《排列》示范公开课教学设计【高中数学人教A版】

第1课时《排列》教学设计

（一）教学内容

排列的概念.

（二）教学目标

通过解决实际的计数问题，得到排列的定义，并能利用定义判断排列问题.

（三）教学重点与难点

重点：排列的定义.

难点：将实际问题中的具体对象抽象为元素，得到排列的定义.

（四）教学过程设计

【引入概念】

问题1:在使用分步乘法原理解决问题的时候，你有何想法或感受？

答案：在用分步乘法计数原理解决问题时，因为做了一些重复性工作而显得繁琐.

能否针对这类计数问题给出一种简捷的方法呢？

问题2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，

另1名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？

追问1：问题2中要完成的“一件事情”是什么？

答案：从3名同学中选择2名同学，1名参加上午的活动，1名参加下午的活动.

追问2：能否利用计数原理计算不同的选法种数？试着列出各种不同的选法.

答案：能，先选出1名同学参加上午的活动，有甲、乙、丙三种选择，再在剩下的两名同

学中选择一名同学参加下午的活动，在上面的三种情况下，每种情况均有两种选择.

相应的选法

*甲乙

A甲丙

甲*乙甲

乙

丙»乙丙

甲＞丙甲

丙

乙＞丙乙

根据分步乘法计数原理,不同的选法种数为：3X2=6.

追问3：如果将问题2的背景去掉，把被选出的同学叫做元素，那么还可以怎样叙述问题2?

答案：从3个不同元素〃、从c中任意取出2个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不

同的排列方法？

追问4：用元素列出追问3中各种不同的排法，并求出不同的排列方法种数.

答案：ab,ac,ba,be,ca,cb,不同的排列方法种数为：3X2=6.

设计意图：通过分步乘法计数的具体问题，既检测与本节课内容有关的计数原理的掌握情况,

又引出排列问题，为抽象得到排列的概念做准备.

问题3：从1,2,3,4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的

三位数？

追问1:问题3中要完成的“一件事情”是什么？

答案:从4个数

十位234134124123

AAAAAAAAAAAA成一个三位数•

个位342423341413241412231312

追问2：能否利

用计数原理计算不同的选法种数？利用树状图列出所有不同的三位数，并说明这些三位数有

什么不同？

答案：第1步，确定百位上的数字，从1,2,3,4这4个数字中任取1个，有4种方法；

第2步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的3

个数字中去取，有3种方法；

第3步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下

的2个数字中去取，有2种方法.

根据分步乘法计数原理，从1，2,3,4这4个不同的数字中，每次取出3个数字，按

“百位、十位、个位”的顺序排成一列，不同的排法种数为4X3X2=24.

这些不同的三位数,至少有一位上的数字是不相同的.

追问3：如果将问题3的背景去掉，把被取出的数字叫做元素，那么还可怎样归结问题3?

答案：从4个不同元素a、b、c、〃中任意取出3个，并按一定的顺序排成一列，共有多少

种不同的排列方法？

追问4：用元素列出追问3中各种不同的排法，并求出不同的排列方法种数.

答案：abc,abd,acb,acd,adb,adc,bac,bad,bca,bed,bda,bdc,cab,cad,cba,

cbd,eda,edb,dab,dac,dba,dbc,dca,deb.

不同的排列方法种数为：4X3X2=24.

设计意图：通过分步乘法计数的具体问题，让学生再次经历解决排列问题的全过程，为抽象

得到排列的概念作准备.

【概念形成】

问题4:问题2、3的共同特点是什么？你能将它们推广到一般情形吗？

答案：把问题2中选出的“同学”和问题3中取出的“数字”都抽象为“元素”，并把“按上

午、下午安排选出的2名同学”和“按百位、十位、个位把取出的3个数字排成一个三位数”

都归结为“把取出的元素按照一定的顺序排成一列”，从而归纳出排列的定义.

一般地，从”个不同元素中取出加个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做

从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

追问1：如何判断两个排列是否相同？

答案：两个排列相同的充要条件是两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.

设计意图：通过分析、比较两个实例，概括它们的共同特点，从特殊到一般得出排列的^念，

并辨析概念.

【概念巩固】

思考:下列问题中哪些是排列问题？为什么？

(1)10名学生中抽2名学生开会

(2)10名学生中选2名做正、副组长

(3)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘

(4)从2,3,5,7,11中任取两个数相除

(5)从0-9中任取两个数组成一个集合

(6)从0-9中任取两个数组成一个点的坐标

(7)从圆上的10个点中任取两点为端点作弦

(8)从圆上的10个点中任取两点为起终点作向量

如何判断一个问题是否是排列问题？

对于每一种既定结果，改变其元素顺序，看是否会形成不同结果,若是，则是排列；若否，

则不是排列.

答案：(1)无序，不是排列

(2)有序,是排列

(3)无序，不是排列

(4)有序,是排列

(5)无序，不是排列

(6)有序,是排列

(7)无序，不是排列

(8)有序,是排列

【典例精讲】

例1某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分

别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛？

问题5:这个问题是否是排列问题？

追问1:要完成的“一件事情”是什么？

答案:在6支球队中任意选取2支,按照"主队、客队”的顺序组成一个排列.

追问2:完成的“一件事情”是否与“顺序”有关?

答案:因为要分”主队、客队”，所以与“顺序”有关.

解：可以先从这6支队中选1支为主队，然后从剩下的5支队中选1支为客队.按分步乘法计数

原理，每组进行的比赛场数为6X5=30.

设计意图：通过分析和解决具体的排列问题，帮助学生理解排列的概念.

例2（1）一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种

不同的取法？

（2）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少

种不同的选法？

追问1:（1）和（2）要完成的“一件事情”各是什么？

答案：（1）要完成的事情是甲乙丙三人在桌上5盘不同的菜中各选取一盘菜；（2）要完成的事情

是甲乙丙三人在食堂窗口卖的5种菜中各选取一种菜.

追问2:（1）和（2）完成的“一件事情”是否与“顺序”有关？

答案：对于（1）3名同学每人从5盘不同的菜中取1盘菜，可看作是从这5盘菜中任取3盘，放

在3个位置（给3名同学）的一个排列；而对于（2）,而3名同学每人从食堂窗口的5种菜中选1

利，，每人都有5种选法，不能看成一个排列.

解：（1）可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲，然后从剩下的4盘菜中取1盘给同学乙，最后

从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙，按分步乘法计数原理，不同的取法种数为5X4X3=60.

（2）可以先让同学甲从5种菜中选1种，有5种选法；再让同学乙从5种菜中选1种，也有

5种选法：最后让同学丙从5种菜中选1种，同样有5种选法，按分步乘法计数原理，不同的选

法种数为5X5X5=125.

【课堂小结】回顾本节课所学内容，回答下列问题：

（1）如何判断一个计数问题是否是一个排列问题？

（2）如何求一个排列问