【新人教版高中数学选择性必修第一册课时作业】空间向量的数乘运算

空间向量的数乘运算

（45分钟100分）

一、选择题（每小题6分，共30分）

1.已知向量a=4e「42,b=e--^-e2,贝U（）

510

A.a,b一定共线

B.a,b不一定共线

C.只有当e,,已不共线时,a,b才共线

D.只有当e,色为不共线的非零向量时,a,b才共线

2.0为空间任意一点,若加二ok+二而+二&：,则A,B,C,P四点（）

488

A.一定不共面B.一定共面

C.不一定共面D.无法判断

3.（2013•重庆高二检测）在三棱柱ABC-ABC中,D是CC1的中点,F是A出的中点,

且正aAB+BAC,则（）

A.a=-,6=-1B.aB=1

7

C.a=1,B=--D.a=-l,B=-

7

4.设空间四点0,A,B,P满足OP=mOA+nOB,其中m+n=l,则（）

A.点P一定在直线AB上

B.点P一定不在直线AB上

C.点P可能在直线AB上,也可能不在直线AB上

D.AB与AP的方向一定相同

5.若a,b是平面a内的两个向量,则（）

A.a内任一向量p=、a+Pb（入，PGR）

B.若存在入，P£R使入a+ub=0,则入=u=0

C.若a,b不共线，则空间任一向量p=入a+Pb（入，P£R）

D.若a,b不共线，则a内任一向量p=入a+Pb（入，PCR）

二、填空题（每小题8分，共24分）

6.非零向量ei,e?不共线,若向量kei+e2与ei+ke2共线，则k=.

7.已知0是空间任一点,A,B,C,D四点满足任三点均不共线，但四点共面，且

OA=2xBO+3yCO+4zDO,则2x+3y+4z=.

8.如图，在正方体ABCD-ABCD中，人任=三人13,若AE=xAA1+y（AB+AD）,则

4

x=，y=-

三、解答题（9题,10题14分,11题18分）

9.如图，已知四边形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M,N分别在对角

线BD,AE上,且BM=^BD,AN=aAE,求证:MN〃平面CDE.

33

10.已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外一点0,当OP=2OA-OB-OC时，点P是否

与A,B,C共面?

口.（能力挑战题）如图所示,若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，点H为PC

上的点,且穿，点G在AH上,且黑叫若G,B,P,D四点共面,求m的直

答案解析

1.【解析】A.Va=4e-|e2,b=e-^e2,

.•.a=4（e「2e2）=4b,；.a,b一定共线.

2.【解析】选B.•.•三+乙+三1,根据向量共面定理，

488

:.A,B,C,P四点共面.

3.【解析】选A.而二DC+CB+证

^cTc+CB+^BAi

2121

=--AAi+(AB-AC)+-(AAi-AB)

2171

=(1--)AB-AC=-AB-AC=aAB+BAC,

72

二.a—,B=-1.

7

4.【解题指南】考查点P是否在直线AB上，只需考查AP与众是否共线.解决本题

的关键是利用条件m+n=1把判断三点共线问题转化为判断R与京是否共线.

【解析】选A.已知m+n=1,贝Im=1-n.

0P=(1-n)0A+n0B=0A-n0A+n0B

=>OP-OA=n(OB-OA)=AP=nAB,

因为AB去0,

所以AP和AB共线，即点A,P,B共线，故选A.

5.【解析】选D.当a与b是共线向量时,A不正确；当a与b是相反向量，入二口

*0时，入a+ub=O,故B不正确；若a,b不共线，则平面a内的向量都可用a,b表

示，对空间向量则不一定适合，故C不正确，D正确，故选D.

6.【解析】•「kei+ez与e+ke2共线,

:.存在实数人使得kei+e2-入(e,+ke2)成立.

•.'e”e2不共线,

.(k=入，•k=+l

,,(1=Ak/

答案：士1

【举一反三】若本题条件改为：设e“e2是空间两个不共线的向量，已知AB=2e+

ke2,CB=ei+3e2,CD=2e-e2,且A,B,D三点共线.所求问题不变，结果如何？

【解析】：A,B,D三点共线，

...向量AB与丽共线，于是存在实数人，使人昏入丽，即A斤入（CD-CB）,

2ei+ke2-入［（2e「e2）-（e1+3e2）］=（2-入）e,+（k+4入）es-O,

•.•e“e2不共线，

二.2-入=0且k+4入=0,得k=-8.

答案：-8

7.【解析】•.•A,B,C,D共面,

TT-♦T

OA=OB+入BC+uBD

=0B+入（OC-OB）+u（OD-OB）

二（1-入-U）OB+入&+uOD

-♦—>—>

=（入+u-1）B0-入CO-uDO

=2xBO+3yg4zD0,

2x+3y+4z-（入+|1-1）+（-入）+（-u）

=-1.

答案:-1

8.【解析】A&AAi+A］E=AAi+2AiCi

4

=AA1+YA1B1+A1D1）=AA1+YAB+AD）,对比系数可得x=1,y*.

答案：1-

4.

9.【证明】MN=MB+BA+AN

=-DB+BA+-AE

33

」(DC+CB)+BA+-(AD+DE)

33

=-DC+-CB+CD+-AD+-DE

3333

2—1―

=-CD+-DE.

33

又CD与而不共线，根据共面向量定理，可知次N,CD,而共面.因为MN不在平面

CDE内，所以MN〃平面CDE.

【拓展提升】利用向量法证明线面平行的技巧

(1)用向量法证明直线与平面平行一般有两种方法：一是证明直线的方向向量与

平面内的一■个向量平行；二是证明直线的方向向量和平面内的两个不共线的向

量共面.

(2)线面平行的证明方法包含着证明空间线与线，面与面平行的方法.

［变式备选】如图，在平行六面体ABCD-ABCD中，E,F,G分别是AD,DRDC的

中点.求证：平面EFG〃平面ABC

【证明】设AB=a,AD=b,AA1二c,

则*E^i+DiGYa+b),

AC=a+b=2EG,

.•.EG〃AC,

EF=ED^D^-b-^-(b-c),

222

—TT—

B1C二BC+CiC=b-c=2EF,

，EF〃BiC

又EG与EF相交,AC与BQ相交,

二.平面EFG〃平面ABC

10.【解析】若P与A,B,C共面，则存在惟一的实数对(x,y)使AP=xAB+yAC,于是

对平面ABC外一点0,有OP-OA二x(OB-OA)+y(OC-OA),

，OP=(1—x—y)OA+xOB+yOC,比较原式得

1—X—y=2,

x=-1,此方程组无解，这样的x,v不存在，

y=T,

所以A,B,C,P四点不共面.

11.【解析】连接BD,BG.

VAB=PB-PA,AB=DC,

.,.DC=PB-PA,VPC=PD+DC,

/.PC=PD+PB-PA=-PA+PB+PD.

V—APH-PC,

HC23

.,.PH=-(-PA+PB+PD)

3

=--PA+-PB+-PD.

333

又AH=疝-PA,

.,.AH=--PA+-PB+-PD,

333

AH

.,.AG=m-AH=--PA+-PB+-PD,

333