2022-2023学年安徽省黄山市高二下学期期末质量检测数学试题

高级中学名校试卷PAGEPAGE1安徽省黄山市2022-2023学年高二下学期期末质量检测数学试题一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则中元素的个数为（）A. B. C. D.2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（）A. B. C. D.3.已知平面向量，的夹角为，且，，则（）A. B. C. D.4．年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛在苏州举行.现将名志愿者分配到赛事宣传、外事联络和酒店接待个部门进行培训，每名志愿者只分配到个部门，每个部门至少分配名志愿者，则不同的分配方案共有（）A.种 B.种 C.种 D.种5.数列中，，对任意正整数都满足，数列，若，则（）A. B. C. D.6.已知函数是定义在上的偶函数，且，则（）A. B. C. D.7.已知函数的图象关于直线对称，其中，则在上的极值点有（）A.个 B.个 C.个 D.个8.在三棱锥中，⊥底面，，，，则三棱锥外接球的体积为（）A. B. C. D.二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.与中位数相比，平均数反映出样本数据中的更多信息，对样本中的极端值更加敏感B.数据的第百分位数为C.已知，则D.当样本相关系数的绝对值越接近时，成对样本数据的线性相关程度越强10.已知点在圆上，点，，则（）A.直线与圆相离 B.点到直线的距离可能大于C.当最大时， D.满足的点有且仅有个11.如图，已知棱长为的正方体，点为的中点，点为的中点，点为的中点，则（）A.//平面B.直线与直线所成角的余弦值为C.点与点到平面的距离之比为D.以为球心,为半径的球面与侧面的交线长为12.已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于两点，分别过作准线的垂线，垂足为，为坐标原点，，则（）A.B.若，则的面积为C.若为抛物线上的动点，则的取值范围为D.若，则直线的倾斜角的正弦值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知展开式中的常数项为80，则实数.14.已知随机变量，若，则.15．已知椭圆,过点的直线与椭圆交于两点（点位于轴上方），若，则直线的斜率的值为．16．已知对任意的恒成立，则的最小值为．四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知是公差不为的等差数列的前项和，是与的等比中项，.（1）求数列的通项公式；（2）已知，求数列的前项和.18．（12分）记的内角的对边分别为，已知．（1）求的值；（2）如图，点在边上，，求的面积．

19．（12分）如图1，在边长为的正方形中，点分别是边和的中点，将沿翻折到，连结，如图2. （1）证明：；（2）当平面平面时，求平面与平面夹角的余弦值.20．（12分）某高中学校在5月20日召开高三毕业典礼，为给高三学生创造轻松的氛围，典礼上有一个“开盲盒”游戏环节，主持人拿出10个盲盒，每个盲盒中装有一个学校标志建筑物的模型，其中有3个“校园”模型，4个“图书馆”模型，2个“名人馆”模型，1个“科技馆”模型.（1）一次取出2个盲盒，求2个盲盒为同一种模型的概率；（2）依次不放回地从中取出2个盲盒，求第2次取到的是“图书馆”模型的概率；（3）甲同学是个“科技狂热粉”，特别想取到“科技馆”模型，主持人为了满足甲同学的愿望，设计如下游戏规则：在一个不透明的袋子中装有大小完全相同的10个小球，其中9个白球，1个红球，有放回的每次摸球一个，摸到红球就可以取走“科技馆”模型，游戏结束．现在让甲同学参与游戏，规定甲同学可以按游戏规则最多摸球10次，若第10次还是摸到白球，主持人直接赠予甲同学“科技馆”模型．设他经过第X次(X=1,2,…,10)摸球并获得“科技馆”模型，求X的分布列.21．（12分）已知函数，.（1）求的极值；（2）若，求实数的取值范围.

22．（12分）已知点为抛物线的焦点，点，且点到抛物线准线的距离不大于，过点作斜率存在的直线与抛物线交于两点（在第一象限），过点作斜率为的直线与抛物线的另一个交点为点．（1）求抛物线的标准方程；（2）求证：直线过定点．

——★参考答案★——一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）题号12345678〖答案〗CCBDCBCA二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）题号9101112〖答案〗ACDACBCDACD三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.14.15.16.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本题满分10分）解：（1）设数列的公差为d，因为是，的等比中项，则，即，且，整理得①， ………………2分又因为，整理得②由①②解得，，，所以. ………………4分（2）由（1）知，， ………………5分则，可得，两式相减得 …………8分，所以.……………10分18．（本题满分12分）解：（1）由正弦定理得：．所以所以．即，因为，所以； ……………5分（2）因为，即， ………………7分所以． ……………………8分在中，由余弦定理得，所以，则，………………………10分所以. …………12分19．（本题满分12分）（1）证明：连接交于点，在正方形中，且点分别是边和的中点，所以, …………2分即，,又,故平面,又因为平面，所以. …5分（2）解：当平面平面时，且交线为，又因为平面且，所以平面, ………………6分以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系,则， ……8分，设平面的法向量为，，取.同理可得平面的法向量为 ……10分，即平面与平面夹角的余弦值为. …………12分20．（本题满分12分）解：（1）设事件“2个盲盒都是“校园”模型”，事件“2个盲盒都是“图书馆”模型”，事件“2个盲盒都是“名人馆”模型”，则与与为互斥事件，∵，,∴2个盲盒为同一种模型的概率． …4分（2）设事件“第次取到的是“校园”模型”，;设事件“第次取到的是“图书馆”模型”，;设事件“第次取到的是“名人馆”模型”，;设事件“第次取到的是“科技馆”模型”，.∵，，，,，,，，∴由全概率公式，可知第2次取到的是“图书馆”模型的概率为：. ……………8分（3）∵，，， ………………11分123910……………12分21．（本题满分12分）解：（1）已知，当时，恒成立，在上单调递增，无极值， ……2分当时，令，得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减.当时，有极大值，，无极小值， ……………5分综上：当时，无极值；当时，极大值为，无极小值； …6分（2）若，则在时恒成立，恒成立，令，令，则，在单调递减，又，由零点存在定理知，存在唯一零点，使得，即，………………9分令在上单调递增，，即当时，单调递增，单调递减，，，即的取值范围为. ……12分22．（本题满分12分）（1）解：焦点，………………1分∵，又点到抛物线准线的距离不大于，∴ ………3分抛物线E的标准方程为； ……………………4分（2）证明：依题意直线斜率存在，设的方程为，由，化简得：，设，则， ……………6分消去得：，①又，则，②由①②得，∴，③ …………8分（ⅰ）若直线没有斜率，则，又，∴（舍去）.……………9分（ⅱ）若直线有斜率，为，直线的方程为，即， ………11分将③代入得，∴，故直线有斜率时过点． …………………12分安徽省黄山市2022-2023学年高二下学期期末质量检测数学试题一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则中元素的个数为（）A. B. C. D.2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（）A. B. C. D.3.已知平面向量，的夹角为，且，，则（）A. B. C. D.4．年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛在苏州举行.现将名志愿者分配到赛事宣传、外事联络和酒店接待个部门进行培训，每名志愿者只分配到个部门，每个部门至少分配名志愿者，则不同的分配方案共有（）A.种 B.种 C.种 D.种5.数列中，，对任意正整数都满足，数列，若，则（）A. B. C. D.6.已知函数是定义在上的偶函数，且，则（）A. B. C. D.7.已知函数的图象关于直线对称，其中，则在上的极值点有（）A.个 B.个 C.个 D.个8.在三棱锥中，⊥底面，，，，则三棱锥外接球的体积为（）A. B. C. D.二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.与中位数相比，平均数反映出样本数据中的更多信息，对样本中的极端值更加敏感B.数据的第百分位数为C.已知，则D.当样本相关系数的绝对值越接近时，成对样本数据的线性相关程度越强10.已知点在圆上，点，，则（）A.直线与圆相离 B.点到直线的距离可能大于C.当最大时， D.满足的点有且仅有个11.如图，已知棱长为的正方体，点为的中点，点为的中点，点为的中点，则（）A.//平面B.直线与直线所成角的余弦值为C.点与点到平面的距离之比为D.以为球心,为半径的球面与侧面的交线长为12.已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于两点，分别过作准线的垂线，垂足为，为坐标原点，，则（）A.B.若，则的面积为C.若为抛物线上的动点，则的取值范围为D.若，则直线的倾斜角的正弦值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知展开式中的常数项为80，则实数.14.已知随机变量，若，则.15．已知椭圆,过点的直线与椭圆交于两点（点位于轴上方），若，则直线的斜率的值为．16．已知对任意的恒成立，则的最小值为．四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知是公差不为的等差数列的前项和，是与的等比中项，.（1）求数列的通项公式；（2）已知，求数列的前项和.18．（12分）记的内角的对边分别为，已知．（1）求的值；（2）如图，点在边上，，求的面积．

19．（12分）如图1，在边长为的正方形中，点分别是边和的中点，将沿翻折到，连结，如图2. （1）证明：；（2）当平面平面时，求平面与平面夹角的余弦值.20．（12分）某高中学校在5月20日召开高三毕业典礼，为给高三学生创造轻松的氛围，典礼上有一个“开盲盒”游戏环节，主持人拿出10个盲盒，每个盲盒中装有一个学校标志建筑物的模型，其中有3个“校园”模型，4个“图书馆”模型，2个“名人馆”模型，1个“科技馆”模型.（1）一次取出2个盲盒，求2个盲盒为同一种模型的概率；（2）依次不放回地从中取出2个盲盒，求第2次取到的是“图书馆”模型的概率；（3）甲同学是个“科技狂热粉”，特别想取到“科技馆”模型，主持人为了满足甲同学的愿望，设计如下游戏规则：在一个不透明的袋子中装有大小完全相同的10个小球，其中9个白球，1个红球，有放回的每次摸球一个，摸到红球就可以取走“科技馆”模型，游戏结束．现在让甲同学参与游戏，规定甲同学可以按游戏规则最多摸球10次，若第10次还是摸到白球，主持人直接赠予甲同学“科技馆”模型．设他经过第X次(X=1,2,…,10)摸球并获得“科技馆”模型，求X的分布列.21．（12分）已知函数，.（1）求的极值；（2）若，求实数的取值范围.

22．（12分）已知点为抛物线的焦点，点，且点到抛物线准线的距离不大于，过点作斜率存在的直线与抛物线交于两点（在第一象限），过点作斜率为的直线与抛物线的另一个交点为点．（1）求抛物线的标准方程；（2）求证：直线过定点．

——★参考答案★——一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）题号12345678〖答案〗CCBDCBCA二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）题号9101112〖答案〗ACDACBCDACD三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.14.15.16.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本题满分10分）解：（1）设数列的公差为d，因为是，的等比中项，则，即，且，整理得①， ………………2分又因为，整理得②由①②解得，，，所以. ………………4分（2）由（1）知，， ………………5分则，可得，两式相减得 …………8分，所以.……………10分18．（本题满分12分）解：（1）由正弦定理得：．所以所以．即，因为，所以； ……………5分（2）因为，即， ………………7分所以． ……………………8分在中，由余弦定理得，所以，则，………………………10分所以. …………12分19．（本题满分12分）（1）证明：连接交于点，在正方形中，且点分别是边和的中点，所以, …………2分即，,又,故平面,又因为平面，所以. …5分（2）解：当平面平面时，且交线为，又因为平面且，所以平面, ………………6分以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系,则， ……8分，设平面的法向量为，，取.同理可得平面的法向量为 ……10分，即平面与平面夹角的余弦值为. …………12分20．（本题满分12分）解：（1）设事件“2个盲盒都是“校园”模型”，事件“2个盲盒都是“图书馆”模型”，