2017年初中自主招生数学组卷

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2017年初中自主招生数学组卷

试卷副标题

考试范围：XXX；考试时间：100分钟；命题人：XXX

注意事项:

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

评卷人得分

一.选择题（共11小题）

1.（2017•江汉区校级自主招生）若*=近且，则上空工田一的值等于（）

A9n2_

（XZ-X）+2+V3

A.B.亨C.如D.

2.（2017•诸暨市校级自主招生）已知aVO,ab<0,化简|a-b-11-12+b-a|

的结果是（）

A.1B.3C.-1D.-3

3.（2017•奉化市自主招生）实数a,b,c满足2a=5,2b=10,2c=80,则代数式

2006a-3344b+1338c的值为（）

A.2007B.2008C.2009D.2010

4.（2017•江汉区校级自主招生）已知关于x的方程也有正根，则实数a的

取值范围是（）

A.aVO且aW-3B.a>0C.a<-3D.aV3且a#-3

5.（2017•雨城区校级自主招生）方程x?-|2x-l|-4=0,求满足该方程的所有

根之和为（）

A.0B.2C.2+V6D.2-加

6.（2017•江阴市自主招生）已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,

222

bx2+cx+a=0,cx2+ax+b=0恰有一个公共实数根，则-5——的值为（）

becaab

A.0B.1C.2D.3

7.（2017•余姚市校级自主招生）已知：关于x方程上+受1_=包月有且仅有一

2

x+1xx+x

个实数根，则k的值为（）

A.2B.1c.区5或1D.塌5或-2

2222

8.（2017•海曙区校级自主招生）有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品.若购

铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本10本,

圆珠笔1支共需4.2元.现购铅笔，练习本，圆珠笔各1个，共需（）

A.1.2元B.1.05元C.0.95元D.0.9元

9.（2017•江阴市自主招生）已知点P（l-2m,m-1）,则不论m取什么值，

该P点必不在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

10.（2017•成都自主招生）已知二次函数y=ax?+bx+c（aW0）的图象如图所示，

有下列5个结论：

①abc>0；②b-a>c；③4a+2b+c>0；④2cV3b；⑤a+b>m（am+b）（m/l的

实数）；

11.(2017•雨城区校级自主招生)若xi，x2(x]<X2)是方程(x-a)(x-b)=

-1(a<b)的两根，则实数xi，X2，a,b的大小关系是()

A.a<Xi<X2<bB.Xi<a<X2<bC.xi<a<b<x2D.xi〈x2Va〈b

第n卷(非选择题)

请点击修改第H卷的文字说明

评卷人得分

二.填空题(共18小题)

12.(2017•徐汇区校级自主招生)二次函数y=ax?+bx+c的图象与x轴有两个交点

M、N,顶点为R,若^IVINR恰好是等边三角形，则b?-4ac=.

2

13.(2017•诸暨市校级自主招生)如果记f(x)=_J,并且f(1)表示当x=l

1+x2

121

时y的值，即f(1)=-^—=L,那么f(2014)+f(2013)+..+f(2)+f(1)+f

l+l22

(1)+f(1)+...+f(1)=

232014

14.(2017•杨浦区校级自主招生)抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A,B两点，与

y轴交于点C.若AABC是直角三角形，则ac=.

15.(2017•萧山区校级自主招生)若D是等边三角形ABC的内心，点E,F分别

在AC、BC上，且满足CD=C，NDEF=60。，记aDEF的周长为C,则C的取值范

围是.

16.(2017•江汉区校级自主招生)如图所示，在梯形ABCD中，AD〃BC(BO

AD),ZD=90°,BC=CD=12,NABE=45°,若AE=10,则CE的长为.

17.(2017•成都自主招生)如图所示aABC中，AB=AC,ZBAC=90°,直角NEPF

的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F,给出以下四个结论:

为等腰直角三角形；四边形二

①AE=CF；②4EPF③SAEPF|sAABC；④EF=AP；

当NEPF在AABC内绕顶点P旋转时(点E不与点A、B重合)，上述结论始终正

确的有（填序号）.

18.（2017・徐汇区校级自主招生）设X、丫、2为整数且满足辰-丫［2。【2+|丫-产13=1,

则代数式|x-y「+|y-z户+|z-x|3的值为______.

19.（2017•徐汇区校级自主招生）一个老人有n匹马，他把马全部分给两个儿子，

大儿子得x匹，小儿子得y匹，（x>yNl）,并且满足x是n+1的约数，y也是

n+1的约数，则正整数n共有种可能的取值？

20.（2016•安徽自主招生）十进制的自然数可以写成2的方累的降累的多项式，

如:）432X即十进制的数

19,io=16+2+1=1X2+0X2+0X2+1X2+1X20=10011<2）,19

对应二进制的数10011.按照上述规则，十进制的数413对应二进制的数

是.

21.（2016•黄冈校级自主招生）设整数a使得关于x的一元二次方程5x2-5ax+26a

-143=0的两个根都是整数，则a的值是.

22.（2016•黄冈校级自主招生）在一次球类比赛中有8个队参赛，每两队要进行

一场比赛，胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分.一个队要确保进入前

四名（即积分至少要超过其他四个队），则他的积分最少是.

23.（2016•黄冈校级自主招生）在2006的中间嵌入一个数字得到五位数20口

06,若此五位数能被7整除，则嵌入的数字口为.

24.（2015•永春县自主招生）如图，四边形的两条对角线AC、BD所成的角为a,

AC+BD=10,当AC、BD的长等于时，则四边形ABCD的面积最大是.

25.（2017•诸暨市校级自主招生）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+4x

与x轴的正半轴交于点A,其顶点为M,点P是该抛物线上位于A、M两点之间

的部分上的动点，过点P作PB±x轴于点B,PC±y轴于点C,且交抛物线于点D,

连接BC,AD,0P,当四边形ABCD被0P分成的两部分面积比为1：2时，点P

26.（2017•慈溪市校级自主招生）在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整

数的点（x,y）称为整点，如果将二次函数尸-x2+8x号的图象与x轴所围成的

封闭图形染成红色，则此红色区域内部及其边界上的整点个数有.个•

27.（2017•黄州区校级自主招生）两个反比例函数y=3,y=9在第一象限内的图

XX

象如图所示.点Pl，P2,P3、…、P2007在反比例函数丫=9上，它们的横坐标分别

X

为Xi、X2、X3........X2007,纵坐标分别是1,3,5…共2007个连续奇数,过P1，

P2，p3........P2007分别作y轴的平行线，与y=3的图象交点依次为Qi（X1',yi'）、

X

IP2007Q20071=.

X

28.（2016•绵阳校级自主招生）如图，二次函数y=ax2+mc（aWO）的图象经过

正方形ABOC的三个顶点，且ac=-2,则m的值为.

29.（2016•安徽自主招生）如图，直线y=Lx与双曲线y=K（k>0,x>0）交于

2x

点A,将直线y=L向上平移3个单位长度后，与y轴交于点C,与双曲线y=K（k

2x

>0,x>0）交于点B,若0A=3BC,则k的值为.

评卷人得分

三.解答题（共11小题）

30.（2017•诸暨市校级自主招生）如图，ZXABC是。。的内接三角形，AC=BC,

D为而出一点，延长DA至点E,使CE=CD.

(1)求证：AE=BD；

(2)若AC_LBC,求证：AD+BD=V2CD.

31.（2017•雨城区校级自主招生）如图，AABC内接于。0,AB是。。的直径,

D是圆上异于A、B的一点，C是劣弧AD中点，弦CE，AB于点H,连结AD,分

别交CE、BC于点P、Q,连结BD.

（1）求证：P是线段AQ的中点；

（2）若的半径为5,AQ=11,求弦CE的长.

2

32.（2017•江汉区校级自主招生）抛物线y=ax2+bx+c（a>0）经过点A（-3b，0）、

B（E，0）,它与y轴相交于点C,且NACB290。，设该抛物线的顶点为D,ABCD

的边CD上的高为h.

（1）求实数a的取值范围；

（2）求高h的取值范围；

（3）当（1）的实数a取得最大值时，求此时4BCD外接圆的半径.

33.（2017•镜湖区校级自主招生）如图1,在直角坐标系中放入一个边长AB长

为6,BC长为10的矩形纸片ABCD,B点与坐标原点0重合.将纸片沿着折痕

AE翻折后，点D恰好落在x轴上，记为F.

（1）求折痕AE所在直线与x轴交点的坐标；

（2）求过D,F的直线解析式；

（3）将矩形ABCD水平向右移动m个单位，则点B坐标为（m,0）,其中m>0.如

图2所示，连接。A,若AOAF是等腰三角形，求m的值.

34.（2017•江阴市自主招生）如图，在4ABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,P是

AC上一点，过P作PD±AB于点D,将aAPD绕PD的中点旋转180。得到aEPD.（设

AP=x)

（1）若点E落在边BC上，求AP的长;

35.（2017•信丰县自主招生）先阅读下面某校八年级师生的对话内容，再解答问

题.（温馨提示：一周只上五天课，另外考试时每半天考一科）

小明："听说下周会进行连续两天的期中考试.”

刘老师："是的，要考语文、数学、英语、物理共四科，但具体星期几不清楚."

小宇："我估计是星期四、星期五.”

（1）求小宇猜对的概率；

（2）若考试已定在星期四、星期五进行，但各科考试顺序没定，请用恰当的方

法求同一天考语文、数学的概率.

36.（2017•萧山区校级自主招生）一次测试九年级若干名学生1分钟跳绳次数的

频数分布直方图如图.请根据这个直方图回答下面的问题：

（1）在频数分布直方图上画出频数分布折线图，并求自左至右最后一组的频率;

（2）若图中自左至右各组的跳绳平均次数分别为137次，146次，156次，164

次，177次.小丽按以下方法计算参加测试学生跳绳次数的平均数是：

（137+146+156+164+177）4-5=156.请你判断小丽的算式是否正确,若不正确，

写出正确的算式（只列式不计算）；

（3）如果测试所得数据的中位数是160次，那么测试次数为160次的学生至少

有多少人？

九年级若干名学生1分钟跳绳次数

频数分布直方图

0135145155165175跳绳次数（次）

37.(2017•奉化市自主招生)如图，设^ABC的面积为1,点D,E,F分别在AB,

BC,CA上，AD=LAB,BE=LBC,CF=LCA,且满足m+n+p=9,

mnp

222333

m+n+p=29.m+n+p=99,求aDEF的面积.

38.（2016•温州自主招生）试求出所有满足下列条件的正整数a,b,c,d,其

中lVaVbVcVd,且abed-1是(a-1)•(b-1)•(c-1)•(d-1)的整

数倍.

39.（2016•黄冈校级自主招生）120人参加数学竞赛，试题共有5道大题，已知

第1、2、3、4、5题分别有96、83、74、66、35人做对，如果至少做对3题便

可获奖，问：这次竞赛至少有几人获奖？

40.（2016•黄冈校级自主招生）k、a、b为正整数，k被a?、b?整除所得的商分

别为m,m+116.

（1）若a,b互质，证明a2-b?与a?、b?都互质；

（2）当a,b互质时，求k的值.

（3）若a,b的最大公约数为5,求k的值.

2018年04月27日初中自主招生数学组卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共11小题）

1.（2017•江汉区校级自主招生）若x：：近且，则上空工田一的值等于（）

A992-

（XZ-X）+2+V3

A.当应B.返C.如D.7^或叵

333

【考点】7A：二次根式的化简求值.

【分析】本题需先根据题意求出x2-x的值，再把求得的结果代入要求的式子，

即可求出答案.

【解答】解：xJ+l，

X2

/.X2-X

=x（x-1）,

=遍+］、遥T,

22

=1,

.X2-X+1+2V3

,,2'

（x2-x）+2+V3

J+l+2收

1+2+V3'

=2如

3

故选：A.

【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，在解题时要能够对要求的式子进

行灵活化简，然后代入要求的式子是本题的关键.

2.（2017•诸暨市校级自主招生）已知a<0,abVO,化简|a-b-1|-|2+b-a|

的结果是（）

A.1B.3C.-ID.-3

【考点】15：绝对值.

【专题】1:常规题型.

【分析】根据绝对值的性质即可求出答案.

【解答】解：由于aVO,abVO,

.,.b>0,

Aa-b-1<O,

2+b-a>0,

.,.原式=-(a-b-1)-(2+b-a)

=-a+b+1-2-b+a

=-1

故选：c.

【点评】本题考查绝对值的性质，解题的关键是熟练运用绝对值的性质，本题属

于基础题型.

3.(2017•奉化市自主招生)实数a,b,c满足2a=5,2b=10,2c=80,则代数式

2006a-3344b+1338c的值为()

A.2007B.2008C.2009D.2010

【考点】47：幕的乘方与积的乘方.

【分析】直接利用同底数塞的除法运算法则进而将原式变形得出答案.

【解答】解：•.吁+2a=2,

/.b-a=l,则a=b-1,

V2c4-2b=8,

c-b=3,则c=b+3,

A2006a-3344b+1338c

=2006(b-1)-3344b+1338(b+3)

=2008.

故选：B.

【点评】此题主要考查了同底数基的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键.

4.（2017•江汉区校级自主招生）已知关于x的方程曲=T有正根，则实数a的

x-3

取值范围是（）

A.aVO且a#-3B.a>0C.a<-3D.a<3且aW-3

【考点】B2：分式方程的解.

【专题】11：计算题.

【分析】首先解方程求得方程的解，根据方程的解是正数，即可得到一个关于a

的不等式，从而求得a的范围.

【解答】解:去分母得：x+a=-x+3

即2x=3-a

解得x=/

2

根据题意得：—>0

2

解得:a<3

Vx-37^0,.e.x^3,

即芝MW3,

2

解得aW-3,a<3且aW-3.

故选：D.

【点评】本题主要考查了分式方程的解的符号的确定，正确求解分式方程是解题

的关键.

5.（2017•雨城区校级自主招生）方程X?-|2x-l|-4=0,求满足该方程的所有

根之和为（）

A.0B.2C.2+76D.2-&

【考点】AB：根与系数的关系.

【分析】因为题目中带有绝对值符号，所以必须分两种情况进行讨论，去掉绝对

值符号，得到两个一元二次方程，求出方程的根，不在讨论范围内的根要舍去.

【解答】解：①当2X-120时，即原方程化为：x2-2x-3=0,（x-3）

2

（x+1）=0,

Xl=3,X2=-1,

：-1<1,

2

.**x2=-1(舍去)

.*.x=3；

②当2x-lV0,即x〈J_时，原方程化为：x?+2x-5=0,(x+1)2=6,

2

x+l=±粕，XF-1+遍，x2=-1-Vs

-.*.xi=-1+-76(舍去)

/.X=-1-A/5.

贝U3+(-1-5/3)=2-5/5.

故选：D.

【点评】本题考查的是解一元二次方程，由于带有绝对值符号，必须对题目进行

讨论，对不在讨论范围内的根要舍去.

6.(2017•江阴市自主招生)已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,

222

bx2+cx+a=0,cx?+ax+b=0恰有一个公共实数根，则且~+卜_的值为()

becaab

A.0B.1C.2D.3

【考点】A3：一元二次方程的解；6D：分式的化简求值.

【专题】34：方程思想.

【分析】设三个方程的公共根为X。，代入三个方程得到a,b,c的关系，然后代

入代数式求出代数式的值.

【解答】解：X。是它们的一个公共实数根，

222

贝ijaxo+bxo+c=O,bxo+cxo+a=O,cxo+axo+b=O.

把上面三个式子相加，并整理得

(a+b+c)(Xn2+xo+l)=0.

13

为

因22-

+计-^

XoX-Xo24

所以a+b+c=O.

干是a?b2c2a3+b3+c3a3+b3-(a+b)3--3ab(a+b).

becaababcabcabc

故选：D.

【点评】本题考查的是一元二次方程的公共解，一般是设公共解，代入方程，确

定a,b,c的值，然后求出代数式的值.

7.（2017•余姚市校级自主招生）已知：关于x方程UJ+至L生坟有且仅有一

2

x+1xx+x

个实数根，则k的值为（）

A.LB.1C.蝮5或1D.1^5或-2

2222

【考点】B2：分式方程的解.

【专题】11：计算题；522：分式方程及应用.

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有且仅有一个实数根，分

情况讨论，即可确定出k的值即可.

【解答】解:分式方程去分母得：x2+x2+2x+l=4x+k,

即2x2-2x+l-k=0,

由分式方程有且仅有一个实数根，可得整式方程中4=4-8（1-k）=0,

解得:kJ；

2

若整式方程中△AO,则

当增根为x=0时，代入整式方程可得：1-k=0,

即k=l,

此时，方程2x2-2x=0的解为X1=1,X2=o（不合题意）；

当增根为x=-i时，代入整式方程可得：5-k=0,

即k=5,

此时，方程2x2-2x-4=0的解为4=2,X2=-l（不合题意）;

综上所述，k的值为上或5或1,

2

故选：C.

【点评】此题考查了分式方程的解，解题时注意：在解方程的过程中因为在把分

式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根

是令分母等于0的值，不是原分式方程的解.

8.（2017•海曙区校级自主招生）有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品.若购

铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本10本,

圆珠笔1支共需4.2元.现购铅笔，练习本，圆珠笔各1个，共需（）

A.1.2元B.1.057GC.0.95元D.0.9元

【考点】9D：三元一次方程组的应用.

【专题】12：应用题.

【分析】设一支铅笔、一本练习本和一支圆珠笔的单价分别为x、y和z元，根

据"购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；购铅笔4支，练习本10

本，圆珠笔1支共需4.2元"建立三元一次方程组，然后将两个方程联立，即可

求得x+y+z的值.

【解答】解：设一支铅笔、一本练习本和一支圆珠笔的单价分别为x、y和z元,

根据题意得:俨+7什3.15①，

l4x+10y+z=4.2②

③x-②y可得：x+y+z=1.05.

故选:B.

【点评】本题考查三元次方程组的实际应用，解题关键是根据两个等量关系列出

方程组；而利用整体思想，把所给两个等式整理为只含x+y+z的等式是解决本题

的难点.

9.（2017•江阴市自主招生）已知点P（l-2m,m-1）,则不论m取什么值，

该P点必不在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【考点】D1：点的坐标.

【分析】分横坐标是正数和负数两种情况求出m的值，再求出纵坐标的正负情

况，然后根据各象限内点的坐标特征解答.

【解答】解:①l-2m>0时,m<l,

2

m-KO,

所以，点P在第四象限，一定不在第一象限；

②l-2m<0时，m>—,

2

m-1既可以是正数，也可以是负数，

点P可以在第二、三象限，

综上所述，P点必不在第一象限.

故选:A.

【点评】本题考查了点的坐标，分情况讨论判断出纵坐标的正负情况是解题的关

键.

10.（2017•成都自主招生）已知二次函数y=ax2+bx+c（aWO）的图象如图所示，

有下列5个结论：

①abc>0；②b-a>c；③4a+2b+c>0；④2c〈3b；⑤a+b>m（am+b）（m/l的

实数）；

其中正确的结论有（）

>,4x=l

A.5个B.4个C.3个D.2个

【考点】H4：二次函数图象与系数的关系.

【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点得出c

的值，然后根据抛物线与x轴交点的个数及x=l时二次函数的值的情况进行推理,

进而对所得结论进行判断.

【解答】解：由二次函数的图象开口向下可得a<0,由抛物线与y轴交于x轴

上方可得c>0,由抛物线与x轴有两个交点可以看出方程ax2+bx+c=0的根的判

别式b2-4ac>0,

把x=l代入y=ax2+bx+c,得：y=a+b+c,由函数图象可以看出x=l时二次函数的值

为正，•.•对称轴为x=l,a,b异号，.•.b>0,

/.abc<0；故①abc>0,此选项错误；

②,当x=-1时,ax2+bx+c<0,

.,.a-b+cVO,

/.-(a-b+c)>0,

Ab-a>c；故此选项正确;

③当x=2时,ax2+bx+c>0,

:.4a+2b+c>0；

(4)2c<3b；当x=3时函数值小于0,y=9a+3b+c<0,且

2a

即2=一互，代入得9(-旦)+3b+c<0,得2cV3b,正确；

22

⑤当x=l时,y的值最大.此时，y=a+b+c,

而当x=m时，y=am2+bm+c,

所以a+b+c>am2+bm+c,

故a+b>arr|2+bm,即a+b>m(am+b),正确.

②③④⑤正确.

故选：B.

【点评】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的

转换，根的判别式的熟练运用.会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：

y=a+b+c,y=a-b+c,然后根据图象判断其值.

11.(2017•雨城区校级自主招生)若xi，x2(x】Vx2)是方程(x-a)(x-b)=

-1(a<b)的两根，则实数xi，X2，a,b的大小关系是()

A.a<xi<x2<bB.Xi<a<X2<bC.xi<a<b<x2D.Xi<x2<a<b

【考点】HA：抛物线与x轴的交点.

【专题】2:创新题型.

【分析】因为xi和X2为方程的两根，所以满足方程(x-a)(x-b)=-1,再由

已知条件Xi〈X2、aVb结合图象，可得到xi，X2，a,b的大小关系.

【解答】解：用作图法比较简单，首先作出(x-a)(x-b)=0图象，随便画一

个(开口向上的，与x轴有两个交点)，

再向上平移一个单位，就是(x-a)(x-b)=-1,这时与x轴的交点就是Xi，

X2,画在同一坐标系下，很容易发现：

实数xi、X2、a、b的大小关系是：a<X1<x2<b.

故选:A.

【点评】本题考查了一元二次方程根的情况，结合图象得出答案是解决问题的关

键.

二.填空题（共18小题）

12.（2017•徐汇区校级自主招生）二次函数y=ax?+bx+c的图象与x轴有两个交点

M、N,顶点为R,若△MNR恰好是等边三角形，则b?-4ac=12.

【考点】HA：抛物线与x轴的交点；KK；等边三角形的性质.

【分析】当aiVINR为等边三角形时，解直角△MER,得RE=JjME=H§MN,据此

列出方程，解方程即可求出b?-4ac的值.

【解答】解：如图，过R作RE_LMN于E.则MN=2ME.

当△MNR等边三角形时，RE=J^ME=Yi_MN,

2

b'-4ac=V5xVb2-4ac,

4a2a

Vb2-4ac>0,

Ab2-4ac=12.

【点评】本题考查了等边三角形的性质，抛物线与X轴的交点及根与系数的关系

定理，综合性较强，难度中等.

2

13.(2017•诸暨市校级自主招生)如果记f(x)=，一，并且f(1)表示当x=l

1+x2

时的值，即那么

yf(1)=-^—=L,f(2014)+f(2013)+..+f(2)+f(1)+f

l+l22

(L)+f(L)+...+f(_J_)=2013^.

2320142__

【考点】E5：函数值；37：规律型：数字的变化类.

【专题】2A：规律型.

【分析】根据f的变化规律求出f(!)从而得到f(x)+f(L)=1,然

x1+x2x

后求解即可.

【解答】解:Vf(x)

••I\—Z-V-1'，

X1+(-)21+x2

X

Af(x)+f(1)=1,

X

：.f(2014)+f(2013)+...+f(2)+f(1)+f(L)+f(L)+..+f(二—)，

232014

=2014-f(1),

=2014-L

2

=2013^.

2

故答案为：20131.

2

【点评】本题考查了函数值，数字变化规律，读懂题目信息，理解变化规律f的

方法并确定出f(x)+f(1)=1是解题的关键.

X

14.(2017•杨浦区校级自主招生)抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A,B两点，与

y轴交于点C.若^ABC是直角三角形，则ac=-1.

【考点】HA：抛物线与x轴的交点.

【专题】11：计算题；2B：探究型.

【分析】根据x轴上点的坐标特点可设出A、B两点的坐标为（xi，0）,（X2,0）,

根据AABC是直角三角形可知xi、X2必异号，再由抛物线与y轴的交点可求出C

点的坐标，由射影定理即可求出ac的值.

【解答】解：设A（xi，0）,B（X2,0）,由aABC是直角三角形可知4、X2必异

号，

则Xi*X2=—<0,

a

由于函数图象与y轴相交于C点，所以C点坐标为（0,c）,

由射影定理知,|OC|2=|AO|»|BO|,即C2=|X/・|X2|=|£|,

a

故|ac|=l,ac=±l,

由于£>V0,所以ac=-1.

a

故答案为：-L

【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，根据射影定理得到

IOC12=IAO|・|BO|是解答此题的关键.

15.（2017•萧山区校级自主招生）若D是等边三角形ABC的内心，点E,F分别

在AC、BC上，且满足CD=«,NDEF=60。，记4DEF的周长为C,则C的取值范

围是3WCW3+J5.

【考点】Ml：三角形的内切圆与内心.

【专题】121：几何图形问题.

【分析】根据等边三角形的性质可知：当DE或DF与等边三角形ABC的一边垂

直（E或F与点C重合）时，4DEF的周长C最大；DE或DF与等边三角形ABC

的比边不垂直且ADEF为等边三角形时，4DEF的周长C最小，进而可求出C的

取值范围.

【解答】解：当DE或DF与等边三角形ABC的一边垂直（E或F与点C重合）时，

△DEF的周长C最大，C=3+V3；当DE或DF与等边三角形ABC的比边不垂直且

△DEF为等边三角形时，4DEF的周长C最小，此时C=3.

所以C的取值范围是：3WcW3+«,

故答案为：3WcW3+遥.

【点评】本题考查了等边三角形的性质、三角形的外接圆以及三角形内心的定义,

记住三角形有关的性质定理是解题的关键.

16.(2017•江汉区校级自主招生)如图所示，在梯形ABCD中，AD〃BC(BO

AD),ZD=90°,BC=CD=12,NABE=45°,若AE=10,则CE的长为4或6.

【考点】KQ：勾股定理；KD：全等三角形的判定与性质.

【专题】11：计算题；16：压轴题.

【分析】过B作DA的垂线交DA的延长线于M,M为垂足，延长DM到G,使

MG=CE,连接BG.求证△BEC^^BMG,AABE^AABG,设CE=X,在直角^ADE

中，根据AE2=AD2+DE2求x的值，可以求CE的长度.

【解答】解：过B作DA的垂线交DA的延长线于M,M为垂足，

延长DM到G,使MG=CE,连接BG,

易知四边形BCDM是正方形，

所以BC=BM,ZC=ZBMG=90°,EC=GM,

/.△BEC^ABMG(SAS),

.,.ZMBG=ZCBE,

VZABE=45°,

，NCBE+NABM=45°,

AZGBM+ZABM=45°,

，ZABE=ZABG=45°,

/.△ABE^AABG,AG=AE=10,

设CE=x,则AM=10-x,

AD=12-(10-x)=2+x,DE=12-x,

在MADE中,AE2=AD2+DE2,

A100=(x+2)2+(12-x)2,

即x2-10x+24=0；

解得：Xi=4,X2=6.

故CE的长为4或6.

【点评】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了全等三角形的判定和

对应边相等的性质，本题中求△ABE^^ABG即AG=AE=10是解题的关键.

17.（2017•成都自主招生）如图所示^ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,直角NEPF

的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F,给出以下四个结论:

①AE=CF；②4EPF为等腰直角三角形；③S四边形AEPF二9△瓯；④EF=AP；

当NEPF在aABC内绕顶点P旋转时（点E不与点A、B重合），上述结论始终正

确的有①②③（填序号）.

【考点】KW：等腰直角三角形；KD：全等三角形的判定与性质；R2：旋转的性

质.

【分析】利用旋转的思想观察全等三角形，寻找条件证明三角形全等.根据全等

三角形的性质对题中的结论逐一判断.

【解答】解：••,NAPE、NCPF都是NAPF的余角，

；.NAPE=NCPF,

VAB=AC,ZBAC=90°,P是BC中点，

，AP=CP,

/.ZPAE=ZPCF,

在AAPE与ACPF中，

，ZPAE=ZPCF

<AP=CP，

kZEPA=ZFPC

/.△APE^ACPF(ASA),

同理可证△APFgABPE,

，AE=CF,Z\EPF是等腰直角三角形，S四边形AEPF=LS/、ABC，①②③正确；

2

而AP=J_BC,EF因不是中位线，则不等于BC的一半，故④不成立.

2

故始终正确的是①②③.

故答案为：①②③.

【点评】此题主要考查了等腰三角形和直角三角形的性质，综合利用了全等三角

形的判定.

18.(2017・徐汇区校级自主招生)设X、丫、2为整数且满足辰-丫［2。【2+|丫-产13=1,

则代数式|x-y|3+|y-z|3+|z-x|3的值为2.

【考点】%B：绝对值.

【分析】根据x、y、z为整数，贝Ux-y和y-z都是整数而|x-y|和y-z|都20,

故Ix-y/oii和|y-z|2ou都是非负的整数，只能是|x-y|=i,|y-z|=0或者|x-

y1=0,|y-z=1,进而得出即可.

【解答】解：•••x、v、z为整数，

...x-y和y-z都是整数

•••卜-丫|和丫一|都20,

•••Ix-y产】和|丫一z12。”都是非负的整数,

,只能是Ix-y|=1,y-z|=0或者|x-yI=0,|y-z|=1,

当|x-y|=1,|y-z|=0,

・・y=z,

.*.z-x=y-x,

Ix-y+y-z|+|z-x|=2,

IX-y3+1y-z13+1z-x3=2,

当|x-y1=O,|y-z|=l,

/.x=y,z-x=z-y,

]x-y+y-z|+lz~x=2,

/.Ix-y3+1y-z13+1z-x3=2.

故答案为：2.

【点评】此题主要考查了绝对值的应用，根据题意得出|x-y|=l,|y-z|=O或者

|x-y|=O,|y-z|=l进而求出是解题关键.

19.（2017•徐汇区校级自主招生）一个老人有n匹马，他把马全部分给两个儿子,

大儿子得x匹，小儿子得y匹，（x>y2l）,并且满足x是n+1的约数，y也是

n+1的约数，则正整数n共有2种可能的取值?

【考点】#6：约数与倍数.

【分析】根据一个老人有n匹马，他把马全部分给两个儿子，大儿子得x匹，小

儿子得y匹，可得x+y=n,即再根据x是n+1的约数，y也是n+1的约数，可得

n+1是x、y的公倍数

【解答】解：•••x+y=n,

/.y=n-x

•.'x是n+1的约数，y也是n+1的约数，

，n+l是x、y的公倍数

当y=l,x=2时，n=3,

当且yN2时，

*.'y（n-y）=n+l

y-1

•••n是整数，且n>2,y是整数，且y22,

当y=2时，n=5,

综上所述，n共有两种可能，

故答案为2.

【点评】本题考查了约数与倍数.理解x+y=n,n+1是x、y的公倍数是解题关键.

20.(2016•安徽自主招生)十进制的自然数可以写成2的方幕的降幕的多项式，

如：19<©=16+2+1=1XZ’+OX23+0X22+1X21+lX2°=10011⑵，即十进制的数19

对应二进制的数10011.按照上述规则，十进制的数413对应二进制的数是

110011101.

【考点】#1：数的十进制；1G：有理数的混合运算.

【专题】23：新定义.

【分析】仿照例子，首先把413写成2的方累的降事的多项式的形式，然后确定

二进制数.

【解答】解:413=256+128+16+8+4+1,

=1X28+1X27+0X26+0X25+1X24+1X23+1X22+0X21+1X2°,

=110011101(2).

故答案为:110011101.

【点评】本题考查了十进制数与二进制数的转化，属于竞赛题型，学生平时没有

接触这方面的知识，因而有一定难度.解题的关键是读懂题意，按照规定进行计

算.

21.(2016•黄冈校级自主招生)设整数a使得关于x的一元二次方程5x2-5ax+26a

-143=0的两个根都是整数，则a的值是18.

【考点】&A：一元二次方程的整数根与有理根；59：因式分解的应用.

【专题】44：因式分解.

【分析】首先将方程组5x2-5ax+26a-143=0左右乘5得25x2-25ax+(130a-

262)-39=0,再分解因式.根据39为两个整数的乘积，令两个因式分别等于

39分解的整因数.讨论求值验证即可得到结果.

【解答】解：V5x2-5ax+26a-143=0=»25x2-25ax+(130a-262)-39=0,

即(5x-26)(5x-5a+26)=39,

•••x,a都是整数，故(5x-26)、(5x-5a+26)都分别为整数，

而只存在39=1X39或39义1或3X13或13X3或四种情况,

①当5x-26=1、5x-5a+26=39联立解得a=2.8不符合，

②当5x-26=39、5x-5a+26=l联立解得a=18,

③当5x-26=3、5x-5a+26=13联立解得a=8.4不符合，

④当5x-26=13、5x-5a+26=3联立解得a=12.4不符合，

:.当a=18时,方程为5x2-90x+325=0两根为13、-5.

故答案为：18.

【点评】本题考查因式分解的应用、一元二次方程的整数根与有理根.解决本题

的关键是巧妙利用39仅能分解为整数只存在39=1*39或39*1或3*13*13*3或四

种情况，因而讨论量，并不大.

22.（2016•黄冈校级自主招生）在一次球类比赛中有8个队参赛，每两队要进行

一场比赛，胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分.一个队要确保进入前

四名（即积分至少要超过其他四个队），则他的积分最少是8分.

【考点】!4：容斥原理.

【分析】设8个队分别为A、B、C、D、E、F、G、H.可得8个队一共进行28

场比赛，再根据胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分.得到一个队要确

保进入前四名（即积分至少要超过其他四个队），则他的积分最少的分数.

【解答】解：设八个队从高到低排名分别为A、B、C、D、E、F、G、H.

•••是每2队进行一次比赛，

...一共进行28场比赛.

•••每队都能进行7场比赛，

...每队能得到的最高分为14分.

若当A队为最高分14分或13分，

则B队的最高分为12分或13分，

•••为了确保进入前4,

...D队的积分最少是8分.

故答案为：8分.

【点评】考查了比赛问题；得到各队可能的积分与排名第四队的积分的关系式是

解决本题的关键.

23.(2016•黄冈校级自主招生)在2006的中间嵌入一个数字得到五位数20口

06,若此五位数能被7整除，则嵌入的数字口为0或7.

【考点】#3：数的整除性.

【专题】15：综合题.

【分析】能被7整除的数的特点，能被7整除的数，若一个整数的个位数字截去,

再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除，

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述的过程，直到能清楚

判断为止.例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13-3X2=7,所以133

是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613-9X2=595,59

-5X2=49,所以6139是7的倍数.

【解答】解：设插入的数为x,则五位数为20x06,

当x=0时，2000-6X2=1988,198-8X2=182,可以被7整除；

当x=l时，2010-2X6=1998,199-8X2=183,不能被7整除；

当x22时，20x0-2X6=20(x-2)8,20(x-2)-8X2=7k(k=26,27,...),

只有当x=7时满足题意,即205-16=189,

综上可得0或7满足题意.

故答案为：0或7.

【点评】本题考查数的整除性问题，难度较大，关键是掌握判断能被7整除的数

的特点.

24.(2015•永春县自主招生)如图，四边形的两条对角线AC、BD所成的角为a,

AC+BD=10,当AC、BD的长等于5时,则四边形ABCD的面积最大是—空

【考点】@2：面积及等积变换.

【分析】根据四边形面积公式，S=L\CXBDXsina,根据sinaWl得出S=L<(10

22

-x)sinaWLx(10-x),再利用二次函数最值求出即可.

2

【解答】解：.•*AC与BD夹角为a,

...根据四边形面积公式，得S=L\CXBDXsina,

2

设AC=x,则BD=10-x,

所以S=L<(10-x)Xsina；

2

Vsina^l,即S=4(10-x)sinaWb(10-x),

22

VS=-L(X?-lOx),

2

S=-—(x-5)2+-^-,

22

所以有x=5,S有最大值空，

2

/.AC=BD=10-x=5,

所以有AC=BD=5时，四边形ABCD面积最大为空.

2

故答案为：5,25.

2

【点评】此题主要考查了四边形面积公式以及二次函数最值和锐角三角函数的取

值范围，得出4(10-x)sinaWL(10-x)进而利用二次函数最值求出是解决

22

问题的关键.

25.(2017•诸暨市校级自主招生)在平面直角坐标系xOy