2024年吉林省长春市中考数学复习训练试卷（一）

第1页（共1页）2024年吉林省长春市中考数学复习训练试卷（一）一．选择题（每题3分，共24分）1．下列各数中最小的数是（）A．﹣3 B．π C． D．52．今年1月3日，我国的嫦娥四号探测器成功在月球背面着陆，标志着我国已经成功开始了对月球背面的研究，填补了国际空白．月球距离地球的平均距离为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（）A．384×103 B．3.84×105 C．38.4×104 D．0.384×1063．某运动会颁奖台如图所示，它的左视图是（）A． B． C． D．4．下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6 B．（2a﹣b）2＝4a2﹣b2 C．a6÷a﹣2＝a﹣3 D．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b65．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC，BD是⊙O的直径，若AD＝3，则BC＝（）A．2 B．3 C．3 D．46．如图，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行，光线EF从液体中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，已知∠HFB＝20°，∠FED＝60°，则∠GFH的度数为（）A．20° B．40° C．60° D．80°7．如图，在△ABC中，若∠BAC＝60°，∠B＝75°，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（）A．∠BAD＝30° B．EG＝EC C．AB＝AD D．∠EFD＝25°8．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，点D在双曲线y＝（k≠0）上．将正方形沿x轴负方向平移a个单位长度后，点C恰好落在该双曲线上，则a的值（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题（每题3分，共18分）9．把多项式16mx2﹣4m分解因式的结果是．10．关于x的方程kx2+4x+2＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是．11．如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60°，如果这时气球的高度CD为100米，且点A、D、B在同一直线上，则建筑物A、B之间的距离为米（结果保留根号）．12．如图，已知的半径为5，所对的弦AB长为8，点P是的中点，将绕点A逆时针旋转120°后得到，则在该旋转过程中，点P的运动路径长是．13．如图，AB＝4cm，BC＝5cm，AC＝2cm，将△ABC沿BC方向平移acm（0＜a＜5），得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为cm．14．如图，学校要在校园内建一个矩形的开心农场，其中一边AD是围墙，且AD的长不能超过28m，其余三边AB，BC，CD用60m长的铁质栅栏．有下列结论：①AB的长可以为15m；②当农场ABCD面积为200m2时，满足条件的AB的长只有一个值；③农场ABCD面积的最大值为450m2；④若把农场的形状改成半圆形，且直径一侧利用已有围墙，则农场的面积可以超过560m2．其中，正确结论的是．（只需填序号）三．解答题（共10小题，共78分）15．先化简，然后从﹣1，0，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值．16．国庆假期，小西和同学小婷去大唐不夜城玩，漂亮的团扇吸引了她们的注意力，团扇上不止有唯美的图案，更有古诗，她们喜欢的四把团扇上印的古诗分别是《闻王昌龄左迁龙标遥有此寄》《渡荆门送别》《春望》《黄鹤楼》．因为都非常美，她们想通过随机抽选的方法来确定买哪个，具体方案如下：她们把四首古诗分别写在四张卡片的正面，记为A，B，C，D（这四张卡片的背面都相同），将这四张卡片背面朝上，洗匀．（1）从中随机抽取一张，抽得的卡片所代表的古诗是《黄鹤楼》的概率是．（2）若小西从这四张卡片中随机抽取一张，不放回，小婷再从剩余的三张中随机抽取一张，请利用画树状图或列表的方法，求这两张卡片所代表的古诗均为李白所写的概率．17．每年的5月20日是中国学生营养日，营养专家建议学生早餐最好包括谷类食物、肉蛋类食物和奶豆类食物．小明根据专家的建议为自己搭配了一份400g的营养早餐，蛋白质总含量占10%，包括一个谷物面包，一个鸡蛋和一盒牛奶．他查阅了相关资料，蛋白质含量如下表所示：食物谷物面包鸡蛋牛奶蛋白质含量占比14%13%7%其中一个鸡蛋60克，请计算小明这份营养早餐中需要谷物面包和牛奶各多少克？18．如图①，BD是矩形ABCD的对角线，∠ABD＝30°，AD＝1．将△BCD沿射线BD方向平移到△B'C'D'的位置，使B'为BD中点，连接AB'，C'D，AD'，BC'，如图②．（1）求证：四边形AB'C'D是菱形；（2）四边形ABC'D′的周长为；（3）将四边形ABC'D'沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形周长．19．如图，在一个5×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1．（1）如图1，①直接写出线段AB＝，线段CD＝．②求四边形ABCD的面积．（2）在图2中，画一个三边长分别为，，的三角形，并直接写出这个三角形的面积是．20．甲、乙两名队员各参加十次射击训练，成绩分别被制成如图两个统计图：根据以上信息，整理分析数据如表：平均成绩/环中位数/环众数/环方差甲77b1.2乙7a84.2（1）直接写出：a＝，b＝；（2）请选择适当的统计量，从两个不同的角度说明支持乙参加比赛的理由．21．假定甲、乙、丙三地依次在一条直线上，甲乙两地间的距离为280km，乙丙两地之间的距离为140km．一艘游轮从甲地出发前往丙地，途中经过乙地停留时，一艘货轮也沿着同样的线路从甲地出发前往丙地．已知游轮的速度为20km/h，游轮从甲地到达丙地共用了23小时．若将游轮行驶的时间记为t（h），两艘轮船距离甲地的路程s（km）关于t（h）的图象如图所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．（Ⅰ）写出游轮从甲地到乙地所用的时长；游轮在乙地停留的时长；（Ⅱ）直接写出游轮在行驶的过程中s关于t的函数解析式；（Ⅲ）若货轮比游轮早36分钟到达丙地，则货轮出发后几小时追上游轮？22．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是平面内一点（不与点A，B，C重合），连接BD，CD，∠BDC＝90°，连接AD．将△ADC沿直线AD翻折，得到△ADG，连接CG．（1）如图1，点D在∠ABC内部，BD交AC于点E，点F是BD上一点，且BF＝CD，连接AF．①求证：△ABF≌△ADG；②若，CD＝1，求点G到直线BC的距离．（2）如图2，点D在∠BAC的内部，试探究BD，AD，CG之间的数量关系并说明理由．23．在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA＝90°，点A（5，0），点B在第一象限，点P在边OA（点P不与点O，A重合），过点P作PQ⊥OA，交△OAB的直角边于点Q，将线段QP绕点Q逆时针旋转90°得到线段QM，点P的对应点为M，连接PM．（1）如图①，若点M落在AB上，点B的坐标是，点M的坐标是；（2）设△PQM与△OAB重合部分面积为S，OP＝t．①如图②，若重合部分为四边形PQEF，与边AB交于点E，F，试用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当1≤t≤4时，求S的取值范围．（请直接写出结果即可）24．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点B、C（点B在点C左侧），与y轴相交于点A．已知点B坐标为B（1，0），BC＝3，△ABC面积为6．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P为直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD∥AB，交线段AC于点D．求PD长度的最大值及此时P点的坐标；（3）如图2，将抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线，M为新抛物线对称轴l上一点，N为平面内一点，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出点N的坐标，并写出求解其中一个N点坐标的过程．

参考答案一．选择题1．【解答】解：在﹣3，π，，5这四个数中，∵﹣3＜＜π＜5，∴最小的数是﹣3，故选：A．2．【解答】解：将384000用科学记数法表示为：3.84×105．故选：B．3．【解答】解：从左边看是一个矩形被分为3部分，上面的分线是实线，下面的分线是虚线．故选：C．4．【解答】解：A、原式＝a5，不符合题意；B、原式＝4a2﹣4ab+b2，不符合题意；C、原式＝a8，不符合题意；D、原式＝﹣8a3b6，符合题意．故选：D．5．【解答】解：过点O作OE⊥BC于点E，如图所示：∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，又∵对应圆周角为∠ACB和∠ADB，∴∠ACB＝∠ADB＝30°，而BD为直径，∴∠BAD＝90°，在Rt△BAD中，∠ADB＝30°，AD＝3，∴cos30°＝＝＝，∴BD＝2，∴OB＝，又∵∠ABD＝90°﹣∠ADB＝90°﹣30°＝60°，∠ABC＝30°，∴∠OBE＝30°，又∵OE⊥BC，∴△OBE为直角三角形，∴cos∠OBE＝cos30°＝＝，∴BE＝，由垂径定理可得：BC＝2BE＝2×＝3，故C正确，故选：C．6．【解答】解：∵AB∥CD，∠FED＝60°，∴∠FED＝∠GFB＝60°，∵∠HFB＝20°，∴∠GFH＝∠GFB﹣∠HFB＝40°，故选：B．7．【解答】解：A．由作图可知，AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝30°，故选项A正确，不符合题意；B．由作图可知，GE是BC的垂直平分线，∴∠GEC＝90°，∵∠BAC＝60°，∠B＝75°，∴∠C＝180°﹣60°﹣75°＝45°，∴EG＝EC，故选项B正确，不符合题意；C．∵∠B＝75°，∠BAD＝30°，∴∠ADB＝75°，∴∠B＝∠ADB，∴AB＝AD，故选项C正确，不符合题意；D．∵∠FDE＝∠ADB＝75°，∠FED＝90°，∴∠EFD＝90°﹣75°＝15°，故选项D错误，符合题意．故选：D．8．【解答】解：作CE⊥y轴于点E，交双曲线于点G．作DF⊥x轴于点F．在y＝﹣2x+4中，令x＝0，解得：y＝4，∴B的坐标是（0，4）．令y＝0，解得：x＝2，∴A的坐标是（2，0）．∴OB＝4，OA＝2．∵∠BAD＝90°，∴∠BAO+∠DAF＝90°，又∵直角△ABO中，∠BAO+∠OBA＝90°，∴∠DAF＝∠OBA，在△OAB和△FDA中，，∴△OAB≌△FDA（AAS），同理，△OAB≌△FDA≌△BEC，∴AF＝OB＝EC＝4，DF＝OA＝BE＝2，∴D的坐标是（6，2），C的坐标是（4，6）．∵点D在双曲线y＝（k≠0）上，∴k＝6×2＝12，∴函数的解析式是：y＝．把y＝6代入y＝得：x＝2．∴a＝4﹣2＝2．故选：B．二．填空题（共6小题）9．【解答】解：16mx2﹣4m＝4m（4x2﹣1）＝4m（2x﹣1）（2x+1）．故答案为：4m（2x﹣1）（2x+1）．10．【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝42﹣4k×2＞0，解得k＜且k≠0．故答案为：k＜且k≠0．11．【解答】解：在直角△ACD中，∠A＝30°，tanA＝，∴AD＝CD＝100（米）；同理，BD＝CD＝（米），则AB＝AD+BD＝（米）．故答案为：．12．【解答】解：设所在圆的圆心是O，作半径OP⊥AB于H，连接OA，PA，AP′，∴AH＝AB＝×8＝4，P是的中点，∵OA＝5，∴OH＝＝3，∴PH＝OP﹣OH＝5﹣3＝2，∴AP＝＝2，由题意得：∠PAP′＝120°，∴以A为圆心，PA长为半径的的长＝＝π，∴点P的运动路径长是π．故答案为：π．13．【解答】解：由平移的性质可知：DE＝AB＝4cm，AD＝BE＝acm，∴EC＝（5﹣a）cm，∴阴影部分的周长＝AD+EC+AC+DE＝a+（5﹣a）+2+4＝11（cm），故答案为：11．14．【解答】解：设AD边长为xm，则AB边长为长为m，当AB＝15时，＝15，解得x＝30，∵AD的长不能超过28m，∴x≤28，故①不正确．∵菜园ABCD面积为200m2，∴x•＝200．∴x＝30±10．又x≤28，∴x＝30﹣10．∴满足条件的AB的长只有一个值，故②正确．由题意，设矩形菜园的面积为ym2，根据题意得：y＝x•＝﹣（x﹣30）2+450，∵﹣＜0，x≤28，∴当x＝28时，y有最大值，最大值为448m2不可能为450m2．故③不正确．∵直径一侧是围墙，当直径取最大值28时，半圆的弧长为π×28＜60，∴设沿AD方向栅栏延伸a米，则π（28+a）＝60﹣a．∴a≈6.2．∴农场的最大面积为π（）2≈459.1＜560．∴农场的面积不超过560m2．故④错误．故答案为：②．三．解答题（共10小题）15．【解答】解：原式＝（﹣）÷＝•＝•＝•＝﹣，∵x+1≠0，x﹣2≠0，∴x≠﹣1，x≠2，∴当x＝0时，原式＝﹣＝1．16．【解答】解：（1）由题意得，从中随机抽取一张，抽得的卡片所代表的古诗是《黄鹤楼》的概率是．故答案为：．（2）由题意知，为李白所写的古诗有《闻王昌龄左迁龙标遥有此寄》和《渡荆门送别》，共2首，画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中这两张卡片所代表的古诗均为李白所写的结果有：（A，B），（B，A），共2种，∴这两张卡片所代表的古诗均为李白所写的概率为＝．17．【解答】解：设小明这份营养早餐中需要谷物面包x克，牛奶y克，根据题意得：，解得：，答：小明这份营养早餐中需要谷物面包120克，牛奶220克．18．【解答】解：（1）∵BD是矩形ABCD的对角线，∠ABD＝30°，∴∠ADB＝60°，由平移可得，B'C'＝BC＝AD，∠D'B'C'＝∠DBC＝∠ADB＝60°，∴AD∥B'C'∴四边形AB'C'D是平行四边形，∵B'为BD中点，∴Rt△ABD中，AB'＝BD＝DB'，又∵∠ADB＝60°，∴△ADB'是等边三角形，∴AD＝AB'，∴四边形AB'C'D是菱形；（2）由平移可得，AB＝C'D'，∠ABD'＝∠C'D'B＝30°，∴AB∥C'D'，∴四边形ABC'D'是平行四边形，由（1）可得，AC'⊥B'D，∴四边形ABC'D'是菱形，∵AB＝AD＝，∴四边形ABC'D′的周长为4，故答案为：4；（3）将四边形ABC'D'沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形如下：∴矩形周长为6+或2+3．19．【解答】解：（1）①AB＝＝2，CD＝＝．故答案为：2，；②四边形ABCD的面积＝△ADB的面积+△BDC的面积＝×4×2+×4×3＝10；（2）△ABC如图2所示．△ABC的面积＝2×4﹣×2×3﹣×1×1﹣×1×4＝2.5．故答案为：2.5．20．【解答】解：（1）乙队员10次射击成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝7.5，因此乙队员射击成绩的中位数是7.5，即a＝7.5；甲队员射击成绩出现次数最多的是7环，共出现4次，因此甲射击成绩的众数是7环，即b＝7；故答案为：7.5，7；（2）乙的中位数、众数都比甲的中位数、众数要大，因此从中位数、众数上看，乙队员的成绩好于甲队员的成绩．21．【解答】解：（1）游轮从甲地到乙地所用的时间为：280÷20＝14（小时），游轮从乙地到丙地所用的时间为：140÷20＝7（小时），∵游轮从甲地到丙地共用了23小时，∴游轮在乙地停留的时间为：23﹣14﹣7＝2（小时），故答案为：14，2；（2）由（1）得：A点坐标为：（14，280），∵游轮到乙地后停留2小时，∴B的坐标为：（16，280），C的坐标为：（23，420），设OA段的解析式为：s＝kt（k≠0），∴280＝14k，解得：k＝20，∴s＝20t（0≤t≤14），AB段的解析式为：s＝280（14≤t≤16），设BC段的解析式为s＝k1t+b（k1≠0），∴，解得：，∴BC段的解析式为s＝20t﹣40（16＜t≤23）；（3）由题意得，游轮出发14小时后，货轮再出发，且比游轮早36分钟到达丙地，36分钟＝0.6小时，∴货轮行驶的时间为：23﹣14﹣0.6＝8.4（小时），∴货轮的速度为：420÷8.4＝50（km/h），设货轮出发后x小时追上游轮，则游轮行驶的时间为：14+x﹣2＝（12+x）小时，∴20（12+x）＝50x，解得：x＝8，答：货轮出发8小时追上游轮．22．【解答】（1）①证明：∵∠BDC＝∠BAC＝90°，∴∠ABF+∠BAC+∠AEB＝∠ACD+∠BDC+∠CED，∴∠AEB＝∠CED，∴∠ABF＝∠ACD，在△ABF和△ACD中，，∴△ABF≌△ACD（SAS）．②解：∵△ABF≌△ACD，∴∠BAF＝∠CAD，AF＝AD，∴∠FAD＝∠CAD+∠FAC＝∠BAF+∠FAC＝90°，∴∠ADF＝45°，，∴∠ADC＝∠ADF+∠BDC＝135°，∴BD＝BF+FD＝CD+FD＝2，∴，∵翻折，∴∠ADG＝∠ADC＝135°，DG＝DC＝1，∴∠CGD＝360°﹣∠ADC﹣∠ADG＝90°，∴，∵∠BDC+∠GDC＝180°，∴点B，D，G共线，∴BG＝BD+DG＝3，设点G直线BC的距离为h，则，解得，即点G到直线BC的距离为．（2）解：如图，过A作AH⊥AD交DC的延长线于点H，∴∠DAH＝∠DAC+∠CAH＝90°，∵∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAH，∵∠BDC＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝360°﹣∠BDC﹣∠BAC＝180°，∵∠ACH+∠ACD＝180°，∴∠ABD＝∠ACH，在△ABD和△ACH中，，∴△ABD≌△ACH（ASA），∴BD＝CH，AD＝AH，∴∠ADH＝45°，∵翻折，∴∠ADG＝∠ADC＝45°，DG＝DC，∴∠CDG＝90°，∴，∵CD+CH＝DH，∴．23．【解答】解：过点B作BG⊥OA于点G，过点M作MN⊥OA于点N，如图，∵△OAB是等腰直角三角形，∠OBA＝90°，∴BG＝OG＝GA＝OA．∵点A（5，0），∴OA＝5，∴BG＝OG＝．∴B（，）．设OP＝x，则PQ＝QM＝x，∵PQ⊥OA，QM⊥PQ，∴△PQM为等腰直角三角形，∴PM＝x．∵QM∥PO，OP＝QM，∴四边形OPMQ为平行四边形，∴PM∥OB，∴∠MPA＝∠BOA＝45°，∴△PMA为等腰直角三角形，∴AP＝PM＝2x，∴OA＝OP+PA＝3x＝5，∴x＝．∵PQ⊥OA，QM⊥PQ，MN⊥OA，∴四边形PQMN为矩形，∵PQ＝MQ，∴四边形PQMN为正方形，∴PN＝PQ＝MN＝，∴ON＝．∴M（，）．故答案为：（，）；（，）；（2）①当＜t＜时，如图，∵OP＝t，∴PA＝5﹣t．由（1）知：四边形OQMP为平行四边形，△PQM为等腰直角三角形，∴PQ＝QM＝t，PM＝PQ＝t．∵△PFA为等腰直角三角形，∴PF＝FA＝PA＝（5﹣t），∠PFA＝90°，∴∠MFE＝90°，∴△EFM为等腰直角三角形，∴EF＝FM＝PM﹣PF＝t﹣（5﹣t）＝t﹣，∴S＝S△PQM﹣S△MEF＝PQ•QM﹣EF•FM＝t2﹣＝+t﹣．∴用含t的式子表示S＝+t﹣，t的取值范围为＜t＜．②当1≤t≤时，△PQM与△OAB重合部分面积为△PQM的面积，∴S＝，当t＝1时，S＝，当t＝时，S＝；当＜t＜时，S＝+t﹣＝﹣+，∴当t＝时，S的最大值为；当≤t≤4时，如图，△PQM与△OAB重合部分面积为△PQL的面积，由题意：△PQA，△PQL为等腰直角三角形，PA＝5﹣t，∴PQ＝5﹣t，∴PL＝PQ＝（5﹣t），∴S＝PL•QL＝＝，当t＝时，S＝，当t＝4时，S＝．综上，当1≤t≤4时，S的取值范围≤S≤．24．【解答】解：（1）∵S△ABC＝BC•OA＝6，BC＝3，B（1，0），∴OA＝4，C（4，0），∴A（0，4），∴，解得，