等比数列的前n项和(2)课件高二上学期数学选择性

第4章数列4.3等比数列4.3.3等比数列的前n项和(2)内容索引学习目标活动方案检测反馈学习目标1.进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式．2.探究并掌握等比数列前n项和的简单性质．活动方案例1已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a≠0，a≠1)，求证：数列{an}是等比数列．活动一掌握等比数列的前n项和公式与“指数式”的关系【解析】由题意，得Sn＋1＝an＋1－1，所以an＋1＝an＋1－an＝an(a－1)，an＝an－an－1＝an－1(a－1)，所以数列{an}是等比数列．思考1►►►等比数列前n项和的一般形式是怎样的？反过来满足这种特征的数列一定是等比数列吗？【解析】等比数列前n项和的一般形式为Sn＝A＋B·qn，但满足这种特征的数列不一定是等比数列．思考2►►►等比数列前n项和公式与指数函数有什么关系？【解析】①当q＝1时，Sn＝na1是关于n的正比例函数，点(n，Sn)是直线y＝a1x上的一群孤立的点．

已知等差数列{an}、等比数列{bn}的前n项和之积为n232n＋1－2n·32n－3n2＋2n，设等差数列{an}的公差为d、等比数列{bn}的公比为q，则①a1＝－1；②d＝－6；③b1＝－8；④q＝9，其中正确的是________.(填序号)【答案】④【解析】显然等比数列{bn}不是常数列，设等差数列{an}、等比数列{bn}的前n项和分别为An2＋Bn，C－Cqn，其中A，B，C，q为常数，Cq≠0，q≠1.因为n232n＋1－2n·32n－3n2＋2n＝(－3n2＋2n)(1－9n)，即等差数列{an}、等比数列{bn}的前n项和之积为(－3n2＋2n)(1－9n)，所以(An2＋Bn)·(C－Cqn)＝(－3n2＋2n)(1－9n)，所以(CAn2＋CBn)(1－qn)＝

(－3n2＋2n)(1－9n)，所以q＝9，CA＝－3，CB＝2，所以A，B，C的值不确定，故正确的是④.例2一个等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．活动二掌握等比数列前n项和的性质【解析】设此数列的公比为q，项数为2n，所以此数列的公比为2，项数为8.

已知项数为奇数的等比数列{an}的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为(

)A.5

B.7

C.9

D.11【答案】A例3已知在等比数列{an}中，a1＝1，ak＝243，q＝3.(1)求Sk，S2k，S3k的值；(2)计算S2k－Sk及S3k－S2k，并观察数列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k有何特征．【解析】(1)由题意，得ak＝1×3k－1＝243，解得k＝6，(2)S2k－Sk＝364×729，S3k－S2k＝364×7292，所以(S2k－Sk)2＝Sk·(S3k－S2k)．

若等比数列{an}的前n项和Sn＝48，前2n项和S2n＝60，则前3n项和S3n＝________.【答案】63方法二：由Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，得(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)，即(60－48)2＝48(S3n－60)，解得S3n＝63.思考3►►►等比数列前n项，前2n项，前3n项和分别是Sn，S2n，S3n(Sn≠0)，那么Sn，S2n－Sn，S3n－S2n一定成等比数列吗？【解析】Sn＝a1＋a2＋…＋an，S2n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋a2n，S3n＝a1＋a2＋…＋a2n＋a2n＋1＋…＋a3n，所以S2n－Sn＝an＋1＋an＋2＋…＋a2n＝(a1＋a2＋…＋an)·qn，S3n－S2n＝a2n＋1＋…＋a3n＝(a1＋a2＋…＋an)·q2n，所以(S2n－Sn)2＝(a1＋a2＋…＋an)2q2n，Sn(S3n－S2n)＝(a1＋a2＋…＋an)2q2n，所以(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．例4若等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，求证：Sm＋n＝Sn＋qn·Sm.＝Sm＋n，所以Sm＋n＝Sn＋qn·Sm.思考4►►►等比数列前n项和的性质有哪些？【解析】已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则有如下性质：(1)Sm＋n＝Sn＋qnSm.若Sk，S2k－Sk，S3k－S2k(k∈N*)均不为0，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等比数列，且公比为qk.检测反馈245131.(2024扬州宝应县期末)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝5，S6＝20，则S9的值为(

)A.66 B.67C.65 D.63【答案】C245132.(2023中山一中月考)在各项均为正数的等比数列{an}中，a2，a4＋2，a5成等差数列，a1＝2，Sn是{an}的前n项和，则S10－S4的值为(

)A.1008 B.2016C.2032 D.4032【答案】B24533.(多选)(2023石家庄一中月考)关于等差数列{an}和等比数列{bn}，下列说法中正确的是(

)A.对于等差数列{an}，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aqB.对于等比数列{bn}，若am·an＝ap·aq，则m＋n＝p＋qC.若Sn为数列{an}的前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍为等差数列D.若Sn为数列{bn}的前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍为等比数列12453【答案】AC1【解析】对于A，由等差数列下标和性质可知A正确；对于B，取bn＝2，显然数列{bn}成等比数列，且b3·b4＝4＝b5·b6，而3＋4≠5＋6，故B错误；对于C，设等差数列{an}的公差为d，由(S2n－Sn)－Sn＝an＋1＋an＋2＋…＋a2n－(a1＋a2＋…＋an)＝n2d，(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝(a2n＋1＋a2n＋2＋…＋a3n)－(an＋1＋an＋2＋…＋a2n)＝n2d，得2(S2n－Sn)＝Sn＋(S3n－S2n)，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，故C正确；对于D，当等比数列{bn}的公比q＝－1时，若n为正偶数，则Sn＝0，显然Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等比数列，故D错误．故选AC.24534.在等比数列{an}中，若S2＝7，S6＝91，则S4＝________.1【解析】因为数列{an}是等比数列，且易知公比q≠－1，所以S2，S4－S2，S6－S4也构成等比数列，即7，S4－7,91－S4构成等比数列，所以(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28或S4＝－21.又S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2·(1＋q2)>0，所以S4＝28.【答案】2824535.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S6＝－7S3，且a2,1，a3成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝|an－1|，求数列{bn}的前2n项和T2n.1【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q，由S6＝－7S3，得S3＋a4＋a5＋a6＝S3＋q3(a1＋a2＋a3)＝－7S3，即(1＋q3)S3＝－7S3.又S3≠