重难点专题16 玩转古典概型（四大题型）-2024学年高一数学同步学与练（苏教版）（解析版）

第第页重难点专题16玩转古典概型【题型归纳目录】题型一：“放回”与“不放回”问题题型二：概率模型的多角度构建题型三：“正难则反”思想，利用对立事件求概率题型四：古典概型的综合应用【方法技巧与总结】古典概型求概率问题在考试中经常出现，在解决这类问题时，首先要审题，正确理解样本点与事件的关系，求某个事件包含的样本点的常用方法是列举法（画树状图、列表）．注意做到不重不漏，对于用直接方法难以解决的问题，可以先求其对立事件的概率，再求所求概率．【典型例题】题型一：“放回”与“不放回”问题【典例1-1】（2024·高三·全国·专题练习）已知集合，从集合中有放回地任取两元素作为点的坐标，则点落在轴上的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】要想点落在轴上，只需要纵坐标为就可以了，纵坐标是从集合等可能的取值，所以纵坐标为的概率为：.故选：B【典例1-2】（2024·高二·上海·期末）从装有标号为1，2，3的三个球的袋子中依次取两个球（第一次取出的球不再放回），观察记录两个球标号（依次）的情况，则上述随机试验的样本空间中的基本事件数量是.【答案】6【解析】设第一次取出的球标号为，第二次取出的球标号为，记基本事件为，，则所有的基本事件为，共6个.所以上述随机试验的样本空间中的基本事件数量是6.故答案为：6【变式1-1】（2024·高二·山东济宁·期末）一个不透明的箱子中有4个红球、2个蓝球(球除颜色外，没有其它差异)．(1)若从箱子中不放回的随机抽取两球，求两球颜色相同的概率；(2)若从箱子中有放回的抽取两球，求两球颜色相同的概率．【解析】（1）把4个红球标记为,，,2个蓝球标记为,从箱子中随机抽取两球的样本空间为:，共有15个样本点，设事件“从箱子中随机抽取两球且颜色相同”，则事件，包含7个样本点，∴．（2）设事件“从箱子中有放回地抽取两球且颜色相同”，事件“从箱子中有放回地抽取两球且两球都为红球”，事件“从箱子中有放回地抽取两球且两球都为蓝球”，则，且与互斥．所以，，则．【变式1-2】（2024·高二·河南信阳·期中）从三名男生（记为，，）、两名女生（记为，）中任意选取两人.(1)在有放回的选取中，写出样本空间，并计算选到两人都是男生的概率；(2)在不放回的选取中，写出样本空间，并计算选到至少有一名女生的概率.【解析】（1）样本空间，记抽到两人都是男生的事件为A，事件A包含的基本事件有:共9个，则.（2）样本空间，记抽到至少有一名女生的事件为B，事件B包含的基本事件有：，共7个，则.【方法技巧与总结】抽取问题是古典概型的常见问题，解决此类问题需要注意两点：一是所给问题是否需要将被抽取的个体进行区分才能满足古典概型的条件，二是看抽取的方式是有放回还是不放回，两种抽取方式对样本点的总数有影响．另外，不放回抽样看作无序或有序抽取均可，有放回抽样要看作有序抽取．题型二：概率模型的多角度构建【典例2-1】口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一个球.试计算第二个人摸到白球的概率.【解析】方法一：需要找出4个人按顺序依次摸球的所有可能结果数和第二个人摸到白球的可能结果数.解题过程如下：用A表示事件“第二个人摸到白球”，把2个白球编上序号1,2；2个黑球也编上序号1,2.于是，4个人按顺序依次从袋中摸出一个球的所有可能结果，可用树状图直观地表示出来，如图所示：由上图可知，试验的所有可能结果数是24，由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，所以，这24种结果出现的可能性相同，其中，第二个人摸到白球的结果有12种，故第二个人摸到白球的概率.方法二：把2个白球编上序号1,2，两个黑球也编上序号1,2,4个人按顺序依次从袋中摸出一球，前两人摸出的球的所有可能的结果如图所示：由图可知，试验的所有结果数是12，由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，所以这12种结果出现的可能性相同，其中，第二个人摸到白球的结果有6种，故第二个人摸到白球的概率.【典例2-2】（2024·高一·安徽宣城·自主招生）已知函数和，其中、均可取1、2、3、4、5、6中的任一数.则这两函数图象有交点的概率为.【答案】【解析】根据已知条件联立，即，整理有：，因为两函数图象有交点，所以，即，当时，无解；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；综上，满足条件的、共对，又根据已知条件、的所有取值情况为种，所以两函数图象有交点的概率为.故答案为：【变式2-1】（2024·高一·江西抚州·期末）若，且，则称是“伙伴关系集合”在集合的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为．【答案】【解析】，集合的所有非空子集的个数为，若，则；若，则；若，则与成对出现；若，则与成对出现，集合的所有非空子集中，“伙伴关系集合”共有（个）．在集合的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为．故答案为：．【方法技巧与总结】当事件个数没有很明显的规律，并且涉及的样本点又不是太多时，我们可借助树状图直观地将其表示出来，这是进行列举的常用方法．树状图可以清晰准确地列出所有的样本点，并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况．另外，如果试验结果具有对称性，可简化结果以便于模型的建立与解答．题型三：“正难则反”思想，利用对立事件求概率【典例3-1】（2024·高二·四川成都·期中）某射击运动员每次击中靶心的概率均为0.6．现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次至少击中2次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中靶心，4，5，6，7，8，9表示击中靶心；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：8636

0293

7140

9857

5727

0347

4373

9647

4698

33126710

0371

6233

2616

9597

8045

6011

3661

4281

7424据此估计，该射击运动员射击4次至少击中2次靶心的概率为．【答案】/【解析】恰好0次击中包含3321一个样本点，恰好1次击中包含6233，0293，0371，6011四个样本点，故至多击中一次包含五个样本点，对立事件至少2次击中则包含15个样本点，故概率为．故答案为：【典例3-2】（2024·高一·江西景德镇·期中）在确保新型冠状病毒肺炎疫情防空到位的前提下，我市中小学陆续分阶段复学.某高中在复学之后，为了帮助学生调整心理状态，理性面对疫情，科学合理有效安排学习生活，成立了由5名男教师和2名女教师组成的心理咨询团队.现从这个团队中随机抽取3人专门负责高一年级的心理咨询工作，则至少选中1名女教师的概率是．【答案】【解析】因为心理咨询团队由5名男教师和2名女教师组成，记5名男教师为，2名女教师为，则从中选择3人的基本事件有：，，，共件，其中没有女教师的基本事件有共件，所以至少选中1名女教师的概率是．故答案为：．【变式3-1】（2024·高二·上海·期末）在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球．从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个．试求：(1)取得两个红球的概率；(2)取得两个同颜色的球的概率；(3)至少取得一个红球的概率．【解析】（1）设取得两个红球为事件，取得两个绿球为事件，至少取得一个红球为事件，易知，为互斥事件，，为对立事件；7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次所有基本事件有（个），其中事件发生所包含的的基本事件有（个），事件发生所包含的的基本事件有（个），所以，所以取得两个红球的概率为：.（2）取得两个同颜色的球的概率为：.（3）至少取得一个红球的概率为：.【变式3-2】（2024·高一·江西抚州·期末）2023年9月23日，中国农历象征收获的秋分时节，第19届亚洲运动会在浙江杭州隆重开幕．杭州基础设施全面升级、城市面貌焕然一新、民生服务格局大变．为了解杭州老百姓对城市基础设施升级工作满意度，从该地的A，B两地区分别随机调查了40户居民，根据大家对城市基础设施升级工作的满意度评分（单位：分），得到地区的居民满意度评分的频率分布直方图（如图）和地区的居民满意度评分的频数分布表（如表1）．满意度评分频数2814106表2满意度评分低于70分满意度等级不满意满意非常满意(1)根据居民满意度评分，将居民的满意度分为三个等级（如表2），估计哪个地区的居民满意度等级为不满意的可能性大，说明理由.(2)将频率看作概率，从A，B两地区居民中各随机抽查1户居民进行调查，求至少有一户居民评分满意度等级为“非常满意”的概率【解析】（1），，地区的居民满意度等级为不满意的频率为，由表1可知地区的居民满意度等级为不满意的频率为，故地区居民的满意度等级为不满意的可能性更大．（2）记事件表示“从地区随机抽取一户居民满意度评级为非常满意”，则．记事件表示“从地区随机抽取一户居民满意度评级为非常满意”，则．事件和事件相互独立，则事件和事件相互独立，，记事件表示“至少有一户居民评分满意度等级为非常满意”，则.【方法技巧与总结】在求解较复杂事件的概率时，可将其分解为几个互斥的简单事件的和事件，由公式求得或采用正难则反的原则，转化为其对立事件，再用公式求得．题型四：古典概型的综合应用【典例4-1】（2024·高一·辽宁沈阳·期末）已知甲箱中有4个大小、形状完全相同的小球，上面分别标有大写英文字母、和小写英文字母、；乙箱中有个与甲箱大小、形状完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，…，(1)现从甲箱中任意抽取2个小球，求恰好一个小球上面标有大写英文字母、另一个小球上面标有小写英文字母的概率；(2)现从乙箱中任意抽取1个小球，设=“所抽小球上面标注的数字”，记事件=“”，事件=“”，若事件与事件独立，求的值；(3)在（2）的条件下，现将甲、乙两箱的小球都放入丙箱，充分摇匀，然后有放回地抽取3次，每次取1个小球，求这3个小球中至少有2个小球上面标有英文字母的概率．【解析】（1）依题意，样本空间，共包含6个样本点，记事件C=“恰好一个小球上面标注大写英文字母、另一个小球上面标注小写英文字母”，则，共包含4个样本点，所以事件C的概率为.（2）依题意，事件，事件，，由事件与事件独立，得，即，解得，所以的值为6.（3）由（2）知，丙箱中有10个小球，所抽小球上面标注英文字母的事件为，则，记事件=“这3个小球中至少有2个标注英文字母”，则，所以.【典例4-2】（2024·高一·贵州遵义·期末）《全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》中指出：“逐步完善‘健康知识+基本运动技能+专项运动技能’的学校体育教学模式，教会学生科学锻炼和健康知识，指导学生掌握跑、跳、投等基本运动技能和足球、篮球、排球、田径、游泳、体操、武术、冰雪运动等专项运动技能．健全体育锻炼制度，广泛开展普及性体育运动，定期举办学生运动会或体育节，组建体育兴趣小组、社团和俱乐部，推动学生积极参与常规课余训练和体育竞赛．合理安排校外体育活动时间，着力保障学生每天校内、校外各1个小时体育活动时间，促进学生养成终身锻炼的习惯，加强青少年学生军训．”某市为了解高中生周末体育锻炼时间的情况，通过随机调查获得了3000名学生的周末体育锻炼时间（单位：分钟）数据，将数据按照，，，，，，分成7组，并得到如下频率分布直方图．(1)估计该市高中生周末体育锻炼的平均时间（每组数据用该组中点值代表）；(2)为了解本市高中生周末体育锻炼时间规划情况，采用分层抽样的方法从体育锻炼时间在中抽取6人，再从6人中随机抽取2人进行访谈，求抽取的2人中恰有1人锻炼时间在的概率．【解析】（1）由频率和为1，得，解得：,该市高中生周末体育锻炼的平均时间为.所以该市高中生周末体育锻炼的平均时间为分钟；（2）频率在和的频率之比为，则采用分层抽样的方法从体育锻炼时间在中抽取6人，则在抽取4人，抽取2人，设区间中的4人分别为，区间中的2人分别为，则抽取2人包含的样本空间为，，共包含15个基本事件，其中恰有1人锻炼时间在，包含的样本为，，共包含8个基本事件，所以抽取的2人中恰有1人锻炼时间在的概率.【变式4-1】（2024·高一·安徽蚌埠·期末）某商店开业促销，推出“掷骰子赢礼金券”活动，规则为：将两枚质地均匀的骰子同时投掷一次，根据点数情形赢得一等奖、二等奖、三等奖．记事件为“两枚骰子点数相同”，事件为“两枚骰子点数相连”，事件为“两枚骰子点数不同但都是奇数或都是偶数”．(1)以事件、、发生的概率大小为依据（概率最小为一等奖，最大为三等奖），求二等奖所对应的事件；(2)若除上述三个事件之外的点数情形均没有奖，每位参与活动的顾客有两次投掷机会，求该活动中每位顾客中奖的概率.【解析】（1）设两枚骰子的点数分别为、，用表示投掷结果，则所有可能的结果有种，即、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，，则，，则，，则，，所以二等奖为事件．（2）投掷一次中奖的概率为，该活动每位顾客中奖的概率为．【变式4-2】（2024·高一·北京昌平·期末）为促进更多人养成良好的阅读习惯，某小区开展了“我读书，我快乐”的活动.为了解小区居民最近一个月的阅读时间（单位：小时），随机抽取个居民作为样本，得到这个居民的阅读时间，整理得到如下数据分组及频数、频率分布表和频率分布直方图：分组区间频数频率合计(1)求出表中，及图中的值；(2)若本小区有人，试估计该小区阅读时间在区间内的人数；(3)在所取样本中，从阅读时间不少于小时的居民中，按分层抽样的方法选取人，并从这人中选人去参加社区知识竞赛，求至多有人阅读时间在区间内的概率.【解析】（1）依题意，，所以，.（2）阅读时间在区间内的人数为.（3）抽取人，记为，抽取人，记为.从这人中选人去参加社区知识竞赛，基本事件有：，共个，至多有人阅读时间在区间内包含的基本事件有：，共个，所以至多有人阅读时间在区间内的概率为.【方法技巧与总结】游戏公平性的标准及判断方法（1）游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平．（2）具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较．【过关测试】1．（2024·高二·浙江杭州·期中）已知某样本空间中共有18个样本点，其中事件有10个样本点，事件有8个样本点，事件有16个样本点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可得事件共有个样本点，由有16个样本点，又，故共有个样本点，则有个样本点，故.故选：C.2．（2024·高三·全国·专题练习）2021年元月份，河北、黑龙江等地相继出现疫情，学生春节放寒假期间，某大学鼓励大学生积极参加到各个社区作为志愿者抗击疫情，下面是新学期开学后学校随机抽取100人，对其参加志愿者的天数统计，得到如下统计表：参加志愿者的天数人数107020若以这100人参加志愿者天数位于各区间的频率代替该大学所有学生参加志愿者天数位于该区间的概率．根据上表，用分层抽样的方法从这100人中随机抽取20人，则抽取的20人中“参加社会志愿者天数不多于5天和不少于10天”的人数为（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】A【解析】由题意得选中“参加社会志愿者天数不多于5天和不少于10天”的人概率为，由分层抽样性质得，抽取的20人中“参加社会志愿者天数不多于5天和不少于10天”的人数为，显然A正确.故选：A3．（2024·高一·辽宁辽阳·期末）从1，2，3，4这4个数中随机选取2个数，则选取的2个数之积大于4的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】该试验的样本空间为，共包含6个样本点，“选取的2个数之积大于4”对应的事件为，含有3个样本点，所以选取的2个数之积大于4的概率为．故选：C.4．（多选题）（2024·高二·四川成都·阶段练习）抛掷两枚质地均匀的骰子，落地向上的点数记为，则（

）A．的概率为B．的概率为C．的概率为D．能被3整除的概率为【答案】ACD【解析】用数组表示这个试验的一个样本点，因此该实验的样本空间，其中共有个样本点.因为

，所以，从而，A正确；因为，所以，从而，B错误；因为，所以，从而，C正确；因为，所以，从而，D正确.故选：ACD5．（多选题）（2024·高二·湖北黄冈·阶段练习）素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想．19世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数k，存在无穷多个素数对.其中当时，称为“孪生素数”，时，称为“表兄弟素数”在不超过30的素数中，任选两个不同的素数p、，令事件为孪生素数}，为表兄弟素数}，，记事件A，B，C发生的概率分别为，，，则下列关系式不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】由题设，不超过30的素数有共10个，从中任意取两个不同的素数p、：有9个，有8个，有7个，有6个，有5个，有4个，有3个，有2个，有1个，所以共有个样本点；共4个样本点；共4个样本点；共10个样本点；所以，显然，.故选：ABC6．（多选题）（2024·高二·湖南·开学考试）中国邮政发行的《北京申办2022年冬奥会成功纪念》邮票图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”．现从一套5枚邮票中任取3枚，则（

）A．恰有1枚吉祥物邮票的概率为 B．含有志愿者标志邮票的概率为C．至少有1枚会徽邮票的概率为 D．至多有1枚吉祥物邮票的概率为【答案】ABD【解析】令分别表示冬奥会会徽邮票和冬残奥会会徽邮票，分别表示冬奥会吉祥物邮票和冬残奥会吉祥物邮票，C表示志愿者标志邮票．从一套5枚邮票中任取3枚有共10个基本事件，恰有1枚吉祥物邮票的情况有6种，概率为，故A正确；恰有1枚志愿者标志邮票的情况有6种，概率为，故B正确；至少有1枚会徽邮票的概率为，故C不正确；至多有1枚吉祥物邮票的概率为，故D正确．故选：ABD.7．（多选题）（2024·高一·甘肃金昌·期末）某校为了解学校餐厅中午的用餐情况，分别统计了食用大米套餐和面食的人次数，剩下的为食用米线汉堡等其它食品（每人只选一种），结果如表所示：总人次数大米套餐人次数面食人次数1000550260假设随机抽取一位同学，记中午吃大米套餐为事件M，吃面食为事件N，吃米线汉堡等其他食品为事件H，若用频率估计事件发生的概率，则（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】用频率估计概率得：，，，故A，B，C正确；表示事件N发生或事件H发生，且N与H互斥，故，故D错误，故选：ABC．8．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）为了营造浓厚的读书氛围，激发学生的阅读兴趣，净化学生的精神世界，赤峰市教育局组织了书香校园知识大赛，全市共有名学生参加知识大赛初赛，所有学生的成绩均在区间内，组委会将初赛成绩分成组：加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.(1)试估计这名学生初赛成绩的平均数及中位数（同一组的数据以该组区间的中间值作为代表）；（中位数精确到0.01）(2)组委会在成绩为的学生中用分层抽样的方法随机抽取人，然后再从抽取的人中任选取人进行调查，求选取的人中恰有人成绩在内的概率.【解析】（1），设中位数为，因为前组的频率之和为，而前2组的频率之和为，所以，由，解得：，故可估计这500名学生初赛成绩的中位数约为；（2）根据分层抽样，由频率分布直方图知成绩在和内的人数比例为，所以抽取的5人中，成绩在内的有人，记为，；成绩在内的有人，记为，，，从5人中任意选取2人，有，，，，，，，，，，共10种可能；其中选取的2人中恰有1人成绩在区间内的有，，，，，，共6种可能；故所求的概率为．9．（2024·高一·北京延庆·期末）为了了解某校高一学生一次体育健康测试的得分情况，一位老师采用分层抽样的方法选取了20名学生的成绩作为样本，来估计本校高一学生的得分情况，并以，，，，分组，作出了如图所示的频率分布直方图，规定成绩不低于90分为“优秀”.(1)从该学校高一学生中随机选取一名学生，估计这名学生本次体育健康测试成绩“优秀”的概率；(2)从样本成绩优秀的，两组学生中任意选取2人，记为，中的学生为，中的学生为，求这2人来自同一组的概率；(3)从成绩在的学生中任取3名学生记为A组，从成绩在的学生它任取3名学生记为B组，这两组学生的得分记录如下：A组:；B组:.写出a为何值时，A、B两组学生得分的方差相等（结论不要求证明）.【解析】（1）频率分布直方图中，成绩优秀的两组学生，频率为，

所以估计这名学生本次体育健康测试成绩“优秀”的概率为0.3.（2）样本中，组中有人，组中有人，

从样本成绩优秀的，两组学生中任意选取2人，其样本空间可记为：共包含15个样本点,记