专题06 几何初步（讲义）（解析版）

专题06几何初步核心知识点精讲1.了解直线、射线、线段的概念和性质以及表示方法，掌握三者之间的区别和联系，会解决与线段有关的实际问题；2.了解角的概念和表示方法，会把角进行分类以及进行角的度量和计算；3.掌握相交线、平行线的定义，理解所形成的各种角的特点、性质和判定；4.了解命题的定义、结构、表达形式和分类，会简单的证明有关命题；5.了解三角形有关概念（内角、外角、中线、高、角平分线），会画出任意三角形的角平分线、中线和高,了解三角形的稳定性.【知识网络】考点1、直线、射线和线段

1．直线

代数中学习的数轴和一张纸对折后的折痕等都是直线，直线可以向两方无限延伸.(直线的概念是一个描述性的定义，便于理解直线的意义).

要点诠释：1）．直线的两种表示方法：

(1)用表示直线上的任意两点的大写字母来表示这条直线，如直线AB，其中A、B是表示直线上两点的字母；

(2)用一个小写字母表示直线，如直线a.

2)．直线和点的两种位置关系

(1)点在直线上(或说直线经过某点)；

(2)点在直线外(或说直线不经过某点).

3).直线的性质：

过两点有且只有一条直线(即两点确定一条直线).2．射线

直线上一点和它一旁的部分叫做射线.射线只向一方无限延伸.

要点诠释：(1)用表示射线的端点和射线上任意一点的大写字母来表示这条射线，如射线OA，其中O是端点，A是射线上一点；

(2)用一个小写字母表示射线，如射线a.

3.线段

直线上两点和它们之间的部分叫做线段，两个点叫做线段的端点.要点诠释：

1)．线段的表示方法：

(1)用表示两个端点的大写字母表示，如线段AB，A、B是表示端点的字母；

(2)用一个小写字母表示，如线段a.

2)．线段的性质：

所有连接两点的线中，线段最短(即两点之间，线段最短).

3)．线段的中点：

线段上一点把线段分成相等的两条线段，这个点叫做线段的中点.

4)．两点的距离：

连接两点间的线段的长度，叫做两点的距离.

考点2、角

1．角的概念：

(1)定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，两条射线分别叫做角的边.

(2)定义二：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角.射线旋转时经过的平面部分是角的内部，射线的端点是角的顶点，射线旋转的初始位置和终止位置分别是角的两条边.

要点诠释：1）．角的表示方法：

(1)用三个大写字母来表示，注意将顶点字母写在中间，如∠AOB；

(2)用一个大写字母来表示，注意顶点处只有一个角用此法，如∠A；

(3)用一个数字或希腊字母来表示，如∠1，∠.

2）．角的分类：

(1)按大小分类：

锐角----小于直角的角(0°＜＜90°);

直角----平角的一半或90°的角(=90°);

钝角----大于直角而小于平角的角(90°＜＜180°);

(2)平角：一条射线绕着端点旋转，当终止位置与起始位置成一条直线时，所成的角叫做平角，平角等于180°.

(3)周角：一条射线绕着端点旋转，当终止位置又回到起始位置时，所成的角叫做周角，周角等于

360°.

(4)互为余角：如果两个角的和是一个直角(90°)，那么这两个角叫做互为余角.

(5)互为补角：如果两个角的和是一个平角(180°)，那么这两个角叫做互为补角.

3）．角的度量：

(1)度量单位：度、分、秒；

(2)角度单位间的换算：1°=60′，1′=60″(即：1度=60分，1分=60秒)；

(3)1平角=180°，1周角=360°，1直角=90°.

4）．角的性质：

同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等.

2．角的平分线：

如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的平分线.

考点3、相交线

1．对顶角

(1)定义：如果两个角有一个公共顶点，而且一个角的两边分别是另一角两边的反向延长线，那么这两个角叫对顶角.

(2)性质：对顶角相等.

2．邻补角

(1)定义：有一条公共边，而且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角.

(2)性质：邻补角互补.

3．垂线

（1）定义：当两条直线相交所得的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线是互相垂直的，它们的交点叫做垂足.垂直用符号“⊥”来表示.

要点诠释：

①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.

(2)点到直线的距离定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.

4．同位角、内错角、同旁内角

(1)基本概念：两条直线(如a、b)被第三条直线(如c)所截，构成八个角，简称三线八角，如图所示：∠1和∠8、∠2和∠7、∠3和∠6、∠4和∠5是同位角；∠1和∠6、∠2和∠5是内错角；∠1和∠5、∠2和∠6是同旁内角.

(2)特点：同位角、内错角、同旁内角都是由三条直线相交构成的两个角.两个角的一条边在同一直线(截线)上，另一条边分别在两条直线(被截线)上.

考点4、命题、定理、证明

1．命题：

(1)定义：判断一件事情的语句叫命题.

(2)命题的结构：题设+结论=命题；

(3)命题的表达形式：如果……那么……；若……则……；

(4)命题的分类：真命题和假命题；

(5)逆命题：原命题的题设是逆命题的结论，原命题的结论是逆命题的题设.

2．公理、定理：

(1)公理：人们在长期实践中总结出来的能作为判断其他命题真假依据的真命题叫做公理.

(2)定理：经过推理证实的真命题叫做定理.

3．证明：

用推理的方法证实命题正确性的过程叫做证明.

【题型1：直线、射线及线段】【典例1】如图所示，关于线段、射线和直线的条数，下列说法正确的是()A．五条线段，三条射线B．一条直线，三条线段C．三条线段，两条射线，一条直线D．三条线段，三条射线【答案】C【详解】试题分析：由直线、射线及线段的定义、图形知：本图形有：线段AB、BC、CA；射线AD、AE；直线DE．即有三条线段，两条射线，一条直线．故选C．考点：直线、射线、线段．1．线段AB＝5㎝，BC＝2㎝，则A、C两点间的距离为（）A．7 B．3㎝C．7㎝或3㎝ D．不小于3㎝且不大于7㎝【答案】D【详解】此题考查了两点间的距离此题并没有说A，B，C是否共线，若共线，则是7cm或3cm，若不共线，则构成一个三角形，第三边大于两边之差，小于两边之和．∵线段AB=5cm，BC=2cm，∴可知A、C两点间的距离不小于3cm且不大于7cm，故选D．2．已知线段，在直线上取一段点，恰好使，点为线段的中点，则的长为（

）A．7或10 B．6或10 C．7 D．9【答案】A【分析】由于P点的位置不确定，故需要分类讨论；【详解】当点P在线段AB上时，如图所示，∵，，∴，，∵点为线段的中点，∴，∴；当点P在线段AB的延长线上时，如图所示，∵，，∴，∵点为线段的中点，∴，∴，当点P在线段AB的反向延长线上时，不成立；故AQ=7或10；故答案选A．【点睛】本题主要考查了两点间的距离，准确分析计算是解题的关键．3．下列四种说法：①从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；②连结两点的连线的长度，叫做两点间的距离；③已知线段AB＝5cm，AC＝3cm，线段BC长不可能为3cm；④若锐角的补角和锐角的余角互补，则和互余（

）A．①④ B．②③ C．①③ D．①②④【答案】A【分析】根据点到直线的距离的定义判断①；两点间的距离的定义判断②；分别讨论C点的位置，来判断③；根据余角定义和补角定义推出∠α与∠β的关系判断④．【详解】①对，从直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫做点到直线的距离；②错，连接两点的线段的长度，叫做两点间的距离；③错，若A、B、C三点不在同一条直线上，此时线段BC长可能为3cm；④对，锐角的补角为，锐角的余角为，∵的补角与的余角互补，，∴，即与∠β互余．故选：A．【点睛】本题主要考查了直线和线段的性质，两点间的线段叫做两点的距离，补角和余角的定义，解答此类题目时，要耐心的对每一项进行判断，最后选出正确选项．【题型2：余角、补交的概念角】【典例2】一个角的度数是42°46′，则它的余角的度数为（）A．47°14′ B．47°54′ C．57°14′ D．37°54′【答案】A【分析】根据余角的定义直接求解即可．【详解】解：根据题意可得：90°-42°46′=47°14′，故选：A．【点睛】题目主要考查余角的定义、度分秒的换算及角度的计算，熟练掌握余角的计算方法是解题关键．1．把8.32°用度、分、秒表示正确的是（

）A．8°3′2″ B．8°30′2″ C．8°19′12″ D．8°19′20″【答案】C【详解】试题分析：易知度分秒为60进制．故0.32°=0.32×60=19.2′，保留19′，继续将0.2′=0.2′×60=12″．故8.32°用度、分、秒表示8°19′12″．选C．考点：度数点评：本题难度较低，主要考查学生对度数的运算学习．2．赵师傅透过放大倍的放大镜从正上方看的角，则通过放大镜他看到的角等于（

）度．A． B． C． D．【答案】A【分析】根据角的含义“由一点引出的两条射线所围成的图形，叫做角”可知：角的大小跟边的长短无关，跟两边叉开的大小有关，由此解答即可．【详解】∵放大镜只能改变物体的大小，而不能改变物体的形状，∴透过放大5倍的放大镜从正上方看的角，则通过放大镜他看到的角为．故选A．【点睛】此题考查了角的概念，掌握角的大小跟边的长短无关，跟两边叉开的大小有关是解题关键．3．一个角等于它的补角的5倍，那么这个角的补角的余角是（

）A．30° B．60° C．45° D．150°【答案】B【分析】设这个角为x，则补角为，根据题意列方程求解即可．【详解】解：设这个角为x，则补角为，由题意可得：，解得：，则补角为，∴补角的余角为：，故选：B．【点睛】本题考查了补角，若两个角的和等于180°，则这两个角互补，列方程求出这个角是解题的关键．【题型3：角的大小计算】【典例3】如图，∠AOB＝90°，OD，OE分别是∠AOC与∠BOC的平分线，则∠DOE等于（）A．15° B．30° C．45° D．60°【答案】C【分析】根据角平分线的定义和性质分析解答即可.【详解】∵OD，OE分别是∠AOC与∠BOC的平分线．∴∠COD＝∠COA，∠EOC＝∠BOC∴∠DOE＝∠EOC+∠COD＝（∠BOC+∠AOC）＝∠AOB＝45°．故选C【点睛】角平分线的定义和性质是本题的考点，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键.1．如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若，则________．【答案】45°【分析】从图可以看出，∠BOC的度数正好是两直角相加减去∠AOD的度数，从而问题可解．【详解】解：∵∠AOB=∠COD=90°，∠AOD=135°，∴∠BOC=∠AOB+∠COD-∠AOD=90°+90°-135°=45°．故答案为：45°．【点睛】此题主要考查学生对角的计算的理解和掌握，解答此题的关键是让学生通过观察图示，发现几个角之间的关系．2．如图，O为直线AB上任意一点，射线OE⊥OF，∠BOC=2∠COE，且∠AOF的度数比∠COE的度数的4倍小8°，则∠EOC的度数为________．【答案】14°【分析】设∠EOC=x，根据题意将∠BOC和∠AOF，利用平角的定义建立方程，解出答案即可．【详解】设∠EOC=x，∵∠BOC=2∠COE=2x，∠AOF的度数比∠COE的度数的4倍小8°，∴∠AOF=4x-8°，∵OE⊥OF，∴∠EOF=90°，∵∠AOF+∠EOF+∠EOC+∠BOC=180°，∴（4x-8°）+90°+x+2x=180°，∴x=14°，故答案为：14°．【点睛】本题考查了角的和差倍分，设未知数建立方程是本题的关键．3．如图，OM是的平分线，射线OC在内，ON是的平分线，若，则的度数为_____________．【答案】【分析】根据角平分线的定义得到∠CON＝∠BON,∠AOM＝∠BOM＝2x＋y，根据角的和差即可得到结论．【详解】解：∵ON平分∠BOC，∴∠CON=∠BON，设∠CON=∠BON=x，∠MOC=y，则∠BOM=∠MOC+∠BOC=2x+y，又∵OM平分∠AOB，∴∠AOM=∠BOM=2x+y∴∠AOC=∠AOM+∠MOC=2x+y+y=2(x+y)，∵∠AOC=54°，∴2(x+y)=54°，∴x+y=27°∴∠MON=∠MOC+∠NOC=x+y=27°．故答案为：．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和图中各角之间的和差关系，解题的关键是找出图中各角之间的和差关系．【题型4：按要求作图】【典例4】如图，小明上学从家里A到学校B有①、②、③三条路线可走，小明一般情况下都是走②号路线，用几何知识解释其道理应是_____________．【答案】两点之间线段最短【详解】试题分析：本题考查了线段的性质，熟记两点之间线段最短是解题的关键．考点：线段的性质：两点之间线段最短1．如图，已知线段与、两点，用圆规和无刻度的直尺按下列要求画图并计算：（1）画直线、射线；（2）延长线段至点，使（保留作图痕迹）；（3）若，，点为线段中点，求线段和线段的长．【答案】图形见详解；图形见详解；，.【分析】（1）画直线需要画线时超出、点，画射线时点为端点，不可超出点；（2）以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于，可以得.（3）由,，可解线段和线段的长.【详解】解：（1）如图所示，直线、射线为所求.（2）如下图所示，点E为所求点.（3），即线段的长为，，即线段的长为.【点睛】本题考查直线、射线的定义及画法，线段长度的计算，用尺规作图的方法，需要注意的是画射线时，一个端点不可出头.2．如图，已知线段AB，按下列要求完成画图和计算：（1）延长线段AB到点C，使BC＝3AB（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，如果点D为线段BC的中点，且AB＝2，求线段AD的长度；（3）在以上的条件下，若点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向点C移动，到点C时停止．设点P的运动时间为t秒，是否存在某时刻t，使得PB＝PA﹣PC？若存在，求出时间t：若不存在，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）5；（3）时间t为2．【分析】（1）延长线段AB到点C，使BC＝3AB即可；（2）在（1）的条件下，如果点D为线段BC的中点，且AB＝2，即可求线段AD的长度；（3）在以上的条件下，若点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向点C移动，到点C时停止．设点P的运动时间为t秒，是否存在某时刻t，使得PB＝PA﹣PC？即可求出时间t．【详解】解：（1）如图所示：延长线段AB到点C，使BC＝3AB；（2）∵AB＝2，∴BC＝3AB＝6，∴AC＝AB+BC＝8，∵点D为线段BC的中点，∴BD＝BC＝3，∴AD＝AB+BD＝5．答：线段AD的长度为5；（3）点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向点C移动，到点C时停止．设点P的运动时间为t秒，则PB＝|t﹣2|，PA＝t，PC＝8﹣t，PB＝PA﹣PC即|t﹣2|＝t﹣（8﹣t）解得t＝2或（舍去）．答：时间t为2．【点睛】本题考查作图－基本作图、两点间的距离，掌握尺规作图的方法和各线段之间的比例关系是解题的关键．1．若，则的余角等于_____________．【答案】/69度【分析】根据余角的性质，即可求解．【详解】解：∵，∴的余角等于．故答案为：【点睛】本题主要考查了余角的性质，熟练掌握互为余角的两个角的和等于是解题的关键．2．已知，，请你比较它们的大小：_______（填“”、“”或“”）【答案】＜【分析】根据度分秒之间的换算，先把∠B的度数化成度、分、秒的形式，再根据角的大小比较的法则进行比较，即可得出答案．【详解】解：∵∠B=33.4°=33°24'．∴∠A=33°18'＜∠B=33.4°=33°24'，故答案为：＜．【点睛】此题考查了角的大小比较，先把∠B的度数化成度、分、秒的形式，再进行比较是本题的关键．3．比较大小：______（填“＞”、“＜”或“＝”）．【答案】＜【分析】将化为，再进行比较即可得出答案．【详解】解：，，，即，故答案为：＜．【点睛】本题考查度、分、秒换算，掌握度、分、秒的换算方法是得出正确的前提．4．在墙上固定一根木棒时，至少需要两根钉子，这其中所体现的“基本事实”是__________．【答案】两点确定一条直线．【分析】由于两点确定一条直线，所以在墙上固定一根木条至少需要两根钉子．【详解】解：在墙上固定一根木条至少需要两根钉子，依据的数学道理是两点确定一条直线．故答案为两点确定一条直线．【点睛】此题主要考查了直线的性质，熟记直线的性质是解题的关键．5．点C是线段AB上一点，BC=4厘米，D是AC的中点，DB=7厘米，则AB=__________厘米．【答案】10【分析】由已知点C是线段AB上一点，D是AC的中点，则AD=CD，又有BC=4cm，BD=7cm，则CD=AD=3，从而求得AB．【详解】∵D是AC的中点，∴AD=CD,又∵BC=4cm，BD=7cm，∴CD=AD=3，则AB=BD+AD=7+3=10(cm),故答案为10.【点睛】考查线段上两点的距离，掌握中点的定义是解题的关键.6．计算：72°35′÷2+18°33′×4【答案】【详解】解：72°34′÷2＋18°33′×4=36°17′+72°132′=108°149′=110°29′．故答案为110°29′．点睛：此题主要考查度、分、秒的转化运算，属于基础题，相对比较简单，注意以60为进制，要一步一步运算，不要急于求成．8.如图，点在同一直线上，平分，若．(1)求的度数；(2)若平分，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了角平分线的定义、几何图中角度的计算，熟练掌握角平分线的定义是解此题的关键．（1）由角平分线的定义可得，再根据进行计算即可；（2）由角平分线的定义可得，再由进行计算即可．【详解】（1）解：∵点在同一直线上，平分，，；（2）解：平分，，．1．问题提出：如图1，A、B、C、D表示四个村庄，村民们准备合打一口水井．(1)问题解决：若水井的位置现有P、Q两种选择方案．点P在线段上，点Q在线段上，哪一种方案的水井到各村庄的距离总和较小？请说明你判断的理由．(2)你能给出一种使水井到各村庄的距离之和最小的方案吗？若能，请图2中标出水井的位置点M，并说明理由．问题拓展：如果（2）问中找出的水井经过招标，由两个工程队修建（不存在同时修建）．已知甲工程队单独完成需要80天，乙工程队单独完成需要120天，且甲工程队比乙工程队每天多修建．(3)问水井要修建几米？(4)若甲工程队每天的施工费为0.5万元，乙工程队每天的费用是0.25万元，为了缩短工期和节约资金，则甲工程队最多施工几天才能使工程款不超过35万元？（甲、乙两队的施工时间不足一天按一天算）．【答案】(1)选点P，理由见解析(2)见解析(3)120米(4)40天【分析】（1）先分别测量点P、Q到A、B、C、D的距离，然后求和比较即可；（2）如图：连接，当打井的位置选在和的交点，根据“两点之间线段最短”即可解答；（3）设乙工程队每天修建x米，则甲工程队每天修建米，然后列一元一次方程求解即可；（4）设甲工程队最多施工m天才能使工程款不超过35万元，然后列关于m的一元一次方程求解即可．【详解】（1）解：选P，理由如下：如图：P到A、B、C、D的距离之和为：Q到A、B、C、D的距离之和为：经测量所以点P到各村庄的距离总和较小，故选P．（2）解：如图：连接，当打井的位置选在和的交点时，水井到各村庄的距离之和最小，根据“两点之间线段最短”．（3）解：设乙工程队每天修建x米，则甲工程队每天修建米可列方程：，解得.所以水井要修建120米．（4）解：设甲工程队最多施工m天才能使工程款不超过35万元可列方程：，解得所以，甲工程队最多施工40天才能使工程款不超过35万元．【点睛】本题主要考查了线段的测量、线段的性质、一元一次方程的应用等知识点，审清题意、找到等量关系是解答本题的关键．2．【感悟体验】如图1，A、B、C三点在同一直线上，点D在线段的延长线上，且，请仅用一把圆规在图中确定D点的位置．【认识概念】在同一直线上依次有四点，且，那么称与互为“对称线段”，其中为的“对称线段”，亦为的“对称线段”．如图2，下列情形中与互为“对称线段”的是________（直接填序号）．①，；②，，；③，．【运用概念】如图3，与互为“对称线段”，点M为的中点，点N为的中点，且．（1）若，求的长；（2）在的长度可以变化的情况下，试说明与互为“对称线段”．【拓展提升】（3）如图4，在同一直线上依次有A、B、C、D四点，且（a为常数），点M为的中点，点N在上且．是否存在m的值使得的长为定值？若存在，请求出m的值以及这个定值（用含a的代数式表示）；若不存在，请说明理由．【答案】一、感悟体验：见解析；二、认识概念：③；三、运用概念：（1）；（2）见解析；四、拓展提升：存在时，可使的长为定值，且【分析】本题以新定义题型为背景，重点考查了线段的和差关系，找准线段之间的关系是解题关键．一、感悟体验：以点为圆心，长为半径画弧即可；二、认识概念：分别求出即可判断；三、运用概念：由中点的定义得，，根据即可求解；四、拓展提升：设，则，，；根据即可求解．【详解】解：一、感悟体验：如图所示：点D即为所求：二、认识概念：①∵，，∴②∵，，∴∴③∵∴即：故答案为：③三、运用概念：∵点M为的中点，∴∵点N为的中点，∴∵∴∵与互为“对称线段”，∴∴即：∴（1）（2）由以上解析可知，∴与互为“对称线段”．四、拓展提升：设，∵且，∴，，∵点M为的中点，∴∵点N在上且，∴∵∴整理得：∴当，即时，可使的长为定值且3．“时钟里的数学问题”：时钟是我们日常生活中常用的生活用品，钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，如图1，表盘中1－12均匀分布，分针60分钟转动一周是，时针60分钟移动一周的是，这样，分针转速为每分钟转6度，时针转速为每分钟转度．【课题学习】三点二十分时，时针与分针所成角度多少度？解决这个问题，可以先考虑三点整，时针与分针所成角度为；从三点到三点二十分，我们可以先计算分针转动的角度，，时针转动的角度，，，三点二十分时，时针与分针所成角度是，【问题解决】(1)三点三十分时，时针与分针所成角度是______，三点四十分时，时针与分针所成角度是______；(2)如图2，十二点钟时，时针与分针重合，在十二点钟到十三点钟之间，小明发现存在着时针和分针垂直的情况，请求出具体的时刻：(3)当时针和分针所成角度为时形成一条直线，这条直线刚好平分钟面，我们将这样的时刻称为“美妙时刻”，如图3，六点整就是一个美妙时刻，从0时到24时共______个美妙时刻．【答案】(1)75；130(2)在或时，时针与分针垂直(3)22【分析】本题考查了钟面角的计算、一元一次方程的应用：（1）先求出从三点开始分针旋转的角度，再求出时针旋转的角度，利用最终差值公式即可求解；（2）设从十二点开始过了分钟时针与分针垂直，最终差值可以是或，分类讨论：当最终差值为时，当最终差值为时，利用最终差值公式即可求解；（3）再次到达美妙时刻时，相当于分针比时针多旋转一周，时针每分钟旋转，分针每分钟旋转，则时针每分钟少旋转，则可求得下一个美妙时刻所经过的时间为分，再利用一天的时间除以下一个美妙时刻所经过的时间即可求解；熟练掌握题干中钟面角的最终差值的计算方法是解题的关键．【详解】（1）解：三点整时，时针与分针所成的角为，从三点到三点三十分，分针所转的角度是，时针所转的角度为，三点三十分时，时针与分针所成角度是，三点到三点四十分时，分针所转的角度是，时针所转的角度为，三点三十分时，时针与分针所成角度是，故答案为：75；130．（2）设从十二点开始过了分钟时针与分针垂直，由题意得：分针旋转角度（初始角度时针旋转角度）最终差值，当时针与分针垂直时，最终差值可以是或，当最终差值为时，，解得：，当最终差值为时，，解得：，综上所述，在或时，时针与分针垂直．（3）再次到达美妙时刻时，相当于分针比时针多旋转一周，时针每分钟旋转，分针每分钟旋转，则时针每分钟少旋转，到达下一个美妙时刻需要的时间为分，一天有分钟，，即一天有22个美妙时刻，故答案为：22．4．如图，A，O，B三点在同一直线上，∠BOD与∠BOC互补．（1）试判断∠AOC与∠