人教版初中数学2023-2024学年八年级下学期课时培优练习 18.2特殊的平行四边形

人教版初中数学2023-2024学年八年级下学期课时培优练习18.2特殊的平行四边形一、选择题1．如图，在矩形ABCD中，O为AC的中点，过点O作AC的垂线，分别交DC于点F，交AB于点E，G是AE的中点，且∠AOG=30°，有下列结论：①DC=3OG；②OG=BC；③连结AF，CE，四边形AECF为菱形；④其中正确的是（）A．②③ B．③④ C．①②④ D．①③④2．如图，矩形中，为的中点，过点的直线分别与，交于点，，连接交于点，连接，．若，，则下列结论：①，；②；③四边形是菱形；④．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43．如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB＝60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为（）A．2+2 B．4 C．4 D．64．如图，在中，，，，点为边上一动点，于，于，点为中点，则的最小值为（）A． B． C． D．5．在正方形中，点E、F在对角线上，，若点E、F是的三等分点，点P在正方形的边上从点A开始按逆时针方向运动一周，直至返回点A，则此过程中满足为整数的点P个数为（）A．38 B．36 C．20 D．226．如图，在正方形中，已知点是线段上的一个动点（点与点不重合），作交于点．现以，为邻边构造平行四边形，连接，则的最小值为（）A． B． C． D．7．如图，以直角三角形的斜边为边在三角形的同侧作正方形，正方形的对角线，相交于点，连接，如果，，则正方形的面积为（）A．20 B．22 C．24 D．268．如图，在平行四边形中，、分别为边、的中点，是对角线，，交的延长线于，连接，若．下列结论：①；②四边形是菱形；③；④．其中正确的是（）A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④9．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”得到正方形与正方形，点O为对角线的中点，过点O，分别交，于点M，N，若，，连．则的值为（）A． B． C． D．10．如图，在正方形ABCD中，延长DC至点，以CG为边向下画正方形CEFG.延长AB交边FG于点，连结CF，AF分别交AH，CE于点，，在清朝四库全书的《几何通解》中，利用此图得到了：.若，且正方形ABCD与CEFG的面积之和为68，则AH的长为（）

A． B． C． D．二、填空题11．正方形ABCD的边长为2，如图1，点E，F均在正方形内部，且BE=EF=FD，∠E=∠F=90°，则BE的长为；如图2，点G，H，I，J，K，L均在正方形内部，且BG=GH=HI=IJ=JK=KL=LD，∠G=∠H=∠I=∠J=∠K=∠L=90°，则BG的长为.12．如图，定义：若菱形AECF与正方形ABCD的两个顶点A，C重合，另外两个顶点E，F在正方形ABCD的内部，则称菱形AECF为正方形ABCD的内含菱形.若正方形的周长为16，其内含菱形的边长是整数，则内含菱形的周长为；若正方形的面积为18，其内含菱形的面积为6，则内含菱形的边长为.13．如图，正方形的边长为，点，分别在，上若，，则的长为．14．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为BC的中点，F为DE上一动点，P为AF中点，连接PC，则PC的最小值是.15．已知直线的解析式为，菱形，，，…按图所示的方式放置，顶点，，，，…均在直线上，顶点，，，…均在轴上，则点的坐标是．三、解答题16．如图，在平行四边形ABCD中，AD=9cm，CD=cm，∠B=45°，点M，N分别以A，C为起点，以1cm/s的速度沿AD，CB边运动，设点M，N运动的时间为ts(0≤t≤6)．．（1）求BC边上的高AE的长度．（2）连结AN，CM，当t为何值时，四边形AMCN为菱形？（3）作MP⊥BC于点P，NQ⊥AD于点Q，当t为何值时，四边形MPNQ为正方形？17．如图，在▱ABCD中，AB=6cm，BC=10cm，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线相交于点F，连结CE，DF.（1）求证：四边形CEDF是平行四边形.（2）①当AE=cm时，四边形CEDF是菱形，请说明理由.②当AE=cm时，四边形CEDF是矩形，请说明理由.18．如图，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连结DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连结CG.（1）求证：矩形DEFG是正方形.（2）若求CG的长.（3）当时，求∠EFC的度数.19．在四边形中，，对角线平分，点为边上一点，连接交于点，．（1）如图，求证：四边形是菱形；（2）如图，点在上，，交于点，于点，若，求证：．（3）如图，在的条件下，为的中点，点在上，点在上，连接，，，，若，求线段的长，20．如图，正方形的边都在坐标轴上，点的坐标为，将正方形绕点顺时针旋转，得到正方形，交线段于点，的延长线交线段于点，连接，．（1）求证：；（2）求的度数；（3）当时，求点的坐标；（4）在（3）的条件下，直线上是否存在点，使以点，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在请直接写出点的坐标；若不存在请说明理由．

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：∵EF⊥AC，G是AE的中点，∴AG=OG=GE，∴∠OAE=∠AOG=30°，在直角△ABC中，∠CAB=30°，∴BC=AC=OC，设BC=a，AC=2a，在中，由勾股定理得：，在直角△AOE中，∠EAO=30°，AO=OC=a，

解三角形得：OE=，AE=，∴OG=，

∴CD=AB=3OG，故①正确；OG=≠a=BC，故②错误；连接AF、CE，∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠DCA=∠BAC，在△FOC与△EOA中，，∴△FOC△EOA，∴OE=OF，又∵AO=OC，EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形，故③正确；∵=，=a•a=，∴=，故④正确，综上所述，结论正确的是①③④.故答案为：D.【分析】根据条件，OG是直角△AOE斜边上的中线，且△FOC△EOA，设BC=a，AC=2a，AO=OC=a，然后在直角三角形ABC中利用勾股定理求出，解直角三角形AOE，得AE=，根据直角三角形性质可得OG=，即可判断①正确；OG=≠a=BC，故②错误；根据对角线互相垂直平分，即可判断③正确；根据三角形、矩形的面积公式，即可判断④正确，即可得解.2．【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形

∴OB=OC，

∵∠COB=60°，

∴是等边三角形，∠FCO=∠FOC

∴∠COB=∠OCB=∠CBO=60°

∴∠FCO=∠FOC=30°

∴EF⊥OB

∴OM=CM，FB⊥OC，所以①正确；

由①可知，FB平分∠OBC，∠BOE=∠BCD=90°

∴∠CBO=∠MBC=30°

又∵是等边三角形

∴OB=BC

∴，所以②错误；

∵FO=FC=OE，∠FOC=∠EOA

∴

∴AE=CF

∴DF=BE

又∵DC//BE

∴四边形是平行四边形

∵

∴BE=BF

∴四边形是菱形，所以③正确；

设OE=x，则在含30°角的中，可得BE=2x

∴BO==

又在含30°角的中，可得OM=BO=

∴MB==∴MB：OE=：x=3∶2，所以④正确.

所以正确答案为：①③④.

故答案为：C.

【分析】根据矩形的性质，得出OB=OC，∠BCD=90°；

根据线段的垂直平分线的性质，可得OM=CM，FBOC；

根据等边三角形的判定和性质，得出；

根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形；

根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，得出四边形是菱形；

根据含30°角的直角三角形的性质，30°角的直角三角形斜边是30°角的对角的2倍，以及勾股定理可以得出MB和OE的值，最后算出MB：OE的值即可.3．【答案】A【解析】【解答】连结BD、DE，如图

∵BE的长度固定，

∴要使△PBE的周长最小只需要PB+PE的长度最小即可

∵四边形ABCD是菱形

∴AC与BD互相垂直平分

∴P′D=P′B

∴PB+PE的最小长度为DE的长

∵菱形ABCD的边长为4，E为BC的中点，∠DAB=60°

∴△BCD是等边三角形，AE⊥BC

又∵菱形ABCD的边长为4

∴BD=4，BE=2，DE=2

∴DE=

=

=2

∴△PBE的最小周长=BE+DE=2+2

故答案为：A.

【分析】连结BD、DE，因为BE的长度固定，所以要使△PBE的周长最小，只需要PB+PE的长度最小即可；由菱形的性质可得AC与BD互相垂直平分，进而得到PB+PE的最小长度为DE的长，根据勾股定理求出DE的长，进而可求出△PBE的最小周长。4．【答案】A【解析】【解答】解：在△ABC中，AC=6BC=8AB=10

∴AC2+BC2=AB2

∴∠ACB=90°

连接CD，

∵DE⊥ACDF⊥BC

∴四边形EDFC是矩形

∴EF=CD∠EDF=90°

∵点P是EF的中点

DP=EF=CD

当CD最小时，则DP最小，根据垂线段最短可知当CD⊥AB时，则CD最小，

∴DP=EF=CD=2.4故答案为：2.4.

【分析】连接CD，由矩形的性质知：EF=CD，∠EDF=90°，由直角三角形斜边中线的性质得出DP=EF=CD，当CD最小时，则DQ最小，在当CD⊥AB时，则DP最小，再根据三角形的面积为定值即可求出DP的长。5．【答案】A【解析】【解答】解：∵正方形ABCD中，AC-18，点E、F是AC的三等分点，

∴AE=EF=CF=6，∠BAC=45°，

当点P与点A重合时，PE+PF=6+12=18，满足题意；

当P在AB上时，作点E关于AB的对称点E'，

如图

则：PE+PF=PE'+PF≥E'F，

∴当点E'，P，F三点共线时，PE+PF取得最小值，

∵点E关于AB的对称点E'，

∴AE'=AE=6，PE'=PE，AB⊥E'E，

∴∠E'AB=∠EAB=45°，

∴∠E'AE=90°，

∴；

如图所示，当点P与点B重合时，连接BD交AC于点O，

则：OB=OA=9，OE=OA-AE=3，

∴，

同理：，

∴，

∴点P在AB上运动时，，

∴当点P在AB上运动时，满足题意的点有10个(包括A点)，

由对称性可知，在正方形的四边上符合题意的点有：4×9+2=38个.故答案为：A.

【分析】本题主要考查正方形的性质，利用轴对称、勾股定理等相关知识解答，求出在线段AB上一共有10个符合条件的点，再利用正方形的对称性即可求解.6．【答案】B【解析】【解答】解：过E作EH⊥AB，交AB延长线于H，延长DC、BE交于F，如下图：∵四边形PECQ为平行四边形，

∴

∴

∵四边形ABCD为正方形，

∴

∵，

∴

在和中

∴

∴

∴

∵

∴

∴，

∴

∴

∴

∴

∴点E在角平分线上运动，

∵

∴

∴当点E在角平分线上运动时，有最小值为45°，

即的最小值为45°

故答案为：B.

【分析】结合已知条件利用“ASA”证明：，得到：再利用“AAS”证明：，得到：可证明点E在角平分线上运动，即可求解.7．【答案】D【解析】【解答】解：过O点作OF⊥OC，交BC于F，BC和OA的交于点H，

∵在三角形ACH和三角形BHO中，(正方形对角线互相垂直)

且(对顶角相等)

∴(等角的余角相等）

在三角形COF和三角形HOB中，

∵

∴(同角的余角相等）

在三角形ACO和三角形BFO中

∴≌(ASA)

∴OC=OFAC=BF

又在直角三角形COF中，

​​​​​​∴BC=BF+CF=1+4=5

∴正方形的面积=

故答案为：D

【分析】正方形的面积是边长的平方，等于AC和BC的平方和。当前AC已知，求BC即可。由当前已知条件很难求得BC。已知的2条线段没有直接的和差倍半关系，我们想到旋转或平移试试。显而易见，OA=OB，故尝试过O点作OF垂直OC，交BC于F，这样把OC旋转至OF，CF可求，AC移动到BF，至此BC可求。8．【答案】B【解析】【解答】①易得DF与BE平行且相等，四边形BEDF是平行四边形，DE∥BF，①正确

②AD⊥BD，且E为边AB的中点，DE=12AB=BE，∴平行四边形BEDF是菱形，②正确

③等底等高的三角形面积相等，易得AD=GB=BC，∴S△BFG=S△BFC连接EF，由①②的结论可知

S△BFC=14S▱ABCD，∴S△BFG=S△BFC=14S▱ABCD，③正确

④假设FG⊥AB，∴FG⊥DC，由上面证明可知点B是斜边CG的中点，∴FB=BG=BC(直角三角形斜边中线等于斜边一半），题中条件，无法证明FB=BC或者AD=DE，④不正确

故选B。

【分析】①熟练掌握平行四边形判定和性质定理；②熟练掌握菱形判定和性质定理③等底等高的三角形面积相等；④假设法，推论到无法证明的条件时，假设不成立。9．【答案】A【解析】【解答】解：连接GE，过点H作HQ∥NM交EF于点Q，

∵CH=AF，GH=BF，

∴CG=AE，

∵CG∥AE，

∴∠GCA=∠OAE，

∵点O是AC的中点，

∴OA=OC，

∴△CGO≌△AEO（SAS）

∴OG=OE，

∵正方形EFGH，

∴GH∥EF，

∴∠MGO=∠NEO，

在△MGO和△NEO中

∴△MGO≌△NEO（AAS）

∴GM=EN，

∵HM∥NQ，HQ∥MN

∴四边形QNMH是平行四边形，

∴HM=QN，HQ=MN，

∵MG=3MH，AC=2MN，

设MH=a，

∴MG=EN=3a，NQ=MH=a，EQ=2a，GH=HE=4a，

∴，

∴

∵正方形ABCD，

∴AB=BC，∠ABC=90°，

∴，

设DH=CG=AE=BF=m，

∴

解之：m=2a（取正值）

∴CG=BF=2a，

∴

故答案为：A

【分析】连接GE，过点H作HQ∥NM交EF于点Q，利用已知易证CG=AE，利用平行线的性质可证得∠GCA=∠OAE，利用线的中点可得到OA=OC，利用SAS可得到△CGO≌△AEO，利用全等三角形的性质可得到OG=OE，再利用AAS证明△MGO≌△NEO，可得到GM=EN，利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得到四边形QNMH是平行四边形，可证得HM=QN，HQ=MN；利用MG=3MH，AC=2MN，设MH=a，可得到MG=EN=3a，NQ=MH=a，EQ=2a，GH=HE=4a，利用勾股定理可表示出NM的长，可得到AC的长，利用正方形的性质和勾股定理可表示出AB的长，设DH=CG=AE=BF=m，可得到关于m的方程，解方程可得到m=2a，即可求出BF的长，然后求出的值.10．【答案】A【解析】【解答】解：设AB=a，BH=b，

∵正方形ABCD和正方形CEFG，

∴AD=CD=a，CG=FG=b，∠D=∠G=∠MHF=90°，∠ACB=∠BCM=∠CAB=∠MFH=45°，

∴，∠ACF=45°+45°=90°，

∴AB=BC=BM=a，即AM=2a，

∴，

∵S△ACF=30，

∴

解之：ab=30；

∵正方形ABCD与CEFG的面积之和为68，

∴a2+b2=68，

∵，

∴2a2+2b2=（a+b）2+MH2即a2+b2=2ab+MH2，

MH2=8，

∴

在Rt△MHF中

2MH2=MF2=16，

解之：MF=4，

∴即

解之：（舍去），

∴

∴.

故答案为：A

【分析】设AB=a，BH=b，利用正方形的性质可知AD=CD=a，CG=FG=b，∠D=∠G=∠MHF=90°，∠ACB=∠BCM=∠CAB=∠MFH=45°，同时可证得∠ACF=90°，利用勾股定理表示出AC，CF的长，利用三角形的面积公式可求出ab的长；再利用已知条件可求出a2+b2=68及MH的长，利用勾股定理求出MF的长，再根据△ACF的面积为30，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，可得到AM的长，然后根据AH=AM+MH，代入计算求出AH的长.11．【答案】；【解析】【解答】解：连接BD，交BD于点M，

在△DFM和△BEM中

∴△DFM≌△BEM（AAS），

∴BM=DM，FM=ME，

∵正方形ABCD，

∴∠A=90°，AB=AD=2，

∴，

∴，

设ME=x，则BE=2x，

∴BE2+ME2=BM2即x2+4x2=2，

解之：x=，

∴；

如图，将KL，HJ，HI，HG平移，

设BG=GH=HI=IJ=JK=KL=LD=x，可知DS=2x，SO=1.5x，

∴（1.5x）2+（2x）2=2

解之：x=.

故答案为：，.

【分析】连接BD，交BD于点M，利用AAS证明△DFM≌△BEM，利用全等三角形的性质可证得BM=DM，FM=ME，利用正方形的性质可得到∠A=90°，AB=AD=2，利用勾股定理求出BD的长，可得到BM的长；设ME=x，则BE=2x，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到BE的长；如图，将KL，HJ，HI，HG平移，设BG=GH=HI=IJ=JK=KL=LD=x，则DS=2x，SO=1.5x，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可求解.12．【答案】12；【解析】【解答】解：连接AC、BD、AC、BD交于点O，

在正方形ABCD中，AC⊥BD，AC=BD，

在菱形AECF中，EF⊥AC，

∵正方形的周长为16，

∴AB=4，OA=AB=2，

∴OE＜2，

∵其内含菱形的边长是整数，

∴OA2+OE2=AE2，解得AE=3，

∴内含菱形的周长为3×4=12，

若正方形的面积为18，

∴AB=3，

∴OA=AB=3，

∵其内含菱形的面积为6，

∴EF=2，

∴内含菱形的边长为=.

故答案为：12，.

【分析】连接AC、BD、AC、BD交于点O，根据正方形的性质、菱形的性质及勾股定理分别求解即可.13．【答案】【解析】【解答】解：如图，延长CB到点G，使得BG＝DF，连接AG，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠C＝∠ADF＝90°，

∴∠ABG＝∠ADF＝90°，

∵在△ABG和△ADF中，

，

∴△ABG≌△ADF（SAS），

∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，

∵∠BAD＝∠BAE+∠EAF+∠DAF＝90°，∠EAF＝45°，

∴∠BAE+∠DAF＝45°，

∴∠BAE+∠BAG＝45°，即∠EAG＝45°，

∴∠EAG＝∠EAF＝45°，

∵在△EAG和△EAF中，

，

∴△EAG≌△EAF（SAS），

∴EG＝EF，

∵在Rt△ABE中，AB＝6，AE=2，

∴由勾股定理得：BE=，

∴CE＝BC-BE＝6-2＝4，

设：DF＝x，则BG＝x，EG＝EF＝2+x，CF＝6-x，

∵在Rt△CEF中，由勾股定理得：CE2+CF2＝EF2，

∴42+（6-x）2＝（2+x）2，解得x＝3，

∴DF＝3，

∵在Rt△ADF中，

∴由勾股定理得：AF=，故答案为：.【分析】如图，延长CB到点G，使得BG＝DF，连接AG，先利用SAS证明△ABG≌△ADF，得出AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，然后利用∠EAF＝45°，求出∠EAG＝45°，得出∠EAF＝∠EAG，再利用SAS证明△EAG≌△EAF，得出EG＝EF，在Rt△ABE中，由勾股定理求出BE＝2，然后设DF＝x，分别用含x的式子表示出BG、EG、EF、CF的长，最后根据勾股定理列方程求解即可．14．【答案】【解析】【解答】解：如图，取AD中点H，连接BH，CH，设BH与AE的交点为O，连接CO，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，，，∵点E是BC中点，点H是AD中点，∴AH＝CE＝DH＝BE＝AB=CD=2，∴四边形BEDH是平行四边形，，，∴，∵点P是AF的中点，点H是AD的中点，∴，∴点P在BH上，∵，∴，∴，∵点P在BH上，∴当CP⊥BH时，此时点P与H重合，PC有最小值，在Rt△CDH中，∴PC的最小值为，故答案为：.【分析】取AD中点H，连接BH，CH，设BH与AE的交点为O，连接CO，可证四边形BEDH是平行四边形，可得，由三角形中位线定理可得，可知当CP⊥BH时，此时点P与H重合，PC有最小值，利用勾股定理求出CH的长即可.15．【答案】【解析】【解答】解：设直线l：与x轴交于点C，如图所示：

令y=0，即2x+2=0，x=-1，则C（-1，0）令x=0，得y=2，则

∵四边形为菱形

∴AO垂直平分

∴

∴当x=1时，y=4，∴

则，

以此类推，可以发现：，·······

∴则点的坐标是

故答案为：.

【分析】本题考查菱形的性质，一次函数点的特征，找出点坐标的规律是关键。16．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=3cm，在Rt△ABE中，∠AEB=90，∠B=45°，∴设BE=AE=xcm，则有x2+x2=(3)2，解得x=3，即AE的长度为3cm．（2）解：∵点M，N分别以A，C为起点，以1cm/s的速度沿AD，CB边运动，设点M，N运动的时间为ts(0≤t≤6)，∴AM=CN=tcm．∵AM∥CN，∴四边形AMCN为平行四边形，∴当AN=AM时，四边形AMCN为菱形．∵BE=AE=3cm，EN=(6-t)cm，∴AN2=32+(6-t)2，∴32+(6-t)2=t2，解得t=故当t为时，四边形AMCN为菱形．（3）解：∵MP⊥BC于点P，NQ⊥AD于点Q，QM∥NP，∴四边形MPNQ为矩形，∴当QM=QN时，四边形MPNQ为正方形．∵AM=CN=tcm，BE=3cm，∴AQ=EN=BC-BE-CN=9-3-t=(6-t)cm，∴QM=|AM-AQ|=|t-(6-t)|=、2t-6|(注：分点Q在点M的左右两种情况)．∵QN=AE=3cm，∴|2t-6|=3，解得t=4.5或t=1.5．故当t为4.5或1.5时，四边形MPNQ为正方形．【解析】【分析】（1）根据勾股定理，列算式解答即可；

（2）根据菱形的判定方法，邻边相等的平行四边形为菱形，结合勾股定理，可解答；

（3）根据正方形的判定方法，邻边相等的矩形为正方形，再结合勾股定理可解答，但需要分Q在点M的左右两种情况，所以列式时需加上绝对值.17．【答案】（1）证明：在▱ABCD中，BC∥AD，

∴∠FCG=∠EDG，

∵G是CD的中点，

∴CG=DG，

∵∠CGF=∠DGE，

∴△CGF≌△DGE（AAS），

∴GE=GF，

∴四边形CEDF是平行四边形.（2）解：①当AE=4cm时，四边形CEDF是菱形，

理由：在▱ABCD中，CD=AB=6cm，AD=BC=10cm，∠ADC=∠B=60°，

∴DE=AD-AE=10-4=6cm，

∴DE=CD，

∴△CDE为等边三角形，

∴CE=ED，

由（1）知：四边形CEDF是平行四边形.

∴四边形CEDF是菱形.

故答案为：4.

②当AE=7cm时，四边形CEDF是矩形，

理由：过点A作AH⊥BC，

∵∠B=60°，AB=6cm，

∴BH=AB=3cm，

∴DE=AD-AE=10-7=3cm，即BH=DE，

∴△HBA≌△EDC（SAS）

∴∠DEC=∠BHA=90°，

由（1）知：四边形CEDF是平行四边形.

∴四边形CEDF是矩形.

故答案为：7.【解析】【分析】（1）证△CGF≌△DGE（AAS），可得GE=GF，结合CG=DG，根据平行四边形的判定即证结论；

（2）①证明△CDE为等边三角形，可得CE=ED，根据菱形的判定定理即证；

②过点A作AH⊥BC，证明△HBA≌△EDC（SAS），可得∠DEC=∠BHA=90°，根据矩形的判定定理即证.18．【答案】（1）证明：如图，过点E作EM⊥CD于点M，EN⊥BC于点N，

则∠EMC=∠ENC=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCD=90°，

∴四边形ENCM是矩形；

∵AC是正方形ABCD的对角线，

∴∠ACB=∠ACD=45°，

又∵∠EMC=∠ENC=90°，

∴EN=EM，

∴四边形CMEN是正方形，

∴∠MEN=90°，

即∠MEF+∠FEN=90°，

∵四边形DEFG是矩形，

∴∠DEF=90°，

即∠MEF+∠DEM=90°，

∴∠FEN=∠DEM，

在△FEN和△DEM中，

，

∴△FEN≌△DEM（ASA），

∴EF=ED，

∴矩形DEFG是正方形.（2）解：如图：过点E作EM⊥CD于点M，EN⊥BC于点N，

∵矩形DEFG是正方形，四边形CMEN是正方形，

∴DE=EF=GF，EN=NC=MC=EM，

在Rt△ENC中，CE2=CN2+EN2=2EN2，

即，

解得：，

∵△FEN≌△DEM，

∴，

∵四边形ABCD是正方形，

∴，

∴，

在Rt△DEM中，，

∴DE=2；

∴FG=DE=2.（3）解：∵∠ADE=40°，∠ADC=90°，

∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-40°=50°；

∵△FEN≌△DEM，

∴∠EDC=∠EFC=50°.【解析】【分析】（1）过点E作EM⊥CD于点M，EN⊥BC于点N，根据正方形的四个角是直角可得∠BCD=90°，根据三个角是直角的四边形是矩形可得四边形ENCM是矩形，根据正方形的对角线平分对角可得∠ACB=∠ACD=45°，根据角平分线上的点到两边的距离相等可得EN=EM，根据邻边相等的矩形是正方形，正方形和矩形的四个角是直角可推得∠FEN=∠DEM，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得EF=ED，根据邻边相等的矩形是正方形即可证明；

（2）过点E作EM⊥CD于点M，EN⊥BC于点N，根据正方形的四条边都相等可得DE=EF=GF，EN=NC=MC=EM，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可求得EN的值，得到EM和MV的值，求出DM的值，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出DE的值，即可求解；

（3）根据题意可求得∠EDC=50°，根据全等三角形的对应角相等即可求解.19．【答案】（1）证明：平分，，，，，，，，，，四边形是平行四边形，▱是菱形；（2）证明：，，是等边三角形，，，≌，，，，，，，；（3）解：如图，过点C作，，由知：≌，，，，，，≌，，在上截取，连接，，，，，，≌，，，，，，连接，是的中点，，，，，设，则，，，，，，．【解析】【分析】（1）先证出四边形ABCD是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可得出答案；

（2）利用SAS证出△ABE≌△BCF，得出∠BCF=∠BAE，从而得出∠ANF=∠ABC=60°，∠NAL=30°，再根据在