2022-2023学年福建省三明市高一下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省三明市2022-2023学年高一下学期期中数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1.若复数，，则复数（）A. B.3 C.1 D.〖答案〗B〖解析〗因为复数，，即，故，故选：B2.若，则z（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由得，故选：C3.如图，平面平面，，，，直线（点不同于），过三点确定的平面为，则平面，的交线必过（）A.点A B.点BC.点C，但不过点D D.点C和点D〖答案〗D〖解析〗对于AB，假设，又，则，又，所以，又，所以，与矛盾，则，即平面，的交线不过点A，故A错误，同理，B错误；对于CD，因为，所以，即点在与的交线上，故C错误，D正确.故选：D.4.已知向量，，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，∴，又∵向量，∴向量在的投影为，所以，向量在方向上的投影向量为.故选：A.5.已知向量，，，则的值是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为向量，，，即故选：A6.已知，，若，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，所以，,又，所以，解得，所以.故选：D.7.在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，为使此三角形有两个，则满足的条件是（）A. B.C. D.或〖答案〗A〖解析〗如下图所示：因为有两解，且，，则，即.故选：A.8.东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”.如图1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，若，则（）A.5 B.6 C.7 D.8〖答案〗C〖解析〗因为，，所以，而，在中，设，则，由正弦定理得，解得，由余弦定理，所以.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．部分选对的得2分．9.下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（）A. B.C.z的共轭复数为 D.z是关于x的方程的一个根〖答案〗BD〖解析〗由题意得，故，A错误；，B正确；的共轭复数为，C错误；，即z是关于x的方程的一个根，D正确，故选：BD10.如图是一个正方体的侧面展开图，在原立方体中，以下关系判断正确的是（）A. B.与相交 C. D.与异面〖答案〗BCD〖解析〗画出原正方体如图所示，不平行，所以A错；与相交，所以B正确；由正方体的性质知，所以C正确；与即不平行也不相交，所以与是异面直线，所以D正确.故选：BCD.11.设非零向量的夹角为为任意非零向量，定义运算，则下列结论正确的是（）A.若，则 B.C. D.若，则的最大值为1〖答案〗ACD〖解析〗对于A，因为，并且，所以，解得或，所以，故选项A正确；对于B，不妨取，设与的夹角，与的夹角为，与的夹角为，则，，此时，故选项B错误；对于C，，故选项C正确；对于D，当时，，当且仅当时取等号，所以，故选项D正确；故选：ACD.12.在锐角中，角，，所对边分别为，，，外接圆半径为，若，，则（）A.B.C.的最大值为3D.的取值范围为〖答案〗ACD〖解析〗由题设，外接圆直径为，故，A正确；锐角中，则，故，B错误；，则，当且仅当时等号成立，C正确；由C分析知：，而，又且，则，而，所以，则，所以，D正确.故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.复数（其中i是虚数单位）的虚部是__________.〖答案〗〖解析〗因为，所以复数的虚部为.故〖答案〗为：.14.已知点，，是直线上的一点，且，那么点的坐标为_________．〖答案〗〖解析〗设点的坐标为，则，又，即，解得；所以点的坐标为.故〖答案〗为：15.如图，已知A，B，C共线，且向量，，则________．〖答案〗〖解析〗因为，所以，则，因为，不共线，故,所以.故〖答案〗为：16.在平面四边形中，是等边三角形，，，，则________；的面积是________．〖答案〗①.②.〖解析〗由为等边三角形，可得，在中，，，，由余弦定理可得，整理得，解得（负值舍去），设，则，易知，则，所以，则的面积为．故〖答案〗为：；．四、解答题：本小题共6小题，共70分．17.已知复数，其中i为虚数单位，.（1）若z是纯虚数，求m的值；（2）z在复平面内对应的点在第二象限，求m的取值范围.解：（1）因为z是纯虚数，所以，解得.（2）因为z在复平面内对应的点在第二象限，所以，解得，所以m的取值范围为.18.已知，，且与夹角为，求：（1）；（2）与的夹角．解：（1）由已知可得，.所以有，所以.（2）因为，所以.又，所以，所以与的夹角为．19.如图，长方体的底面是正方形，E，F分别是，上的点，且，．（1）证明：点F在平面内；（2）若，求三棱锥的体积．（1）证明：如图，连接，，在长方体中，，且，所以四边形是平行四边形，则．因为，，所以，所以，所以，所以，所以四点共面，即点在平面内．（2）解：在长方体中，点到平面的距离即为点到平面的距离，即为；所以．20.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．（1）求A；（2）若，点在边上，，求．解：（1）方法一：因为，由余弦定理得，，整理得，所以，因为，所以方法二：因为，所以，由正弦定理得，，因为，所以，所以，整理得因为，所以，所以，又，所以.（2）因为，由余弦定理得：，整理得，又，所以方法一：所以.因为点在边上，，所以为边上靠近的三等分点，所以.在中，，又，所以.方法二：，又，所以.21.从以下三个条件中选一个，补充到下面问题中，并解答．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足________（填写序号即可）．①，②，③（1）求B；（2）若，求的取值范围．解：（1）选①：因为，所以由正弦定理得，因为，所以，又因为，所以.选②：因为，所以由正弦定理得，即，故由余弦定理得，又因为，所以.选③：因为，所以，则，又因为，所以.（2）由（1）知，又，所以由正弦定理，得，，则，由锐角得且，所以，则，所以，从而，故取值范围为.22.在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足），灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽．设灯柱高，．（1）当时，求四边形的面积；（2）求灯柱的高（用表示）；（3）若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值．解：（1）当时，，所以，又所以是等边三角形，所以，所以中，，即，所以；（2），，，在中，由正弦定理得，所以所以在中，由正弦定理得，所以，所以，所以；（3）在中，由正弦定理得，所以，所以所以，因为，所以，所以当，即时，S取最小值，故S关于的函数表达式为，S最小值为.福建省三明市2022-2023学年高一下学期期中数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1.若复数，，则复数（）A. B.3 C.1 D.〖答案〗B〖解析〗因为复数，，即，故，故选：B2.若，则z（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由得，故选：C3.如图，平面平面，，，，直线（点不同于），过三点确定的平面为，则平面，的交线必过（）A.点A B.点BC.点C，但不过点D D.点C和点D〖答案〗D〖解析〗对于AB，假设，又，则，又，所以，又，所以，与矛盾，则，即平面，的交线不过点A，故A错误，同理，B错误；对于CD，因为，所以，即点在与的交线上，故C错误，D正确.故选：D.4.已知向量，，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，∴，又∵向量，∴向量在的投影为，所以，向量在方向上的投影向量为.故选：A.5.已知向量，，，则的值是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为向量，，，即故选：A6.已知，，若，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，所以，,又，所以，解得，所以.故选：D.7.在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，为使此三角形有两个，则满足的条件是（）A. B.C. D.或〖答案〗A〖解析〗如下图所示：因为有两解，且，，则，即.故选：A.8.东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”.如图1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，若，则（）A.5 B.6 C.7 D.8〖答案〗C〖解析〗因为，，所以，而，在中，设，则，由正弦定理得，解得，由余弦定理，所以.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．部分选对的得2分．9.下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（）A. B.C.z的共轭复数为 D.z是关于x的方程的一个根〖答案〗BD〖解析〗由题意得，故，A错误；，B正确；的共轭复数为，C错误；，即z是关于x的方程的一个根，D正确，故选：BD10.如图是一个正方体的侧面展开图，在原立方体中，以下关系判断正确的是（）A. B.与相交 C. D.与异面〖答案〗BCD〖解析〗画出原正方体如图所示，不平行，所以A错；与相交，所以B正确；由正方体的性质知，所以C正确；与即不平行也不相交，所以与是异面直线，所以D正确.故选：BCD.11.设非零向量的夹角为为任意非零向量，定义运算，则下列结论正确的是（）A.若，则 B.C. D.若，则的最大值为1〖答案〗ACD〖解析〗对于A，因为，并且，所以，解得或，所以，故选项A正确；对于B，不妨取，设与的夹角，与的夹角为，与的夹角为，则，，此时，故选项B错误；对于C，，故选项C正确；对于D，当时，，当且仅当时取等号，所以，故选项D正确；故选：ACD.12.在锐角中，角，，所对边分别为，，，外接圆半径为，若，，则（）A.B.C.的最大值为3D.的取值范围为〖答案〗ACD〖解析〗由题设，外接圆直径为，故，A正确；锐角中，则，故，B错误；，则，当且仅当时等号成立，C正确；由C分析知：，而，又且，则，而，所以，则，所以，D正确.故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.复数（其中i是虚数单位）的虚部是__________.〖答案〗〖解析〗因为，所以复数的虚部为.故〖答案〗为：.14.已知点，，是直线上的一点，且，那么点的坐标为_________．〖答案〗〖解析〗设点的坐标为，则，又，即，解得；所以点的坐标为.故〖答案〗为：15.如图，已知A，B，C共线，且向量，，则________．〖答案〗〖解析〗因为，所以，则，因为，不共线，故,所以.故〖答案〗为：16.在平面四边形中，是等边三角形，，，，则________；的面积是________．〖答案〗①.②.〖解析〗由为等边三角形，可得，在中，，，，由余弦定理可得，整理得，解得（负值舍去），设，则，易知，则，所以，则的面积为．故〖答案〗为：；．四、解答题：本小题共6小题，共70分．17.已知复数，其中i为虚数单位，.（1）若z是纯虚数，求m的值；（2）z在复平面内对应的点在第二象限，求m的取值范围.解：（1）因为z是纯虚数，所以，解得.（2）因为z在复平面内对应的点在第二象限，所以，解得，所以m的取值范围为.18.已知，，且与夹角为，求：（1）；（2）与的夹角．解：（1）由已知可得，.所以有，所以.（2）因为，所以.又，所以，所以与的夹角为．19.如图，长方体的底面是正方形，E，F分别是，上的点，且，．（1）证明：点F在平面内；（2）若，求三棱锥的体积．（1）证明：如图，连接，，在长方体中，，且，所以四边形是平行四边形，则．因为，，所以，所以，所以，所以，所以四点共面，即点在平面内．（2）解：在长方体中，点到平面的距离即为点到平面的距离，即为；所以．20.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．（1）求A；（2）若，点在边上，，求．解：（1）方法一：因为，由余弦定理得，，整理得，所以，因为，所以方法二：因为，所以，由正弦定理得，，因为，所以，