果两个角

相等，那么这两个角所对的边也相等)

B

D

■B

图1图2

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.下列运算正确的是（）

A.a2+a2—2a4B.（2a2）3=6a6

C.（-2a）2.“3=4q5D./+/=0

解：A、原式=2〃2,原计算错误，故此选项不符合题意；

B、原式=8〃6,原计算错误，故此选项不符合题意；

C、原式=445,原计算正确，故此选项符合题意；

。、原式=1,原计算错误，故此选项不符合题意.

故选：C.

2.小红在学习垂线时遇到了这样一个问题，请你帮她解决：如图，线段AB和CD相交于

点O,则下列条件中能说明的是（）

.4OB

D

A.AO=OBB.CO=ODC.NAOC=NBODD.ZAOC=ZBOC

解：由。4=OB只能得出。是AB的中点，

故4选项错误，

由0C=0D只能得出O是C£＞的中点，

故B选项错误，

Z4OC和NBOD是对顶角，始终是相等的，

故C选项错误，

NAOC和NBOC互补，当/AOC=NBOC时，

/AOC=180°+2=90°，

：.CD1AB,

故选项。正确，

故选：D.

3.某校为庆祝中国共产党建党100周年举行“传承红色基因，沐浴阳光成长”歌咏比赛，

七年级8个班通过抽签决定出场顺序，七年级（1）班恰好抽到第1个出场的概率为（）

A.—B.—C.—D.—

108104

解：；七年级共有8个班，

二七年级（1）班恰好抽到第1个出场的概率为1.

故选：B.

4.如图，取一张薄的正方形纸，沿对角线对折后，得到一个等腰直角三角形，再沿底边上

的高线对折，按上面方式再次对折，然后沿圆弧剪开，去掉较小部分，展开后将其平铺,

得到的图形应该是（）

解：根据要求动手操作可知，得到的图形是选项4

故选：A.

5.下列每组数分别是三根小木棒的长度，它们首尾顺次相接能摆成三角形的是（）

A.2cm94cmB.12cvn,13cvn,20c7%

C.5cm,5cm,11cmD.14cvn,\6cm,30c7%

解：A、1+2V4,不能组成三角形，不符合题意；

13+12>20,能够组成三角形，符合题意；

C、5+5<11,不能组成三角形，不符合题意；

。、14+16=30,不能组成三角形，不符合题意；

故选：B.

6.如图，从边长为。的正方形中去掉一个边长为的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成

一个长方形，上述操作能验证的等式是（)

A.(a+b)(a-b)=a2-b2B.(a-b)2—a2-2ab+b2

C.Ca+b)2—ar+1ab+b2D.a1+ab=a(.a+h)

解：大正方形的面积-小正方形的面积=〃-b2,

矩形的面积=(a+b)(a-b),

故(a+b)(a-b)=a2-b2,

故选：A.

7.如图，ACIBC,CD±AB,DE1AC,垂足分别为C,D,E,则下列说法正确的是()

A.BC是△8C。的高B.DE^—BC

2

C.NCEB=NABCD.力E是△ACO的高

解：A.△BCD中BC是斜边，故A错误，不符合题意；

B.DE//BC,但故B错误，不符合题意；

C.ZCEB=ZA+ZABE,NABC=NCBE+NABE,

而=NBCHNCBE,

；.NCEB¥NABC,故C错误，不符合题意；

D.QE是△AC。的高，故。正确，符合题意.

故选：D.

8.数学课上，小明用尺规在黑板上作NA08的平分线，并进行简单的说理，下面是小明的

解答过程，则符号O☆、㊉”代表的内容错误的是（)

已知：ZAOB.

求作：射线0C,使NAOC=NBOC.

作法：(1)以点。为圆心，在04和OB上分别截取。。，0E,使O；

(2)分别以点。，E为圆心、以碘/半径作弧，两弧在NAOB内交于点C；

(3)作射线。C.0C就是乙40B的平分线.

理由：(1)连接EC,DC,贝ijEC=£»C,易知△(?£€■丝△OOC,理由☆；

(2)所以/AOC=ZBOC,理由

C.☆表示“SAS”

D.㊉表示“全等三角形的对应角相等”

解：作法：(1)以点。为圆心，在04和08上分别截取O。，0E,使0E=。。，

(2)分别以点D,E为圆心、以大于为半径作弧，两弧在/4。8内交于点C：

2

(3)作射线OC.0C就是/AOB的平分线.

理由：(1)连接EC,DC,则EC=£»C,易知aOEC公△OQC,理由SSS；

(2)所以/AOC=NBOC,理由全等三角形的对应角相等.

故选：C.

9.有若干个大小形状完全相同的小长方形现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，

其中阴影部分面积为35；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积

为102(各个小长方形之间不重叠不留空)，则每个小长方形的面积为()

A.4B.8C.12D.16

解：设长方形的长为“，宽为b,

由图1可得，(4+6)2-4ab=35,

即a2+b2—2ab+35®,

由图2可得，(2a+b)(a+2b)-5ab=\02,

即a2+b2=5\@,

由①②得，2〃b+35=51,

所以ab=8,

即长方形的面积为8,

故选：B.

10.如图①，E为长方形ABC。的边AO上一点，点尸从点8出发沿折线8-E-O运动到

点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是lcm/s.现P,

Q两点同时出发，设运动时间为x(s),△BPQ的面积为y(。〃2),若y与x的对应关

系如图②所示，则。的值是()

图②

A.32cm2B.34cm2C.36cm2D.33cm2

解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点P运动到点E时，x=10,y=30,

由三角形面积公式得：y得X10XAB=30,

解得AB=6f

.,M£=7BE2-AB2=V102-62=8，

由图②可知当x=12时，点P到达点C,点P在。、E之间，

.\BC=12,

：.y^a^—XBCXAB^—X12X6=36,

22

故选：C.

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.2020年9月22日，习近平主席在第七十五届联合国大会一般性辩论上发表重要讲话时

指出，中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争

于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.二氧化碳是一种碳氧化合物，

分子直径约为0.35〜0.51〃，”，用科学记数法表示335〃〃?=3.5X10'i。10

9m）

解:0.35nm=0.35X10-9m=3.5X10l0,

故答案为：3.5X10,°.

12.如图，AE//CD,若Nl=37°,ND4c=89°,则NBAE的度数=54°.

.\ZD=180o-ADAC-Zl=54",

\'AE//CD,

.•./8AE=NO=54°,

故答案为：54.

13.在学习完”七巧板“相关知识后，小明所在四人数学兴趣小组，分别用边长为8厘米的

正方形制作了一幅七巧板，并合作设计了如图所示的作品，请你帮他们计算出图中圈出

来的图形的面积之和为24平方厘米.

解：如下图所示:

所求面积为：

①②③④这四部分的面积之和

211

=8-yX8X8-yX4X4

=24（平方厘米）.

故答案为：24.

14.定义：等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值%称为这个等腰三角形的“优美比”，

若等腰△ABC的周长为13cm,AB=5cm,则它的“优美比"k=0.6或1.25.

解：当AB腰时，则底边=3cro：

此时，优美比仁•|=0.6；

当AB为底边时，则腰为4；

此时，优美比A=?=1.25；

4

故答案为0.6或1.25.

15.如图，在长方形ABC。中，AD=BC=5,AB=CD=U,AC=13,动点例在线段4c

上运动（不与端点重合），点M关于边A。，DC的对称点分别为Mi,加2,连接MIM2,

点。在MM2上，则在点M的运动过程中，线段也加2长度的最小值是—粤

解：过。作。Af_LAC于AT,连接。M,如图:

长方形ABC。中，AD=BC=5,AB=CD=T2,AC=13,

：.S^ADC^—AD-CD=—AC-DM',

22

.八"AD»CD60

..DAf=----------=-----,

AC13

关于边AO,DC的对称点分别为Mi,Mi,

：.DMi=DM=DM2,

；.MIM2=2DM,

线段M1M2长度最小即是DM长度最小，此时DM1.AC,即M与AT重合，MM:最小值

为2£>M'=3L

13

故答案为：粤.

13

三、解答题（共55分）

16.先化简，再求值：（Zx^+^-xy3）4-（/孙）-（2x-y）2,其中x=2,y=-

解：原式=2马,-V--^xy+-^xy}+-^-xy-（4x2-Axy+y1）

=4/+产-4x2+4xy-y2

=4孙，

当x=2,y=-工时，原式=4X2X（--）—-4.

22

17.如图是小明在一次野外拓展训练活动中的行动路线，从A地出发沿北偏东65°方向到

补给地8,从补给地8沿北偏西25°方向到C地与伙伴汇合，小明通过指南针确定：从

C地出发沿着与3c垂直的方向前进，就可以保持与A8的方向一致，到达目的地£>,并

且距离最短.小明解释理由如下，请你填空.

因为CDJ_BC（已知），

所以NC=90°（垂直的定义）,

且CD最短.

因为AE〃BF（已知），

所以乙4+/ABF=180°（两直线平行，同旁内角互补）.

因为/4=65。，

所以NA8F=180°-/A=115°.

因为NCBF=25°（已知），

所以NABC=NA2F-NCBF=90°.

所以NC=/A8C（等量代换）.

所以CDH48（内错角相等，两直线平行）.

A

解：因为CDLBC（已知），

所以NC=90°（垂直的定义），

因为AE〃BF（已知），

所以NA+NA8F=180°（两直线平行，同旁内角互补），

因为NA=65°,

所以NAB尸=180°-/A=115°,

因为NCBF=25°（已知），

所以NABC=NABF-NCBF=90°,

所以NC=NABC（等量代换），

所以CD〃AB（内错角相等，两直线平行）.

故答案为：垂直的定义；ZABF；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；AB；内错角

相等，两直线平行.

18.如图，在10X10的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,网格中有直线/和线段

AB（点A、点8在格点上）.

（1）作出线段AB关于直线/对称的线段A'B'；

（2）请在直线/上找到一点尸，使点尸到点A、B的距离之和最短（不写作法）；

（3）在（2）的条件下，若点尸到AB的距离为小，点P到4'B'的距离为左，则力

(3)d\—di.

故答案为=.

19.如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一

个边长为0.5米的正方形后，在附近闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似看

成点），记录如下：

掷小石子所落的总次数（小石子所落的50150300600…

有效区域内，含边界）m

小石子落在正方形内（含正方形边上）103578149…

的次数”

n：m0.2000.2330.2570.248…

（1）根据如表，如果你掷一次小石子，那么小石子落在正方形内（含正方形边上）的概

率约为0.25（精确到0.01）；

（2）当掷小石子所落的总次数〃?=1000时，小石子落在正方形内（含正方形边上）的次

数n最可能为

A.105

B.249

C.518

£).815

（3）请你利用（1）中所得概率，估计整个不规则封闭图形的面积约是多少平方米?

解：（1）观察表格得：随着投掷次数的增大，小石子落在正方形内（含正方形边上）的

频率值稳定在0.25,

所以如果你掷一次小石子，那么小石子落在正方形内（含正方形边上）的概率约为0.25；

故答案为：0.25；

（2）当掷小石子所落的总次数,"=1000时，小石子落在正方形内（含正方形边上）的次

数n最可能为1000X0.25=250,

只有249比较接近，

故答案为：B;

（3）设封闭图形的面积为。，

根据题意得：（S5）2=025,

a

解得：a=1,

估计整个不规则封闭图形的面积约是1平方米.

20.【实际问题】在拓展训练过程中，小明和组员为了完成测河宽的任务，在不能过河测量

又没有任何测量工具的情况下，设计出下面的方案：小明面向河对岸的方向站好，然后

调整帽子，使视线通过帽檐正好落在河对岸一点；然后，他转过身，保持刚才的姿态，

这时视线通过帽檐落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的方法量出自己与那

个点的距离，这个距离就是河的宽度.

【数学建模】将小明看成一条线段AB,河对岸一点为点C,自己所在岸的那个点为点。,

示意图如图所示，请你根据示意图帮助小明同学将问题补充完整，并解释其中的道理.

如图，如果A31.CD于点A,/ABD,那么AC=AO.

【问题解决】说明AC=A。的理由.

理由如下：VAB1CD,

NBAD=ABAC,

在△ABC与△48。中，

,ZABC=ZABD

■AB=AB，

ZBAC=ZBAD

.♦.△A6cg△ABO(ASA),

：.AC=AD,

故答案为：ZABC^ZABD.

21.如图1,小球从光滑斜坡AB滚下，经过粗糙平路BC,再从光滑斜坡上坡至速度变

为0后，又沿斜坡OC滚下，经过粗糙平路CB,沿射上坡至速度变为0,…往返运动

至小球停止.(在同一段路程中，路程S=v平均3.柳二♦开始+丫结束)

2

(1)下面的表格记录了小球第一次从点4向点。运动时，速度v与时间f的关系；那么

在3s到5s之间速度v与时间t的关系式为尸-/+9