2022-2023学年江苏省常州市金坛区金沙高级中学高二下学期5月教学质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省常州市金坛区金沙高级中学2022-2023学年高二下学期5月教学质量检测数学试题一、单选题1.若复数z满足，则复数z的虚部为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意，得，所以，则复数的虚部为．故选：．2.已知向量，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗若，则，所以；若，则，解得，得不出．所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A．3.某人将斐波那契数列的前6项“1，1，2，3，5，8”进行排列设置数字密码，其中两个“1”必须相邻，则可以设置的不同数字密码有（）A.120种 B.240种 C.360种 D.480种〖答案〗A〖解析〗将两个1捆绑在一起，则可以设置的不同数字密码有种.故选：A.4.在中，是线段上一点，满足是线段的中点，设，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为是线段上一点，满足，所以，又是线段的中点，所以，所以，所以，故，故选：B.5.已知多项式，则（）A.11 B.74 C.86 D.〖答案〗B〖解析〗对于，其展开通项公式为，令，得，故，对于，其展开通项公式为，令，得，故，所以.故选：B.6.已知底面半径为r的圆锥SO，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为，则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗圆锥的高为，如图，由可得：，∴，∴,圆柱侧面积，圆锥侧面积，.故选：D．7.北京冬奥会奥运村有智能餐厅和人工餐厅各一个，某运动员连续两天均在奥运村用餐且每一天均在同一个餐厅用餐．他第一天等可能地随机选择其中一个餐厅用餐．若他第一天去智能餐厅，那么第二天去智能餐厅的概率为0.7；如果他第一天去人工餐厅，那么第二天去人工餐厅的概率为0.2．则该运动员第二天去智能餐厅用餐的概率为（）A.0.45 B.0.14 C.0.75 D.0.8〖答案〗C〖解析〗设“第1天去智能餐厅用餐”，“第1天去人工餐厅用餐”，“第2天去智能餐厅用餐”，则，且与互斥，根据题意得：，，，由全概率公式得，故选：C．8.《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田．已知正八边形ABCDEFGH的边长为，点P是正八边形ABCDEFGH边上的一点，则的最小值是（）．A. B. C. D.4〖答案〗B〖解析〗过点作直线的垂线，垂足为点，，如图，由平面向量数量积的几何意义可知，等于的模与在方向上的投影的乘积，当点在线段上时，在方向上的投影取最小值，此时，，，，故的最小值为.故选：B.二、多选题9.已知向量，下列结论中正确的是（）A.若//，则B.若，则与的夹角的余弦值为C.当时，在上的投影向量为D.当时，与的夹角为锐角〖答案〗BC〖解析〗对于A：若//，则，解得，故A错误；对于B、C：若，则，可得，所以与的夹角的余弦值为，故B正确；所以在上的投影向量为，故C正确；对于D：与的夹角为锐角，等价于，解得且，故D错误；故选：BC.10.有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（

）A.若丙在甲、乙的中间（可不相邻）排队，则不同的排法有20种B.若五位同学排队甲不在最左端，乙不在最右端，则不同的排法共有78种C.若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且甲、丙不能相邻，则不同的排法有36种D.若甲、乙、丙、丁、戊五位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每位同学只去一个社区，每个社区至少一位同学，则不同的分配方案有150种〖答案〗BCD〖解析〗对于选项A：可知有三种可能：甲、乙之间只有一位同学，则不同的排法有种；甲、乙之间有两位同学，则不同的排法有种；甲、乙之间有三位同学，则不同的排法有种；不同的排法共有种，故A错误；对于选项B：可知有四种可能：甲在最右端，乙在最左端，则不同的排法有种；甲在最右端，乙不在最左端，则不同的排法有种；甲不在最右端，乙在最左端，则不同的排法有种；甲不在最右端，乙不在最左端，则不同的排法有种；不同的排法共有种，故B正确；对于选项C：若甲、乙相邻，则不同的排法有种；若甲、乙必须相邻且甲、丙相邻，则不同的排法有种；不同的排法共有种，故C正确；对于选项D：若每位同学只去一个社区，则不同的排法有种；若有小区没有人去，则有两种可能：所有人去了一个小区，则不同的排法有种；所有人去了两个小区，则不同的排法有种；不同的排法共有种，故D正确；故选：BCD.11.下列结论正确的有（）A.若随机变量，满足，，则B.若样本数据（i=1，2，3，…，n）线性相关，则用最小二乘法估计得到的经验回归直线经过该组数据的中心点C.若随机变量，且P（ξ<6）=0.84，则P（3<ξ<6）=0.34D.若根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到的值越小，则X与Y相关性越强〖答案〗BC〖解析〗对于A，若，则，所以若，则，故错误；对于B，若样本数据线性相关，则用最小二乘估计得到的经验回归直线经过该组数据的中心点，正确；对于C，若随机变量，且，则，所以，故正确；对于D，若根据分类变量X与Y的成对样本数据，值越大，则X与Y相关性越强，错误.故选：BC.12.如图，平面四边形中，是等边三角形，且，是的中点.沿将翻折，折成三棱锥，在翻折过程中，下列结论正确的是（）A.存在某个位置，使得与所成角为锐角B.棱上总会有一点，使得平面C.当三棱锥的体积最大时，D.当平面平面时，三棱锥外接球的表面积是〖答案〗BC〖解析〗解：对于A选项，取中点，连接，，因为是等边三角形，所以，又因为是的中点，所以，因为，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，故错误；对于B选项，取中点，连接，因为是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，故正确；对于C选项，设到平面的距离为，因为且，所以，所以，故要使三棱锥的体积最大，则最大，所以当的投影在棱上时，最大，且，此时平面，平面，所以，因为，，平面，所以平面，平面，所以，故正确；对于D选项，因为为直角三角形，所以过作，设为三棱锥的外接球的球心，外接球的半径为，因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面，所以，过点作交于，如图所示，所以四边形为矩形，所以，所以在中，，即，在中，，即，进而解得，所以三棱锥的外接球的表面积为，故错误.故选：BC.三、填空题13.某工厂月产品的总成本（单位：万元）与月长量（单位：万件）有如下一组数据，从散点图分析可知与线性相关．如果回归方程是，那么表格中数据的值为______．/万件1234/万件3.85.682〖答案〗6.4〖解析〗由题意及表知，，，∵回归方程是，∴，∴．故〖答案〗为：6.4.14.某校高三共有1200人参加考试，数学成绩，不低于60分的同学有960人，估计90分以上同学人数为_____________．〖答案〗〖解析〗因为，所以，因为，所以，所以90分以上同学人数为人.故〖答案〗为：.15.在中，，且，若，则________．〖答案〗或〖解析〗因为，所以，又，在中，，则所以，即，所以或．故〖答案〗：或.16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美.图是由边长为的正方形和正三角形围成的一个半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上.则该半正多面体共有________个面，其体积为________.〖答案〗26〖解析〗将图所示的半正多面体看作上、中、下三个部分，则上部包含个正方形、个正三角形；中部包含个正方形；下部包含个正方形、个正三角形；所以该半正多面体共有个面，如图所示，因为半正多面体的棱长为1，所以，又为等腰直角三角形，故，所以正方体棱长为，由图知该图形是由一个正方体截去12相同的三棱柱和8个相同的小正方体的得到的，其中三棱柱的高1，底面为斜边为的等腰直角三角形，小正方体的棱长为，大正方体的棱长为，所以所求体积.故〖答案〗为：；.四、解答题17.已知，，且与夹角为，求：（1）；（2）与的夹角的余弦值.解：（1）由已知可得，；（2）设与的夹角为，又，.18.若复数，为虚数单位，为实数.（1）若为纯虚数，求的值；（2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围.解：（1）由为纯虚数得，解得；（2）复数，因为复数位于第三象限，所以，即，解得．故的取值范围为.19.已知的二项展开式中，所有项的二项式系数之和等于．求：（1）的值；（2）展开式中的常数项；（3）展开式中系数最大的项．解：（1）展开式的二项式系数和为，，解得：n=9.（2）展开式通项为：，令，解得：，则展开式常数项为.（3）设展开式第项的系数最大，则，即，解得：，又，，展开式中系数最大的项为.20.国宝大熊猫“丫丫”的回国路，牵动着十四亿中国人的心，由此掀起了热爱、保护动物的热潮．某动物保护机构为了调查研究人们“保护动物意识的强弱与性别是否有关”，从某市市民中随机抽取200名进行调查，得到部分统计数据如下表：保护动物意识强保护动物意识弱合计男性7030100女性4060100合计11090200（1）根据以上数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为人们保护动物意识的强弱与性别有关？并说明原因；（2）将频率视为概率，现从该市女性的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次．记被抽取的3人中“保护动物意识强”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．附：0.100.050.0100.00500012.7063.8416.6357.87910.828参考公式：，其中．解：（1）零假设为：保护动物意识的强弱与性别相互独立，即保护动物意识的强弱与性别无关，由题意，．所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立．即认为保护动物意识的强弱与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.010；（2）由题意可知：在女性的市民中抽到1人“保护动物意识强”的概率为，所以，X的所有可能取值为0，1，2，3，，，，，所以X的分布列为X0123P．21.如图，在三棱柱中，.（1）证明：平面；（2）设点D为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：如图，连接，由，所以为等边三角形因为，所以，所以，又平面，所以平面.（2）解：解法1：如图，设E为的中点，连结，作于F.因为平面，，所以平面，又平面，所以.在中，，D为的中点，所以，又，所以平面.因为，所以平面，所以，又因为平面，所以平面，所以直线与平面所成角为.在中，，所以，所以.因此，直线与平面所成角的正弦值为.解法2：如图，以C为原点，以射线分别为x，y轴正半轴，建立空间直角坐标系，则，，因此，.设平面的法向量为，由，得，可取.设直线与平面所成角为，则.因此，直线与平面所成角的正弦值是.22.我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从2021年到2025年的“十四五”规划．某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金．该企业为了解研发资金的投资额x（单位：百万元）对年收入的附加额y（单位：百万元）的影响，对往年研发资金投资额和年收入的附加额进行研究，得到相关数据如下：投资额234568911年收入的附加额3.64.14.85.46.27.57.99.1（1）求年收入的附加额y与投资额x的线性回归方程；（2）在（1）的条件下，若投资额为16百万元，估计年收入的附加额；（3）若年收入的附加额与投资额的比值大于1，则称对应的投资额为“优秀投资额”，现从上面8个投资额中任意取3个，用X表示这3个投资额中“优秀投资额”的个数，求X的分布列及数学期望．附：，，．在线性回归方程中，，．解：（1），，得，又，所以，所以年收入的附加额y与投资额x的线性回归方程为．（2）由（1）知，所以当时，，所以当投资额为16百万元时，估计年收入的附加额为12.325百万元．（3）8个投资额中，“优秀投资额”的个数为5，故X的所有可能取值为0，1，2，3，，，，，则X的分布列为X0123P故．江苏省常州市金坛区金沙高级中学2022-2023学年高二下学期5月教学质量检测数学试题一、单选题1.若复数z满足，则复数z的虚部为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意，得，所以，则复数的虚部为．故选：．2.已知向量，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗若，则，所以；若，则，解得，得不出．所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A．3.某人将斐波那契数列的前6项“1，1，2，3，5，8”进行排列设置数字密码，其中两个“1”必须相邻，则可以设置的不同数字密码有（）A.120种 B.240种 C.360种 D.480种〖答案〗A〖解析〗将两个1捆绑在一起，则可以设置的不同数字密码有种.故选：A.4.在中，是线段上一点，满足是线段的中点，设，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为是线段上一点，满足，所以，又是线段的中点，所以，所以，所以，故，故选：B.5.已知多项式，则（）A.11 B.74 C.86 D.〖答案〗B〖解析〗对于，其展开通项公式为，令，得，故，对于，其展开通项公式为，令，得，故，所以.故选：B.6.已知底面半径为r的圆锥SO，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为，则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗圆锥的高为，如图，由可得：，∴，∴,圆柱侧面积，圆锥侧面积，.故选：D．7.北京冬奥会奥运村有智能餐厅和人工餐厅各一个，某运动员连续两天均在奥运村用餐且每一天均在同一个餐厅用餐．他第一天等可能地随机选择其中一个餐厅用餐．若他第一天去智能餐厅，那么第二天去智能餐厅的概率为0.7；如果他第一天去人工餐厅，那么第二天去人工餐厅的概率为0.2．则该运动员第二天去智能餐厅用餐的概率为（）A.0.45 B.0.14 C.0.75 D.0.8〖答案〗C〖解析〗设“第1天去智能餐厅用餐”，“第1天去人工餐厅用餐”，“第2天去智能餐厅用餐”，则，且与互斥，根据题意得：，，，由全概率公式得，故选：C．8.《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田．已知正八边形ABCDEFGH的边长为，点P是正八边形ABCDEFGH边上的一点，则的最小值是（）．A. B. C. D.4〖答案〗B〖解析〗过点作直线的垂线，垂足为点，，如图，由平面向量数量积的几何意义可知，等于的模与在方向上的投影的乘积，当点在线段上时，在方向上的投影取最小值，此时，，，，故的最小值为.故选：B.二、多选题9.已知向量，下列结论中正确的是（）A.若//，则B.若，则与的夹角的余弦值为C.当时，在上的投影向量为D.当时，与的夹角为锐角〖答案〗BC〖解析〗对于A：若//，则，解得，故A错误；对于B、C：若，则，可得，所以与的夹角的余弦值为，故B正确；所以在上的投影向量为，故C正确；对于D：与的夹角为锐角，等价于，解得且，故D错误；故选：BC.10.有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（

）A.若丙在甲、乙的中间（可不相邻）排队，则不同的排法有20种B.若五位同学排队甲不在最左端，乙不在最右端，则不同的排法共有78种C.若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且甲、丙不能相邻，则不同的排法有36种D.若甲、乙、丙、丁、戊五位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每位同学只去一个社区，每个社区至少一位同学，则不同的分配方案有150种〖答案〗BCD〖解析〗对于选项A：可知有三种可能：甲、乙之间只有一位同学，则不同的排法有种；甲、乙之间有两位同学，则不同的排法有种；甲、乙之间有三位同学，则不同的排法有种；不同的排法共有种，故A错误；对于选项B：可知有四种可能：甲在最右端，乙在最左端，则不同的排法有种；甲在最右端，乙不在最左端，则不同的排法有种；甲不在最右端，乙在最左端，则不同的排法有种；甲不在最右端，乙不在最左端，则不同的排法有种；不同的排法共有种，故B正确；对于选项C：若甲、乙相邻，则不同的排法有种；若甲、乙必须相邻且甲、丙相邻，则不同的排法有种；不同的排法共有种，故C正确；对于选项D：若每位同学只去一个社区，则不同的排法有种；若有小区没有人去，则有两种可能：所有人去了一个小区，则不同的排法有种；所有人去了两个小区，则不同的排法有种；不同的排法共有种，故D正确；故选：BCD.11.下列结论正确的有（）A.若随机变量，满足，，则B.若样本数据（i=1，2，3，…，n）线性相关，则用最小二乘法估计得到的经验回归直线经过该组数据的中心点C.若随机变量，且P（ξ<6）=0.84，则P（3<ξ<6）=0.34D.若根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到的值越小，则X与Y相关性越强〖答案〗BC〖解析〗对于A，若，则，所以若，则，故错误；对于B，若样本数据线性相关，则用最小二乘估计得到的经验回归直线经过该组数据的中心点，正确；对于C，若随机变量，且，则，所以，故正确；对于D，若根据分类变量X与Y的成对样本数据，值越大，则X与Y相关性越强，错误.故选：BC.12.如图，平面四边形中，是等边三角形，且，是的中点.沿将翻折，折成三棱锥，在翻折过程中，下列结论正确的是（）A.存在某个位置，使得与所成角为锐角B.棱上总会有一点，使得平面C.当三棱锥的体积最大时，D.当平面平面时，三棱锥外接球的表面积是〖答案〗BC〖解析〗解：对于A选项，取中点，连接，，因为是等边三角形，所以，又因为是的中点，所以，因为，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，故错误；对于B选项，取中点，连接，因为是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，故正确；对于C选项，设到平面的距离为，因为且，所以，所以，故要使三棱锥的体积最大，则最大，所以当的投影在棱上时，最大，且，此时平面，平面，所以，因为，，平面，所以平面，平面，所以，故正确；对于D选项，因为为直角三角形，所以过作，设为三棱锥的外接球的球心，外接球的半径为，因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面，所以，过点作交于，如图所示，所以四边形为矩形，所以，所以在中，，即，在中，，即，进而解得，所以三棱锥的外接球的表面积为，故错误.故选：BC.三、填空题13.某工厂月产品的总成本（单位：万元）与月长量（单位：万件）有如下一组数据，从散点图分析可知与线性相关．如果回归方程是，那么表格中数据的值为______．/万件1234/万件3.85.682〖答案〗6.4〖解析〗由题意及表知，，，∵回归方程是，∴，∴．故〖答案〗为：6.4.14.某校高三共有1200人参加考试，数学成绩，不低于60分的同学有960人，估计90分以上同学人数为_____________．〖答案〗〖解析〗因为，所以，因为，所以，所以90分以上同学人数为人.故〖答案〗为：.15.在中，，且，若，则________．〖答案〗或〖解析〗因为，所以，又，在中，，则所以，即，所以或．故〖答案〗：或.16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美.图是由边长为的正方形和正三角形围成的一个半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上.则该半正多面体共有________个面，其体积为________.〖答案〗26〖解析〗将图所示的半正多面体看作上、中、下三个部分，则上部包含个正方形、个正三角形；中部包含个正方形；下部包含个正方形、个正三角形；所以该半正多面体共有个面，如图所示，因为半正多面体的棱长为1，所以，又为等腰直角三角形，故，所以正方体棱长为，由图知该图形是由一个正方体截去12相同的三棱柱和8个相同的小正方体的得到的，其中三棱柱的高1，底面为斜边为的等腰直角三角形，小正方体的棱长为，大正方体的棱长为，所以所求体积.故〖答案〗为：；.四、解答题17.已知，，且与夹角为，求：（1）；（2）与的夹角的余弦值.解：（1）由已知可得，；（2）设与的夹角为，又，.18.若复数，为虚数单位，为实数.（1）若为纯虚数，求的值；（2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围.解：（1）由为纯虚数得，解得；（2）复数，因为复数位于第三象限，所以，即，解得．故的取值范围为.19.已知的二项展开式中，所有项的二项式系数之和等于．求：（1）的值；（2）展开式中的常数项；（3）展开式中系数最大的项．解：（1）展开式的二项式系数和为，，解得：n=9.（2）展开式通项为：，令，解得：，则展开式常数项为.（3）设展开式第项的系数最大，则，即，解得：，又，，展开式中系数最大的项为.20.国宝大熊猫“丫丫”的回国路，牵动着十四亿中国人的心，由此掀起了热爱、保护动物的热潮．某动物保护机构为了调查研究人们“保护动物意识的强弱与性别是否有关”，从某市市民中随机抽取200名进行调查，得到部分统计数据如下表：保护动物意识强保护动物意识弱合计男性7030100女性4060100合计11090200（1）根据以上数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为人们保护动物意识的强弱与性别有关？并说明原因；（2）将频率视为概率，现从该市女性的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次．记被抽取的3人中“保护动物意识强”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．附：0.100.050.0100.00500012.7063.8416.6357.87910.828参考公式：，其中．解：（1）零假设为：保护动物意识的强弱与性别相互独立，即保护动物意识的强弱与性别无关，由题意，．所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立．即认为保护动物意识的强弱与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.010；（2）由题意可知：在女性的市民中抽到