7.4认识三角形(讲+练)（原卷版）

7.4认识三角形三角形的定义由不在同一直线上的三条线段，首尾顺次相接组成的图形.三角形的符号：△三角形ABC记作：△ABC三角形的3个顶点：A、B、C三角形的3个内角:∠A、∠B、∠C三角形的3条边：∠A所对的边记作边BC（或边a）∠B所对的边记作边AC（或边b）∠C所对的边记作边AB（或边c）三角形的分类按角分，可分为：（1）锐角三角形；（2）直角三角形；（3）钝角三角形注：一个三角形中最多有一个直角或最多有一个钝角。按边分，可分为：（1）不等边三角形（2）等腰三角形（等边三角形是等腰三角形的一种特殊情况）三角形三边关系三角形任意两边之和大于第三边.符号语言为：△ABC三边长分别为a，b，c，则有：a+b＞c；a+c＞b；b+c＞a.注：①三角形两边之差的绝对值小于第三边②我们在判断三个线段能否构成三角形时，只要判断较小的两边之和与最长边的大小即可.三角形的中线三角形中线的定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线.三角形中线的性质：（1）三角形的中线是线段.（2）三角形的一条中线把三角形分成了面积相等的两部分（等底等高）.（3）三角形有三条中线，且三条中线相交于三角形内部一点，称为“重心”.（4）三角形的三条中线把三角形分成了面积相等的六个部分.三角形的角平分线三角形角平分线的定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.三角形角平分线的性质：（1）三角形的内角平分线是线段；而单独一个角的角平分线是射线.（2）三角形有三条角平分线，且三条角平分线相交于三角形内部一点，称为“内心”.（3）三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等.三角形的高线三角形高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．三角形高线的性质：（1）三角形的高是线段.（2）三角形有三条高。锐角三角形的三条高交于三角形内部一点；直角三角形的三条高交于直角顶点；钝角三角形的三条高不相交，但钝角三角形三条高所在直线交于三角形外部一点.“等积法”求面积在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD为斜边AB上的高，则有：S△ABC=AC·BC进而可得，AC·BC=AB·CD题型1：三角形的定义与认识1．图中共有三角形个．【变式1-1】如图所示，（1）图中共有个三角形，其中以线段BC为一边的三角形是，以∠EAD为一内角的三角形是．（2）在△ABD中，∠BAD的对边是，在△ABE中，∠ABE的对边是．（3）AB既是△中∠的对边，又是△中∠的对边，还是△中∠的对边．【变式1-2】如图，直线DE将△ABC分成等周长的两部分，若AD+AE＝2，则△ABC的周长为．【变式1-3】观察图形规律：（1）图①中一共有个三角形，图②中共有个三角形，图③中共有个三角形．（2）由以上规律进行猜想，第n个图形共有个三角形．题型2：三角形的分类2.根据下列三角形中角的特征，写出三角形的名称．【变式2-1】观察图中的三角形，把它们的标号填入相应横线上．锐角三角形，直角三角形，钝角三角形．【变式2-2】下列说法中：①由三条线段围成的图形叫做三角形；②三角形的边可以用两个大写字母表示，也可以用一个小写字母表示；③钝角三角形不可能是等腰三角形；④等边三角形不可能是直角三角形；⑤三角形按边的相等关系可以分为三边都不相等的三角形、等腰三角形和等边三角形三类，正确的有（填序号）．题型3：三角形的稳定性3.港珠澳大桥是目前世界最长的跨海大桥，主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，斜拉式大桥采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是．【变式3-1】下列生产和生活实例：①用人字架来建筑房屋；②用窗钩来固定窗扇；③在栅栏门上斜钉着一根木条；④商店的推拉活动防盗门等．其中，用到三角形的稳定性的有（填写序号）．【变式3-2】如图，要使六边形木架（用6根木条钉成）不变形，至少要再钉条木条．题型4：三角形三边关系4.现有四条线段，长度依次是2，3，4，5，从中任选三条，能组成不同三角形的个数为．【变式4-1】已知三角形的三边长分别为2、a、5，那么a的取值范围是．【变式4-2】已知三角形的三边长分别为1，a﹣1，3，则化简|a﹣3|+|a﹣5|的结果为．【变式4-3】若a，b，c是△ABC的三边，则化简|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|﹣2|c﹣a﹣b|＝．【变式4-4】如图，P为△ABC内任意一点，求证：AB+AC＞PB+PC．题型5：三角形的中线、高、角平分线5.现如图，在△ABC中，BD＝CD，∠ABE＝∠CBE，BE交AD于点F．（1）是△ABC的角平分线；（2）是△BCE的中线；（3）是△ABD的角平分线．【变式5-1】如图，（1）若AM是△ABC的中线BC＝12cm，则BM＝CM＝cm；（2）若AD是△ABC的角平分线，则∠BAD＝∠DAC＝；若∠BAC＝106°，则∠DAC＝；（3）若AH是△ABC的高，则△ABH是三角形．【变式5-2】BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是．【变式5-3】如图，在直角△ABC中，BC边上有E，D，F三点，BD＝CD，∠BAE＝∠DAE，AF⊥BC，垂足为F．以AD为中线的三角形是；以AE为角平分线的三角形是；以AF为高线的三角形有个．【变式5-4】已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为cm2．【变式5-5】如图，在△ABC中（AB＞BC），AB＝2AC，AC边上中线BD把△ABC的周长分成30和20两部分，求AB和BC的长．题型6：三角形的面积6.如图，AD、BF是△ABC的高，AD＝8，AC＝10，BF＝12，则BC＝．【变式6-1】如图，小方格的边长是1，求△ABC的面积．【变式6-2】如图，AD、CE、BF是△ABC的高，AB＝5，BC＝4，AD＝3，则CE＝．【变式6-3】如图，已知直线a∥b，点B是线段AE的中点，S△ABD＝3，则S△ACE＝．一．选择题（共8小题）1．如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，若△ABD的面积为5，则△ABC的面积为（）A．14 B．12 C．10 D．82．如图，在三角形ABC中，线段AB+AC＞BC，其理由是（）A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线3．有三根小棒，它们长度分别如下，以下列各组小棒的长度为边，能构成三角形的是（）A．10cm，10cm，8cm B．5cm，6cm，14cm C．4cm，8cm，12cm D．3cm，9cm，5cm4．如图，D、E、F分别为BC、AD、BE的中点，若△BFD的面积为6，则△ABC的面积等于（）A．36 B．18 C．48 D．245．已知三角形的三边长分别是4，8，a+1，则a的取值可能是（）A．10 B．11 C．12 D．136．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，CE=14AC，△ABCA．S1＝S2 B．S1＝2 C．S2＝0.5 D．S1﹣S2＝17．如图将边长为a的大正方形与边长为b的小正方形放在一起（a＞0，b＞0），则三角形AEG的面积（）A．与a、b大小都有关 B．与a、b的大小都无关 C．只与a的大小有关 D．只与b的大小有关8．如图，在△ABC中，点E是AC的中点，点D是BC的中点，点F是BD的中点．连接AF，BE交于点G．已知S△ABC＝12，则S△AGE﹣S△BGF＝（）A．4 B．3 C．2 D．1二．填空题（共9小题）9．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝6，BE⊥AC于点E，且BE＝4，则AB边上的高CD的长度为．10．已知三角形的两边长分别是2cm和5cm，第三边长是奇数，则第三边长是．11．已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣2|+（b﹣5）2＝0，c为奇数，则c＝．12．已知a，b，c是三角形的三边长，则|b+c﹣a|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|﹣|a﹣b+c|＝．13．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，BD，CD的中点，且S△ABC＝6cm2，则S△AEF＝cm2．14．如图，在△ABC中，G是边BC上任意一点，D、E、F分别是AG、BD、CE的中点，S△ABC＝40，则S△DEF＝．15．已知，在△ABC中，a＝7，b＝3，c＝2x+2，其中c边长是偶数，则x的值应该是．16．如图，将△ABC沿着BC方向平移5cm得到△DEF，若AB⊥BC，AB＝10cm，DH＝4cm，则四边形HCFD的面积为cm2．17．如图，已知△ABC的面积为1，分别倍长（延长一倍）边AB，BC，CA得到△A1B1C1，再分别倍长边A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2…按此规律，倍长2023次后得到的△A2023B2023C2023的面积为．三．解答题（共6小题）18．在△ABC中，AB＝8，AC＝1．（1）若BC是整数，求BC的长；（2）已知AD是△ABC的中线，若△ACD的周长为10，求三角形ABD的周长．19．如图，在△ABC中（AB＞BC），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成70和50两部分，求AC和AB的长．20．如图，AD，AE，AF分别是△ABC的高线、角平分线和中线．（1）有下列结论：①BF＝AF；②∠BAE＝∠CAE；③S△ABF=1④∠C与∠CAD互余．其中正确的是（填序号）．（2）若∠B＝30°，∠DAE＝16°，求∠C的度数．21．如图①是1个直角三角形和2个小正方形，直角三角形的三条边长分别是a、b、c其中a、b是直角边．正方形的边长分别是a、b．（1）将4个完全一样的直角三角形和2个小正方形构成一个大正方形（如图②）．用两种不同的方法列代数式表示图②中的大正方形面积：方法一：；方法二：；（2）观察图②，试写出（a+b）2、a2、2ab、b2这四个代数式之间的等量关系；（3）请利用（2）中等量关系解决问题：已知图①中一个三角形面积是6，图②的大正方形面积是49，求a2+b2的值．（4）利用你发现的结论，求3.262+6.52×6.74+6.742的值．22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，AB＝10cm，点P从点A出发，沿射线AB以2cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿线段CB以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，当点Q运动到点B时P、Q停止运动，设Q点的运动时间为t秒．（1）当t＝时，BP＝2CQ；（2）当t＝时，BP＝BQ；（3）画CD⊥AB于点D，并求出C