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文档简介

数学

(考试时间:120分钟试卷满分:150分)

全国新高考卷的题型会有所调整,考试题型为8(单选题)+3(多选题)+3(填

空题)+5(解答题),其中最后一道试题是新高考地区新增加的题型,主要涉及集合、

数列,导数等模块,以解答题的方式进行考查。

预测2024年新高考地区数列极有可能出现在概率与统计大题中,而结构不良型题

型可能为集合或导数模块中的一个,出现在19题的可能性较大,难度中等偏上,例如

本卷第19题。

第I卷(选择题)

一'选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只

有一项是符合要求的。

1.已知样本数据4无2,…,为00的平均数和标准差均为4,则数据-占

的平均数与方差分别为()

A.-5,4B.-5,16C.4,16D.4,4

2.己知向量.=(1,2),忖=3,卜-2*而',则向量a在向量6上的投影向量的模长

为()

A.6B.3C.2D.述

5

3.已知在等比数列{%}中,2出+4=15,a2a3a4=729,则Sn-a"=()

A.2X3"T一2B.C.2x3"-nD.5x3"-3

4.已知三棱锥A-3CD中,AB=6,AC=3,BC=35/L三棱锥A-JBCD的体积为生m,

2

其外接球的体积为苛兀,则线段。长度的最大值为()

A.7B.8C.772D.10

5.一个信息设备装有一排六只发光电子元件,每个电子元件被点亮时可发出红色光、

蓝色光、绿色光中的一种光.若每次恰有三个电子元件被点亮,但相邻的两个电子元件不

能同时被点亮,根据这三个被点亮的电子元件的不同位置以及发出的不同颜色的光来表

示不同的信息,则这排电子元件能表示的信息种数共有()

A.60种B.68种C.82种D.108种

6.已知4=2一/,^=iogic=log23,则()

A.6z<Zr<cB.c^b^aC.D.b^c^a

7.纯电动汽车是以车载电源为动力,用电机驱动车轮行驶,符合道路交通、安全法规

各项要求的车辆,它使用存储在电池中的电来发动.因其对环境影响较小,逐渐成为当

今世界的乘用车的发展方向.研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变,1898年

Peukert提出铅酸电池的容量C、放电时间/和放电电流/之间关系的经验公式:C=/",

其中九为与蓄电池结构有关的常数(称为Peukert常数),在电池容量不变的条件下,当

放电电流为7.5A时,放电时间为60h;当放电电流为25A时,放电时间为15h,则该蓄

电池的Peukert常数彳约为(参考数据:1g2。0.301,1g3ao.477)()

A.1.12B.1.13

C.1.14D.1.15

22

8.已知双曲线-4=l(a>0,b>0)与抛物线C2:y=2px(p>0),抛物线C?的准

ab

线过双曲线的焦点尸,过点歹作双曲线G的一条渐近线的垂线,垂足为点延长

月与抛物线C?相交于点N,若ON+30P=4OM,则双曲线G的离心率等于()

A.73+1B.C.V2D.V2+1

二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项

符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.

9.在复平面内,下列说法正确的是()

A.若复数Z=「(i为虚数单位),则z74=-l

B.若复数z满足z=[,则zeR

C.若2必2=0,则Z1=O或Z2=0

D.若复数z满足|z-l|+|z+l|=2,则复数z对应点的集合是以坐标原点。为中心,

焦点在X轴上的椭圆

10.设直线系M:xcos"9+ysin"e=l(其中0,小,w均为参数,0<0<2n,w,ne{l,2)),

则下列命题中是真命题的是()

A.当机=1,〃=1时,存在一个圆与直线系M中所有直线都相切

B.存在优,n,使直线系M中所有直线恒过定点,且不过第三象限

C.当加=〃时,坐标原点到直线系M中所有直线的距离最大值为1,最小值为变

2

D.当m=2,〃=1时,若存在一点A(“,0),使其到直线系M中所有直线的距离不

小于1,贝!JaWO

11.如图所示,一个圆锥SO的底面是一个半径为3的圆,AC为直径,且/ASC=120。,

点B为圆。上一动点(异于A,C两点),则下列结论正确的是()

A./S4B的取值范围是

62_

B.二面角S-3C-A的平面角的取值范围是[,鼻

C.点A到平面5BC的距离最大值为3

D.点M为线段S3上的一动点,当&时,AM+MO6

第口卷(非选择题)

三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.

12.设集合A={x|V一无一6<0},B^[x\-a<x<a},若A=B,则实数。的取值范围

是.

13.已知三棱柱ABC-A耳G中,ABC是边长为2的等边三角形,四边形与4为菱

形,ZA,AB=60°,平面ABBA,平面ABC,〃为AB的中点,N为B片的中点,则三

棱锥Q-AtMN的外接球的表面积为.

,_/、,,,a(]wc—Inx)1,

14.已知对任思玉,%24。,"("00),且当王<X2时,都有:----0-----<1"1-----,贝的

X2—XiXxX2

取值范围是.

四'解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)在"C中,内角A,B,C所对的边分别a,b,c,其中a=b+2,c=06,

且sinA=A/2sinC-

⑴求c的值;

⑵求tanA的值;

⑶求cos12A+j的值.

16.(15分)如图,在三棱锥P-ABC中,M为AC边上的一点,ZAPC=ZPMA=90°,

cosZCAB=—,AB=2PC=76,PA=6

3

(1)证明:AC_L平面BBAf;

(2)设点。为边PB的中点,试判断三棱锥尸-ACQ的体积是否有最大值?如果有,请求

出最大值;如果没有,请说明理由.

17.(15分)近年来,某大学为响应国家号召,大力推行全民健身运动,向全校学生

开放了两个健身中心,要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当

的体育锻炼.

(1)该校学生甲、乙、丙三人某周均从A2两个健身中心中选择其中一个进行健身,若甲、

乙.丙该周选择A健身中心健身的概率分别为;求这三人中这一周恰好有一人选

择A健身中心健身的概率;

(2)该校学生丁每周六、日均去健身中心进行体育锻炼,且这两天中每天只选择两个健身

中心的其中一个,其中周六选择A健身中心的概率为;.若丁周六选择A健身中心,则

周日仍选择A健身中心的概率为:;若周六选择5健身中心,则周日选择A健身中心的

4

概率为I.求丁周日选择8健身中心健身的概率;

(3)现用健身指数上(左40,10])来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果,并规定

上值低于1分的学生为健身效果不佳的学生,经统计发现从全校学生中随机抽取一人,

其上值低于1分的概率为0.12.现从全校学生中随机抽取一人,如果抽取到的学生不是健

身效果不佳的学生,则继续抽取下一个,直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止,但

抽取的总次数不超过若抽取次数的期望值不超过23,求,的最大值.

参考数据:0.9829«0.557,0.9830«0.545,0.9831»0.535.

18.(17分)已知椭圆C:E+£=l(a>6>0)的上下顶点分别为耳,与,左右顶点分别

ab

为a,4,四边形a片&为的面积为6石,若椭圆c上的点到右焦点距离的最大值和最

小值之和为6.

⑴求椭圆C的方程;

⑵过点(-1,0)且斜率不为o的直线/与c交于P,。(异于A,4)两点,设直线右尸与

直线4。交于点加,证明:点”在定直线上.

19.(17分)给定整数〃之3,由"元实数集合尸定义其随影数集。={|x-加尤,yeP,尤沪y}.

若min(Q)=l,则称集合尸为一个"元理想数集,并定义尸的理数f为其中所有元素的绝

对值之和.

⑴分别判断集合5={-2,-1,2,3},7={-0.3,-1.2,2.1,2.5}是不是理想数集;(结论不要求

说明理由)

⑵任取一个5元理想数集尸,求证:|min(P)|+|max(尸心4;

⑶当「={公孙…,々期}取遍所有2024元理想数集时,求理数f的最小值.

注:由〃个实数组成的集合叫做〃元实数集合,max(P),min(P)分别表示数集尸中的最

大数与最小数.

数学

(考试时间:120分钟试卷满分:150分)

全国新高考卷的题型会有所调整,考试题型为8(单选题)+3(多选题)+3(填

空题)+5(解答题),其中最后一道试题是新高考地区新增加的题型,主要涉及集合、

数列,导数等模块,以解答题的方式进行考查。

预测2024年新高考地区数列极有可能出现在概率与统计大题中,而结构不良型题

型可能为集合或导数模块中的一个,出现在19题的可能性较大,难度中等偏上,例如

本卷第19题。

第I卷(选择题)

一'选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只

有一项是符合要求的。

1.已知样本数据士,々,…,占oo的平均数和标准差均为4,贝!)数据一五一1,一%T,…,fooT

的平均数与方差分别为()

A.-5,4B.-5,16C.4,16D.4,4

【答案】B

【详解】由题意知样本数据4尤2,,石00的平均数和标准差均为4,则石,尤2,…的方

差为16,

则f,-尤2,…,Foo的平均数为-4,方差为(-1)2xl6=16,

故,-占00-1的平均数为T-1=-5,方差16,

故选:B

2.已知向量&=0,2),网=3,卜-2.=a,则向量a在向量B上的投影向量的模长

为()

A.6B.3C.2D.

5

【答案】C

【详解】因为。=(1,2),所以同=石,

因为卜一2可=&7,所以,一26『=17,

所以。.a-4a.〃+4b/=17,又卜卜3,

\a-b\6

所以小6=6,所以向量口在向量b上的投影向量的模的值为W=g=2,

故选:C.

3.已知在等比数列{%}中,2a2+%=15,a2a3a4=729,则S“-%=()

A.2X3"T—2B.C.2x3"-nD.5x3"-3

【答案】B

【详解】因为在等比数列{4}中,/。3%=729,所以城=729,解得生=9,

又2a2+的=15,解得4=3,

设等比数列{4}的公比为/则4=£=(=3,

所以4=1,所以S“_aa="一37=g(3"T_l).

故选:B.

4.已知三棱锥A-3CD中,AB=6,AC=3,8C=3石,三棱锥A-BCD的体积为空5,

2

其外接球的体积为器兀,则线段。长度的最大值为()

A.7B.8C.772D.10

【答案】C

【详解】因为球的体积为器兀,所以球的半径R满足郢兀=:成3,可得R=5;

XAB=6,AC=3,BC=3A/3,因此AB?=AC?,即ZAC3=90,此时

SABC=gx3x3^=¥^;

设点。到平面ABC的距离为"贝口酸生叵=生四,可得力=7,

322

因为。在球的截面圆上,设截面圆所在的平面为。,当a与平面ABC平行时,DC有

最大值;

设球心到平面A3C的距离为d,而一MC的外心即为AB的中点,外接圆的半径为

-AB^3,

2

则d=152-3?=4,故球心到平面a的距离为7-4=3,

可知截面圆半径为752-32=4;

设C在平面a上的射影为E,则E的轨迹为圆,如下图所示:

设该圆圆心为。,则当。。,石三点共线时且点。在。,石中间时,OE最长,

此时DE=3+4=7,故线段8长度的最大值为7应.

故选:C

5.一个信息设备装有一排六只发光电子元件,每个电子元件被点亮时可发出红色光、

蓝色光、绿色光中的一种光.若每次恰有三个电子元件被点亮,但相邻的两个电子元件不

能同时被点亮,根据这三个被点亮的电子元件的不同位置以及发出的不同颜色的光来表

示不同的信息,则这排电子元件能表示的信息种数共有()

A.60种B.68种C.82种D.108种

【答案】D

【详解】每次恰有三个电子元件被点亮,但相邻的两个电子元件不能同时被点亮,

所以需把3个亮的发光原件插入未点亮的元件中,有C:=4种方法,

且不同颜色数有3x3x3=27种,

所以这排电子元件能表示的信息种数共有4x27=108种.

故选:D

6.已知a=2-",bTogj;,c=log23,贝i]()

4J

A.a<b<icB.c^b^aC.b<~a<cD.b<.c<.a

【答案】A

【详解】由指数函数与对数函数的性质可得,a=2-ll<2-1=^

1117I1.I1

-=logj\<b=log]-<logi-=l,c=log23>log22=I,

242W344

所以。<6<C,

故选:A.

7.纯电动汽车是以车载电源为动力,用电机驱动车轮行驶,符合道路交通、安全法规

各项要求的车辆,它使用存储在电池中的电来发动.因其对环境影响较小,逐渐成为当

今世界的乘用车的发展方向.研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变,1898年

Peukert提出铅酸电池的容量C、放电时间/和放电电流/之间关系的经验公式:C=,

其中几为与蓄电池结构有关的常数(称为Peukert常数),在电池容量不变的条件下,当

放电电流为7.5A时,放电时间为60h;当放电电流为25A时,放电时间为I5h,则该蓄

电池的Peukert常数几约为(参考数据:恒2。0.301,1g3ao.477)()

A.1.12B.1.13

C.1.14D.1.15

【答案】D

【详解】由题意知C=7.5'x60=25/xl5,

所以[Tl[=[=4,两边取以10为底的对数,得21gl=21g2,

21g22x0.301

所以力=“15

l-lg31-0.477

故选:D.

22

8.已知双曲线£:1-2=1(">0,6>0)与抛物线C2:V=2px(p>0),抛物线C,的准

a-b

线过双曲线Ci的焦点尸,过点尸作双曲线G的一条渐近线的垂线,垂足为点加,延长

引度与抛物线G相交于点N,若ON+3O尸=4QW,则双曲线G的离心率等于()

A.6+1B.号?C.72D.72+1

【答案】C

【详解】设双曲线的焦距为2c,

抛物线Q的准线过双曲线G的焦点F,

••——C=>——=C,

22

b[be]

又•.S(_c,0)至IJy=、x的距离d=j.+心=b,^\MF\=b,

ON+3OF=4OMON-OM=3OM-3OF,•>-MN=3FM,

.-\NM\=3b,则|7W|=4b,

22

.,JOF\=cf^\OM\=ylFO-FM=a,

过N作轴,则RWFNP,

&=盟=粤=£=岛处也

FN17Vpi|FP|4b|NP||FP|11c11c

因此尸

4a2b2=(4Z?2—c2)c2=>c4=4Z?2(c2—a2)=4Z?4=>c2=2b2,故,=2a2,

故e=0.故选:C.

二'选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项

符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.

9.在复平面内,下列说法正确的是()

A.若复数2=紧(i为虚数单位),则z74=-l

1+1

B.若复数z满足z=』,则zeR

C.右Z]Z2=0,则zi=O或Z2=0

D.若复数z满足|z-l|+|z+l|=2,则复数z对应点的集合是以坐标原点。为中心,

焦点在x轴上的椭圆

【答案】ABC

1-i(1»2i

【详解】解:复数z=

17r(l+i)(j)2

因为「=1,所以z,,/1%?一1,故选项A正确;

设z=a+Z?i(a,Z?£R),若复数Z满足z=I

则a+历=a-历,即Z?=0,所以ZER,故选项B正确;

设Z]=m+〃i(机,几£R),z2=c+%(c,d£R),

则z/2=(m+叫(c+溃)=侬一次Z+(m6?+〃c)i.

因为2送2=me—nd—[md+nc)i,且Z1Z2=me—nd—[md+nc)i,

所以Z]Z2=Z1Z2.

若Z1Z2=0,则Z1Z2=O,所以Z1=O或Z2=0,故选项C正确;

由复数z满足|z-l|+|z+l|=2,则复数z对应点的集合是一条线段,故选项D错误.

故选:ABC

10.设直线系M:xcosme+ysin==l(其中0,加,〃均为参数,0<,<2兀,m,Me{l,2}),

则下列命题中是真命题的是()

A.当机=1,〃=1时,存在一个圆与直线系M中所有直线都相切

B.存在如n,使直线系"中所有直线恒过定点,且不过第三象限

C.当〃7="时,坐标原点到直线系M中所有直线的距离最大值为1,最小值为正

2

D.当%=2,〃=1时,若存在一点A(aO),使其到直线系M中所有直线的距离不

小于1,贝!]

【答案】ABD

【详解】A选项,当根=1,〃=1时,M:xcosO+ysinO=l,

设圆为一+,2=i,则圆心(0,0)到直线”:xcos/9+ysin<9=l的距离==1,

,cos6+sin6

■^M:xcosO+ysin0=l^x2+y2=1总相切,A正确;

B选项,当根=〃=2时,M:xcos23+ysin23=1,

由于8$2。+$五。=1,故直线加"852。+*也2。=1恒过(1,1),

若sinO=O时,直线为M:x=l,

若sindwO时,直线“"52。+何11*=1的斜率为_^^40,

sin0

故直线M:xcos23+ysin23=1不过第三象限,

所以存在优,n,使直线系M中所有直线恒过定点,且不过第三象限,B正确;

C选项,当〃2="=1时,A/:xcos6+ysin6=l,

111

坐标原点到直线系M的距离为4=/J,=1,

Vcos26»+sin26»

当当〃?=〃=2时,Mxcos10+ysm10=1,

111

坐标原点到直线系M的距离为d2=/"

Vcos46»+sin46>

其中cos46+sin"0=cos26cos20+sin26sin20<cos20+sin20=1,

故心=/J.4J],C错误.

Vcos6+sm0

D选项,当m=2,〃=1时,M:xcos2+j^sin=1,

/\Lzcos2^-1

点A(〃,o)到直线系M中所有直线的距离4=J」>1,

{cos'0+sin20

化简得(片-l)cos?0>2〃-1恒成立,

由于以光2夕£[0,1],

若4—1=0,解得。=±1,

当a=l时,0>1,不合要求,舍去,

当〃=一1时,02-1,满足要求,

若/—I>。,即。>1或。〈一1,此时("一l)cos?6的最小值为0,

则022。一1,解得故此时a<-L,

2

若—1<0,即一,此时("-l)cos28的最小值为〃2一],

则4—122〃—1,解得或故此时—lva<0,

综上,a<0,D正确.

故选:ABD

11.如图所示,一个圆锥SO的底面是一个半径为3的圆,AC为直径,且NASC=120。,

点3为圆。上一动点(异于A,。两点),则下列结论正确的是()

A.N5AB的取值范围是

62_

(7T7T)

B.二面角S-8C-A的平面角的取值范围是[^,万)

C.点A到平面SBC的距离最大值为3

D.点加为线段S3上的一动点,当&时,AM+MO6

【答案】BD

【详解】由己知AC=6,ZASC=120°,且&1=SC=SS,

CA2-kSC12_AC2

在/ASC中,由余弦定理可知,cosZASC=----------------------,

2SASC

即=2sA—^—―,解得SA=SC=S3=,则SO=\/§'

22SA'

A选项:点8为圆。上一动点(异于A,C两点),

则ABe(O,6),

S^+AB2-SB-AB2

在‘ABS中,cosZSAB=

2sA•AB46AB-473

AB

所以cos/SA2=而§

B选项:取8C中点D,连接SO,OD,则SDL3C,ODA.BC,豆ODIIAB,

(9D=1ABG(0,3),

则二面角S-3C—A的平面角为/SDO,

SO_V3

所以tanZSDO=

OD-OD

所以NSDOeB选项正确;

C选项:由已知SSB。=;BC-SD,

又SABC=^ABBC=ODBC,

则三棱锥S-ABC的体积VSABC==SABCSO=BODBC,

o—/loC3/IDC3

设点点A到平面SBC的距离为d,

则匕,.,d=-BC-SDd=—ODBC,

/I—DBOCr=-r\SOORL.r,c

5oJ

则d=2若型=2gcosZSDOG(0,3),C选项错误;

D选项:当&4_LS8时,AB=^2SA=2y/6,BC=2道,

则ASAB为等腰直角三角形,△SBC为等边三角形,

将平面SBC绕S3至SB。,使C'与SAB共面,

如图所示,

s

--------------

5兀

在.5AC中,NASC=—,

6

由余弦定理可知AC'2=SA2+SC'2-2SA-SC-cosZASC=12+12+1273=24+12>/3>36,

所以AM+MC2AC'>6,D选项正确;

故选:BD.

第n卷(非选择题)

三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.

12.设集合A={x|尤2-X-6<0},B={x\-a<x<a],若A=B,则实数。的取值范围

是.

【答案】[3,+8)

【详角军】集合A={x|/-尤一6<0}={x|(x-3)(x+2)<0)={x|-2<x<3},

yiB={x\-a<x<a],且

[—aW—2]a22「、

故可得,即、:,解得。目3,内).

[a>3[a>3

故答案为:[3,内).

13.已知三棱柱ABC-A耳G中,ABC是边长为2的等边三角形,四边形AB与人为菱

形,Z4AB=60°,平面A网4,平面ABC,"为AB的中点,N为期的中点,则三

棱锥Q-A.MN的外接球的表面积为.

【答案】7兀

【详解】解法一连接A4,\B,记ABA耳=a,则QA=1.

连接O]M,OjN,则0]M=0]N==1,故。i为4MN外接圆的圆心.

取A4的中点。,连接0Q,则。。=;AA=1,所以点。在4成的外接圆上.

连接G。,因为△?!(片G为等边三角形,所以与,cp=6

由平面ABB^1平面ABC,知平面ABB^1平面A}BXCX,

又平面ABB^-}平面AB©=4与,GDu平面A笈G,所以CQ,平面ABB}\.

设三棱锥的外接球半径为R,则R2=F+[?]=:,

故三棱锥Q-&MN的外接球的表面积为4兀代=7%.

解法二连接AB,CM,则△AA8为正三角形,CMLAB,故

因为平面4叫A,平面ABC,平面4阳4〕平面ABC=A5,平面A盟A,,

所以平面A3C,

以MB为x轴,MC为,轴,为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

得M(0,0,0),3(1,0,0),A(0,0,A/3),N|,0,事,c(o,若,0),G。,若,君),

由,AMN为等边三角形,则AMN的外接圆圆心为尸

设三棱锥G-AMN的外接球的球心为。,连接OP,OM,OC”

则OP_L平面AMN,又CM_L平面4MN,所以0PCM.

设。

gm,,由C»G=OM,可得

、2

I+m2+使T

7bJ

解得7”=立,因此球心当,W],故外接球半径R=O〃=立,

2U22I2

2

故三棱锥Q-&MN的外接球的表面积S=4兀=7兀.

故答案为:7兀

/、a(]wc-lux,)1

14.已知对任意不吃武。,”),且当&%时,都有:——0---<i+——,则”的

x2XxX2

取值范围是.

【答案】S,2]

..,_/x,a(k\x-Inx.)1,、

【详解】因为对任意外,马€(0,口),且当玉<龙2时0——-<1+恒成立,

马一玉七%2

冗—X

2

所以a\nx,-alnxj<x2-x{+~'1■■恒成立,

XxX2

I.11一

所以a\nx2-(Ax\xx<x2-jqH----------怛成立,

%x2

所以〃1叫一々+—<41叫_石+工恒成立①,

x2七

令/(%)=a\nx-x+—,xG(0,+a),

由①式可得〃X2)</(%),所以/(%)在(。,+。)上单调递减,

所以/(X)=-Jm+1V0在(0,+回上恒成立,

所以f一依+120在(0,+8)上恒成立,

所以在(0,+8)上恒成立,又X+L,口=2,当且仅当了=工,即彳=1时取

XX\XX

等号,

・•.♦W2.故答案为:(F,2]

四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)在&ABC中,内角A,8,C所对的边分别a,b,c,其中a=6+2,c=06,

且sinA=A/2sinC-

⑴求c的值;

⑵求tanA的值;

⑶求cos[2A+?)的值.

【答案】⑴2忘⑵一件⑶拒-3近

8

【详解1(1)sinA=5/2sinC,

/.a-41c,

a=b+2]。=4

:.<c=y/2b,解得。=2

a=^/2cc=2V2

(2)由余弦定理可得cosA=/一〃=—也,X0<A<TI,

2bc4

I-----z-J14sinA[-

sinA=yJ1-cos2A=---,tanA4=-----=一。7.

4cosA

(3)因为cos2A=2C0S?A-l=--,sin2A=2sinAcosA=-^~,

44

所以cos12A+:=cos2Acos--sin2Asin-=炉一36

448

16.(15分)如图,在三棱锥P-ABC中,M为AC边上的一点,ZAPC=ZPMA=90°,

cosNCAB=/,AB=2PC=76,PA=y/3.

⑴证明:ACmPBM;

⑵设点。为边PB的中点,试判断三棱锥尸-ACQ的体积是否有最大值?如果有,请求

出最大值;如果没有,请说明理由.

【答案】⑴详见解析⑵也

4

【详解】(1)解:因为NAPC=NPM4=90。,AB=2PC=®PA=0

所以4。=,4。2+尸。2=述,由射影定理得Ap2=A".A。,

2

ACr~

所以AM齐=,由余弦定理得曲〃=4"2+.2一=

所以+MABL则NAMB=90,即ACJ_aW,

又因为AC_LPAf,BMcPM=M,

所以AC_L平面PMB;

(2)因为点。为边PB的中点,

=9=

所以VQ-PACJ^B-PAC)又^Q-PAC=Vp-ACQ^B-PAC^P-ABC,

所以yP-ACQ=万匕。-A3C,

因为ACu平面ABC,所以平面ABC1平面PW,

所以点P到平面A3。的距离,即为点尸到的距离,设为九

因为sABC=LAB-ACsin/CAB=L卡・逑•迈=还为定值,

ABC22232

当力最大时,所以三棱锥P-AC。的体积最大,

DA

而尸M=—:—=1,贝lj/z4尸M=l,

AC

当/Z=l时,(LAC。)=-(^ABC)=-X-X^Xl=^.

\P-ACQ/max2VP-ABC7max2324

17.(15分)近年来,某大学为响应国家号召,大力推行全民健身运动,向全校学生

开放了A3两个健身中心,要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当

的体育锻炼.

(1)该校学生甲、乙、丙三人某周均从两个健身中心中选择其中一个进行健身,若甲、

乙、丙该周选择A健身中心健身的概率分别为g求这三人中这一周恰好有一人选

择A健身中心健身的概率;

(2)该校学生丁每周六、日均去健身中心进行体育锻炼,且这两天中每天只选择两个健身

中心的其中一个,其中周六选择A健身中心的概率为,若丁周六选择A健身中心,则

周日仍选择A健身中心的概率为:;若周六选择5健身中心,则周日选择A健身中心的

4

概率为f.求丁周日选择8健身中心健身的概率;

(3)现用健身指数女化40,10])来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果,并规定

%值低于1分的学生为健身效果不佳的学生,经统计发现从全校学生中随机抽取一人,

其左值低于1分的概率为0.12.现从全校学生中随机抽取一人,如果抽取到的学生不是健

身效果不佳的学生,则继续抽取下一个,直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止,但

抽取的总次数不超过”•若抽取次数的期望值不超过23,求〃的最大值.

参考数据:0.9829x0.557,0.9830«0.545,0.9831«0.535.

713

【答案】⑴/;(2)—;(3)30.

1oZ4

【详解】(1)由题意得这三人中这一周恰好有一人选择A健身中心健身的概率

7

18'

(2)记事件C:丁周六选择A健身中心,事件。:丁周日选择8健身中心,

_11a_n1

则P(C)=PQ)=»,P(OC)=I-『『尸(00=1-

__1a111a

由全概率公式得尸(。)=P(C)P(D|C)+P(C)P(£>|C)=-X4+-x^=-.

故丁周日选择8健身中心健身的概率为二13.

24

(3)设从全校学生中随机抽取1人,抽取到的学生是健身效果不佳的学生的概率为P,

则P=0.12,

设抽取次数为X,则X的分布列为

X123Ln-1n

pp(1-p)p(1-PTPL(1-P),(1-p尸

故E(X)=p+(l-p)px2+(l-p)2px3++(1-p)"-2-1)+(1-Xn,

(l-p)E(X)=(l-2)p+(l-p)2px2+(l-p)3px3+.+(l_p)"T/X(〃-l)+(l_p)"X”,

两式相减得pE(X)=p+(l_p)p+(l_p)2p++(l-p)n_2p+(l_p)"Tp,

所以E(X)=]+(l-p)+(l_p)~++(1-2厂+(1-0广

1-(1-0〃_1-(1-^)H(1+H)_l-0.98n

P0.02

1-0w

而E(x)=在九GN*时单调递增,

170.02

1—0.98〃1-0.557

可知当〃=29时,E(X)==22.15;

0.02~0.02

1-0.98"1-0.545「…

当〃二30时,E(X)=--------«--------=22.75;

0.020.02

1-0.98"1-0.535

当〃=31时,E(X)==23.25.

0.020.12

若抽取次数的期望值不超过23,则〃的最大值为30.

18.(17分)已知椭圆C:(+2

%=l(a>b>0)的上下顶点分别为BQ?,左右顶点分别

a

为4,4,四边形a耳4乡的面积为6石,若椭圆。上的点到右焦点距离的最大值和最

小值之和为6.

(1)求椭圆。的方程;

⑵过点(-1,。)且斜率不为。的直线/与。交于RQ(异于4,4)两点,设直线4P与

直线AQ交于点加,证明:点时在定直线上.

【答案】⑴5+=1(2)证明见解析

5

【详解】(1)设右焦点坐标为鸟(G。),椭圆。上的一点7(私几),则-。4加工。,

2222

故与+勺=1,即”2=/一bm

aba2

b2m2

则T(m,n)到右焦点的距离d=J(加-c),〃2m2-2cm+c2+Z?2—

a2

22

cm82cm

-2cm+a=-------a

a2a

cm,em,

因为一c4利所以一cV——<c—c—QW-----aWc-a,

aa

cm

故a-cV----a<a+c,

a

即椭圆C上的点到右焦点距离的最大值为a+c,最小值为a-c,

故〃+C+Q—C=2Q=6,角星得々=3,

又四边形纥的面积为阕•懈周=白2心26=2仍=6出,

故。6=36,所以6=6,

椭圆方程为寸+父=1;

(2)当过点(-1,0)且斜率不存在时,直线/方程为x+l=O,

|_+5=1中,令-1得一=±半,

直线4尸:3=二_(尤_3)'即4尸寸=—-

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