重难点专题15 空间中的五种距离问题（五大题型）-2024学年高一数学同步学与练（苏教版）（解析版）

第第页重难点专题15空间中的五种距离问题【题型归纳目录】题型一：点线距题型二：异面直线的距离题型三：点面距题型四：线面距题型五：面面距【方法技巧与总结】空间中的距离求点到面的距离转化为三棱锥等体积法求解．【典型例题】题型一：点线距【典例1-1】（2024·高一·山西吕梁·阶段练习）已知四面体的所有棱长均为10，点在直线上，则到的距离的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】将四面体补成正方体，连接交于点，连接交于点，连接，如图，则，分别为，的中点，因为且，故四边形为平行四边形，则且，又因为，分别为，的中点，所以且，故四边形为平行四边形，故且，因为平面，平面，所以，即，同理可得，故到的距离最小值为.故选：C.【典例1-2】（广东省东莞市东莞一中、东莞高级中学2023-2024学年高一学期第二次质量检测数学试题）设所在的平面，，PB、PC分别与成45°和30°角，，点P到BC的距离是_________________．【答案】【解析】如图所示：根据题意可知，又，所以；；又，所以；作于，由平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，所以即为点P到BC的距离；易知，由勾股定理可得.即点P到BC的距离.故答案为：【变式1-1】（2024·高二·四川成都·期中）已知正四棱锥的所有棱长均为为的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为．【答案】/0.5【解析】因为为等边三角形，为的中点，所以，由已知，，，所以，所以，所以为异面直线，的公垂线段，所以的长为动点M到直线BE的距离最小值，所以动点M到直线BE的距离最小值为.故答案为：.题型二：异面直线的距离【典例2-1】（2024·高一·山东青岛·期末）如图，正方体的棱长为1，设直线与分别交于点，且，则线段的长为（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】因为直线与分别交于点，且，则线段的长即为异面直线的距离，连接，，由条件可知，又因为平面，平面，所以平面，所以异面直线的距离，即为直线到平面的距离，由平面可知，直线到平面的距离等于到平面的距离，设到平面的距离为，由题意可知平面，所以到平面的距离为的长，由得，，由正方体的棱长为1，可知，，所以，，所以，所以，所以线段的长为.故选：B.【典例2-2】（2024·高二·上海黄浦·期中）已知正方体的棱长为1，则异面直线与之间的距离是.【答案】【解析】在正方体中，平面，所以直线与的距离即为点到的距离，又因为正方形的对角线为，且，所以点到的距离为，即异面直线与之间的距离是.故答案为：．【变式2-1】（2024·高二·上海普陀·阶段练习）在四面体中，若，则异面直线与的距离为．【答案】【解析】如图所示：分别取AB，CD的中点E，F，连接CE，DE，AF，BF，EF，因为，所以，又因为E为中点，所以，同理，所以EF为异面直线AB和CD的公垂线，所以，故答案为：【变式2-2】（2024·高二·辽宁·阶段练习）如图所示在三棱锥中，侧面底面，底面是边长为1的正三角形，侧面中，，且为棱中点，则直线上任意一点与上任意一点距离的最小值为．

【答案】/【解析】若是中点，为棱中点，底面是正三角形，连接，所以，故，由，则，而侧面底面，侧面，侧面底面，故面，又面，则，，面，所以面，面，则，过作于，则，又，所以是异面直线、的公垂线，故直线上任意一点与上任意一点距离的最小值为长度，又是边长为1，则，故.故答案为：题型三：点面距【典例3-1】（2024·高三·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，在长方体中，，和交于点E，F为AB的中点．(1)求证：平面；(2)已知与平面所成角为，求点A到平面CEF的距离．【解析】（1）连接，在长方体中，，故四边形为平行四边形，则E为的中点，又F为AB的中点，故，而平面,平面，故平面；（2）在长方体中，，则四边形ABCD为正方形，则，又平面，则为与平面所成角，即，故，连接，设相交于点，所以点为中点，因为，，可得底面，连接，，所以，，，，，，在中，由余弦定理得，因为，所以，所以，，设点A到平面CEF的距离为，因为，所以，解得，所以点A到平面CEF的距离为.【典例3-2】（2024·全国·模拟预测）如图1，已知直角梯形中，，，，M为CF的中点，将沿DM折起到的位置，使平面平面，N，Q，H，P分别为AF，DM，DE，AE的中点，如图2所示．(1)求证：平面平面；(2)求点D到平面的距离．【解析】（1）Q，H分别是DM，DE的中点，，平面，平面，平面．如图，连接PN，N，P分别是AF，AE的中点，，．易知，，∵Q是DM的中点，，，，，四边形QMNP为平行四边形，．不在平面，平面，平面．，平面PQH，平面平面PQH．（2）如图，取ME的中点O，连接OQ，OH，PO，PD，易知四边形DEFM是边长为2的正方形，，平面平面DEFM，平面平面，平面DEFM，P是AE的中点，，，平面DEFM．Q，H分别为DM，DE的中点，，，．在中，，在中，，是边长为的正三角形，，．设点D到平面PQH的距离为d，，，，点D到平面PQH的距离为．【变式3-1】（2024·高三·山东·阶段练习）如图，在正三棱锥中，，E，F分别是中点，M是上一点，且满足．(1)证明：平面；(2)求点D到平面的距离．【解析】（1）连接交于，连接，由E，F分别是中点，所以为的重心，则，又，所以在中有，面，面，所以平面；（2）由题设，易知，由正三棱锥中，故为等边三角形，且，所以，即，同理，所以，中，故，即，故，若点D到平面的距离为，则.题型四：线面距【典例4-1】（2024·高二·上海闵行·阶段练习）如图，在边长为的正方体中，为底面正方形的中心.(1)求证：直线平面；(2)求直线与平面之间的距离.【解析】（1）连接交于点，连接，，，四边形为平行四边形，，，四边形，为平行四边形，分别为中点，，，四边形为平行四边形，，平面，平面，平面.（2）由（1）知：平面，则直线与平面之间的距离即为点到平面的距离，，为边长为的等边三角形，；又，，设点到平面的距离为，则，解得：，直线与平面之间的距离为.【典例4-2】（2024·高二·北京丰台·期中）如图，已知直三棱柱，，，，点为的中点.(1)证明：平面；(2)求直线与平面的距离.【解析】（1）连结交于，连接，因为在直三棱柱中，侧面是平行四边形，所以是的中点，又因为为的中点，所以，又因为平面，平面，故平面；（2）由（1）知平面，所以直线与平面的距离等价于点到平面的距离，不妨设为，因为，，所以，，则，又因为为的中点，所以，因为在直三棱柱中，面，故，所以在中，，，在中，，所以在中，，则，故，所以由得，即，解得，所以直线与平面的距离为.【变式4-1】（2024·高一·全国·课后作业）如图，在长方体中，，，．(1)求点和点C的距离；(2)求点到棱BC的距离；(3)棱和平面ABCD的距离．【解析】（1）如图，连接、AC，∵平面ABCD，而平面ABCD，∴，由勾股定理，得；（2）如图，连接，∵平面，而平面，∴．∴就是点到棱BC的距离，．∴点到棱BC的距离是5cm；（3）显然棱平面ABCD，平面ABCD，∴就是棱和平面ABCD的距离，∵，∴棱和平面ABCD的距离是3cm．题型五：面面距【典例5-1】（2024·高二·江西宜春·期中）如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=1，求：(1)平面ADD1A1与平面BCC1B1的距离.(2)点D1到直线AC的距离.(3)直线AB与面A1DCB1的距离.【解析】（1）因为平面ADD1A1与平面BCC1B1平行，故平面ADD1A1与平面BCC1B1的距离即（2）连接，由题意，，，.因为为等腰三角形，故，设点D1到直线AC的距离为，则，解得，即点D1到直线AC的距离为（3）连接，交于，因为长方体中，故正方形，故，且平面，又平面，故，又，故平面，故直线AB与面A1DCB1的距离为.【典例5-2】（2024·高二·江西宜春·阶段练习）如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AA1与CC1的中点.(1)证明：平面EB1D1平面FBD；(2)求平面EB1D1与平面FBD之间的距离.【解析】（1）若为中点，连接，又F是CC1的中点，所以，，故为平行四边形，所以，又E是AA1的中点，易知：，所以，正方体中，而，面，由面，则面，同理面，又，面，故平面EB1D1平面FBD；（2）由（1）知：平面EB1D1与平面FBD之间的距离等于到面的距离，而，而，，故△中BD的高为，所以，而，到面的距离，所以，可得，故平面EB1D1与平面FBD之间的距离为.【变式5-1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图所示的斜三棱柱中，是正方形，且点在平面上的射影恰是AB的中点H，M是的中点．(1)判断HM与面的关系，并证明你的结论；(2)若，，求斜三棱柱两底面间的距离．【解析】（1）直线HM与平面平行．证明如下：取的中点N．连接NM，AN．因为点M是的中点，所以，且．又是正方形，点H是AB的中点，所以，．所以，．所以四边形ANMH为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面．（2）因为点在平面上的射影是AB的中点H，所以平面．连接，，则，．由正方形的边AB=2，得，所以，所以的面积为．设斜三棱柱两底面间的距离为d，即H到平面的距离为d，由得，解得，即斜三棱柱两底面间的距离为．【过关测试】1．（2024·高三·内蒙古赤峰·期中）如图1，在平面四边形中，．将沿折叠至处．使平面平面（如图2），分别为的中点．(1)求证：平面平面；(2)求点到平面的距离．【解析】（1）由题意，所以是等边三角形，所以，从而，即，又因为为的中点，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因为平面，所以，又因为，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）因为分别为的中点，所以，，由（1）可知平面，所以平面，即平面，是三棱锥的高，又分别为的中点，所以，所以，因为，，所以，又因为为的中点，所以，所以，因为平面，平面，所以，所以，又因为为的中点，，所以，所以，所以，从而，设点到平面的距离为，则由，可得，解得，即点到平面的距离为.2．（2024·高二·新疆巴音郭楞·期中）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，E，M，N分别是BC，，的中点.(1)证明：平面平面；(2)求点C到平面的距离．【解析】（1）分别连接，在菱形中，，则，又因为，所以为正三角形，所以，因为为中点，所以，∵棱柱为直棱柱，平面平面，且平面平面，DE在面ABCD内，所以有平面，，分别为，中点，为的中位线，且．又为中点，且，且，，四边形为平行四边形，，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）由（1）知平面，因为平面，，因为，，，底面为菱形，为中点，所以，，所以，设点C到平面的距离为，根据题意有，则有，解得，所以点C到平面的距离为.3．（2024·高二·上海静安·期末）如图，正四棱柱的底面边长为1，异面直线AD与BC1所成角的大小为60°，求A1B1到底面ABCD的距离.

【解析】因为，所以为异面直线AD与所成的角，所以，因为正四棱柱中，平面ABCD，平面ABCD，所以线段的长为线段到底面ABCD的距离，因为在中，，，所以，所以线段到底面ABCD的距离为．4．（2024·全国·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点.（1）求证：平面；（2）求直线到平面的距离.【解析】（1）如下图，取的中点，连接、.又为的中点，则是的中位线，所以且.又且，所以且.所以四边形是平行四边形，所以.因为，为的中点，所以.因为，，所以.因为平面，平面，所以.又，所以平面.平面，所以.又，所以平面.又，所以平面；（2）因为，平面，平面，所以平面.所以直线到平面的距离等于点到平面的距离.由（1）得平面，则等于点到平面的距离.因为，所以.故点到平面的距离为，即直线到平面的距离为.5．（2024·河北衡水·一模）如图，直角梯形与梯形全等，其中，，且平面，点是的中点．

（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面的距离．【解析】（1）∵，，是的中点，∴四边形为平行四边形，∴，又∵平面，平面，∴平面，∵直角梯形与梯形全等，，∴，∴四边形为平行四边形，∴，