2022-2023学年广东省惠州市博罗县高二下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省惠州市博罗县2022-2023学年高二下学期期中数学试题第一部分（选择题，共60分）一、单项选择题：本题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把它选出后在答题卡规定的位置上用铅笔涂黑．1.函数的单调递增区间是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由，或，故选：A.2.“保护环境，绿色出行”是现代社会提倡的一种环保理念，李明早上上学的时候，可以乘坐公共汽车，也可以骑单车，已知李明骑单车的概率为0.7，乘坐公共汽车的概率为0.3，而且骑单车与乘坐公共汽车时，李明准时到校的概率分别为0.9与0.8，则李明准时到校的概率是（）A.0.9 B.0.87 C.0.83 D.0.8〖答案〗B〖解析〗李明上学骑单车准时到校的概率为，乘坐公共汽车准时到校的概率为，因此李明准时到校的概率为：，故选：B.3.函数的极小值为（）A. B.1 C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以.令得，当时，，当时，.故的单调递增区间为和，单调递减区间为.则当时，取得极小值，且极小值为.故选：C.4.设f′（x）是函数f（x）的导函数，y＝f′（x）的图像如图所示，则y＝f（x）的图像最有可能是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由导函数的图象可知，0是极大值点2是极小值点，故选：D.5.安徽省地形具有平原、台地（岗地）、丘陵、山地等类型，其中丘陵地区占了很大比重，因此山地较多，著名的山也有很多，比如：黄山、九华山、天柱山.某校开设了研学旅行课程，计划将5名优秀学生分别派往这三个地方进行研学旅行，每座山至少有一名学生参加，则不同的安排方案种数是（）A.150 B.120 C.160 D.180〖答案〗A〖解析〗根据题意，分2步进行分析：①将5名优秀学生分为3组，若分为3、1、1的三组，有种分组方法，若分为2、2、1的三组，有种分组方法，故共有种分组方法，②将分好的3组安排到3个地方进行研学旅行，有种情况，则有种安排方法.故选：A.6.杨辉是我国南宋的一位杰出的数学家，在他所著的《详析九章算法》一书中，画的一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称为“开方做法本源”．现在简称为“杨辉三角”．下面是，当时展开式的二项式系数表示形式．借助上面的表示形式，判断与的值分别是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗观察分析出“杨辉三角”中的数的特点：=1\*GB3①每一行有个数字，每一行两端的数字均为1，=2\*GB3②从第二行起，每一行中间的数字等于它上一行对应（即两肩上）的两个数字的和，所以.故选：D.7.若函数，则（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗由题意可得，则，解得，所以，所以．故选：C．8.已知函数，对任意的恒成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意知，对任意的，恒成立，不妨设，可得，即，设函数，则在上的单调递减函数，又由，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，令，由二次函数的性质，可得在上为单调递减函数，所以，所以，所以，解得，即实数的取值范围为.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9.在二项式的展开式中，有（）A.含x的项 B.含的项 C.含x4的项 D.含的项〖答案〗ABC〖解析〗二项式的展开式的通项为，当时，，知A正确；当时，，知B正确；当时，，知C正确；当时，，知D错误．故选：ABC．10.下列求导运算正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则〖答案〗AD〖解析〗A，因为，所以，故正确；B，因为，所以，故错误；C，因为，所以，故错误；D，因为，所以，故正确.故选：AD.11.高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（）A.如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种B.如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种C.如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种D.如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种〖答案〗ABC〖解析〗安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，选项A：如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有（种）.判断正确；选项B：如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有（种）.判断正确；选项C：如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有（种）.判断正确；选项D：如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，再分为丙与甲、乙两名同学在一起和不在一起两种情况，则不同的安排方法共有（种）.判断错误.故选：ABC.12.已知为常数，函数有两个极值点，则（）A.的取值范围是 B.的取值范围是C. D.〖答案〗ACD〖解析〗由题意得：，有两个极值点，有两个变号零点，又，只需，即有两个不等实根，令，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，又当时，；时，，可得图象如下图所示，当，即时，有两个不等实根，且，即当时，有两个极值点，A正确，B错误；，，即，，，又，，，C正确；当，时，；当时，；在，上单调递减，在上单调递增，，，，，D正确.故选：ACD.第二部分（非选择题，共90分）三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．把〖答案〗填在答题卷相应横线上．13.若，则____________.〖答案〗〖解析〗令得，，令得，，两式相加得.故〖答案〗为：.14.从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中不放回地依次取2个数，事件“第一次取到的是偶数”，“第二次取到的是奇数”，则___________.〖答案〗〖解析〗依题意，，，所以．故〖答案〗为：.15.与函数在点处具有相同切线的一个函数的〖解析〗式是__________．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗，故，则函数在点处的切线为，不妨令，，故在上，，故，则函数在点处的切线为，满足要求.故〖答案〗为：.16.已知函数，函数有四个不同零点，从小到大依次为，则实数的取值范围为___________；的取值范围为___________.〖答案〗〖解析〗由题设，当时，，且单调递减；当时，，且单调递增；当，，且单调递减；当，，且单调递增；综上，的函数图象如下：所以有四个不同零点，即与有四个交点，由图知：，则在上，在上，令，则，即是的两个根，故，而是，即的两个根，故，所以.故〖答案〗为：，.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数.（1）曲线在点处的切线方程；（2）曲线过点的切线方程.解：（1）因为，所以，又，所以曲线在处的切线方程为，即；（2）设切点为，则，所以切线方程为，因为切线过点，所以，即，解得，故所求切线方程为．18.从等7人中选5人排成一排（写出必要的数学式，结果用数字作答）（1）若必须在内，有多少种排法？（2）若三人不全在内，有多少种排法？（3）若都在内，且必须相邻，与都不相邻，有多少种排法？解：（1）根据题意，若必须在内，先在其余6人中选出4人，再与全排列即可，一共有种排法，（2）根据题意，在7人中选出5人排成一排，有种排法，若、、都在内，有种排法，则、、三人不全在内的排法有种，（2）根据题意，先在其他4人中选出2人，有种选法，将、看成一个整体，与选出2人全排列，有种排法，排好后，有2个空位可用，在其中选出1个，安排，有2种情况，则有种排法．19.新高考取消文理分科，采用选科模式，这赋予了学生充分的自由选择权．新高考地区某校为了解本校高一年级将来高考选考历史的情况，随机选取了100名高一学生，将他们某次历史测试成绩（满分100分）按照，，，，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图．（1）求图中a的值并估计这100名学生本次历史测试成绩的中位数．（2）据调查，本次历史测试成绩不低于60分的学生，高考将选考历史科目；成绩低于60分的学生，高考将不选考历史科目．按分层抽样的方法从测试成绩在，的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人高考选考历史科目的概率．解：（1），解得，设中位数为x，因为学生成绩在的频率为，在的频率为，所以中位数满足等式，解得，故这100名学生本次历史测试成绩的中位数为.（2）成绩在的频数为，成绩在的频数为，按分层抽样的方法选取5人，则成绩在的学生被抽取人，在的学生被抽取人，从这5人中任意选取2人，都不选考历史科目的概率为，故这2人中至少有1人高考选考历史科目的概率为.20.已知二项式的展开式中，.给出下列条件：①第二项与第三项的二项式系数之比是1：4；②各项系数之和为512；③第7项为常数项.在上面三个条件中选择两个合适的条件分别补充在上面的横线上，并完成下列问题.（1）求实数a的值和展开式中二项式系数最大的项；（2）求的展开式中的常数项.解：（1）由①可知，解得；由②得令得；由③得，要使该项为常数，则；所以条件①与③得到的是同一结果，所以只有选择条件①与②和条件②与③；该两种组合都会得到，所以，解得；所以二项式系数最大的项为或.（2）由（1）可知，，所以有，所以常数项为，令，解得；所以常数项为.21.广东某民营企业主要从事美国的某品牌运动鞋的加工生产，按国际惯例以美元为结算货币，依据以往加工生产的数据统计分析，若加工产品订单的金额为万美元，可获得的加工费近似地为万美元，受美联储货币政策的影响，美元贬值，由于生产加工签约和成品交付要经历一段时间，收益将因美元赔值而损失万美元，其中为该时段美元的贬值指数是，从而实际所得的加工费为（万美元）.（1）若某时期美元贬值指数，为确保企业实际所得加工费随的增加而增加，该企业加工产品订单的金额应在什么范围内？（2）若该企业加工产品订单的金额为万美元时共需要的生产成本为万美元，已知该企业加工生产能力为（其中为产品订单的金额），试问美元的贬值指数在何范围时，该企业加工生产将不会出现亏损.解：（1）由已知，，（其中）；∴；由，即，解得；即加工产品订单金额（单位：万美元）时，该企业的加工费随的增加不断增长.（2）依题意，企业加工生产不出现亏损，则当时，都有，即，令，，则；令，则，可知在上单调递减，从而；又，即时，知在上单调递减，因此，，即；故当美元的贬值指数时，该企业加工生产不会亏损.22.设函数．（1）当时，若函数在其定义域内单调递增．求b的取值范围；（2）若有两个零点，，且，求证：．（1）解：依题意：，在上递增，对恒成立，即对恒成立，只需，，当且仅当时取等号，，的取值范围是；（2）证明：由已知得，即，两式相减得：，即，由，得，令，则令，则，是上的减函数，，所以，又，，.广东省惠州市博罗县2022-2023学年高二下学期期中数学试题第一部分（选择题，共60分）一、单项选择题：本题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把它选出后在答题卡规定的位置上用铅笔涂黑．1.函数的单调递增区间是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由，或，故选：A.2.“保护环境，绿色出行”是现代社会提倡的一种环保理念，李明早上上学的时候，可以乘坐公共汽车，也可以骑单车，已知李明骑单车的概率为0.7，乘坐公共汽车的概率为0.3，而且骑单车与乘坐公共汽车时，李明准时到校的概率分别为0.9与0.8，则李明准时到校的概率是（）A.0.9 B.0.87 C.0.83 D.0.8〖答案〗B〖解析〗李明上学骑单车准时到校的概率为，乘坐公共汽车准时到校的概率为，因此李明准时到校的概率为：，故选：B.3.函数的极小值为（）A. B.1 C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以.令得，当时，，当时，.故的单调递增区间为和，单调递减区间为.则当时，取得极小值，且极小值为.故选：C.4.设f′（x）是函数f（x）的导函数，y＝f′（x）的图像如图所示，则y＝f（x）的图像最有可能是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由导函数的图象可知，0是极大值点2是极小值点，故选：D.5.安徽省地形具有平原、台地（岗地）、丘陵、山地等类型，其中丘陵地区占了很大比重，因此山地较多，著名的山也有很多，比如：黄山、九华山、天柱山.某校开设了研学旅行课程，计划将5名优秀学生分别派往这三个地方进行研学旅行，每座山至少有一名学生参加，则不同的安排方案种数是（）A.150 B.120 C.160 D.180〖答案〗A〖解析〗根据题意，分2步进行分析：①将5名优秀学生分为3组，若分为3、1、1的三组，有种分组方法，若分为2、2、1的三组，有种分组方法，故共有种分组方法，②将分好的3组安排到3个地方进行研学旅行，有种情况，则有种安排方法.故选：A.6.杨辉是我国南宋的一位杰出的数学家，在他所著的《详析九章算法》一书中，画的一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称为“开方做法本源”．现在简称为“杨辉三角”．下面是，当时展开式的二项式系数表示形式．借助上面的表示形式，判断与的值分别是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗观察分析出“杨辉三角”中的数的特点：=1\*GB3①每一行有个数字，每一行两端的数字均为1，=2\*GB3②从第二行起，每一行中间的数字等于它上一行对应（即两肩上）的两个数字的和，所以.故选：D.7.若函数，则（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗由题意可得，则，解得，所以，所以．故选：C．8.已知函数，对任意的恒成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意知，对任意的，恒成立，不妨设，可得，即，设函数，则在上的单调递减函数，又由，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，令，由二次函数的性质，可得在上为单调递减函数，所以，所以，所以，解得，即实数的取值范围为.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9.在二项式的展开式中，有（）A.含x的项 B.含的项 C.含x4的项 D.含的项〖答案〗ABC〖解析〗二项式的展开式的通项为，当时，，知A正确；当时，，知B正确；当时，，知C正确；当时，，知D错误．故选：ABC．10.下列求导运算正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则〖答案〗AD〖解析〗A，因为，所以，故正确；B，因为，所以，故错误；C，因为，所以，故错误；D，因为，所以，故正确.故选：AD.11.高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（）A.如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种B.如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种C.如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种D.如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种〖答案〗ABC〖解析〗安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，选项A：如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有（种）.判断正确；选项B：如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有（种）.判断正确；选项C：如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有（种）.判断正确；选项D：如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，再分为丙与甲、乙两名同学在一起和不在一起两种情况，则不同的安排方法共有（种）.判断错误.故选：ABC.12.已知为常数，函数有两个极值点，则（）A.的取值范围是 B.的取值范围是C. D.〖答案〗ACD〖解析〗由题意得：，有两个极值点，有两个变号零点，又，只需，即有两个不等实根，令，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，又当时，；时，，可得图象如下图所示，当，即时，有两个不等实根，且，即当时，有两个极值点，A正确，B错误；，，即，，，又，，，C正确；当，时，；当时，；在，上单调递减，在上单调递增，，，，，D正确.故选：ACD.第二部分（非选择题，共90分）三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．把〖答案〗填在答题卷相应横线上．13.若，则____________.〖答案〗〖解析〗令得，，令得，，两式相加得.故〖答案〗为：.14.从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中不放回地依次取2个数，事件“第一次取到的是偶数”，“第二次取到的是奇数”，则___________.〖答案〗〖解析〗依题意，，，所以．故〖答案〗为：.15.与函数在点处具有相同切线的一个函数的〖解析〗式是__________．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗，故，则函数在点处的切线为，不妨令，，故在上，，故，则函数在点处的切线为，满足要求.故〖答案〗为：.16.已知函数，函数有四个不同零点，从小到大依次为，则实数的取值范围为___________；的取值范围为___________.〖答案〗〖解析〗由题设，当时，，且单调递减；当时，，且单调递增；当，，且单调递减；当，，且单调递增；综上，的函数图象如下：所以有四个不同零点，即与有四个交点，由图知：，则在上，在上，令，则，即是的两个根，故，而是，即的两个根，故，所以.故〖答案〗为：，.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数.（1）曲线在点处的切线方程；（2）曲线过点的切线方程.解：（1）因为，所以，又，所以曲线在处的切线方程为，即；（2）设切点为，则，所以切线方程为，因为切线过点，所以，即，解得，故所求切线方程为．18.从等7人中选5人排成一排（写出必要的数学式，结果用数字作答）（1）若必须在内，有多少种排法？（2）若三人不全在内，有多少种排法？（3）若都在内，且必须相邻，与都不相邻，有多少种排法？解：（1）根据题意，若必须在内，先在其余6人中选出4人，再与全排列即可，一共有种排法，（2）根据题意，在7人中选出5人排成一排，有种排法，若、、都在内，有种排法，则、、三人不全在内的排法有种，（2）根据题意，先在其他4人中选出2人，有种选法，将、看成一个整体，与选出2人全排列，有种排法，排好后，有2个空位可用，在其中选出1个，安排，有2种情况，则有种排法．19.新高考取消文理分科，采用选科模式，这赋予了学生充分的自由选择权．新高考地区某校为了解本校高一年级将来高考选考历史的情况，随机选取了100名高一学生，将他们某次历史测试成绩（满分100分）按照，，，，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图．（1）求图中a的值并估计这100名学生本次历史测试成绩的中位数．（2）据调查，本次历史测试成绩不低于60分的学生，高考将选考历史科目；成绩低于60分的学生，高考将不选考历史科目．按分层抽样的方法从测试成绩在，的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人高考选考历史科目的概率．解：（1），解得，设中位数为x，因为学生成绩在的频率为，在的频率为，所以中位数满足等式，解得，故这100名学生本次历史测试成绩的中位数为.（2）成绩在的频数为，成绩在的频数为，按分层抽样的方法选取5人，则成绩在的学生被抽取人，在的学生被抽取人，从这5人中任