2024中考数学特色题型之取值范围题（原卷版）（江苏专用）

中考特色题型专练之取值范围题

几何篇

题型一、与三角形结合

1.如图，在平面直角坐标系g中,已知点&（“一可加+每°）,若直线上总存在一点

C.—9<m<2^/3—1D.-9<m<2^/3—1

2.在平面直角坐标系xOy中，点A（0,3）,B（a,O）,C（m,n）,其中m>a,a<\,«>0,若ABC是等腰直角

三角形，且=则根的取值范围是（）

A.2Vm<3B.m<3C.3<m<4D.m>4

3.如图，ABC中，NB=NC=75。,BC=2,P、。分别是AB、AC边上的两个动点，满足ZBPQ=75。，

求线段PB的取值范围.

4.如图4MN=60°,若sABC的顶点B在射线AM上，且A5=2,动点C从点A出发，以每秒1个单位沿

射线AN运动.

（1）当运动时间t是秒时，ABC是直角三角形.

（2）当运动时间，的取值范围是秒时，ABC是钝角三角形.

5.如图所示，ABC与一。斯是两个全等的直角三角形，NABC=，OE尸=60。，BC=EF=8,

ZC=ZF=90°,且点C、E、B、尸在同一条直线上，将ABC沿CB方向平移，设边A3与DE相交于尸点,

设CE=x,△P3E的面积为S,求S与x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围.

6.如图，在Rt^ABC中，//4。8=90。,4。=2,8。=4,点尸从点A出发，沿折线AC—CB以每秒1个单位

的速度向点3运动，当点P与点A、B、C不重合时，过点尸作其所在直角边的垂线，交AB边于点。，以PQ

为底边，作等腰△PQ。，使点尸运动的时间为f秒.

⑴直接写出A8的长.

(2)分别求出当f=l和f=3时,求线段PQ的长.

⑶在整个运动过程中，过点。作于点H,用含f的代数式表示

⑷当△PQD与ABC重叠部分的图形为三角形时，直接写出r的取值范围.

题型二、与四边形结合

1.如图，四边形ABCD中，8。为对角线，AB=2,CD=2.8,E,尸分别是边AD,3C的中点，则立的

取值范围是（）

A.OA<EF£2.4B,0.4£EF<2AC.0.8<EF£4.8D.0.8£EF<4.8

2.如图，在矩形ABC。中，AB=2,AD=4,£为AD的中点，尸为线段EC上一动点，尸为跖中点，连接尸£）,

则线段尸。长的取值范围是（）

A.2s/2<PD<y/wB.3<PD<A/10C.2<PD<4D.272<PD<4

3.如图所示，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=9,BC=12,点、D、E分别在边AC、BC上，点RG在

A3边上，当四边形D£FG是菱形，且符合条件的菱形只有一个时，则菱形的边长/的取值范围

是.

4.如图，矩形纸片ABC。中，AB=4,AD=6,点尸是边BC上的动点，现将纸片折叠，使点A与点尸重合，

折痕与矩形边的交点分别为E,F,要使折痕始终与边A8,A£>有交点，则BP的取值范围是.

5.如图，在四边形ABCD中，AD//BC,ZADC=90°,ZABC=45°,AD=2,3c=6,点F从8点出发，沿

着折线3-C-D运动，点厂的速度始终为每秒1个单位长度，设运动时间为无秒，的面积记为y,

请解答下列问题:

⑴请直接写出y关于X的函数解析式，并注明X的取值范围.

（2）在给出的平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出函数的其中一条性质：.

⑶若必=-x+t与y的图象有且只有一个交点，请直接写出/的取值范围______.

6.如图，矩形A5CD中，AB=10,AD=5.E为边AB上一动点，连接DE作AF1DE交矩形ABCD的边于

点F,垂足为G.

图⑴

⑴如图（工）中，由题意可知的—AFB与/QE4关系是.

⑵若CF=2,求AE的长；

⑶点0为矩形ABC。的对称中心（对角线交点），请直接写出0G的取值范围.

题型三、与圆结合

1.如图，在平面直角坐标系中，已知点E（1,O）,A（l-m,O）,8（1+〃0乂->0）,点尸在以仇4,4）为圆心,

1为半径的圆上运动，且始终满足N/出8=90。，则机的取值范围是（）

A.3<m<5.5B.3<m<6C.4<m<6D.5<m<7

2.如图，ABC中BC=6,/4=60。，点。为，神。的重心，连接AO、BO、CO,若固定边BC,使顶点A

在ABC所在平面内进行运动，在运动过程中，保持/BAC的大小不变，则线段4。的长度的取值范围为()

A.2<OA<3A/2B.3<OA<3A/2

C.3<OA<2A/3D.2<OA<2^3

3.如图，已知。的半径为4,A8所对的圆心角NAO8=60。，点C为A?的中点，点。为半径上一动

点.将△CDB沿C。翻折得到CDE,若点E落在半径Q4、OB、A?围成的封闭图形内部(不包括边界)，

则0D的取值范围为.

4.如图，在.A05中，ZAOB=90°,AO=6,BO=6拒,以点。为圆心，以2为半径作优弧QE，交

于点D,交3。于点E,点M在优弧£)£上从点。开始移动，到达点E时停止，连接AM,连接8M,设11ABM

的面积为S,S的取值范围为.

5.如图1,在，ABC中，CD为高，AB=10,BC=2M,BD=2,E,歹线段AD,8上的两个动点，

且AE=DF,连接EF.

(1)AC=；

(2)在E、P的运动过程中，当几位)。与，DER相似时，求DE的值；

(3)如图2,若以点。为圆心，O尸的长为半径作半圆D.

①当半圆。与AC边相切时，求AE的长；

②当半圆。与线段BC只有一个公共点时，直接写出AE长的取值范围.

6.如图，在ABC中，N54C=45。，过点C作CD，CB,CD=CB,连接8。，△BCD的外接圆。交48于

点、E,连接仞，CE.

⑴求证：AC^CE.

（2）若AC=4\/^,记BE=x,AD—y.

①请写出y关于尤的函数表达式.

②当80<y<49，贝U。面积S的取值范围是

函数篇

题型一、与一次函数结合

1.若一次函数y=（4一3左）1—2的图象经过点4（//）和点3（%,%）,当玉时，为<%，则上的取值范

围是（）

3344

A.左7<—B.kz>—C.左z<一D.左z>—

4433

2.一次函数丫=爪+6的图象与x轴的交点坐标为（不⑼，且1〈尤°W3,p=10左+1,则p的取值范围是（）

A.—61<p<—21B.—61<p<—21C.—59<p<—19D.—59<p<—19

3.如图，己知直线4：y=k[X+仿和直线4：y=&x+4相交于点A（a,3）,且Q4=O3=5,当匕》+伪>&》+仇

时，x的取值范围是.

4.如图，在平面直角坐标系中，四边形A6。0是正方形，点8的坐标为(4,4).

(1)若直线y恰好经过线段AB的中点，则7〃=；

(2)直线y=〃a-2恰好把正方形A3C。的面积分成相等的两部分，则〃2=；

(3)若直线y=如-2与正方形ABCO的边有两个公共点，则机的取值范围是

5.(1)已知直线入y=2x+3和直线4：y=-X,请在下面的坐标系中作出这两条直线，并直接写出方程

2x—y=—3

组x+L的解

(2)直线4：y=2x+3与x轴，》轴的交点分别为A,B,第一象限内有一点C的坐标为&-+3),且ABC

与，的面积相等，求C点坐标;

(3)在(2)的条件下，若线段AB与一次函数'=辰-2左+1的图像有交点.

①一次函数、=丘-2左+1的图像必过某个定点，则该定点的坐标为

②一次函数>=履-2左+1中左的取值范围是

4

6.在平面直角坐标系xOy中，函数y=—(x>0)图象G与直线/：y=丘-软+1,点8(1,〃)"24,"为整

x

数)在直线/上.

o\123456789*

⑴对于任意的左直线必过一定点，直接写出这个点的坐标；

(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记图象G与直线/围成的区域(不含边界)为W.

①当”=5时，求左的值，并写出区域W内的整点个数；

②若区域W内整点个数相满足时，结合函数图象，求4的取值范围.

题型二、与反比较函数结合

1.如图，ABC为等腰直角三角形，点A的坐标为(1,1),斜边8C=4jI,AB〃x轴，ACy轴，如果反比

例函数y=A与ASC有交点，那么左的取值范围是()

X

D.l<k<32

2.已知如图，一次函数X=x+4图象与反比例函数%=：图象交于A。,“），3（-5,祖）两点，贝!]%>%时尤

的取值范围是（）

A.一5vxv。或无〉1B.%<—5或Ov九vl

C.-5vxv0或OvxvlD.一5Vx<1

3.在平面直角坐标系无Ov中，一次函数M=£X+4，%=^x+"的图象与反比例函数>=—（无>0）的图象

X

如图所示，则当％>>>%时，自变量尤的取值范围是.

4.如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2,每个台阶凸出的角的顶点记作。（机为：T4

k

的整数），函数>的图像为曲线L.

X

（1）若曲线L过1时，上的值=;

（2）若曲线L使得工这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，上的取值范围是.

5.如图，在矩形A3CD中，AB=3,3。=4,点尸从点A出发，以每秒2个单位的速度沿折线CfD

运动，当它到达。点时停止运动；同时，点。从点A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AD运动，过。点

作直线/平行于A3,点/为直线/上的一点，满足△加2的面积为2,设点P、点。的运动时间为旧>。），

△ADP的面积为%，QM的长度为内.

y八

8—।—।—।—।—।—।—।

⑴分别求出%,为与/的函数关系，并注明r的取值范围;

(2)在坐标系中画出外,%的函数图象；

⑶结合函数图象，请直接写出当月＞以时f的取值范围.

2

6.乐乐同学在学习了反比例函数的基础上，进一步探究函数丁二三的性质.以下是他的研究过程，请补

x-1

充完整.

(2)在平面直角坐标系xOy中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象;

⑶观察图象，发现这个函数图象为中心对称图形，则它的对称中心为;

⑷若直线，=2x与函数y=—；的图象交于第一象限内一点P（x,y）,则下面关于x的取值范围描述正确的

X-L

是（）

A.l<x<1.25B.1.25<x<1.5C.1.5<x<1.75D.1.75<x<2

题型三、与二次函数结合

1.己知抛物线了=/（彳一占）（云一马）经过4（0,利）,3（2,〃）两点，若0W匕W%42,则机〃的取值范围是（）

A.0<mn<3B.0<rm<3C.0<mn<4D.0<nm<4

2.新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点，若二次函数y=x+c（c为常

数）在-2<x<4的图象上存在两个二倍点，贝相的取值范围是（）

9s9

A.-44<c<-B.-2<c<-C.-4<c<-D.-10<c<-

4444

3.抛物线>=62+法+。（。工0）的对称轴是直线x=l,与x轴有两个交点，两个交点距离为4,方程

以2+fex+c=4+4有两个不相等的实数根不，%，且-3<%V-2,贝的取值范围是.

4.我们定义一种新函数：形如>=辰2+尿+。|的函数叫做"鹊桥”函数.小丽同学画出了"鹊桥"函数

、=|尤2一2彳-3|的图像（如图所示），请完成下列两空：

（1）图象具有对称性，对称轴是直线；

（2）若关于x的方程|尤2-2尤-3|+左=0有四个不等实根，则上的取值范围为.

5.如图①，抛物线L：y=/+6x+c与x轴交于4（1,0）,3（3,0）两点，与V轴交于点C.

⑴求抛物线工的表达式；

(2汝口图②，若。为抛物线顶点，连接AC,CD,BD及BC,求证：.CBD^COA；

⑶如图③，在平面内放置一块玻璃片，并用记号笔画出遮盖部分的抛物线〃，再将玻璃片向上平移〃

个单位长度，使〃与△O3C的三边有两个交点，请求出加的取值范围.

6.定义：若直线/：>=履+)与函数G交于4(占,乂)、3(々,%)两点，将叫做函数G在直线/上的弦长，

S.\AB\=s/17e\xA-xB\,其中卜-匐叫做函数G在直线/上的截距.

⑴求出、=办2-5ax+6a在无轴上的截距；

(2)若直线过定点抛物线y-1在该直线上的弦长等于8,求直线的解析式；

⑶若二次函数y=f+(a+17)x+38-a与反比例函数在第一象限交于点A,在第三象限交于3、C两

点.

①若3、C两点的横纵坐标均为整数，请直接写出正整数。的值;

②若一1<"2,求该二次函数在直线2C上的截距的取值范围.

中考特色题型专练之取值范围题

r题型一、与三角形结合

几何篇

题型一、与三角形结合

1.如图，在平面直角坐标系。中，已知点人（"-五。），则+石⑼,若直线”『S上总存在一点

P,使NAPB=60。，则，"的取值范围为（

A.-36-4Vm<4-6B.-3^-4<m<4-73

C.-9<m<2A/3-1D.-9<m<2y/3-l

【答案】B

【分析】①在A3上方取一点研办3）,作EK_LAB于K,则K（办0）,连接AE,BE,可证明4ABE是正

三角形，得至IJNAEB=6O°,作‘ABE的外接圆则4B所对A班上的圆周角为60。，当圆M与直线

y=立尤+2相切时，如图1,圆M与直线y=3%+2相切于点尸，根据勾股定理可求出圆的半径为厂=2,

-3'3

推出NMAK=30。，延长PAf交x轴于N,根据直线y=^x+2与坐标轴的交点可得NDCO=30。，进而可

-3

得AM_LPN,得到MN=竿，推出。4=4一2石，结合。4=机-岔，可求出机=4-百；②在A8下方

取一点。（祖，-3）,连接A。，BQ,同理可得是正三角形，作其外接圆/，与直线y=¥x+2切于点

P,连接人PF,延长所交x轴于点G,延长”交x轴于点同理可得3c=4,结合。8=-（加+⑹

可得〃7=_4-3A/L综合①②即可得解.

【详解】解：①如图1,在A3上方取一点E的3）,作球，转于K,则《％0）,AK=BK=日连接AE,

BE,

贝ijAE=^AK2+KE-=J(>/3)2+32=2括，BE=^BK2+KE2=不阴2+3?=2百，

AB=/71+>/3-(W-73)=2A/3,

••.AE=BE^AB,即ABE是正三角形，

则/A£B=60。，

作_ABE的外接圆M,则AB所对AE8上的圆周角为60°,当圆M与直线y=^x+2相切时，如图1,圆M

与直线y=，lx+2相切于点尸，

-3

^MA=ME=r,则斯=3-厂，

在RtAWK中，AM2=AK2+MK2,

解得：丫=2,

MA=ME=2,MK=3-2=1,

NM4K=30。，

延长尸M交x轴于N,

在》=4尤+2中，令x=0,则y=2,令y=o,贝Ijx=-2g,

二0(0,2),C(-2^,0),

：.OD=2,OC=2yf3,CD=M+(26j=4,

ZDCO=30°,

..在RtPCN中,2PN=CN,^.ZDCO^ZMAK,

：.CD//AM,

.-.AM±PN,即NAW=90°,

MNJ3

tanZWW=——=tan30°=—,

AM3

-6…6c273

333

PN=PM+MN=2+^^,

3

CN=2PN=4+-^-,

3

OA^=C?/-OC=4+—-2^=4--

33

在RtAW中，AN=2MN=—,

3

OA=ON-AN=4---^-=4-2y/3,

33

又OA=m—^3，

4—2A/3=m—y/3J角军得：m=4—A/3；

②如图2,在AB下方取一点。(根,一3),连接AQ,BQ,

同理可得.AB0是正三角形，作其外接圆F。，与直线y=3x+2切于点尸，连接昉，PF,

3

同上可知毋'=尸尸=2,ZABF=30°,ZABF=ZACP,

■■■BFYPF,

延长PF交x轴于点G,延长Q尸交x轴于点//,

同理可得BG=迪，PG=2+型，CG=2PG=4+逋，

333

BC=CG-GB=4+---=4,

33

OB=OC+BC=2y/3+4,

又'OB=-(m+^,

.-(m)=4+2*\/^,

解得：m=-4-3^3,

则当-3g-44加工4-百时，两圆与直线丁=且1+2相交必存在点尸使NAftB=60。.

3

故选：B.

【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆，勾股定理，正三角形的判定与性质，圆与直线相切，圆周角定

理，含30。角的直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用这些知识.

2.在平面直角坐标系xOy中，点A（O,3）,C（m,n）,其中%>a,a<\,n>Q,若ABC是等腰直角

三角形，且=则他的取值范围是（）

A.2<m<3B.m<3C.3<m<4D.加>4

【答案】C

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的定义，坐标与图形.添加恰当辅助线构造

全等三角形是本题的关键.过点C作CQ_L无轴于由AAS可证△AOB丝△3DC,可得AO=BD=2,

BO=CD=n=a,即得出。的取值范围，再根据OD=05+5Z）=3+。=w，即可得出加的取值范围.

【详解】解：如图，过点C作CDLx轴于，

团A（0,3）,

团49=3.

团ABC是等腰直角三角形，且AB=5C,

0ZABC=90°=ZAOB=NBDC,

团ZABO+ZCBD=90°=ZABO+ZBAO,

⑦NBAO=NCBD.

ZAOB=ZBDC

在,AO3和即。中，</BAO=/CBD,

AB=BC

团AOB丝BDC(AAS),

团AO=BD=3,BO=CD=n=a,

团Ovavl.

0OD=OB+BD=3+a=m,

03<m<4.

故选C.

3.如图，ABC中，/3=NC=75。，BC=2,P、。分别是A3、AC边上的两个动点，满足ZBPQ=75。,

求线段尸3的取值范围.

【答案】瓜-C〈PB〈瓜+母

【分析】本题考查等腰直角三角形，含30。角的直角三角形及等腰三角形的知识.欲求心的取值范围即要

找到最小值和最大值时点?的位置，最小值即点。与点。重合时，最大即点P在A处，关键还要作辅助线构

造直角三角形，具体见详解.

【详解】解：如图，当。与C重合时，依的值最小，过点P作尸AC于

ZB=ZACB=75°

ZA=180。—75。-75。=30。

ZCPB=75°,AC=AB

・•.ZCPB=ZB

CP=CB=2

ZCPB=ZA+ZACP

：.ZACP=45°

PH±AC

ZPHC=ZAHP=90°

PH=CH=^/2

PA=2PH=2垃,AH=6PH=a

AC=AB=y/6+y/2

PB=y/6+y/2-2s/2=j6-y/2

46-y/2<PB<^+y/2.

故答案为：A/6-A/2<PB<V6+V2.

4.如图NMAN=60。，若一ABC的顶点B在射线上，且AB=2,动点C从点A出发，以每秒1个单位沿

（1）当运动时间》是秒时，ABC是直角三角形.

（2）当运动时间,的取值范围是秒时，ABC是钝角三角形.

【答案】1或40</<1或"4

【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形的分类；

（1）过8作于E,BF±AM,BF交AN于F,根据含30度角的直角三角形的性质求得AE,AP的

长即可求解；

（2）根据（1）的结论，结合图形，即可求解.

【详解】解：如图，过B作于E,BF±AM,BF交AN于F,

则NAEB=90°,ZABF=9Q°,

ZMAN^60°,

:.ZABE=30°,ZAFB=30°,

AB=2,

AE=—AB=1,AF=2AB=4,

2

团当运动时间f为1或4时，MC是直角三角形.

故答案为：1或4.

（2）由（1）可得AE=1,AF=4；

当运动时间段的取值范围是0</<1或Z>4秒时，ABC是钝角三角形.

故答案为：1。<4.

5.如图所示，ABC与』?EF是两个全等的直角三角形，ZABC=ZDEF=6Q°,BC=EF=8,

ZC=ZF=90°,且点C、E、B、尸在同一条直线上，将ABC沿CB方向平移，设边A3与DE相交于P点,

设CE=x,△P3E的面积为S,求S与x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围.

【答案】5=?（87）2（04尤<8）或5=4@+8）2（04*<8）.

【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，平移的性质，等腰直角三角形的判定与性质，由CE=x,

BC=8,得出EB=8-x,由等腰直角三角形的性质得出/ABC=NOE产=60。，则△P3E是等边直角三角

形，然后分①当点E位于线段BC上时，②当点E位于BC的延长线上时，进而得出S与x之间的函数关系

式，并求出自变量的取值范围；得出△尸班是等边直角三角形是解题的关键.

【详解】①如图，当点E位于线段5C上时，

团CE=x,BC=S,

国EB=8-x,

^ZABC=ZDEF=6G0,

0ZEPB=6O°,

0APEB是等边三角形，

过尸作P"J_3C于点目，

SZPHE=90°,则N£PH=30°,

SEH=-PE,

2

回由勾股定理得：PH=《PE?—EH?=/_X?=#（8-x）,

EIS=：BExPH=gx（8_x）x¥（8_x）=Y（8__r）2=¥a_8）2（0«尤＜8）,

②如图，当点E位于BC的延长线上时，

ElZE=ZB=60o,

0ZEPB=6O°,

El△EPS是等边三角形，

过P作尸于点H,

SZPHE=90°,则NEPH=30°,

^EH=-PE,

2

回由勾股定理得：PH={PE?一EH?=3工+8)2_^^)=¥(X+8),

EIS=|BEXP/1=1X(X+8)X^(X+8)=^(X+8)2=^(X+8)2(O<X<8),

n

团S=?x+8)9(OWx<8),

综上可知：s与X之间的函数关系式为S=¥(8-疗(04苫<8)或5=¥(%+8)2(04;(:<8).

6.如图，在Rt^ABC中，NACB=9(r,AC=2,BC=4,点尸从点A出发，沿折线AC—CB以每秒1个单位

的速度向点B运动，当点P与点42、C不重合时，过点尸作其所在直角边的垂线，交A3边于点。，以PQ

为底边，作等腰△「以>,使尸。〃筋，点尸运动的时间为t秒.

备用图

⑴直接写出A8的长.

(2)分别求出当f=l和f=3时，求线段尸。的长.

⑶在整个运动过程中，过点。作于点X,用含f的代数式表示

⑷当△PQO与ABC重叠部分的图形为三角形时，直接写出f的取值范围.

【答案】(DAB=2百

3

(2)2=1时，PQ=2；/=3时，PQ=-

-t(0<t<2)

⑶2

3--t?<t<

[2

410

(4)0<Z<r<6

【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，掌握分类讨论是解题的关键.

(1)利用勾股定理计算即可；

(2)分别画出r=l和r=3时的图形，然后利用正切计算即可；

(3)分0</<2和2<r<6两种情况，借助解直角三角形解题即可；

(4)分0</<2和2<f<6两种情况，根据PCND”,列不等式解题即可.

【详解】(1)解：国在3ABe中AC=2,BC=4,ZC=90°,

^AB=4AC1+BC2=>/22+42=275；

(2)解：当f=l时，如图，则AP=1

BCPQ4PQ

团tanAA==,即nn——,

ACAP21

PB=3,

„ACPQ2PQ

团tanB==,BHPn—=，

BCPB43

则AP=f,

4BCPQ

团tanA==----,

ACAP

^PQ=2t,

^PD=DQ,DH1PQ,

^PH=^PQ=t,

又I3PD〃AB,

S\ZAQP=ZQPD,

DHAP

StanZAQP=tanZQPD,即~^=而

DHt

团----=—

t2t

如图，当2<f<6时，则CP=t-3,BP-6-t,

ACPQ

回tanBn=----=，

BCPB

回PQ=；（6T）,

^\PD=DQ,DHLPQ,

回PH=7Q=；（6T），

又闻尸£)〃AB,

gNBQP=NQPD=ZA,

DH

0tanZA=tanZ2PD,即一=—=2,

PHAC

-f（0<r<2）

2

综上，DH={

3-1/（2<r<6）

(4)解:当0＜，＜2时，

团△PQO与ABC重叠部分的图形为三角形,

14

0PC>r>H,即2-rZ—f,解得0</4—；

23

当2<r<6时，

团△PQO与ABC重叠部分的图形为三角形，

0PC>DH,即f—223—解得54/<6；

410

综上所述，△PQD与ABC重叠部分的图形为三角形时，或

题型二、与四边形结合

1.如图，四边形A5CD中，为对角线，AB=2,CD=2.8,E,尸分别是边AD,3c的中点，则斯的

取值范围是（）

A.0.4<EF£2.4B.0.4£EF<2AC.0.8<EF£4.8D.0.8££F<4.8

【答案】A

【分析】取3。的中点区连接即、切，根据三角形中位线定理分别求出即、FH,根据三角形的三边关

系解答即可.

【详解】解：取8。的中点连接EH、FH,

团6、//分别为AD、的中点，

回是/XABD的中位线，

B1EH=-AB=l,

2

同理可得：FH=^CD=1.4,

在IEHF中，FH-EH<EF<FH+,即0.4<防<2.4,

当点H在上时，EF=2.4,

0O.4<EF£2.4,

故选：A.

D

E

【点睛】本题考查三角形中位线定理，三角形三边关系定理；添加辅助线，构造中位线，得出线段之间的

数量关系是解题的关键.

2.如图，在矩形A5CD中，AB=2,AD=4,E为的中点，尸为线段EC上一动点，P为防中点，连接PO,

则线段尸£>长的取值范围是（）

A.2>/2<PD<y/wB.3<PD<A/10C.2<PD<4D.2\f2<PD<4

【答案】A

【分析】根据中位线定理先判断出点尸的轨迹是线段《6,再根据矩形的性质及已知条件判断是直角三角

形，从而得出点。到线段耳心上各点的连线中，。［最小，DP2最大;

【详解】解：如图所示：当点尸与点C重合时，点尸在点片处，

期=电，当点尸与点E重合，点尸在点心处，EP2=BP2.

PR//比且勺8=gcE,

当点尸在EC上除点C、E的位置时，有BP=F产;

由中位线定理可知:：PXP//CF且=

.••点尸的运动轨迹是线段耳心，

在矩形ABCO中，AB=2,AD=4,E为的中点,

D

.•/庞“皈、一叫为等腰直角三角形,

，AECB=45°,4DCPI=45°,

.PR"EC,

乙P?P[B=AECB=45°,

/.=90°,

-*•£>P的长最小，。鸟最大,

,CD=CP】=DE=2,

DP、=2立CE=2及,

故选A.

【点睛】本题考查矩形的性质、中位线定理、勾股定理等知识，解题时需注意数形结合，根据题干以及图

形确定点的运动轨迹是该题解答的重要思路，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题.

3.如图所示，在Rt/XABC中，ZC=90°,AC=9,BC=12,点、D、E分别在边AC、2C上，点、F、G在

A8边上，当四边形DEFG是菱形，且符合条件的菱形只有一个时，则菱形的边长/的取值范围

是________________.

AGFB

…,180T,i5,20

【答案】/==或七</V?

3783

【分析】本题考查菱形的性质，三角形相似的判定与性质，分正方形及G、A重合或产、5重合三类讨论

ACDEsACAB,利用边的比例性质求解可得到答案

设边长为x,

在RtZ\ABC中,

0ZC=9O°,AC=9,BC=12,

0AB=V92+122=15>

3S

贝|CD=《九，AD=~xf

El-x+-x=9,

45

解得：龙=翳

SDE^AB,

团ACDEsACAB,

CDDE

0----=-----，

CAAB

9-mm

n即n----=——

915

解得：m=—

o

=一有多个菱形，不唯一,

8

团机w—,

8

当尸、5重合时，设菱形的边长为小

AB,

0ACDE^AG4B,

CEDE

团------,

CBAB

12—nn

即

12-15

解得：«=—,

入I,180Tl5,/20

综上所述：/=="或

37o3

小田心二7180Tl5-20

故答案为：/=弁~或丁/工『

37o3

4.如图，矩形纸片ABC。中，AB=4,AO=6,点尸是边8C上的动点，现将纸片折叠，使点A与点尸重合,

折痕与矩形边的交点分别为E,F,要使折痕始终与边A8,/⑦有交点，则的的取值范围是

【答案】6-2s/5<BP<4

【分析】此题主要考查了矩形的翻折变换，勾股定理，运用极端原理求解：①眇最小时，F、。重合，由

折叠的性质知：AF=PF,在Rt^PPC中，利用勾股定理可求得PC的长，进而可求得的值，即3尸的

最小值；②最大时，E、B重合，根据折叠的性质即可得到筋=3尸=4,即3P的最大值为4；根据上

述两种情况即可得到BP的取值范围.

【详解】解:如图:

①当尸、。重合时，的值最小；

根据折叠的性质知：/W=PP=AD=6；

在RtZkPPC中，PF=6,FC=AB=4,贝［pc=个PF?-FC?=2小；

•••BP=X36-2B,

②当E、B重合时，的值最大;

根据折叠的性质即可得到4?=3P=4,即BP的最大值为4；

故答案为：6-2y/5<BP<4.

5.如图，在四边形A5CD中，AD//BC,ZADC=90°,ZABC=45°,AD=2,3c=6,点P从B点出发，沿

着折线8fCfO运动，点厂的速度始终为每秒1个单位长度，设运动时间为x秒，的面积记为y,

请解答下列问题：

⑴请直接写出y关于x的函数解析式，并注明尤的取值范围.

（2）在给出的平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出函数的其中一条性质:

⑶若％=-x+f与y的图象有且只有一个交点，请直接写出r的取值范围

lx,0<<6

【答案】（i）y=

24-2x,6<x<10

（2）当x=6时，y取得最大值，最大值为12

⑶f=18或0W14

【分析】（1）过点A作AEL8C于点E,根据矩形的判定与性质得到CE=AD=2,AE=CD,再根据等腰

直角三角形的性质可得AE=3E=4,求得CD=4,分两种情况讨论：当点尸在线段2c上时;当点尸在线

段上时，分别求解即可；

（2）由（1）中函数解析式画出图象，再结合图象求解即可；

（3）把（10,4）,（0,0）,（6,12）分别代入％=-x+r求解即可得出结论.

【详解】（1）解：如图，过点A作AEL8C于点E,

^AD//BC,ZAZ）C=90°,

ElZPCB=90°,

0ZD=ZC=ZAEC=90°,

团四边形ADCE是矩形，

团CE=AD=2，AE=CD,

⑦BE=BC-CE=4,

团/ABC=45。,

团,是等腰直角三角形，

国AE=BE=4,

团8=4,

当0WxW6时，点厂在线段5C上时，止匕时5尸二%,

y=35月.A£*=；x4x=2x(0VxV6),

当6<%<10时，当点尸在线段8上时，如图，止匕时BC+CF=x,

y=s四边形BA。-sADF-sBCF

=-(AD+BC\CD--ADDF--BCCF

2V722

=^(2+6)-4-^x2x(10-x)-^x6x(x-6)

=-2x+24(6<J;<10),

)

综上所述，y关于'的函数解析式为广’匕」2x(04(<6x<<J61。)；

AD

8月~~1c

(2)解：当％=0时，y=0；当％=6时，y=12；当时％=10,y=4,

描点画出函数图象如下：

当x=6时，y取得最大值，最大值为12(答案不唯一),

故答案为：当x=6时，y取得最大值，最大值为12；

(3)解：若％=-工+/经过点。0,4),

0-lO+Z=4,

团f=14,

若X=-x+t经过原点，x=0,t=0,

团当0W/V14时，％=-x+f与>的图象有且只有一个交点;

若X=-x+1经过点（6,12）,-6+/=12,

0f=18,

团f=18时，％=-尤+r与y的图象有且只有一个交点，

综上所述，当/=18或0WQ14时，％=-尤+/与y的图象有且只有一个交点.

【点睛】本题考查矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数的图象与性质、三角形面

积公式及梯形的面积公式、平行线的性质，利用数形结合的思想，正确作出辅助线是解题的关键.

6.如图，矩形ABCD中，AB=10,AD=5.E为边48上一动点，连接DE作AFLDE交矩形A3C。的边于

点、F,垂足为G.

图⑴

⑴如图(1)中，由题意可知的/AFB与关系是.

(2)若CF=2,求AE的长；

⑶点。为矩形ABC。的对称中心(对角线交点)，请直接写出0G的取值范围.

【答案】⑴NAFB=/DE4

(2)AE=：3或§25

2o

(3)|<OG<|^

【分析】(1)由矩形的性质得出4MB=ZB=NAGE=90。，由直角三角形的性质可得出结论；

(2)①如图1,当点尸在上时，BF=BC—CF=3；②如图2,当点尸在8上时，DF=CD—CF=8.则

可求出答案；

(3)求出OGN；,当G与A重合时，0G最长，此时OG=；AC=:石，则可求出答案.

【详解】(1)证明：如图1,四边形ABCD是矩形，AFLDE,

DC

SZDAB=ZB=ZAGE=90°,

SZAFB+ZFAB=ZDEA+ZFAB=90°,

SZAFB=ZDEA；

(2)解：回四边形A3CD是矩形,

0£>C=AB=1O,BC=AD=5.

①如图1,当点尸在BC上时，BF=BC-CF=5-2=3.

^ZAFB^ZDEA,

团tanZAFB=tanZDEA.

BFAE3AE

团一=一,BRPn—=

BAAD105

3

^AE=-

2

②如图2,当点尸在8上时，DF=CD-CF=10-2=8.

图2

同（1）可证NZMF=NDE4,

团tanZZMF1=tanZD£4,

户=丝,即",

ADAE5AE

0A£=T

-25

团AE=1或一；

8

(3)解：G点在以AZ)的中点为圆心，5长为半径的弧上运动.

设AD的中点为M点.连接37.则0G最小值为OM-圆M的半径.

SDOMsADAB,

0

畔径为1则―1弓

^OG>~,

2

当G与A重合时，0G最长，此时OG=，AC=，XJA22+BC2=工匠=’卮

2222

B-<OG<-45.

22

【点睛】此题考查矩形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数、解直角三角形等知识与方

法，熟练掌握矩形的性质